Magnetisierungsumkehr in dünnen ferromagnetischen Ringen

Magnetisierungsumkehr in dünnen
ferromagnetischen Ringen
Kirsten Martens
Institut für Theoretische Physik
Universität Heidelberg∗
Unter der Betreuung von
Herrn Prof. Dr. H. Horner
26. September 2005
∗
Philosophenweg 19, D-69120 Heidelberg
Abstract
Thermally induced magnetization reversal in thin ferromagnetic
Rings
This work treats the magnetic behaviour of mesoscopic ferromagnetic annuli in the presence
of an external circumferential magnetic field and subject to thermal fluctuations. Using the
classical Landau-Lifshitz-Gilbert equations, we analyze the magnetization reversal rate. We
show that the geometry of a two-dimensional ring gives rise to greater stability than other
commonly considered geometries, such as thin elongated particles. This could be of interest
in the context of using these ferromagnets as information storage devices. Our analysis demonstrates the existence of a phase transition in activation behaviour, dependent on both
the applied external magnetic field and the ring size. This transition should be observable
experimentally.
i
Kurzfassung
Magnetisierungumkehr in dünnen ferromagnetischen Ringen
aufgrund thermischer Anregung
Die vorliegende Arbeit behandelt das magnetische Verhalten eines mesoskopischen ferromagnetischen Ringes in einem äußeren rotationssymmetrischen Magnetfeld. Mit Hilfe der Theorie
des Mikromagnetismus analysieren wir die Magnetisierungsumkehr aufgrund von thermischen
Fluktuationen. Wir können zeigen, daß die Geometrie eines zweidimensionalen Ringes eine
größere Stabilität begünstigt als andere bereits studierte Geometrien wie beispielsweise die
eines langen ferromagnetischen Stabes. Diese Tatsache könnte im Kontext der Verwendung
solcher Ferromagnete als Speichermedien von Interesse sein. Die analytischen Rechnungen
dieser Arbeit zeigen einen Phasenübergang in der Magnetisierungsumkehr in Abhängigkeit
vom angelegten äußeren Feld auf, welcher auch auf experimentellem Wege zu beobachten sein
müßte.
iii
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Theoretische Grundlagen
2.1 Überwinden von Barrieren durch Rauschen . . . . . . . . .
2.2 Bestimmung des wahrscheinlichsten Austrittpfades (MPEP)
2.3 Bestimmung der mittleren ersten Austrittszeit (MFPT) . .
2.3.1 Betrachtung für ein Teilchen im Driftfeld . . . . . .
2.3.2 Übergang zur Feldtheorie . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
4
7
7
9
3 Anwendung auf ausgedehnte ferromagnetische Teilchen
3.1 Energieanteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Dynamik des Systems . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Bewegungsgleichungen und ihre Lösung . . . . . . .
3.4 Berechnung des effektiven Feldes . . . . . . . . . . .
3.5 Berechnung der Bewegungsgleichungen . . . . . . . .
3.6 Brauns Lösung für eine Stabgeometrie . . . . . . . .
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15
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19
20
4 Anwendung auf Kreisscheibengeometrie
4.1 Neue Geometrie, alte Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Sattelpunktslösung für die Kreisscheibengeometrie . . . . . . . . . . . . . . .
25
25
29
5 Energiebarriere
39
6 Berechnung des Vorfaktors
6.1 Vorfaktorberechnung für den homogenen Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Vorfaktorberechnung für den inhomogenen Fall . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Numerische Berechnung des kleinsten Eigenwertes . . . . . . . . . . . . . . .
41
41
43
47
7 Diskussion und Ausblick
51
Anhang
.1
Numerische Berechnung des kleinsten Eigenwertes . . . . . . . . .
.1.1
Beweis des Rayleigh-Ritzschen Variationsverfahrens . . . .
.1.2
Der Mathematica-Quellcode . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.2
Elliptische Integrale und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
.2.1
Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.2.2
Nützliche Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.3
Darstellung von Stablösung und Kreisscheibenlösung im Vergleich
53
53
53
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55
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59
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v
1 Einleitung
Die Untersuchung der Magnetisierungsumkehr in ferromagnetischen Teilchen aufgrund thermischer Anregung ist nicht nur deswegen von Interesse, weil diese als Speichermedien Verwendung finden, auch die theoretische Betrachtung dieser Art Materialien bringen interessante
Aspekte hervor. Die in dieser Arbeit betrachteten Nanostrukturen, die im Remanenzzustand
aus nur einer magnetischen Domäne bestehen, schalten bei einer kritischen Stärke des Magnetfeldes ihre Magnetisierungrichtung spontan um (Stoner-Wohlfarth-Theorie). Diese Ummagnetisierungsvorgänge hängen wesentlich von der Geometrie des Teilchens ab.
Die erste Theorie, welche solche stochastischen Umkehrvorgänge beschreibt, geht auf Néel
und Brown zurück und besteht bereits seit Mitte des letzten Jahrhunderts. Hier wird jedoch
lediglich die Magnetisierungsumkehr an einfachen Geometrien, wie z.B. an spärischen Partikeln mit Annahme einer uniformen Magnetisierung und uniaxialer Anisotropie behandelt.
Sobald man sich komplexeren Geometrien widmet, wie z.B. ausgedehnten Partikeln oder
dünnen Filmen, kann die Theorie den oben genannten Annahmen nicht mehr standhalten
und neue Betrachtungen werden notwendig.
Interessant ist es nun, diese Theorie für andere Geometrien weiterzuentwickeln. Dies wurde beispielsweise für ausgedehnte ferromagnetische Teilchen unendlicher Länge in einer von
Braun vorgelegten Arbeit durchgeführt. In dieser Arbeit führen wir ähnliche Betrachtungen
für ferromagnetische Ringe. Gerade diese Geometrie spielt im Bereich der Datenspeicherung
eine zunehmend wichtige Rolle. Wie gezeigt werden wird, ergibt sich aus der Ringgeometrie
eine besondere Stabilität, die andere Anordnungen, wie z.B. stabförmig ausgedehnte ferromagnetische Teilchen, vermissen lassen.
Ein weiterer großer Vorteil dieser Geometrie ist die Möglichkeit zur weitgehend analytischen
Betrachtung des Problems. Von theoretischem Interesse ist insbesondere der stattfindende
Phasenübergang, den man nur unter Berücksichtigung endlicher Längen sehen kann. Dieser
wird in der von uns behandelten Anordnung auch experimentell beobachtbar. In einem zweidimensionalen ringförmigen Einbereichsteilchen stellen sich abhängig vom äußeren Magnetfeld
zwei verschiedene Konfigurationen ein, zwischen denen der oben erwähnte Phasenübergang
stattfindet.
Die vorliegende Arbeit ist im wesentlichen in drei Teile gegliedert. Im folgenden werden
zunächst einige allgemeine thoretische Aspekte zur Theorie stochastischer Modelle erklärt,
anschließend die Arbeit von Braun anlysiert und kommentiert, um diese dann auf die neue
geometrische Anordnung zu übertragen.
1
1 Einleitung
2
2 Theoretische Grundlagen
2.1 Überwinden von Barrieren durch Rauschen
Im folgenden werden wir zunächst den Fall eines Teilchens im Driftfeld u(x) mit einem metastabilen Punkt M und einem hyperbolischen Fixpunkt H betrachen. Ein Teilchen, das sich
am Punkt M befindet, wird ewig dort verbleiben, es sei denn, wir fügen dem System eine
√
kleine Störung hinzu, in unserem Falle in Form eines weißen Rauschen ξ(t) = ǫη(t). Diese
zufällig fluktuierende Kraft, die im Mittel keinen Beitrag liefert zur gesamten Kraft, genügt
dem Fluktuations-Dissipationstheorem:
< ξ(t) > = 0
(2.1)
< ξ(t1 )ξ(t2 ) > = Cǫδ(t1 − t2 ) >
.
(2.2)
Eine Addition dieser Kraft führt zu der folgenden klassischen Bewegungsgleichung (LangevinGleichung [21]) für das Teilchen:
1
ẋ(t) = u(x, t) + ǫ 2 η(t)
.
(2.3)
in der der Rauschkoeffizient ǫ, der in Abbildung 2.1 den Radius der sogenannten WKB-Röhre
(Wentzel, Kramers, Brillouin) bezeichnet, klein sein soll. Auf die Methode der WKB-Näherung
für diese Art Problemstellungen wird noch später im Text näher eingegangen werden.
Abbildung 2.1: Darstellung des MPEP (Most probable escape path)
Das Hinzufügen der Störung kann man sich z.B. in Form eines Wärmebades der Temperatur T vorstellen, für das der Rauschkoeffizient den Wert ǫ = 2kB T annimmt. Unter der
3
2 Theoretische Grundlagen
Forderung, daß die thermische Energie kB T sehr viel kleiner ist, als die zu überwindende Barriere, kann man annehmen, daß der Einfluß der Zufallskraft auf der Zeitskala des ungestörten
Problems typischerweise vernachlässigt werden kann. Das heißt, daß das Teilchen nach wie
vor für eine sehr lange Zeit am Fixpunkt verbleibt. Allerdings gibt es eine gewisse, wenn auch
kleine Wahrscheinlichkeit für das Teilchen, den stabilen Fixpunkt zu verlassen und über einen
Austrittsweg den hyperbolischen Fixpunkt zu erreichen, um von dort aus in einen anderen
stabilen oder metastabilen Zustand zu gelangen. Der wahrscheinlichste Pfad, den das Teilchens in diesem Szenario annimmt, wird im folgenden mit MPEP (Most Probable Escape
Path) abgekürzt werden (siehe Abb. 2.1).
Um eine Wahrscheinlichkeitsbetrachtung durchführen zu können, ist es nützlich, den obigen
Ausdruck 2.3 in den nachfolgenden äquivalenten umzuformen:
1
ρ̇(x, t) = ǫ∆ρ(x, t) − ∇ · (u(x)ρ(x, t))
2
.
(2.4)
Hier bezeichnet ρ(x, t) die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen am Ort x zur Zeit t vorzufinden.
Diese Gleichung, die die zeitliche Wahrscheinlichkeitsverteilung unter der Wirkung von Diffusion (1. Summand) und Drift (2.Summand) beschreibt, ist die bekannte Fokker-PlanckGleichung, welche als Operatorgleichung formuliert werden kann:
ρ̇ = L̂FP ρ .
(2.5)
Die durch Umformung entstandene Ähnlichkeit zu einer quantenmechanischen Gleichung,
macht es nun möglich quantenmechanische Methoden, wie z.B. die WKB-Methode einzusetzen, um das Problem zu lösen. Bei der Analogie zur Qantenmechanik ist allerdings zu
berücksichtigen, daß der Fokker-Planck Operator L̂FP im allgemeinen nicht hermitesch ist.
2.2 Bestimmung des wahrscheinlichsten Austrittpfades (MPEP)
