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NOTFALLBLATT QUANTENMECHANIK
Tutorium aus Quantenmechanik
05. Juni 2010
Andreas Windisch
Dies ist eine NOTFALLKARTE. Sollte ein kranker oder verletzter Term im Hilbertraum angetroffen werden, so sind
hier diverse Techniken und Therapien zusammengefasst mit deren Hilfe der Term verarztet werden kann.
*
Erste Hilfe
1. Ruhe bewahren!
C Schrödingerbild
2. Bewustseinskontrolle: Kann ich das
Problem erkennen?
Im Schrödingerbild hängen die Zustände von der Zeit ab, die Operatoren sind zeitunabhängig. Die Dynamik wird durch die Schrödingergleichung beschrieben:
3. Verbandsmaterial: Was brauche ich
für die Verarztung?
i~
d
|ψ(t)i = Ĥ|ψ(t)i,
dt
4. Ersthilfe leisten.
mit |ψ(t)i dem Zustand des Systemes im Schrödingerbild. Der Zustand entwickelt sich mit dem unitären Zeitentwicklungsoperator:
*
|ψ(t)i = Û (t, t0 )|ψ(t0 )i,
A Baker-Campbell-Hausdorff-Formel
mit
−i(t−t0 )Ĥ/~
.
Û (t, t0 ) = e
A+B+ 1 [A,B]
A B
2
e e =e
*
B Exemplarisch: Endlicher Potentialtopf:
Ansätze
*
D Heisenbergbild
In diesem Bild ist die Zeitabhängigkeit der Zustände eingefroren.
Die dynamische Gleichung ist die Heisenberg’sche Bewegungsgleichung.
Die folgende Abbildung zeigt eine Skizze des Potentials.
dÂH
=
dt
1
i~
[ÂH , Ĥ].
Der zeitunabhängige Zustand entspricht dem Anfangszustand im
Schrödingerbild:
Hier kommutieren [H, P ] = 0, dh. wir können die Lösungen nach symmetrischen und antisymmetrischen Anteilen klassifizieren. Das Potential ist:
8
>
<V0 , x < −L
V (x) = 0,
−L ≤ x ≤ L
>
:V , x > L
0
Nun wird eine Gesamtwellenfunktion angesetzt, indem man alle unterschiedlichen Bereiche betrachtet. Gebundene Lösungen: (0 < E < V0 )
(
d
2
− k1 )ψI (x)
=
2
+ k2 )ψII (x)
(
dx2
=
0
(−L ≤ x ≤ L)
=
0
(x > L)
dx2
d
(
2
0
d2
2
− k1 )ψIII (x)
dh.
itĤ/~
|ψ(t)iH = e
hψ(t)|Â|ψ(t)i
itĤ /~
bzw.
ψs (x) =
8
k x
>
<Ae 1 ,
C sin(k2 x),
>
:
De−k1 x ,
x < −L
−L ≤ x ≤ L
x>L
8
k x
>
<Ae 1 ,
B cos(k2 x),
>
:De−k1 x ,
x < −L
−L ≤ x ≤ L
x>L
hψ(0)|e
=
H hψ|ÂH (t)|ψiH
8q
< 1 cos( nπ x),
2L
qL
: 1 sin( nπ x),
L
2L
|ψ(0)i = hψ(0)|ÂH (t)|ψ(0)i
*
Dieses Bild eignet sich für Probleme mit explizit zeitabhängigem Hamiltonian. Hier entwickeln sich der Zustandsvektor und der Operator in der Zeit. Die Dynamik der Zustände genügt der folgenden
Gleichung:
d|ψ(t)iI
= V̂I (t)|ψ(t)iI ,
i~
dt
wobei Ĥ = Ĥ0 + V̂ mit Ĥ0 zeitunabhängig und V̂ (zeitabhängiges)
Potential ist. V̂I ist dann gegeben durch
itĤ0 /~
V̂I (t) = e
x < −L
−L ≤ x ≤ L
x>L
−itĤ0 /~
V̂ e
.
Die Bewegungsgleichung der Operatoren wird durch Ĥ0 bestimmt:
Ist der Potentialtopf unendlich tief, so muss die Wellenfunktion am
Rand verschwinden. Die Quantisierungsbedingung eingesetzt in die entsprechende Wellenfunktion ist dann: (V0 → ∞)
ψn (x) =
Âe
E Wechselwirkungsbild (Diracbild)
Die Kontinuitätsbedingung der Wellenfunktion und ihrer Ableitung
ist nun noch zu lösen (hier nicht durchgeführt). Ansatz für Streulösungen (E > V0 ):
8
ik x
−ik1 x
>
,
<Ae 1 + Be
ψ(x) = Ceik2 x + De−ik2 x ,
>
:
ik1 x
Ee
,
−itĤ/~
=
2
2
mit k1
= 2m(V0 − E)/~ 2 und k2
= 2mE/~ 2 . Die antisymmetrischen
und symmetrischen Wellenfunktionen sind dann:
ψa (x) =
|ψ(t)i.
(Beachte: d|ψiH /dt = 0). Für den Erwartungswert eines Operators Â
finden wir:
(x < −L)
2
dx2
†
|ψ(t)iH = U (t)|ψ(t)i = |ψ(0)i,
dÂI (t)
dt
=
1
i~
[ÂI (t), Ĥ0 ].
n = 1, 3, 5, 7, . . .
*
n = 2, 4, 6, 8, . . .
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NOTFALLBLATT QUANTENMECHANIK
Tutorium aus Quantenmechanik
05. Juni 2010
Andreas Windisch
Dies ist eine NOTFALLKARTE. Sollte ein kranker oder verletzter Term im Hilbertraum angetroffen werden, so sind
hier diverse Techniken und Therapien zusammengefasst mit deren Hilfe der Term verarztet werden kann.
