Analytische Geometrie im R3 1. Der Winkel zwischen e1 und e2 ist

Übungen für die 2. Schularbeit
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Analytische Geometrie im R3
1. Der Winkel zwischen e1 und e2 ist zu bestimmen:
e1: 2x - 5y + 8z = 13
e2: x + y = 4
2. Der Winkel zwischen e und g ist zu bestimmen: e: x + 2 y – z = 7,
g: X=(2|-1|4) + s(1|4|3)
3. Der Normalabstand des Punktes P zur Ebene e und der Fußpunkt des Lots sind
zu bestimmen: P(5|0|3), e: X = (0|6|1) + s(5|1|-9) + t(1|3|1)
4. Der Normalabstand des Punktes P zur Geraden g und der Fußpunkt des Lots sind
zu bestimmen: P( 4|-5|3), g: X = (2|0|-2) + s(0|-1|-2)
5. Die Geraden a, b und c sind die Trägergeraden der Seitenkanten SA, SB, und SC
eines Tetraeders ABCS, dessen Grundfläche in der Ebene e liegt.
a : X = (3|5|0) + t(2|3|0), b : X = (3|5|0) + s(2|5|1), c : X = (3|5|0) + r(1|2|1),
e : x + y + z = 0 Berechne die Koordinaten der Eckpunkte A, B und C.
6. Die fehlenden Eckpunkte der geraden quadratischen Pyramide ABCDS [A(10,y,0),
B, C, D, S(8,13,11)] mit dem Basismittelpunkt M(6,5,-5) sind zu bestimmen.
7. Ein regelmäßiges Tetraeder A(2|0|0), B(-1| 3 |0), C(-1|- 3 |0), D(0|0|2 2 ) ist
gegeben. Ermittle die Winkel α zwischen zwei Seitenflächen und β zwischen der
Höhe und einer Seitenkante.
8. Die Ebene e: 2x+5y + 8z =17 ist mit der a) xy-Ebene b) yz-Ebene zu schneiden.
9. Die Lagebeziehungen der Ebenen e1, e2 und e3 ist zu ermitteln. Weiters gebe man
die Lösungsmenge des zugehörigen linearen Gleichungssystems an und
berechne den Schnittpunkt oder die Gleichung der Schnittgeraden:
a) e1: 2x – 3y + 4z = -8
b) e1: -x – 2y + 3z = 5
e2: 2x + 2y – 5z = 11
e2: 2x + 4y – 6z = -10
e3: 4x – 3y + 6z = -8
e3: x + y - z = 3
10. A(-1|1|6) ist Eckpunkt eines Würfels, dessen Basisebene eABCD durch P(4|3|2)
und Q(-3|0|6) geht und dessen Kante CG durch S(14|-2|3) verläuft. Die
fehlenden Eckpunkte, Volumen und Oberfläche sind zu bestimmen.
11. Ermittle die Lagebeziehung der beiden Ebenen e1 und e2 und gib die
Lösungsmenge des zugehörigen linearen Gleichungssystems an. Berechne
gegebenenfalls die Gleichung der Schnittgeraden:
a) e1: 2x + 3y - z = 7
e2: -4x - 6y + 2z = 1
c) e1: x + y - 2z = -17
b) e1: 3x – 2y + 2z = 3
⎛ − 4⎞
⎛ 8 ⎞
⎛ 7 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
3
1
1
−
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
e2: x = ⎜ 9 ⎟ + λ⎜ − 2 ⎟ + μ⎜ − 3 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 11 ⎟
⎜ 3 ⎟
⎜ 2 ⎟
e2: x = ⎜ 3 ⎟ + λ⎜ 2 ⎟ + μ⎜ 1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎜5⎟
⎜ 1⎟
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
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Kreis, Ellipse
1. Die Gleichungen der durch folgende Angaben definierten Kreise sind zu ermitteln.
a) M(0|0), P(2|5) c k
c) M(-1|-1), P(-5|-7) c k
b) M(0|0), r = 4
d) P(-6|3), Q(6|-1), R(-2|5) c k
2. Die Lage des Kreises k1 : X² = 50 bezüglich der Kreise ist zu ermitteln, gemeinsame
Punkte sind anzugeben:
2
a) k2 : x² + y² = 9
⎡
⎡8⎤ ⎤
d) k5 : ⎢ X − ⎢ ⎥ ⎥ = 2
b) k3 : [(-8|8); 3 2 ]
⎣0⎦ ⎦
⎣
c) k4 : (x – 9)² + (y + 10)² = 4
3. Gegeben sind der Kreis k : x² + y² = r² und die Gerade g: y = kx + d.
a) Man leite die Beziehung zwischen r, k, d ab, sodass k ∩ g genau zwei
Elemente, genau ein Element bzw. kein Element enthält.
b) Weiters ist die Bedingung für genau zwei Schnittpunkte, genau einen Schnittpunkt
(= Berührungspunkt) bzw. keinen Schnittpunkt zu benennen.
4. Ein Kreis hat seinen Mittelpunkt im Schnittpunkt der Geraden
⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞
⎛0⎞
⎡ 1⎤
X = ⎜⎜ ⎟⎟ + t ⎜⎜ ⎟⎟ mit der Geraden X = ⎜⎜ ⎟⎟ + s.⎢ ⎥ und geht durch den Punkt P (-3|0).
⎝ − 4⎠ ⎝ 2⎠
⎝ 1⎠
⎣− 5⎦
Bestimme die Gleichung des Kreises. In welchen Punkten schneidet er die Achsen?
5. a) Bestimme Mittelpunkt und Radius des Kreises k: 4x² +16 x + 4y² – 8y +11 = 0
b) Gib eine Gleichung des Kreises an, der zu k konzentrisch ist und die Gerade
g: 2x + y = -13 berührt. Skizze!
6. Ermittle die Koordinaten des Mittelpunktes und den Radius des kleineren Kreises, der
beide Koordinatenachsen berührt und den Punkt P(-4|-3) enthält.
7. Berechne den Abstand der Schnittpunke S1 und S2 der beiden Kreise
k1: M( 4 / 5);2. 5 und k2: M(1/ − 4);5. 2
[
]
[
]
8. Bestimme eine Gleichung des In-/Umkreises des Dreiecks: A(1|-1), B(15|-1), C(6|11).
⎛ − 3⎞ ⎛ 2 ⎞
9. Überprüfe die Lagebeziehung zwischen der Geraden g : X = ⎜⎜ ⎟⎟ + t ⎜⎜ ⎟⎟ und
⎝ 1 ⎠ ⎝ 3⎠
dem Kreis k: x² + y² - 4y = 45. Abstand!
10. Von einer Ellipse in erster Hauptlage kennt man die Punkte A(2|-2), B(-4|1). Stelle die
Gleichung der Ellipse auf und zeichne sie. [x²/20+y²/5 = 1]
11. Man ermittle die Menge S der Schnittpunkte der Geraden g: 3x – 2y + 4 = 0 und der
Ellipse ell: 3x² + 4 y² = 16.Berechne die Sehnenlänge s. [(0|2), (-2|-1), s = 13 ]
12. Eine Ellipse in 1. Hauptlage enthält die Punkte P( 3 | 16/5 ) und Q( -4 | 12/5 ).
a) Ermittle die Gleichung dieser Ellipse
b) Wie groß ist der Winkel, den die Leitstrahlen von Q miteinander einschließen?
[16x²+25y²=400; α=48,5°]
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