Im folgenden wollen wir annehmen, daß sich das Driftfeld aus einem Potential ableiten läßt. In
diesem Fall läßt sich der wahrscheinlichste Austrittspfad, der vom metastabilen in den stabilen
Bereich führt, folgendermaßen definieren: Die Normalen auf dem MPEP (n̂α ), müssen folgende
Bedingung erfüllen
n̂α (xl ) · ∇W (x)|x=xMPEP ,
(2.6)
wobei xMPEP den wahrscheinlichsten Austrittspfad bezeichnet.
Abbildung 2.2: Der wahrscheinlichste Austrittpfad als umgekehrte Abwärtstrajektorie
4
2.2 Bestimmung des wahrscheinlichsten Austrittpfades (MPEP)
Definiert man sich im d-dimensionalen Raum ein lokales Koordinatensystem mit xα als die
d-1 transversalen und xl als die longitudinale Komponente von x entlang des MPEP (siehe
Abbildung 2.2), so ist der tangentiale Einheitsvektor zum MPEP gegeben als
t̂(xl ) =
dxMPEP (xl )
dxl
(2.7)
und die Menge der normalen Einheitsvektoren als:
n̂α (xl ) · t(xl ) = 0 mit
n̂α (xl ) · n̂β (xl ) = δαβ
(2.8)
Entwickelt wir die Funktion W (x) um den MPEP, so ergibt sich:
W (xMPEP +
d−1
X
n̂α (xl )xα ) = f0 (xl ) +
α=1
X
fαβ (xl )xα xβ
.
(2.9)
αβ
Wählen wir die transversalen Basisvektoren unseres lokalen Koordinatensystems so, daß die
Matrix fαβ (xl ) diagonal wird, erhalten wir den vereinfachten Ausdruck:
W (xMPEP +
d−1
X
n̂α (xl )xα ) = f0 (xl ) +
X
fα (xl )x2α
.
(2.10)
α
α=1
Unter der Annahme, daß der wahrscheinlichste Austrittspfad eindeutig bestimmt ist (fα > 0
über den ganzen MPEP) erhält man den wahrscheinlichsten Austrittspfad von einem Startpunkt in der Nähe des Punktes M also durch Integration des Ausdrucks 2.7.
Bei der Fragestellung wie die Wahrscheinlichkeit aussieht, das Teilchen an einem bestimmten Punkt des MPEP aufzufinden, hilft uns folgende Überlegung weiter. Die Wahrscheinlichkeit, daß sich das Teilchen in der Nähe des metastabilen Fixpunktes aufhält, liegt ungefähr
bei 1 und die zeitliche Änderung dieser Wahrscheinlichkeit ist proportional zur Austrittsrate
und geht damit gegen Null, da das Teilchen für kleine Temperaturen, wie bereits erwähnt, im
Durchschnitt eine sehr lange Zeit beim metastabilen Fixpunkt verbleibt. Wir können also für
die Wahrscheinlichkeitsverteilung einen quasistationären Zustand annehmen der Form
ρ0 (x) ∝ K(x)e−
W (x)
ǫ
,
(2.11)
wobei der exponentielle Abfall von ρ0 gleichzeitig die exponentielle Wachtumsrate von τ
angibt, wobei τ die mittlere erste Austrittszeit bestimmt, im folgenden MFPT (Mean First
Passage Time) genannt. Die Herleitung dieser Größe wird uns im Folgekapitel noch weiter
beschäftigen. Der Vorfaktor K(x) ist im attraktiven Bereich des metastabilen Fixpunktes
in etwa konstant und außerhalb in etwa Null (siehe Abb. 2.3). Bezüglich der transversalen
stabilen Richtungen befindet sich das Teilchen im Gleichgewicht, weshalb eine Änderung des
Vorfaktors nur in Richtung des MPEP erfolgt und diese Größe somit nur von xl abhängt.
Für die Fokker-Planck Gleichung 2.5 ergibt sich mit obigen Ansatz 2.11:
L̂FP ρ0 ≈ 0
⇔
ǫ
∆ρ0 − ∇ · (ρ0 u) = 0
2
.
(2.12)
5
2 Theoretische Grundlagen
Abbildung 2.3: Darstellungen Wahrscheinlichkeitsverteilung im Anfangszustand und des Vorfaktors K(x)
¸
W (x)
1
(2.13)
∇K(x) − K(x)∇W (x) e− ǫ
ǫ
·
1
∆ρ0 (x) = ∆K(x) − (∇K(x)∇W (x) + K(x)∆W (x))
(2.14)
ǫ
µ
¶
¸
W (x)
1
1
∇W (x) e− ǫ
− ∇K(x) − K(x)∇W (x)
ǫ
ǫ
·
1
= ∆K(x) − (2∇K(x)∇W (x) + K(x)∆W (x))
ǫ
¸
W (x)
1
2
− 2 ∇K(x)(∇W (x)) e− ǫ
ǫ
¸
·
W (x)
1
∇(ρ0 (x)u(x)) = u(x) · ∇K(x) + K(x)∇u(x) − K(x)u(x) · ∇W (x) e− ǫ (2.15)
ǫ
∇ρ0 (x) =
6
·
2.3 Bestimmung der mittleren ersten Austrittszeit (MFPT)
Koeffizientenvergleich nullter und erster Ordnung in 1/ǫ ergeben folgende Gleichungen:
·
¸
1
∇K(x)(∇W (x) + u(x)) + K(x) ∆W (x) + ∇ · u(x) = 0
(2.16)
2
1
(∇W (x))2 + u(x) · ∇W (x) = 0
(2.17)
2
Im Fall, daß ein Potential vorhanden ist, gilt u = −∇V und 2.17 wird für W (x) = 2V (x)
erfüllt.
2.3 Bestimmung der mittleren ersten Austrittszeit (MFPT)
2.3.1 Betrachtung für ein Teilchen im Driftfeld
Um die mittlere erste Austrittszeit (MFPT) zu ermitteln, betrachten wir die Kontinuitätsgleichung für die Wahrscheinlichkeitserhaltung [10]:
∂
1 2
ρ (x, t) =
ǫ∇ ρ(x, t) − ∇ · (ρ(x, t) · u(x))
∂t
2
= −divj(x, t) .
(2.18)
(2.19)
Dabei sei der Ursprung des Driftfeldes wie zuvor ein Potential: u = −∇V . Aus 2.18 ergibt
sich für die Wahrscheinlichkeitsstromdichte j(x, t):
1
j(x, t) = − ǫ∇ρ(x, t) + ρ(x, t) · u(x)
2
.
(2.20)
Integrieren wir über das gesamte attraktive Gebiet des stabilen Fixpunktes, erhalten wir
weiter:
Z
Z
∂
divj(x, t)dv
(2.21)
ρ(x, t)dv
=
−
D
D ∂t
Z
Gauss 1
=
dl ǫ∇n ρ(x, t) + n̂ · u(x) ·ρ(x, t) ,
(2.22)
| {z }
2 ∂D
=0
wobei ∂D die Grenze des attraktiven Gebietes bezeichnet (siehe Abbildung 2.4).
Nennen wir wie zuvor die quasistationäre Lösung ρ0 mit ρ0 ∝ K(x) exp{− W ǫ(x) } (siehe
Ausdruck 2.11), so ergibt sich im quasistationären Fall, sprich für den Fall eines sehr kleinen
ǫ, für die MFPT τ :
R ǫ
∂ ρ dl
−1
R 2 n 0
τ −→ ∂D
für ǫ klein .
(2.23)
D ρ0 dv
Das heißt, daß die Inverse der MFPT τ −1 durch den normierten Wahrscheinlichkeitsfluß durch
die Grenzen ∂D der attraktiven Domäne des metastabilen Fixpunktes M gegeben ist (siehe
Abbildung 2.4).
Um die MFPT explizit ausrechnen zu können, bedient man sich der Methode der asymptotischen Näherung. Man kann für ein System, daß sich quasi im Gleichgewichtszustand befindet,
zu Recht annehmen, daß der größte Teil der Wahrscheinlichkeitsdichte für das betreffende
Teilchen durch eine Gauss-Verteilung um den metastabilen Punkt M gegeben ist.
7
2 Theoretische Grundlagen
Abbildung 2.4: Schematische Darstellung des Wahrscheinlichkeitsflusses
Da, wie bereits diskutiert, unter diesen Voraussetzungen die zeitliche Veränderung der
Wahrscheinlichkeitsdichte gering sein sollte, folgt für den Wahrscheinlichkeitsstrom in der
Nähe des Sattelpunktes:
∇j(x, t) ≈ 0 .
(2.24)
Setzt man in diese Gleichung unseren Ansatz für den quasistationären Zustand (2.11) ein, so
erhalten wir mit
W (x)
1
1
j(x) = − ǫ∇ρ0 (x) + ρ0 (x)u(x) = − ǫ∇K(x)e− ǫ
2
2
(2.25)
als Bestimmungsgleichung für den Vorfaktor K(x):
ǫ∆K(x) − ∇K(x) · ∇W (x) = 0
(2.26)
Entwickeln wir die Energie um den Sattelpunkt xs , so ergibt sich für x = xs + n
X µ ∂2V ¶
1
1
E(x) = W (x) ≈
W (xs ) +
ni nj
2
2
∂xi ∂xj xsi ,xsj
i,j
{z
}
|
Vij
=
1
W (xs ) +
2
X
α
λα ξα2
mit ξα = (x − xs ) · vα
,
(2.27)
wobei vα die Eigenvektoren der Matrix Vij bezeichnen und λα die zugehörigen Eigenwerte:
Vij vα = λα vα
8
mit
vα · vβ = δαβ
.
(2.28)
2.3 Bestimmung der mittleren ersten Austrittszeit (MFPT)
Der kleinste Eigenwert (λ0 < 0) gehört zu der longitudinalen Komponente des MPEP, die
übrigen Eigenwerte, welche größer oder gleich Null sind, gehören zu den transversalen Richtungen. Gehen wir in Gleichung 2.26 mit Hilfe obiger orthogonaler Transformation von der
Variablen x zu der Variablen n über, erhält man:
X ∂2
1X
∂
K(n)
=
λα ξα
K(n)
2
∂nα
ǫ α
∂nα
α
.
(2.29)
Nehmen wir an, daß sich das Teilchen bezüglich der transversalen Richtungen im Gleichgewicht befindet, so hatten wir im vorigen Kapitel bereits argumentieren können, daß der
Vorfaktor K(n) nur von der longitudinalen Komponente abhängen wird. Daher kann man
den Vorfaktor als eine Funktion von n0 , K(n) = f (n0 ), schreiben und man erhält als Bestimmungsgleichung für K weiter:
1
f ′′ (n0 ) = n0 λ0 f ′ (n0 )
ǫ
.
(2.30)
Wir werden uns in dieser Arbeit anstatt mit einem Teilchen mit Feldern, nämlich der
Magnetisierung in Abhängigkeit von x und t beschäftigen. Daher werden wir im folgenden
Kapitel kurz die Vorgehensweise für Felder darstellen, für die obige Rechnungen ganz analog
verlaufen.
2.3.2 Übergang zur Feldtheorie
Beim Übergang zur Feldtheorie ersetzen wir den Ortsvektor x des Teilchens durch das Feld
ϕ(x) und die Energie wird zu einem Energiefunktional abhängig von diesem Feld:
Z
£
¤
E(ϕ(x)) = dx (∇ϕ(x))2 + V (ϕ(x))
(2.31)
Anstatt des Sattelpunktes betrachten wir nun im folgenden die “Sattelfunktion“ ϕs (x), die
sich aus der Minimierung obigen Energiefunktionals ergibt:
δE
=0
δϕ
(2.32)
Eine Entwicklung zweiter Ordnung um den Sattelpunkt ϕs (x) für kleine Störungen η(x) der
Energie ergibt:
Z
1
1
E(ϕ) = W (ϕ) ≈
W (ϕs ) + d3 x η(x) Λ̂ η(x)
2
2
1
W (ϕs ) + (η, Λ̂η)
(2.33)
=
2
mit dem Operator Λ̂ = −∆ + V ′′ (ϕs (x)), wobei V (ϕs (x)) das Potential an der Stelle des
hyperbolischen Fixpunktes und die Schreibweise (.,.) das Skalarprodukt bezeichne. Die Eigenwertgleichung für Λ̂ schreiben wir als:
Λ̂ηi (x) = λi ηi (x)
mit
(ηi , ηj ) = δij
.
(2.34)
Das Spektrum eines solchen Operators wird im allgemeinen aus einem negativen Eigenwert
gebildet, der die instabile Richtung angibt, eventuell einigen Nullmoden, z.B. aufgrund von
9
2 Theoretische Grundlagen
Translationsinvarianz, und den restlichen Eigenwerten, die größer Null und den stabilen Moden zugeordnet sind. Ferner entwickeln wir ϕ(x) = ϕs (x) + η(x) nach den normalisierten
Eigenfunktionen von Λ̂:
X
η(x) =
ξn ηn (x) .
(2.35)
n
Dann ergibt sich für die Energie:
X
1
1
E(ϕ) = W (ϕ) ≈ W (ϕs ) +
λn ξn2
2
2
n
.
(2.36)
Setzen wir für die Wahrscheinlichkeitsverteilung wieder folgenden quasistationären Ausdruck
an
W (η)
P (η) = K(η)e− ǫ
,
(2.37)
dann ergibt sich für J(η) mit
∇ϕ J(η) ≈ 0 .
(2.38)
analog zu Gleichung 2.20:
1 dW (η)
1
P (η)
J(η) = − ǫ∇η P (η) −
2
2 dη
1 ∂K(η) − W (η)
= − ǫ
.
e ǫ
2 ∂η
(2.39)
Da es sich bei dem Übergang von den Funktionen ϕ(x) zu den Funktionen η(x) um eine
orthogonale Transformation handelt, wird gerechtfertigt, daß wir für die Gleichungen ϕ(x)
einfach durch η(x) ersetzen.
Aus Gleichung 2.38 und der Entwicklung für die Energie 2.33 folgt als Bestimmungsgleichung für den Vorfaktor der Wahrscheinlichkeitverteilung P (η) im quasistationären Zustand:
(η Λ̂
∂
1 ∂2
− ǫ 2 )K(η) = 0 .
∂η 2 ∂η
(2.40)
Nehmen wir an, daß die Lösung der Gleichung 2.40 in folgender Form geschrieben werden
kann
K(η) = f (u) mit u = (k, η) ,
(2.41)
so ergibt sich für Gleichung 2.40:
1
(η, Λ̂k)f ′ (u) − ǫ(k, k)f ′′ (u) = 0 .
2
(2.42)
Betrachten wir dazu die Eigenwertgleichung:
Λ̂k(x) = κk(x)
,
(2.43)
dann folgt für Gleichung 2.42
uf ′ (u) = γf ′′ (u)