F
Exemplarisch:
Ansätze
Potentialstufe:
Der Term mit der Konstante D divergiert für x → ∞, D ist also 0. Die
vollständige Wellenfunktion ist daher:
Die folgende Abbildung zeigt den Potentialverlauf, Inzidenz erfolgt von
links.
ψ(x, t) =
(
Aei(k1 x−ωt) + Be−i(k1 x+ωt) ,
x<0
′
Ce−k2 x e−iωt ,
x≥0
Nun wollen wir, wie vorhin, die reflektierten und transmittierten Anteile erfassen. Nachdem die transmittierte Wellenfunktion ψtrans (x) =
′
Ce−k2 x rein reell ist, folgt aus der Gleichung für die Stromdichte, dass
dieselbe Null sein muss. Der Reflexionskoeffizient R muss daher 1 sein.
Diese Ergebnisse werden in der Tat erhalten, wenn man die Koeffizienten explizit berechnet.
Der Potentialsprung erfolgt bei x = 0:
V (x) =
(
0,
V0 ,
*
x<0
x ≥ 0.
G Kontinuitätsgleichung
E > V0 :
Wir haben zwei Fälle zu unterscheiden. Sei zunächst E > V0 , dh. der
Einfall erfolgt über der Potentialschwelle. Für x < 0 sind die Teilchen
frei, bei x = 0 erfahren sie ein repulsives Potential welches konstant
anhält. Wir setzen in den beiden Bereichen an:
(
d2
dx2
d
2
+ k1 )ψI (x)
=
0
Kurze Motivation zur Kontinuitätsgleichung. Man findet, dass die
Wahrscheinlichkeitsdichte hψ|ψi sich nicht mit der Zeit verändert, dh.
ihre Ableitung nach t verschwindet. Anders ausgedrückt, ist |ψ(t)i einmal normiert, so bleibt es normiert. Wir haben eine Erhaltung der
Wahrscheinlichkeit. Mit Hilfe der zeitabhängigen Schrödingergleichung
kann man folgendes finden:
i~
2
2m
2
+ k2 )ψII (x)
(
dx2
=
~
(ψ ∇ψ
∗~
− ψ ∇ψ)
= j(~
r , t),
ik1 x
−ik1 x
+ Be
,
ψI (x) = Ae
ik2 x
−ik2 x
+ De
,
ψII (x) = Ce
∗
ψ (~
r , t)ψ(~
r, t) = ρ(~
r, t),
und
(x < 0)
∂ρ(~
r, t)
(x > 0).
∂t
Das Vorzeichen im Exponenten gibt Aufschluss über die Propagationsrichtung der Welle (pos/neg x). Bei x = 0 kann nun Transmission bzw.
Reflexion erfolgen. Mit der Annahme der Inzidenz ausschließlich von
links entfällt der Term der mit der Konstante D kommt, ferner betrachten wir nun die vollständigen Wellenfunktionen für Einfall (Konstante A), Reflexion (Konstante B) sowie Transmission (Konstante C).
(
Aei(k1 x−ωt) + Be−i(k1 x+ωt) ,
Cei(k2 x−ωt) .
=
|
T
=
|
reflektierte Stromdichte
einfallende Stromdichte
Jtrans
|=|
Jein
*
i~
2m
(ψein (x)
d2
dx2
C,
gilt, so ist der Operator linear.
*
∗
dψein
(x)
dx
∗
− ψein (x)
′2
− k2 )ψII (x) = 0
dψein (x)
dx
I Hermite’scher Operator
Ist zu prüfen ob ein Operator hermite’sch ist, so betrachtet man:
Z
),
∗
3
f (x)[Âg(x)]d x =
Z
′x
−k2
k′ x
+ De 2
†
∗
3
[Â f (x)] g(x)d x,
mit f, g quadratintegrablen, skalaren Funktionen. Gilt nun für den Operator  = † , so ist der Operator hermite’sch und es gilt:
Z
∗
3
f (x)[Âg(x)]d x =
Z
∗
3
[Âf (x)] g(x)d x.
Wir müssen also prüfen, ob diese letzte Relation für einen gegebenen
Operator hält oder nicht.
(x ≥ 0),
′2
mit k2
= 2m(V0 − E)/~ 2 . Die Lösung für diese Gleichung ist:
ψ2 (x) = Ce
a, b ∈
|,
analog erhalten wir die Stromdichten für die transmittierte und reflektierte Welle. Werfen wir nun einen kurzen Blick auf den zweiten Fall.
E < V0 :
Hier ändert sich die Wellenfunktion im Bereich I nicht, allerdings bekommen wir im Bereich II:
(
Â(aψ + bφ) = aÂψ + bÂφ,
|.
Jein
Kontinuitätsgleichung.
Ist die Linearität eines Operators zu prüfen muss der Operator auf folgende Eigenschaft untersucht werden: Wenn
Die entsprechenden Stromdichten erhalten wir aus dem Strom-Term aus
der Kontinuitätsgleichung:
Jein =
~ ·~
+∇
j = 0,
H Linearer Operator
(x < 0)
(x ≥ 0)
Jref
Wahrscheinlichkeitsdichte
Mit diesen Definitionen kann man nun etwa den reflektierten Strom für
ein Streuproblem an einer Potentialschwelle berechnen.
Wir interessieren uns für den Reflexions- bzw. Transmissionskoeffizienten. Diese sind gegeben durch:
R
Wahrscheinlichkeitsstromdichte,
sowie
2
2
mit k1
= 2mE/~ 2 und k2
= 2m(E − V0 )/~ 2 . In diese Gleichungen geht
man mit einem Ebene-Wellen-Ansatz:
ψ(x, t) =
∗
0,
*
(x ≥ 0).
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