mit γ =
mit der Lösung für f(u)
1
√
f (u) =
Z0 −2πγ
10
Z∞
u
ǫ
(k, k)
2κ
x2
dxe 2γ
.
(2.44)
(2.45)
2.3 Bestimmung der mittleren ersten Austrittszeit (MFPT)
Der Vorfaktor der Lösung wurde so gewählt, daß wir für u gegen −∞ den metastabilen
W (ϕ)
Zustand erhalten, sprich, daß die Lösung f(u) gegen Zo−1 und somit P (η) gegen Z0−1 e ǫ
geht.
Damit das obige Ergebnis sinnvoll ist, muß sowohl γ als auch damit κ kleiner Null sein, so
daß κ der kleinste Eigenwert aus Gleichung 2.43 sein muß, da der Operator Λ̂ nur den einen
negativen Eigenwert besitzt. Somit ist der Zustand k(x) als zugehöriger Grundzustand η0 (x)
bestimmt. Diese Tatsache läßt sich darauf zurückführen, daß allein diese Störung mit der Zeit
anwächst, alle anderen werden im Mittel mit der Zeit kleiner.
Für J(η) erhalten mit 2.39:
1 ∂K(η) − W (η)
J(η) = − ǫ
e ǫ
2 ∂η
1 ∂f ∂u − W (η)
.
= − ǫ
e ǫ
2 ∂u ∂η
(2.46)
Mit Gleichung 2.45 und 2.33 folgern wir:
P
1 2
1
ǫ
2
u
√
e 2γ e− ǫ (W (ϕs )+ n λn ξn ) η0 (x)
2Z0 −2πγ
r
ǫ|λ0 | − 1 P n6=0 λn ξn2 − W (ϕs )
1
ǫ
η0 (x) .
e ǫ
= −
e
2Z0
π
J(η) = −
(2.47)
Mit diesem Ausdruck, in dem einfach γ = ǫ/2λ0 aus 2.44 und u = (η(x), η0 (x)) = ξ0 aus
2.41 eingesetzt wurde, kann man nun die Aktivierungsrate, das heißt die Inverse der MFPT,
bestimmen:
Z
τ −1
=
−
D{η}divJ(η)
Vη
Z
Gauss
= −
D{η}(η0 , J(η)) .
(2.48)
Sη
Bei diesem Ausdruck nutzen wir aus, daß die stabile Richtung, gegeben durch die Funktion η0 (x), gerade die Normale zur Oberfläche der attraktiven Domäne ist. Wenn wir obigen
Ausdruck für J(η) einsetzen, folgt:
r
Z
Y 1 2
1
ǫ|λ0 | − W (ϕs )
−1
ǫ
e− ǫ λn ξn
D{η}
τ
=
e
2Z0
π
n6=0
r
Z Y
1
ǫ|λ0 | − W (ϕs )
1
2
ǫ
e
=
(2.49)
dξn e− ǫ λn ξn .
2Z0
π
n6=0
Dabei haben wir das Integral, das ursprünglich über ϕ(x) ging, nach Variablentransformation
nach η(x),
p jetzt in ein Integral über die einzelnen Moden ξn verwandelt Substituieren wir
ξn −→ ǫ/λn xn , erhalten wir das Produkt über einfache Gaussintegrale und somit einen
√
zusätzlichen Faktor π im Produkt. Wenn alle Eigenwerte ungleich Null sind, können wir
somit also schreiben:
r
r
1
ǫ|λ0 | − W (ϕs ) Y ǫπ
−1
ǫ
τ
=
e
.
(2.50)
2Z0
π
λn
n6=0
11
2 Theoretische Grundlagen
Einen Ausdruck für die Zustandssumme Z0 erhalten wir aus der Bedingung der Wahrscheinlichkeitserhaltung und einer Entwicklung um den metastabilen Fixpunkt:
Z
D{ϕ}P (ϕ) = 1 .
(2.51)
Im Gleichgewichtszustand gilt somit:
Z
P
1
2
Z0 =
D{η}e− ǫ (W (ϕm )+ n λn ξn )
r
W (ϕm ) Y
ǫ
−
ǫ
= e
λn
n
(2.52)
mit der gleichen Substitution wie in Gleichung 2.50 und der Annahme, daß es keine Nullmoden
gibt. Einsetzen in 2.50 liefert:
τ −1 = Γ0 e−
Γ0 =
=
∆W
ǫ
(2.53)
s
Y ¯¯ λm,n ¯¯
1
¯
¯
|λs,0 |
¯ λs,n ¯
2π
n
v¯
¯
u¯
u¯ det Λ̂m ¯¯
1
|λs,0 |t¯
¯ .
¯ det Λ̂s ¯
2π
(2.54)
Dabei bezeichnet ∆W = W (ϕs ) − W (ϕm ) die Energiedifferenz zwischen Sattelpunkt und
metastabilen Fixpunkt und Λ̂s den bereits eingeführten Operator −∆ + V ′′ (ϕs (x)), Λ̂s respektive den gleichen Operator allerdings mit der zweiten Ableitung des Potentials an dem
metastabilen Fixpunkt ϕm . DiepSummation verläuft in dieser Schreibweise über alle n, weshalb
wir einen zusätzlichen Faktor |λs,0 |/ǫπ erhalten, wobei der Ausdruck |λs,0 | den Betrag des
kleinsten Eigenwertes des Operators Λ̂s bezeichnet.
Im Fall, daß Nullmoden vorhanden sind, die z.B. aufgrund von Translationsinvarianz auftreten können, dürfen wir die Umformung von Gleichung 2.49 zum Ausdruck 2.50 nicht so einfach
durchführen. Für negative Eigenwerte und für Nullmoden divergiert das Integral in Ausdruck
2.49. Der einzelne negative Eigenwert bei der uns interessierenden Sattelpunktslösung wird
jedoch in der Integration ausgenommen, so daß hier kein Problem entsteht. Nullmoden können
und werden jedoch auftreten. Anschaulich bedeutet das Auftreten einer Nullmode, daß es sich
bei der Sattelpunktsfunktion nicht um einen einzelnen Sattelpunkt“ handelt, sondern um eine
”
ganze Familie von Sattelpunkten“ in Richtung des zugehörigen Eigenvektors zu Nullmode.
”
Statt eines Sattelpunktes kann man sich für eine einzelne Nullmode in der Energielandschaft
also so etwas wie eine Sattelkurve vorstellen, für zwei Nullmoden eine Sattelfläche und so fort.
Nennen wir im Falle einer einzelner Nullmode die zur Translationsinvarianz
zugehörige
R
R
Variable x0 , so läßt sich die Integration über die Nullmode dξ1 in ein Integral über dx0
umformen. Die dazu benötigte Jacobideterminante erhält man in erster Näherung aus [14, 15]:
ϕs (x, x0 + dx0 ) − ϕs (x, x0 ) =
∂ϕs (x, x0 )
dx0 = η1 dξ1
∂x0
.
(2.55)
Daraus folgt für das Integral über die Nullmode, wenn wir schreiben y(x) = ∂ϕs (x, x0 )/∂x0 :
Z
Z
1
||y(x)||
dξ0 = dx0
= L(y(x), y(x)) 2 ,
(2.56)
||η1 (x)||
12
2.3 Bestimmung der mittleren ersten Austrittszeit (MFPT)
R
wobei L = dx0 die Länge der Kurve abhängig von der Probengeometrie bezeichnet. Daß
obiger Ausdruck exakt ist, kann gezeigt werden, indem man die Nullmodenintegration explizit
ausführt. Entwickeln wir dazu die Funktion ϕ(x) um die Sattelpunktslösung
ϕ(x) = ϕs (x − x′ ) +
X
n
ξn (x′ )ηn (x − x′ )
.
(2.57)
Skalarprodukt mit ηn (x − x′ ) auf beiden Seiten ergibt für ξn (x′ ):
Z
′
ξn (x ) =
dx(ϕ(x) − ϕs (x − x′ ))ηn (x − x′ )
Z
=
dx(ϕ(x + x′ ) − ϕs (x))ηn (x) .
(2.58)
Um das Integral über die Nullmode in ein Integral über die Translationsgröße x′ zu verwandeln, schreiben wir
Z
Z
Z
′
dξ1 (x0 ) →
dx
dξ1 (x′ )δ(x′ − x0 )
¯
¯
Z
Z
¯
¯
′
′
′ ¯ ∂ξ1 ¯
=
dx
dξ1 (x )δ(ξ1 (x )) ¯ ′ ¯
,
(2.59)
∂x x′ =x0
wobei x0 die Nullstelle der Funktion ξ1 (x′ ) bezeichne. Die dazugehörige Eigenfunktion ist
η1 (x) mit
"Z
¶ #1
µ
1 ∂ϕs
∂ϕs 2 2
.
(2.60)
η1 (x) =
mit N =
dx
N ∂x′
∂x′
Für die Funktionaldeterminante der obigen Integraltransformation erhalten wir mit obigen
Ausdrücken 2.57 und 2.58:
¯
µ
¶¯
Z
1
∂ϕs ¯¯
∂
∂ξ1 ¯¯
′
=
dx{ϕ(x + x ) − ϕs (x)} ′ ¯
∂x′ ¯x′ =x0
N ∂x′
∂x
x′ =x0
µZ
¶¯
2
¯
∂ ϕs
1
PI
dxϕ(x + x′ ) ′2 ¯¯
= −
N
∂x
x′ =x0
!¯
ÃZ
µZ
¶¯
¯
X
¯
∂
¯
′
= −
dxϕs (x)η1 (x) ¯¯
−
dx
ξn (x )ηn (x) ′ η1 (x) ¯
¯ ′
∂x
x′ =x0
n
x =x0
Ã
!¯
Z
Z
¯
X
∂
PI
¯
= N |x′ =x0 dxη1 (x)η1 (x) −
dx
ξn (x′ )ηn (x) ′ η1 (x) ¯
¯ ′
∂x
n
x =x0
¶
µ
X
∂
,
(2.61)
η1
= N |x′ =x0 −
ξn ηn ,
∂x0
n
wobei PI für Partielle Integration steht. Insgesamt erhalten wir als für Ausdruck 2.59:
Z
¯
¯
¯
¯
dξ1
dx′ ¯¯ ′ ¯¯
dx
=L
x′ =x0
"µ
∂ϕs ∂ϕs
,
∂x0 ∂x0
¶1
2
−
X
n
¶#
µ
∂
η1
ξn ηn ,
∂x0
.
(2.62)
13
2 Theoretische Grundlagen
Mit der Integration über die übrigen Moden (siehe Ausdruck 2.49) erhalten wir also für den
Korrekturterm in 2.59:
¯
¯
µ
¶1 Z Y
Z
Z Y
¯
¯
1
∂ϕs ∂ϕs 2
2
2
− 1ǫ λn ξn
′ ¯ dξ1 ¯
dξn e− ǫ λn ξn
dξn e
dx ¯ ′ ¯
(2.63)
,
= L
dx x′ =x0
∂x0 ∂x0
n6=0,1
n6=0,1
¶
Z Y
X µ
∂
2
− 1ǫ λn ξn
dξn e
−
ξn ηn ,
η1
∂x0
n
n6=0,1
|
{z
}
=0
Damit ist gezeigt, daß obige Abschätzung 2.56 für die Nullmodenintegration exakt ist. Anzumerken ist jedoch, daß im Fall höherdimensionaler Nullmodenmannigfaltigkeiten die Entwicklung der Funktionaldeterminante zusätzliche Ausdrücke hervorbringt, die ξn2 enthalten. Somit
wird obiger Korrekturterm für diesen Fall endlich und nur zu vernachlässigen sein, wenn die
Ankopplung an die höheren Moden schwach ist.
Insgesamt erhalten wir für die MFPT im Falle, daß wir eine eindimensionale Translationsinvarianz für die Sattelpunktslösung haben, folgenden Ausdruck:
v¯
¯
"Z
µ
¶2 # 21 u
u¯¯ det Λ̂m ¯¯ ∆W
L
∂ϕs (x, x0 )
−1
t
,
(2.64)
τ =
dx
¯e− ǫ
¯
3 1 |λs,0 |
′
¯
∂x
o
det Λ̂s ¯
2π 2 ǫ 2
wobei det′ die regularisierte Determinante ohne die Nullmode bezeichne.
14
3 Anwendung auf ausgedehnte
ferromagnetische Teilchen
Kleine sich nur über eine Domäne erstreckende Teilchen weisen typischerweise zwei äquivalente
Gleichgewichtskonfigurationen auf, welche durch eine anisotrope Barriere getrennt sind. Fügt
man ein externes Feld zur Magnetisierung hinzu, wird die Höhe dieser Barriere verkleinert
und, falls das Teilchen klein genug ist, führen thermische Fluktuationen schließlich zu einer
Magnetisierungsumkehr. Eine vollständige Theorie für diesen Effekt wurde von Néel [19],
und Brown [7] für uniforme magnetische Konfigurationen entwickelt. Bei Geometrien, die
komplexer sind als die von Néel und Brown behandelten sphärischen Objekte, muß man
allerdings davon ausgehen, daß die Magnetisierung ortsabhängig wird und somit der KramersVorfaktor keine konstante Größe mehr ist.
3.1 Energieanteile
In der sogenannten Theorie des Mikromagnetismus, die 1935 in den Arbeiten von Landau und
Lifshitz ihren Ursprung findet [13], wird die Theorie zu ferromagnetischen Teilchen im äußeren
Magnetfeld auf klassische Art und Weise formuliert. Insofern ist der Name dieser Theorie
etwas verwirrend, da es sich in Wirklichkeit um eine Makroskopische Sichtweise handelt, die
angenommen wird. Historisch versucht die Namensgebung, die ursprünglich von W.F.Brown
[7] stammt, den Unterschied zu der Theorie von Domänen zu betonen, da einzelne Spins
betrachtet werden, um das Problem dann in einen makroskopischen Rahmen zu überführen.
In dieser klassischen Betrachtungsweise wird das Material und die zugehörigen Größen wie
die Magnetisierung kontinuierlich behandelt und quantenmechanische Spins werden durch
klassische Vektoren repräsentiert. Die wesentlichen Energieterme zur Betrachtung eines ferromagnetischen Systems sind die magnetostatische Energie (ǫM ), Anisotropieterme (ǫa ), der
Einfluß des äußeren Feldes (ǫH ), sowie die quantenmechanische Austauschenergie (ǫe ).
Die gesamte Energie für die Magnetisierung M(r) ist also gegeben durch [3]:
ǫ = ǫe + ǫa + ǫM + ǫH
(3.1)
¾
Z ½ h
Z
i
1
A (∇Mx )2 + (∇My )2 + (∇Mz )2 + wa − M · H′ − M · Ha dτ + ws dS
=
2
wobei Ha das hinzugefügte äußere Feld, H′ das magnetostatische Feld und wa , ws Anisotropieterme bezeichnen. Ein Term, der in dieser Näherung nicht betrachtet wird, ist die Magnetostriktion. Wenn ein Ferromagnet magnetisiert wird, dann kann es zu Volumenänderungen
aufgrund von Verschiebung und oder Drehung der Bloch-Wände kommen. Dieser Effekt kann
sowohl zu Volumenvergrößerung als auch -verkleinerung führen, so daß beispielsweise die Definition der Magnetisierung als Dipolmoment pro Volumenelement in diesem Zusammenhang
keinen Sinn mehr macht. Glücklicherweise ist dieser Effekt jedoch klein und kann oftmals im
Wesentlichen mit den Anisotropietermen zusammen ausgedrückt werden [3], so daß wir ihn
im folgenden vernachlässigen werden.
15
3 Anwendung auf ausgedehnte ferromagnetische Teilchen
Die Austauschenergie läßt sich herleiten, indem man als Ausgangspunkt den Ausdruck für
die klassische“ Austauschenergie betrachtet:
”
X
Si Sj
ǫe = −J
N achbarn
= −JS 2
X
cos Φi,j
,
(3.2)
N achbarn
wobei Φ den Winkel zwischen zwei Spins S bezeichnen soll. Wir dürfen annehmen, daß diese
Winkel klein sind, da die Kräfte zwischen den Spins kurzreichweitig aber sehr stark sind.
Entwickeln wir den Cosinus für kleine Winkel erhalten wir also:
X
1
ǫe = JS 2
Φ2i,j ,
(3.3)
2
N achbarn
wobei noch anzumerken ist, daß wir im obigen Ausdruck den konstanten Wert der Energie für
parallel ausgerichtete Spins abziehen. Dies ist insofern legitim, daß wir einfach einen neuen
Energiebezugspunkt wählen.
Für kleine Winkel läßt sich der Term als erste Ordnung einer Taylorreihe approximieren:
|Φi,j | ≈ |mi − mj | ≈ |(si · ∇)m|
,
(3.4)
wobei si die Ortsvektoren vom Gitterpunkt i zum Gitterpunkt j bezeichnen. Der Vektor
m bezeichnet hier den Einheitsvektor antiparallel zum Spin, ist aber nach Übergang zur
kontinuierlichen Beschreibung äquivalent zu dem oben definierten Vektor der Magnetisierung
m(r). Damit folgt also für die Austauschenergie:
XX
1
ǫe = JS 2
|(si · ∇)m|2
2
s
i
.
(3.5)
i
Verwandlung der Summation in ein Integral über den ganzen Körper, gibt:
Z
ǫe =
we dτ
h
i
we = A (∇mx )2 + (∇my )2 + (∇mz )2
(3.6)
(3.7)
mit der Austauschkonstanten A. Somit haben wir also einen klassischen Ausdruck hergeleitet
für die Austauschenergie kontinuierlicher Materialien. Dieser Ausdruck ist ein sehr hilfreiches
Werkzeug, um Probleme zu lösen, in welchen die Richtung eines betragmäßig konstanten
Magnetisierungsvektors von Gitterpunkt zu Gitterpunkt variiert. Wichtig zu bemerken ist
jedoch, daß diese Näherung natürlich nur in solchen Fällen Stand hält, in denen alle charakteristischen Längenskalen sehr viel größer sind als die einer Einheitszelle und kleiner als die
einer Domäne.
Für die magnetostatischen Beiträge, welche teilweise nichtlokal sind, wird das Variationsprinzip schlecht handhabbar und man muß numerische Verfahren anwenden, um das Problem
zu lösen. Für gewisse Geometrien kann man jedoch Abschätzungen machen für diesen Term,
wie z.B. für dünne Filme [12].
Der Ausdruck für die gesamte freie Energie 3.1 hängt bei vorgegebenen äußeren Feld und
Materialparametern nur von der ortsabhängigen Magnetisierung ab. Eine geeignete Minimierung der Energie liefert also die Magnetisierungsverteilung in der Probe.
16
3.2 Dynamik des Systems
3.2 Dynamik des Systems
Die Dynamik der Magnetisierung folgt den dissipativen Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichungen
[3]:
£
¤
αγ
(1 + α2 )∂t M = −γM × Heff −
M × M × Heff
,
(3.8)
M0
wobei γ > 0 das gyromagnetische Verhältnis und α eine dimensionslose Dämpfungskonstante
bezeichnet. Das effektive Feld Heff läßt sich herleiten aus Heff = −δǫ/δM.
Die Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichungen sind nichts anderes als eine Umformung der Gilbert Gleichung [9]. Der erste Term auf der rechten Seite beschreibt die Präzession des Magnetisierungsvektors im effektiven Feld, der zweite ist ein Dissipationsterm, der die Relaxation der
Magnetisierung hin zum effektiven Feld berücksichtigt. Dieser taucht aufgrund der endlichen
Temperatur auf, die wir in Form eines Wärmebades beschreiben wollen.
Zur Herleitung der Gleichung 3.8 gehen wir wieder in die quantenmechanische Beschreibung
der Spins zurück [11]. Für die Zeitabhängigkeit des Erwartungswertes eines Spins Ŝ in einem
hamiltonischen System mit Hamilton Operator Ĥ gilt folgende Gleichung:
1
∂ Ŝ
∂
< Ŝ >=
< [Ŝ, Ĥ] > + <
>
∂t
ih̄
| ∂t
{z }
.
(3.9)
=0
Entwickeln wir den Kommutator von Ŝ mit Ĥ nach Potenzen von h̄, so erhalten wir:
[Ŝ, Ĥ] = −ih̄(Ŝ ×
∂ Ĥ
∂ Ŝ
) + O(h2 )
.
(3.10)
Und im klassischen Limes mit h̄ → 0 und der Ersetzung der Erwartungswerte durch die
Meßgrößen nach Ehrenfest folgt:
∂
∂E
M = γ(M ×
)
∂t
∂M
= −γ(M × H) ,
(3.11)
(3.12)
wobei berücksichtigt wurde, daß der Spin im halbklassischen Vektormodell ein magnetisches
Moment antiparallel zum Spinvektor hervorruft: M = −γS mit γ > 0.
Abbildung 3.1: Darstellung von Präzession und Relaxation des Spins im Magnetfeld
17
3 Anwendung auf ausgedehnte ferromagnetische Teilchen
In diesem Ausdruck fehlt jedoch noch die mögliche Relaxation der Magnetisierung aufgrund
von Reibung. Erweitern wir obigen Ausdruck um einen phänomenologischen Reibungsterm
mit dem Reibungskoeffizienten α′ > 0, erhalten wir das Ergebnis von Gilbert:
∂
α′ ∂M
M = −γM × (H +
) .
∂t
γ ∂t
(3.13)
Dieses läßt sich leicht in die äquivalente Formulierung 3.8 überführen. Dazu bilden wir das
Kreuzprodukt von M mit Gleichung 3.13 und lösen selbige nach M × ∂M
∂t auf:
∂
∂M
M = +γM × (M × H) + α′ M02
∂t
∂t
γ
1 ∂M
∂
,
M × M = − ′ (M × H) − ′
∂t
α
α ∂t
M×
(3.14)
(3.15)
wobei M0 die Sättigungsmagnetisierung bezeichnet mit |M| = M0 . Gleichsetzen der beiden
Ausdrücke auf der rechten Seite der Gleichungen mit α = α′ M0 liefert uns den gewünschten
Ausdruck 3.8, welchen wir in unseren Rechnungen verwenden.
3.3 Bewegungsgleichungen und ihre Lösung
Im folgenden werden wir uns einigen Ergebnisse Brauns widmen, der sich in seiner Arbeit
[5] erstmals mit ausgedehnten ferromagnetischen Teilchen und deren Magnetisierungsumkehr
beschäftigte. Um den Ausdruck der Energie 3.1 analytisch handhaben zu können, vernachlässigt er zunächst den nichtlokalen magnetostatischen Term und setzt die Energie für M =
M(x, t) mit konstantem Betrag |M| = M0 an als:
ǫ=
Z
L
2
−L
2
dx
½
¾
i K
A h
Ke 2
h
2
2
2
2
(∂x Mx ) + (∂x My ) + (∂x Mz ) + 2 Mz − 2 Mx − Hext Mx . (3.16)
M02
M0
M0
Bei dieser Darstellung wurde die x-Richtung in Richtung der langen Seite des Stabes
gewählt, so daß im Austauschenergieterm nur die Abweichung von der x-Richtung eine Rolle
spielt. Bei dem zweiten und dritten Term handelt es sich um Anisotropieterme, einen in der
Vorzugsrichtung x und einen weiteren in z-Richtung der die Rotationssymmetrie des Problemes bricht, der letzte Term ist der Zeeman Term, der die Wechselwirkung mit dem äußeren
Feld beschreibt.
Unter Verwendung von dimensionlosen Einheiten
p
p
[ǫ] = 2 AKe
[t] = M0 (1 + α2 )/2γKe
(3.17)
[x] = A/Ke
erhalten wir für 3.16:
ǫ=
1
2
Z
L
2
−L
2
dx
nh
o
i
(∂xMx )2 + (∂xMy )2 + (∂xMz )2 + Q−1 Mz2 − Mx2 − 2hMx
(3.18)
mit Q−1 = Ke /Kh und h = Hext M0 /2Ke . Weiter ergibt sich für die Bewegungsgleichung 3.8:
£
¤
∂t M = −M × Heff − αM × M × Heff
.
(3.19)
18
3.4 Berechnung des effektiven Feldes
Abbildung 3.2: Stabgeometrie in der Arbeit von Braun [5]
3.4 Berechnung des effektiven Feldes
Die Komponenten des effektiven Feldes ergeben sich zu:
¶
µ
δǫ
=
−
δM x
µ
¶
δǫ
=
−
=
δM y
µ
¶
δǫ
=
−
=
δM z
¡
¢
Heff x =
¡
Heff
¡
Heff
¢
y
¢
z
∂ 2 Mx
+ Mx + h
∂x2
(3.20)
∂ 2 My
∂x2
(3.21)
∂ 2 Mz
− Q−1 Mz
∂x2
.
(3.22)
Da der Betrag des Vektors M konstant sein soll, ist es sinnvoll Polarkoordinaten einzuführen
mit M = M0 (sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, cos ϑ). In dieser Schreibweise erhalten wir dann weiter:
¡
¢
Heff x = ϑ′′ cos ϑ cos ϕ − ϕ′′ sin ϑ sin ϕ − (ϑ′2 + ϕ′2 ) sin ϑ cos ϕ
¡
Heff
¡
Heff
−2ϑ′ ϕ′ cos ϑ sin ϕ + sin ϑ cos ϕ + h
¢
y
¢
′′
′′
′2
= ϑ cos ϑ cos ϕ + ϕ sin ϑ sin ϕ − (ϑ , ϕ ) sin ϑ sin ϕ
+2ϑ′ ϕ′ cos ϑ cos ϕ
z
(3.23)
′2
′′
′ 2
(3.24)
−1
= −ϑ sin ϑ − (ϑ ) cos ϑ − Q
cos ϑ .
(3.25)
3.5 Berechnung der Bewegungsgleichungen
x-Komponente:
£
¤
∂M
= −M × Heff − αM × M × Heff
∂t
Mz Hy − My Hz = α [Mz (Mz Hx − Mx Hz ) − My (Mx Hy − My Hx )]
(3.26)
(3.27)
19
3 Anwendung auf ausgedehnte ferromagnetische Teilchen
ϑ̇ cos ϑ cos ϕ − ϕ̇ sin ϑ sin ϕ =
ϑ′′ sin ϕ + ϕ′′ sin ϑ cos ϑ cos ϕ − ϕ′2 sin ϑ cos ϑ sin ϕ
+2ϑ′ ϕ′ cos2 ϑ cos ϕ + Q−1 sin ϑ cos ϑ sin ϕ
+α[ϑ′′ cos ϑ cos ϕ − ϕ′′ sin ϑ sin ϕ − ϕ′2 sin ϑ cos2 ϑ cos ϕ
−2ϑ′ ϕ′ cos ϑ sin ϕ + sin ϑ cos2 ϑ cos ϕ + sin3 ϑ sin2 ϕ cos ϕ
+h(cos2 ϑ + sin2 ϑ sin2 ϕ) + Q−1 cos2 ϑ sin ϑ cos ϕ]
(3.28)
y-Komponente:
Mx Hz − Mz Hx = α [Mx (Mx Hy − My Hx ) − Mz (My Hz − Mz Hy )]
(3.29)
ϑ̇ cos ϑ sin ϕ + ϕ̇ sin ϑ cos ϕ =
−ϑ′′ cos ϕ + ϕ′′ sin ϑ cos ϑ sin ϕ + ϕ′2 sin ϑ cos ϑ cos ϕ
+2ϑ′ ϕ′ cos2 ϑ sin ϕ − sin ϑ cos ϑ cos ϕ
−h cos ϑ − Q−1 sin ϑ cos ϑ cos ϕ
+α[ϑ′′ cos ϑ sin ϕ + ϕ′′ sin ϑ cos ϕ − ϕ′2 cos2 ϑ sin ϑ sin ϕ
+2ϑ′ ϕ′ cos ϑ cos ϕ − sin3 ϑ cos2 ϕ sin ϕ
−h sin2 ϑ sin ϕ cos ϕ) + Q−1 cos2 ϑ sin ϑ sin ϕ]
(3.30)
z-Komponente:
My Hx − Mx Hy = α [My (My Hz − Mz Hy ) − Mx (Mz Hx − Mx Hz )]
(3.31)
ϑ̇ = ϕ′′ sin ϑ + 2ϑ′ ϕ′ cos ϑ − sin ϑ sin ϕ cos ϕ − h sin ϕ
+α[ϑ′′ − ϕ′2 sin ϑ cos ϑ + sin ϑ cos ϑ cos2 ϕ + h cos ϑ cos ϕ)
+Q−1 sin ϑ cos ϑ]
(3.32)
Multiplizieren wir die x-Komponente mit sin ϕ und die y-Komponente mit cos ϕ, erhalten
wir nach Addition folgende vereinfachte Bewegungsgleichung:
ϕ̇ sin ϑ = −ϑ′′ + ϕ′2 sin ϑ cos ϑ − sin ϑ cos ϑ cos2 ϕ − Q−1 sin ϑ cos ϑ − h cos ϑ cos ϕ
+α[ϕ′′ sin ϑ + 2ϑ′ ϕ′ cos ϑ − sin ϑ sin ϕ cos ϕ − h sin ϕ] .
(3.33)
3.6 Brauns Lösung für eine Stabgeometrie
Betrachten wir nun den stationären Fall (ϑ̇ = 0 ∧ ϕ̇ = 0) und setzen ϑ = π2 , so daß die
Lösungen aufgrund der Symmetriebrechung in der z-Richtung in der x-y Ebene liegen, so
erhalten wir als Bestimmungsgleichung für den Winkel ϕ für die stationären Lösungen:
ϕ′′ = sin ϕ cos ϕ + h sin ϕ .
20
(3.34)
3.6 Brauns Lösung für eine Stabgeometrie
Als Lösungen erhalten wir also den stabilen Zustand mit ϕ = 0 und ϑ = π2 in Richtung
des äußeren Magnetfeldes und den metastabilen Zustand mit ϕ = π und ϑ = π2 , genau
entgegengesetzt dem Magnetfeld. Als weitere stationäre Lösung für den hyperbolischen Fixpunkt zwischen diesen beiden stabilen Zuständen erhält Braun folgende inhomogene Lösung:
Ã
¡
¢!
0
cosh x−x
δ
ϕs = 2 arctan
(3.35)
sinh(R)
mit h = sech2 (R) und δ = coth(R).
Im folgenden zeigen wir kurz, daß dies eine Lösung der Gleichung 3.34 ist:
1


  21 − 2
Ã
³
´ !2 2
x−x0
cosh


δ
1 −
 

 
sinh(R)

 

 

´
³
sin ϕs = 1 +
 
x−x0
 
cosh2

δ
 
4

2

 
sinh
R


=
=
cos ϕs =
=
¢¢2 !− 21
¡
¡
0
sinh2 R − cosh2 x−x
δ
¢
¡
1+
2
0
sinh
(R)
4 cosh2 x−x
δ
¡ x−x ¢
2 cosh δ 0 sinh(R)
¢
¡
0
sinh2 (R) + cosh2 x−x
δ
¢− 1
¡
1 − sin2 ϕs 2
¡
¢
0
sinh2 (R) − cosh2 x−x
δ
¡
¢
0
sinh2 (R) + cosh2 x−x
δ
Ã
(3.36)
(3.37)
cos ϕs sin ϕs + h sin ϕs
µ
µ
¶
·
¶
¶¸
µ
x − x0
2
2
2 x − x0
2
2 x − x0
sinh(R) sinh (R) − cosh
+ h(sinh R + cosh
· cosh
=
HN
δ
δ
δ


µ
µ
¶
µ
¶
¶


x − x0
2
1
cosh2 (R)


2 x − x0
2
=
cosh
cosh
sinh(R)
cosh
(R)
+
+
1
−


2
2
2
δ HN
δ
δ


sinh (R) sinh (R)
{z
}
|
=−1
µ
¶
·
¶
¸
µ
x − x0
2
2
2 x − x0
·
cosh
sinh(R)
sinh
(R)
−
sinh
+
1
(3.38)
=
δ 2 HN
δ
δ
¢¢− 1
¡
¡
0
2
mit HN= sinh2 (R) + cosh2 x−x
.
δ
Für die erste und zweite Ableitung ergibt sich:
¢
¡
0
sinh(R)
sinh x−x
2
∂ϕs
δ
¢
¡
=
·
2
0
∂x
δ sinh (R) + cosh2 x−x
µ
µ
µ
¶ δ
·
¶
¶¸
∂ 2 ϕs
2
x − x0
2
2 x − x0
2 x − x0
=
· cosh
sinh(R) sinh (R) + cosh
− 2 sinh
∂x2
δ 2 HN
δ
δ
δ
µ
¶
·
µ
¶
¸
x − x0
x
−
x
2
0
· cosh
sinh(R) · sinh2 (R) − sinh2
+1
.
(3.39)
=
δ 2 HN
δ
δ
21
3 Anwendung auf ausgedehnte ferromagnetische Teilchen
Damit gilt (3.38) gleich (3.39) und Brauns angegebene Lösung ist tatsächlich eine Lösung der
Gleichung (3.34).
Abbildung 3.3: Darstellung der Ableitung von ϕs nach x für ein kleines äußeres Feld
Durch Brauns Lösung werden zwei Kinks mit entgegengesetzter Orientierung der Dicke
δ und dem Abstand Rδ beschrieben (siehe Abbildung 3.3). Betrachten wir den Fall kleiner
Magnetfelder, so wird R groß (sech2 (R) = h) und δ geht gegen 1 (δ = coth(R)), so daß wir
für Brauns Lösung schreiben können:
¡
¢
ϕs = 2 arctan ex−R + e−x−R
.
(3.40)
Für ein verschwindendes äußeres Magnetfeld erhalten wir zwei π-domain walls im Abstand
2R. Mit zunehmender Stärke des Magnetfeldes rücken die Kinks immer weiter zusammen
und werden gleichzeitig immer breiter. Für den Grenzwert, in dem die Energie des äußeren
Magnetfeldes vergleichbar wird mit derjenigen des Anisotropietermes (h → 1), erhalten wir
die homogene Lösung ϕ = arccos(−h) (Siehe dazu Abbildung 3.4 und 3.5).
Wie Braun mit Hilfe einer Eigenwertdiskussion bezüglich kleinen Störungen zeigen kann,
ist dies nicht irgendeine Lösung sondern die gesuchte Sattelpunktslösung, mit der man die
wichtigen Größen zur Berechnung der Rate der Magnetisierungsumkehr erhalten kann. Das
ist zum einen der Energieunterschied zwischen dem metastabilen Fixpunkt und dem Sattelpunkt, zum anderen der Vorfaktor, der wie im Theorieteil beschrieben berechnet wird. Anstatt
auf diese Rechnungen weiter einzugehen, werden wir kurz die Problematik aufzeigen, welche
durch Brauns Ansatz entstehen. Wie er selbst bemerkt [5] und auch in einer Arbeit Aharonis
angemerkt [2], kann sowohl die Vernachlässigung des nichtlokalen magnetostatischen Termes,
als auch der endlichen Länge des Stabes zu veränderten Ergebnissen führen. Die Sensibilität
des Systems aufgrund von Nukleation an den Endkappen wurde numerisch beispielsweise in
einer Arbeit von Gregory Brown et al. gezeigt [6]. Im folgenden Kapitel werden wir zeigen, wie
wir bei der Wahl einer anderen einfacheren Geometrie diese Problematiken umgehen können.
22
3.6 Brauns Lösung für eine Stabgeometrie
Abbildung 3.4: Darstellung der Lösung in Abhängigkeit von x für verschiedene Werte von h
23
3 Anwendung auf ausgedehnte ferromagnetische Teilchen
Abbildung 3.5: Darstellung der Lösung in Abhängigkeit von x und h
24
4 Anwendung auf Kreisscheibengeometrie
4.1 Neue Geometrie, alte Bewegungsgleichungen
Wählen wir anstatt eines langen Stabes einen flachen Ring [17] für unsere Betrachtungen, so
kann die Problematik der Endkappennukleation umgangen werden. Für einen flachen Ring
gibt es, wie in diesem Kapitel gezeigen wird, aufgrund der makroskopischen Geometrieanisotropie zwei stabile Magnetisierungseinstellungen, nämlich radial um den Mittelpunkt in beliebiger Richtung. Verläuft in der Mitte des Ringes ein stromführender Draht senkrecht zur
Kreisscheibenebene, erhält man ein radiales äußeres Feld. Wir gehen dabei davon aus, daß
die Dicke des Ringes D = R2 − R1 klein sei gegenüber der Radii, so die Änderung des
Magnetfeldes mit r zu vernachlässigen ist.
Abbildung 4.1: Darstellung der Geometrie
Für unsere Energiedichte erhalten wir folglich den Ausdruck:
Z
Z
3
2
d3 xHa · M ,
ǫ = A d x|(∇M)| + Emag −
Ω
(4.1)
Ω
wobei Ω den Bereich des Ferromagneten und A die Austauschkonstante für die Wechselwirkung der Spins bezeichne. In dieser Schreibweise gibt der erste Term die Austauschenergie
an, der zweite die magnetostatische Energie und der dritte den Zeeman-Term. Kristalline
25
4 Anwendung auf Kreisscheibengeometrie
Anisotropien werden in diesem Ausdruck nicht berücksichtigt, die magnetostatische Energie
enthält jedoch einen Anisotropieterm, in dem mögliche kristalline Anisotropien berücksichtigt
werden können.
Wie wir bereits zuvor argumentiert haben, werden Berechnungen unter Mitnahme des nichtlokalen magnetostatischen Termes äußerst komplex. Wir werden im folgenden erklären, warum
wir trotz Vernachlässigung dieses Termes, qualitativ richtige Aussagen erhalten sollten bei der
analytischen Betrachtung des Systems.
Schätzen wir die magnetostatische Energie mit Hilfe der Ergebnisse von Kohn und Slastikov
[12] für dünne Filme ab, so erhalten wir mit der normalisierten Koordinate X = x/R, und
der Magnetisierung m = M/Ms :
Z
Z
Z
Emag
1 2
1 2
1
2
2
2
dl(m · er ) + k
d2 X|∇ · m|2 − 1 , (4.2)
= k d Xmz +
k |logk|
H 2
Ms2 R3
2 ω
4π
2
∂ω
ω
wobei ω die Kreisscheibenfläche und ∂ω deren Rand bezeichne und | ∗ | − 21 die quadratische
H
Sobolev-Norm symbolisiere. Diese Gleichung ist nur gültig [12], wenn das Verhältnis
der Dicke
√
zum Radius k = D/R, sowie auch die normalisierte Austauschlänge l = A/R klein sind
und zusätzlich gilt: l2 ∝ k|logk|. Das heißt wir müssen für diese Abschätzung zusätzliche
Bedingungen an unsere Geometrie stellen. Experimentell sind heutzutage Verhältnisse von
k = 10−2 realistisch. Für diesen Wert ist der erste (lokale) Term in Gleichung 4.2 um 2
Ordnungen größer als die anderen Terme, weshalb die Bewegung in die x-y Ebene gezwungen
wird (mz = 0). Diesen Term berücksichtigen wir, indem wir im folgenden einfach zu dem 2dimensionalen Problem mit dem Magnetisierungsvektor in der Kreisscheibenebene übergehen
und Fluktuationen aus der Ebene heraus vernachlässigen. Der zweite Term gibt uns unseren
lokalen Anisotropieterm, der die Magnetisierung auf die Umlaufbahn der Kreisscheibe zwingt.
Der letzte Term ist der schlecht zu handhabende nichtlokale Term, den wir vernachlässigen
wollen. Dieser ist in obiger Abschätzung etwa eine Größenordnung kleiner als die anderen
Terme, trägt also nicht unwesentlich zur Energie bei, weshalb unsere Ergebnisse nur qualitative Vorraussagen zulassen. Für die quantitative Behandlung zur Berechnung der Umkehrrate,
ist es notwendig diesen Term mitzunehmen und numerische Methoden werden unabdingbar.
Für die Summe der beiden anderen Energieterme, Austauschenergie und Zeemanterm, erhalten wir:
·
¸
Z
Eex + Eh
1
2
2
2
= kl
d X (∇x m) −
Ha · m
.
(4.3)
Ms2 R3
Ms l 2
ω
Ersetzt man alle anderen Größen ebenso durch dimensionslose Größen, erhält man für die
Energiedichte:
"µ ¶
#
Z l
∂ϕ 2
1 2
ds
+ sin2 ϕ − 2h cos ϕ
,
(4.4)
ǫ=
2 −l
∂s
2
R2
) ≈ ∆R
wobei wir genähert haben log( R1
R . Die dimensionslose Größe ǫ ist gegeben durch
√ 2
2
2
ǫ = E/2Ms R ∆R ckl und die Integrationsvariable s ist die normalisierte Bogenlänge
√
√
s = Φ c, die Länge ist gegeben durch l = 2π c, das äußere Feld durch h = Ha /(2Ms l2 c)
und c ist schließlich gegeben durch c = 1/(2π)(k| log k|/l2 )(R/∆R) mit ∆R = R2 − R1 .
Bei der Wahl dieser Größen beziehen wir die Skala der Anisotropieenergie auf die Skala der
Austauschenergie. Das Verhältnis dieser Skalen findet sich in dem Skalierungsfaktor c wieder.
Der zweite Term liegt in der makroskopischen durch die gewählte Geometrie gegebene
Anisotropie des magnetostatischen Terms begründet (siehe Gleichung 4.2) und der letzte
26
4.1 Neue Geometrie, alte Bewegungsgleichungen
Abbildung 4.2: Darstellung des Potentials für verschiedene Werte von h
Term bezeichnet nichts weiter als den Zeeman-Term. Ist die dimensionslose Größe h kleiner
denn 1, sprich, überwiegt die Energie aufgrund der Anisotropie, so erhalten wir ein Doppelmuldenpotential, das jedoch verschwinded, wenn die Energie des externen Feldes vergleichbar
mit der des Anisotropietermes wird.
Der erste Term, der die Austauschenergie wiedergibt, läßt sich auf folgende Art und Weise
herleiten:
Schreiben wir M wieder in Polarkoordinaten und fordern, daß die Magnetisierung in der
x-y-Ebene liegen soll (siehe zu den Bezeichnungen Abbildung 4.1):




cos ϕ
sin ϑ cos ϕ
π
M = Ms  sin ϑ sin ϕ  = Ms  sin ϕ  für ϑ =
.
2
0
cos ϑ
Dann ergibt sich weiter für die Komponenten von M:
¯
¯
¯ Mr = Ms cos ϕ ¯
¯
¯
¯ Mφ = Ms sin ϕ ¯
µ
¯
¯
¯
¯
¶
¶ µ
Mr
·
Mφ
¯
Mx = Ms cos φ cos ϕ − Ms sin φ sin ϕ ¯¯
My = Ms sin φ cos ϕ + Ms cos φ sin ϕ ¯
Mx
My
¶
=
µ
.
cos φ − sin φ
sin φ
cos φ
Für den Ausdruck in der Energiedichte benötigen wir weiter den Nabla Operator in Polarkoordinaten:
1
∂
∂
+ eφ
.
(4.5)
∇ = er
∂r r ∂φ
27
4 Anwendung auf Kreisscheibengeometrie
Folglich ergibt sich für die Austauschenergiedichte ǫe :
1
R2
ǫe = log( )
2
R1
∂Mx
∂φ
∂My
∂φ
µ
∂Mx
∂φ
Z2π
dΦ
0
(µ
∂
Mx
∂φ
¶2
+
µ
∂
My
∂φ
¶2 )
(4.6)
∂Mφ
∂Mr
− cos φMφ − sin φ
∂φ
∂φ
∂Mφ
∂Mr
cos φMr + sin φ
− sin φMφ + cos φ
∂φ
∂φ
= − sin φMr + cos φ
(4.7)
=
(4.8)
¶2
+
µ
∂My
∂φ
¶2
µ
µ
¶
¶
∂Mφ 2
∂Mr 2
=
+
+ Mr2 + Mφ2
∂φ
∂φ
µ
¶
∂Mφ
∂Mr
+2 Mr
− Mφ
.
∂φ
∂φ
(4.9)
Bei der Berechnung des effektiven Feldes Hef f = −δǫ/δM spielen die Konstante Mr2 + Mφ2
∂
∂
Mφ − 2Mφ ∂φ
Mr keine Rolle. Betrachte dazu:
und der Folgeterm ǫz = 2Mr ∂φ
r - Komponente:
∂ ∂ǫz
∂ǫz
−
r
∂φ ∂( ∂M
∂M
r
∂φ )
= −2
φ - Komponente:
∂ ∂ǫz
∂ǫz
−
∂φ ∂( ∂Mφ ) ∂Mφ
= 2
∂φ
∂Mφ
∂φ
∂Mr
∂φ
(4.10)
.
(4.11)
Für das Kreuzprodukt aus Magnetisierung und effektiven Feld in den Landau-LifschitzGilbert Gleichungen(siehe Ausdruck 3.8) ergibt sich also für diesen Teil der Energie:
à ∂M !
¶
µ
− ∂φφ
Mr
×2
(4.12)
M × Hef f =
∂Mr
Mφ
∂φ
Mφ
∂Mr
+ 2Mφ
∂φ
∂φ
¢
∂ ¡ 2
M + M2 = 0 .
∂φ | r {z φ }
= 2Mr
(4.13)
=
(4.14)
const.
Für die Bewegungsgleichungen heißt dies, daß die neue Geometrie unter der Veraussetzung
eines Anisotropietermes, der die Magnetisierung in Ringrichtung zwingt, analog zu Browns
Magnetisierung in x-Richtung, keine wesentlichen Veränderungen mit sich bringt und wir
mit Gleichung 4.4 wieder einen analogen Ausdruck für die Energie und damit auch für die
Bewegungsgleichung erhalten:
ϕ′′ = α(cos ϕ sin ϕ + h sin ϕ) .
(4.15)
ϕ in Abhängigkeit der Bogenlänge, die wir im Folgenden s nennen werden, bezeichnet hier
die Auslenkung des Magnetisierungsvektors relativ zum lokalen Koordinatensystem mit den
Basisvektoren transversal und normal zum Kreisring (siehe Abbildung 4.1). Lediglich die
28
4.2 Sattelpunktslösung für die Kreisscheibengeometrie
Randbedingungen und das Vorhandensein einer endlichen Länge haben sich im Vergleich zu
Brauns Problem geändert.
Ohne äußeres Feld gibt es, wie bereits erwähnt, zwei entartete Gleichgewichtslösungen,
nämlich ϕ = 0 und ϕ = π. Schalten wir ein äußeres Feld ein, so wird die Entartung aufgehoben und ϕ = π wird zu einer metastabilen Lösung. Wie wir sehen werden hängt die Form
der dazwischenliegenden Sattelpunktslösung bei fester Länge von der Stärke des von außen
angelegten Feldes ab bzw. bei vorgegebenen Feld von der Länge des Ringes.
4.2 Sattelpunktslösung für die Kreisscheibengeometrie
Zur Erinnerung hier kurz noch einmal unsere Bewegungsgleichung:
ϕ′′ = cos ϕ sin ϕ + h sin ϕ .
(4.16)
Eine Lösung dieser Gleichung lautet:
cos ϕ = −h ⇔ ϕ = arccos(−h)
.
(4.17)
Dies ist, wie wir im folgenden Kapitel zeigen werden die Sattelpunktslösung für den Längenbereich l < lc , wobei die kritische Länge lc noch zu bestimmen ist. Bei fester Länge finden wir
respektive ein kritisches äußeres Feld, für das obige Lösung nicht mehr Sattelpunktslösung ist.
Dieses Phänomen, daß die Form der Sattelpunktslösung abhängig von dem jeweils betrachteten Bereich ist, findet sich nicht in den Ergebnissen Brauns wieder und ist eine direkte Folge
aus der Betrachtung endlicher Längen. Eine Diskussion dieses Phasenübergangs“ findet man
”
in einer Arbeit von Robert S. Maier und D. L. Stein in Bezug auf ein φ4 -Potential mit
unterschiedlichen Randwertbedingungen [16].
Weiter behaupten wir, daß
µ
ϕs (s, s0 , R, m) = 2 arccot dn
µ
¯ ¶
¶
s − s0 ¯¯
sn(R|m)
m
δ ¯
cn(R|m)
(4.18)
nicht nur eine Lösung dieser Gleichung ist, sondern auch die Sattelpunktslösung für den
restlichen Bereich von h und l darstellt. Auch dies wird im Folgekapitel gezeigt werden. Die
Funktionen dn(u|m), sn(u|m) und cn(u|m) bezeichnen die sogenannten Jacobi elliptischen
Funktionen, deren Definition man im Anhang vorfinden möge.
Wenn wir annehmen, daß obiger Ausdruck 4.18 die Sattelpunktslösung ist, dann ist die
Länge des Ringes gegeben durch die Periode der Funktion dn( δs |m) (siehe Kapitel 2 im Anhang):
l(h, m) = 2K(m)δ(h, m)
,
(4.19)
mit K(m) als vollständiges elliptisches Integral 1. Art (siehe Anhang Ausdruck .7 und Abbildung 4.3).
0
Im folgenden werden wir der Vereinfachung halber u = s−s
schreiben und den Parameter
δ
m der elliptischen Funktionen weglassen, daß heißt sn(z) steht symbolisch für sn(z|m). Für
29
4 Anwendung auf Kreisscheibengeometrie
Abbildung 4.3: Darstellung des vollständigen elliptischen Integrals 1.Art, K(m)
die Ableitung der inhomogenen Sattelpunktsfunktion ergibt sich somit:
2
cn2 (R)
sn(R)
(−m sn(u) cn(u))
2
2
2
δ cn (R) + dn (u) sn (R) cn(R)
2m
sn(R) cn(R) sn(u) cn(u)
δHN
ϕ′s = −
=
ϕ′′s =
=
=
(4.20)
£¡
¢¡ 2
¢
2m
2
2
dn (u) sn2 (R) + cn2 (R)
2 2 sn(R) cn(R) − sn (u) dn(u) + cn (u) dn(u)
HN δ
¡
¢¤
−2 dn2 (u) sn2 (u) cn2 (u) sn2 (R) −m sn2 (u) cn2 (u)
£¡
¢¡ 2
¢
2m
2
2
2
2
2 2 dn(u) sn(R) cn(R) 2 cn (u) − 1 sn (R) − m sn (u) sn (R) + cn (R)
HN δ
¤
+2m sn2 (R) sn2 (u) cn2 (u)
£
¤
2m
2
2
2
(4.21)
2 2 dn(u) sn(R) cn(R) 1 − 2 sn (u) + m sn (u) sn (R)
HN δ
mit HN = cn2 (R) + dn2 (u) sn2 (R). Für die rechte Seite der Gleichung 4.16 ergibt sich:
2 dn(u) sn(R) cn(R)
dn2 (u) sn2 (R) + cn2 (R)
dn2 (u) sn2 (R) − cn2 (R)
cos ϕs = 2
dn (u) sn2 (R) + cn2 (R)
sin ϕs =
(4.22)
(4.23)
Daraus folgt:
h sin ϕs + sin ϕs cos ϕs =
30
£ 2
2
2
2
2 dn(u) sn(R) cn(R) dn (u) sn (R) − cn (R)
HN
¡
¢¤
+h dn2 (u) sn2 (R) + cn2 (R) . (4.24)
4.2 Sattelpunktslösung für die Kreisscheibengeometrie
Einsetzen von 4.20 und 4.24 in Gleichung 4.16 ergibt:
¤
m£
1 − 2 sn2 (u) + m sn2 (u) sn2 (R) = dn2 (u) sn2 (R) − cn2 (R)
2
δ
¡
¢
+h dn2 (u) sn2 (R) + cn2 (R)
¸
·
£
¤
m
2m m2 2
2
+ 2 sn (R) + 2 = sn2 (u) −m sn2 (R) − hm sn2 (R)
sn (u) −
δ
δ
δ
+2 sn2 (R) − 1 + h
Diese Gleichung wird gelöst für
m
δ2
= 2 sn2 (R) − 1 + h
2
δ2
+
m
δ2
A
sn2 (R) = − sn2 (R) − h sn2 (R) B
Aus B folgt:
δ2 =
2 − m sn2 (R)
sn2 (R)(1 + h)
(4.25)
eingesetzt in A ergibt dies:
m sn2 (R)(1 + h)
= 2 sn2 (R) − 1 + h
2 − m sn2 (R)
.
(4.26)
Als Bestimmungsgleichung für R, oder genauer gesagt für sn(R) folgt weiter:
2m sn4 (R) + (2hm − 4) sn2 (R) + 2(1 − h) = 0
hm − 2 (+)
sn (R|m) = −
−
2m
2
r
h2 m2 − 4m + 4
4m2
(4.27)
.
(4.28)
Für m → 1, d.h. für unendliche Längen sollte dieses Ergebnis gegen diejenige von Braun
[5] gehen
tanh2 (R) = 1 − h .
(4.29)
Dies ist nur gegeben für das Minuszeichen in obiger Gleichung. Daher erhalten wir für sn2 (R)
und δ 2 in Abhängigkeit von h und m folgende Ausdrücke:
sn2 (R|m) =
δ2 =
=
=
h
1 p 2 2
1
− −
h m + 4(1 − m)
m 2 2m
m
2 sn2 (R|m) − 1 + h
m2
p
1
2(1 − hm
h2 m2 + 4(1 − m)) − m + hm
2 − 2
m2
p
2 − m − h2 m2 + 4(1 − m)
.
(4.30)
(4.31)
Somit ist bewiesen, daß die Funktion 4.18 mit obigen Bedingungen an sn(R) und δ eine
Lösung der Bewegungsgleichung 4.16 ist. Eine weitere Bedingung, die wir an unsere Lösung
31
4 Anwendung auf Kreisscheibengeometrie
stellen müssen, ist, daß sie im Limes unendlicher Länge gegen die Lösung von Braun geht.
Für m → 1(l → ∞) erhalten wir:
µ
µ
¶
¶
s − s0
tanh(R)
lim ϕs (s, s0 , R, m) = 2 arccot sech
m→1
δ(m → 1) sech(R)
´
³

s−s0
cosh δ(m→1)
 ,
= 2arctan 
(4.32)
sinh(R)
mit
lim δ = √
m→1
1
= coth(R)
1−h
.
(4.33)
Dies ist exakt die von Braun angegebene Lösung (siehe Gleichung 3.35).
Abbildung 4.4: Darstellung der kritische Länge in Abhängigkeit von h
Um den Gültigkeitsbereich unserer Lösung zu finden betrachten wir den Limes m gegen
Null für l(h,m). Der Einfachheit halber wählen wir für die Grenzwertberechnung das Quadrat
der Länge:
lim l2 (h, m) = 4 lim K 2 (m) · lim δ 2 (h, m) .
(4.34)
m→0
m→0
m→0
Diese Aussage ist gültig, solange die Limites existieren. Für limm→0 K 2 (m) erhalten wir den
Wert π 2 /4. Für den zweiten Ausdruck wenden wir zweimal die Regel von L’Hopital an:
m2
p
m→0 2 − m −
h2 m2 + 4(1 − m)
2m
lim
lim
m→0
lim
m→0 1 [h2 m2
4
+ 4(1 − m)]
− 23
1
−1 − 12 [h2 m2 + 4(1 − m)]− 2 · (2mh2 − 4)
2
· (2mh2 − 4)2 −
1 2 2
2 [h m
lim δ 2 (h, m) =
m→0
32
4
1 − h2
+ 4(1 − m)]
.
− 21
· 2h2
0
= “ “
0
0
= “ “
0
=
4
1 − h2
(4.35)
4.2 Sattelpunktslösung für die Kreisscheibengeometrie
Das heißt für die minimale Länge erhält man folgenden Ausdruck:
lc = √
2π
1 − h2
.
(4.36)
Oder anders gesagt, bei einer festen Länge l gibt es eine maximales äußeres Feld hc , das
bestimmt ist durch:
r
4π 2
.
(4.37)
hc = 1 − 2
l
Oberhalb dieses kritischen Wertes ist der Ausdruck 4.18 keine Lösung der Gleichung 4.16.
Betrachten wir nun den Grenzwert der Lösung für l gegen lc , bzw. h gegen hc : Für die
Beziehung zwischen R und h erhalten wir
√
0
−hm + 2 − h2 m2 − 4m + 4
2
2
=“ “
lim sn (R) = sin (R) = lim
m→0
m→0
2m
0
µ
¶
2
1
2h m − 4
= lim
−h + √
(L’Hopital)
2
m→0 2
2 h m2 − 4m + 4
1
(1 − h) ,
(4.38)
⇒ sin2 (R) =
2
lim ϕs (s, s0 , R, m)
m→0
=
(∗)
=
=
µ
¶
sin(R)
2 arccot
cos(R)
µ
¶
tan2 (R) − 1
arccos
= arccos(2 sin2 (R) − 1)
tan2 (R) + 1
arccos(−h) ,
(4.39)
wobei wir in der in der Äquivalenzumformung (*) folgende Beziehung für den Arcus Cotangens
ausnutzen:
µ 2
¶
z −1
1
.
(4.40)
arccot(z) = arccos
2
z2 + 1
Das heißt, daß unsere Lösung im Grenzfall kritischer Länge, bzw. kritischen Feldes in die
homogene Lösung übergeht (siehe Gleichung 4.17).
Im folgenden beschäftigen wir uns mit dem Verhalten der Funktion in Abhängigkeit von
der Länge und der Magnetfeldstärke in bezug auf den Abstand von Kink und Antikink und
deren Dicke δ.
Betrachten wir zunächst den Fall symmetrisch angeordeter Kinks. Für s0 = 0 liegen die
zwei Extrema der Sattelpunktslösung bei Null und l/2 = K(m)δ(h, m), wie man anhand
Gleichung 4.20 leicht nachvollziehen kann. Damit die Magnetisierungsumkehr symmetrisch
über den Ring verläuft, muß also der Wendepunkt der Funktion bei l/4 = 1/2K(m)δ(h, m)
liegen. Dies führt mit Gleichung 4.21 zu folgendem Ausdruck:
K(m)
K(m)
|m) + m sn2 (
|m) sn2 (R) = 0
2Ã
2
!
p
2 − hm − h2 m2 + 4(1 − m)
2
m
√
√
= 0
1−
+
2m
1+ 1−m 1+ 1−m
1 − 2 sn2 (
(4.41)
Diese Gleichung wird nur gelöst für h = 0, das heißt bei nicht vorhandenem Feld ist die
Kinkverteilung symmetrisch. Betrachten wir nun den Grenzfall m gegen 0, also den kritischen
33
4 Anwendung auf Kreisscheibengeometrie
Bereich. Für h=0, also im Fall, daß die Kinks am weitesten voneinander entfernt liegen, geht
die Breite δ gegen 2. Die kritische Länge beträgt 2π. Das bedeutet, daß der Abstand der
beiden Kinks gerade π ist, so daß in diesem Bereich die Dicke vergleichbar wird mit dem
Abstand der Kinks.
34
4.2 Sattelpunktslösung für die Kreisscheibengeometrie
Abbildung 4.5: Darstellung der Sattelpunktslösung für l=40
Abbildung 4.6: Markierung der dargestellten Sattelpunktsfunktionen in der l-h-Ebene
35
4 Anwendung auf Kreisscheibengeometrie
Abbildung 4.7: Darstellung der Sattelpunktslösung für l=12
Abbildung 4.8: Markierung der dargestellten Sattelpunktsfunktionen in der l-h-Ebene
36
4.2 Sattelpunktslösung für die Kreisscheibengeometrie
Abbildung 4.9: Darstellung der Sattelpunktslösung für l gegen 2 Pi (links), Darstellung der
Sattelpunktsfunktion in Abhängigkeit von h bei festem l (rechts oben) und in
Abängigkeit von l bei festem h (rechts unten)
Abbildung 4.10: Markierung der dargestellten Sattelpunktsfunktionen in der l-h-Ebene
37
4 Anwendung auf Kreisscheibengeometrie
38
5 Energiebarriere
Der einfachere Aspekt bei der Berechnung der Umkehrrate ist die Abschätzung für die Energiebarriere, die im Exponenten der Vorfaktorherleitung eine Rolle spielt:
τ −1 = Γ0 e−
∆W
ǫ
,
(5.1)
wobei ∆W = 2∆E = 2E(H)−E(M ) bezeichnet, also den Energieunterschied von Sattelpunkt
und metastabilen Fixpunkt. Unser Ausdruck für die Energie lautete:
#
"µ ¶
Z l
1 2
∂ϕ 2
ǫ=
+ sin2 ϕ − 2h cos ϕ
.
(5.2)
ds
2 −l
∂s
2
Mit der metastabilen Lösung
ϕm = π
(5.3)
erhalten wir also für ∆ǫ:
1
∆ǫ =
2
Z
l
2
− 2l
ds
"µ
∂ϕ
∂s
¶2
+ sin2 ϕ − 2h(cos ϕ − 1)
#
.
(5.4)
Und mit unserer Lösung für den homogenen Sattelpunkt
ϕh (h) = arccos(−h)
erhalten wir weiter
∆ǫ =
1
2
Z
l
2
− 2l
1
ds(1 − h)2 = l(1 − h)2
2
(5.5)
(5.6)
Für den inhomogene Lösung
¯ ¶
µ µ
¶
sn(R|m)
s − s0 ¯¯
m
ϕs (s, s0 ) = 2 arccot dn
δ ¯
cn(R|m)
(5.7)
erhalten wir für die verschiedenen Beiträge zu Energiedichte, nämlich für den Austauschbeitrag (∆ǫex ), den Anisotropieterm (∆ǫanis ) und den Zeeman-Term (∆ǫh ):
4m2 sn2 (R) cn2 (R) sn2 (u)
δ (cn2 (R) + dn2 (u) sn2 (R))2
4 dn2 (u) sn2 (R) cn2 (R)
=
(dn2 (u) sn2 (R) + cn2 (R))2
dn2 (u) sn2 (R)
= −4h 2
.
dn (u) sn2 (R) + cn2 (R)
∆ǫex =
∆ǫanis
∆ǫh
(5.8)
(5.9)
(5.10)
Numerische Integration dieser Terme ergibt die Abhängigkeit von der Gesamtenergie von der
Länge des Ringes l und der Stärke des äußeren Magnetfeldes h. Dies sieht man aufgetragen
in Abbildung 5.1.
39
5 Energiebarriere
Abbildung 5.1: Höhe der Energiebarriere in Abhängigkeit vom äußeren Feld h bei L=7
40
6 Berechnung des Vorfaktors
6.1 Vorfaktorberechnung für den homogenen Fall
Die Bewegunsgleichung für ϑ =
π
2
lautet:
ϕ̇ = α(ϕ′′ − sin ϕ cos ϕ − h sin ϕ)
.
(6.1)
Für eine Entwicklung um einen stationären Punkt ϕ0 durch Addition einer kleinen Auslenkung
η, ϕ = ϕ0 + η, ergibt sich:
ϕ̇ = η̇ = α[ϕ′′0 + η ′′ − [cos ϕ0 sin η + sin ϕ0 cos η] · [cos ϕ0 cos η − sin ϕ0 sin η]
−h(cos ϕ0 sin η + sin ϕ0 cos η)] .
(6.2)
Mit cos η ≈ 1, sin η ≈ η und Gleichung 6.1 folgt
η̇ = α[η ′′ − η cos(2ϕ0 ) − ηh cos ϕ0 + O[η 2 ]] .
(6.3)
Setzt man für η eine Funktion η(s, t) = A exp i(ks − ωt), periodisch in Raum und Zeit, mit
Amplitude A und Frequenz ω an, dann ergibt sich die Eigenwertgleichung:
Λ̂η = λη
(6.4)
2
∂
mit λ = ω und Λ̂ = −α( ∂s
2 − cos(2ϕ0 ) − h cos ϕ0 ).
Im metastabilen Zustand ϕ0 = π folgt hieraus
λn = −α(−kn2 − 1 + h)
.
(6.5)
Und mit der periodischen Randwertbedingung ϕ(s, t) = ϕ(s+l, t) und daraus folgend η(s, t) =
η(s + l, t) ergibt sich weiter für die Eigenwerte von Λ̂:
2
λm
n = α(1 − h + kn ) mit kn =
2πn
l
.
(6.6)
Hier sind alle Eigenwerte, wie auch zu erwarten war, größer Null für alle n. Für die homogene
Lösung ϕ0 = arccos(−h) ergibt sich
λn = −α(−kn2 − 2 cos2 ϕ0 + 1 − h cos ϕ0 )
4π 2 n2
) .
λun = α(h2 − 1 +
l2
(6.7)
(6.8)
Für n=0 ist dieses Ergebnis kleiner Null, damit alle anderen Eigenwerte einen Wert größer
2π
(siehe 4.36). Damit haben wir
Null haben, muß l kleiner sein als die kritische Länge lc = √1−h
2
gezeigt, daß die homogene Lösung zwar für alle Werte von h und l eine Lösung der Gleichung
4.16 ist, jedoch nur für bestimmte Werte von l, bzw. h die relevante Sattelpunktslösung
darstellt.
41
6 Berechnung des Vorfaktors
Abbildung 6.1: Kramers Vorfaktor in Abhängigkeit von dem äußeren Feld h für l=7
Somit ergibt sich vermöge Formel 2.53 für den Vorfaktor folgendes Ergebnis im Falle l < lc
bei festem h, bzw. h > hc bei festem l
v¯
¯
u¯
¯
u
|λ0 | u
det
Λ̂
[ϕ
]
¯
m ¯
t¯
(6.9)
Γ0 =
¯ .
¯ detΛ̂ [ϕu ] ¯
π
Dabei unterscheidet sich obiger Ausdruck um einen Faktor 2 von der Formel im Theorieteil,
da wir berücksichtigen müssen, daß die Sattelpunktslösung zweifach entartet ist.
¯! 1
¯ 2
¯ ï¯ Q∞
4π 2 n2 ¯ 2
¯ h − 1¯
¯ n=−∞ (1 − h + l2 ) ¯
Γ0 =
· ¯ Q∞
¯
¯ n=−∞ (h2 − 1 + 4π22n2 ) ¯
π
l
!
2 2
¶ ∞ Ã
µ
1 − h 2 Y 1 − h + 4πl2n
1 − h2
·
=
·
4π 2 n2
2
π
1 − h2
n=1 h − 1 + l2
!
Ã
2 2
1
∞
(1 − h)(1 + h) 2 Y 1 − h + 4πl2n
=
·
4π 2 n2
2
π
n=1 h − 1 + l2
´
³√
1−hl
µ
¶1
1
sinh
2
2
1 − h2 2
(∗) (1 − h)(1 + h)
´ ·
³√
·
=
1−h2 l
π
1−h
sin
2
³√
´
1−hl
sinh
2
2
1−h
³√
´ .
=
(6.10)
·
1−h2 l
π
sin
2
Die Äquivalenzumformung (*) erhalten wir vermöge folgender Entwicklungen für den Sinus
und den Sinus hyperbolicus eines Argumentes x:
¶
∞ µ
Y
x2
(6.11)
sin x = x
1− 2 2
n π
n=1
¶
∞ µ
Y
x2
1+ 2 2
sinh x = x
.
(6.12)
n π
n=1
42
6.2 Vorfaktorberechnung für den inhomogenen Fall
Das Ergebnis für den Kramers Vorfaktor sieht man aufgetragen in Abbildung 6.1. Deutlich
zu erkennen ist die Divergenz des Vorfaktors für den kritischen Wert des äußeren Feldes hc .
Für eine Länge von l = 7 entspricht dieser Wert in etwa hc = 0.44. In der Nähe dieses
Punktes divergiert der Vorfaktor wie (h − hc )−1 , bzw. wie (l − lc )−1 respektive. Jenseits dieses
Grenzwertes wird die inhomogene Sattelpunktslösung gültig, wie wir im Folgekapitel zeigen
werden.
6.2 Vorfaktorberechnung für den inhomogenen Fall
Im inhomogenen Fall gibt es für die Lösung ϕ(s, so , h, m) eine Nullmode aufgrund der Translationsinvarianz bezüglich s0 . Die Herkunft dieser Nullmode liegt darin begründet, daß es
völlig willkürlich ist, an welcher Stelle im Ring die Magnetisierungsumkehr beginnt. Wie wir
im Kapitel über die Berechnung der MFPT gezeigt haben, ist die Formel für den Vorfaktor
in diesem Fall gegeben als:
v¯
¯
u¯
¯
u
∆W
|λ
|
l
det
Λ̂
¯
s,0
m¯
τ −1 = 3 √ t¯
,
(6.13)
¯(y, y)e− ǫ
′
¯ det Λ̂s ¯
ǫ
π2
mit
(y, y) =
"Z
ds
µ
∂ϕs (s, s0 )
∂so
¶2 # 21
,
(6.14)
wobei der obige Ausdruck sich um einen Faktor 2 von dem Ausdruck 2.53 unterscheidet.
Hierbei nehmen wir wieder Rücksicht auf die Tatsache, daß der inhomogene Zustand zweifach
entartet ist.
Den regularisierten Ausdruck für die Determinante in Ausdruck 6.13 beschaffen wir uns
mit dem Verfahren von McKane und Tarlie [18]. Ausgehend von dem Ausdruck von Forman
[20] für Operatoren der Form
Λ̂ =
d2
+ P (x)
dx2
x ∈ [a, b] ,
(6.15)
in der P(x) eine beliebige reelle Funktion bezeichnet haben McKane und Tarlie ein Verfahren
entwickelt zur Regularisierung des folgenden Quotienten:
det Λ̂s
det Λ̂m
=
det(M + N Ŷs (b))
(6.16)
det(M + N Ŷm (b))
In diesem Ausdruck bezeichnen M und N Matrizen, die sich aus den Randwertbedingungen
ergeben:
µ
¶
µ
¶
η(a)
η(b)
M
+N
=0
η ′ (a)
η ′ (b)
und Ŷ (b) wird gebildet aus:
Ŷ (b) = H(b)H
−1
(a)
mit
H(x) =
µ
y1 (x) y2 (x)
y1′ (x) y2′ (x)
¶
,
(6.17)
43
6 Berechnung des Vorfaktors
wobei y1 (x) und y2 (x) zwei linear unabhängige Lösungen der homogenen Differentialgleichung
Λ̂y(x) = 0 bezeichnen. Die Aussage von McKane und Tarlie ist nun, daß wir für den regularisierten Ausdruck im Falle periodischer Randwertbedingungen erhalten:
1
det′ Λ̂s
y2 (b) − y2 (a)
=
(y1 , y1 ) detΛ̂m
y1 (a) det H(a) det(M + N Ŷm (b))
,
(6.18)
wobei y1 (x) die Eigenfunktion zur Nullmode darstellt. Diese Beziehung wird im wesentlichen
dadurch hergeleitet, daß man die Randbedingungen des Problems ein klein wenig verändert,
so daß die neuen Lösungen keine Nullmoden mehr enthalten. Mehr Details zu diesem Vorgehen
findet man in der Arbeit von McKane und Tarlie.
0
Die homogene Differentialgleichung hat in unserem Fall die Form mit u als s−s
δ :
∂2
y − (cos(2ϕs (s, s0 , h, m)) + h cos(ϕs (s, s0 , h, m))y = 0
(6.19)
∂s2
#
"
£ 2
¤2
dn (u|m) sn2 (R|m) − cn2 (R|m)
dn2 (u|m) sn2 (R|m) − cn2 (R|m)
∂2
y=0
+1−h 2
−2
∂s2
dn2 (u|m) sn2 (R|m) + cn2 (R|m)
dn (u|m) sn2 (R|m) + cn2 (R|m)
(6.20)
mit den linear unabhängigen Lösungen:
∂ϕs
2
cn2 (R|m)
×
= · 2
∂s0
δ dn (u|m) sn2 (R|m) + cn2 (R|m)
sn(R|m)
[−m sn(u|m) cn(u|m)]
cn(R|m)
sn(u|m) cn(u|m)
2m
sn(R|m) cn(R|m) 2
= −
δ
dn (u|m) sn2 (R|m) + cn2 (R|m)
y1 =
(6.21)
und
y2 =
∂ϕs
∂m
cn2 (R|m)
×
= −2 2
dn (u|m) sn2 (R|m) + cn2 (R|m)
(
sn(R|m)
sn(u|m) cn(u|m) ×
cn(R|m)
·
³
´
1
(m − 1)u + E(am(u|m)|m) − dn(u|m) sc(u|m) −
2(1 − m)
µ ¶¸
µ
¶)
1
∂ sn(R|m)
∂
+ dn(u|m)
. (6.22)
m(s − s0 )
∂m δ
∂m cn(R|m)
Die Ableitung nach s0 gibt uns, wie bereits diskutiert die Eigenfunktion zur Nullmode, entspricht also dem Ausdruck y1 in 6.18. An diese Stelle können wir auch leicht einsehen, warum
die von uns behandelte Funktion tatsächlich die gesuchte Sattelpunktsfunktion sein muß.
Die Funktion y1 ist proportional zu sn(u|m) cn(u|m)/(dn2 (u|m) sn2 (R|m) + cn2 (R|m)). Diese
Funktion hat zwei Nulldurchgänge und da diese nur in Paaren auftauchen können aufgrund
der Kontinuität der Magnetisierung, kann es nur eine Eigenfunktion ohne Nulldurchgang mit
niedrigerem Eigenwert geben. Damit ist gezeigt, daß es für unsere Lösung nur eine instabile
Richtung geben kann und sie somit die gesuchte Sattelpunktsfunktion darstellt.
44
6.2 Vorfaktorberechnung für den inhomogenen Fall
Für die Berechnung der Determinante brauchen wir noch den Ausdruck für y1′ , der sich
ergibt zu:
y1′ =
∂ 2 ϕs
2m
= − 2 sn(R|m) cn(R|m) ×
∂s0 ∂s
δ
£
¤
dn(u|m) 1 − 2 sn2 (u|m) + m sn2 (u|m) sn2 (R|m)
(dn2 (u|m) sn2 (R|m) + cn2 (R|m))2
.
(6.23)
Die Determinante von H ist eine Konstante und darf an jedem beliebigen Punkt ausgewertet
werden. Der Einfachheit halber wählen wir hierfür den Punkt s = s0 , so daß y1 (s0 )verschwindet:
n ∂ sn(R|m) o
4m
,
(6.24)
det H(s0 ) = −y1′ (s0 )y2 (s0 ) = − 2 sn(R|m) cn3 (R|m) ·
δ
∂m cn(R|m)
wobei die Differentiation nach m im letzten Ausdruck sehr einfach vermöge Formel 4.30 geschieht, hier jedoch nicht ausgeschrieben wurde, da es sich um einen länglichen Ausdruck
handelt. Für die Differenz im Zähler des Ausdruckes 6.18 mit l = 2K(m)δ(h, m) ergibt sich:
cn(R|m) sn(R|m)
y2 (s + l) − y2 (s) = −2 2
sn(u|m) cn(u|m) ×
dn (u|m) sn2 (R|m) + cn2 (R|m)
·
¸
2K(m) ∂δ
1
m
+
((m − 1)2K(m) + 2E(m))
δ
∂m 2(1 − m)
(6.25)
Hierbei wird zum einen die Periodizität der elliptischen Funktionen ausgenutzt (Anhang .22)
und zum anderen folgende Beziehung für das unvollständige elliptische Integral zweiter Ordnung:
E(am(u + 2K(m)|m)|m) − E(am(u|m)|m) = 2E(m) .
(6.26)
Mit den Gleichung 6.23, 6.24 und 6.25 folgt für den Ausdruck 6.18 also:
y2 (s + l) − y2 (s)
y1 (s) det H(s)
n ∂ sn(R|m) o−1
δ3
×
= − 2 sn−1 (R|m) cn−3 (R|m) ·
4m
∂m cn(R|m)
·
¸
∂
E(m)
2mK(m)
log δ +
− K(m))
∂m
(1 − m)
(6.27)
Jetzt fehlt uns nur noch die Berechnung der Determinante des Operators Λ̂m .
Λ̂m = −
d2
+ (1 − h)
ds2
(6.28)
Zwei linear unabhängige Lösungen der Gleichung Λ̂m y = 0 sind:
√
y1 (s) = e
1−hs
und y2 (s) = e−
√
Für die Matrizen H und H −1 ergibt sich somit:
Ã
!
Ã
√
√
− 1−hs
e 1−hs
e
√
√
√
√
H=
und H −1 =
1 − he 1−hs − 1 − he 1−hs
1−hs
√
1 − 1−hs
e
2 √
1
1−hs
2e
√
− 1−hs
√1
e
2 1−h
√
1
e 1−hs
− 2√1−h
!
45
6 Berechnung des Vorfaktors
und für Ŷ (s + l) = H(s)H −1 (s + l) folgt:
Ã
√
cosh( 1 − hl)
√
√
Ŷ (s + l) =
1 − h sinh( 1 − hl)
!
√
sinh( 1 − hl)
√
cosh( 1 − hl)
√1
1−h
Für periodische Randwertbedinungen erhalten wir also z.B. mit
µ
¶
µ
¶
1 0
−1 0
M=
und
N=
0 1
0 −1
det(M + N Ŷ (s + l)) = (Ŷ11 − 1)(Ŷ22 − 1) − Ŷ12 Ŷ21
√
= 2(1 − cosh( 1 − hl))
√
= −4 sinh2 (δK(m) 1 − h) .
(6.29)
(6.30)
(6.31)
Alles zusammengenommen erhalten wir also für den regularisierten Ausdruck 6.18:
det′ Λ̂s
1
(y1 , y1 ) detΛ̂m
=
n ∂ sn(R|m) o−1
δ3
√
×
·
∂m cn(R|m)
8m2 sn(R|m) cn3 (R|m) sinh2 (δK(m) 1 − h)
·
¸
∂
1
2mK(m)
log δ +
(E(m) − (1 − m)K(m))
(6.32)
∂m
(1 − m)
und die MFPT ergibt sich dann schließlich als:
τ
−1
√
3
l |λs,0 | 2 2 m sn(R|m) cn3 (R|m) sinh(δK(m) 1 − h) n ∂ sn(R|m) o 12
√
=
×
·
3
3
∂m cn(R|m)
ǫ
π2
δ2
¸− 1
·
2
∆W
1
∂
e− ǫ
,
(6.33)
log δ +
(E(m) − (1 − m)K(m))
2mK(m)
∂m
(1 − m)
Was zur Bestimmung der MFPT jetzt nur noch fehlt ist die Berechnung des kleinsten
Eigenwertes λs,0 . Dies war uns auf analytischen Wege nicht möglich, weshalb wir auf ein
numerisches Verfahren zur Bestimmung dieses Eigenwertes zurückgegriffen haben. Die Methode und die Ergebnisse werden im folgenden Kapitel präsentiert. Wie wir sehen werden ist
dieser kleinste Eigenwert für feste Länge nur schwach vom äußeren Feld abhängig und überall
von der Größenordnung 1. Auch die Größen δ und der Ausdruck mit der Ableitung nach m
variieren nur schwach mit h, so daß wir schreiben können:
τ −1 ≈
√
C
√ m sinh(δK(m) 1 − h) ×
T
¸− 1
·
2
∆W
1
∂
log δ +
(E(m) − (1 − m)K(m))
2mK(m)
e− ǫ
∂m
(1 − m)
, (6.34)
mit einer schwach h-abhängigen Größe C.
Wichtig zu bemerken ist die Temperaturabhängigkeit des Vorfaktors im inhomogenen Fall,
die aufgrund der Nullmode auftritt. Diese ist das wichtigste Unterscheidungsmerkmal zu der
homogenen Lösung, für die der Vorfaktor temperaturunabhängig ist. Dieser Übergang von
fehlendem Arrhenius-Verhalten zu Arrhenius-Verhalten bei großen Feldern, sollte auch im
Experiment zu beobachten sein. Ein solches Experiment könnte als Probe der vorgestellten
theoretischen Betrachtung dienen.
46
6.3 Numerische Berechnung des kleinsten Eigenwertes
Abbildung 6.2: Änderung des Temperaturverhaltens in Abhängigkeit von h und l
6.3 Numerische Berechnung des kleinsten Eigenwertes
Im inhomogenen Fall, das heißt für den hyperbolischen Fixpunkt, ist es nicht ohne weiteres
möglich, analytisch den kleinsten Eigenwert zu berechnen. Im folgenden werde ich kurz schildern, wie man für die numerische Berechnung vorgehen kann. Die Werte für den Graphen 6.5
wurden mit dem sogenannten Variationsverfahren von Rayleigh und Ritz [4] berechnet.
Gegeben sei ein linearer Operator Λ̂ auf L2 , gesucht werden die entsprechenden Eigenfunktionen ηi (x) und die zugehörigen Eigenwerte λi zu der Eigenwertgleichung:
Λ̂ηi (x) = λi ηi (x)
.
(6.35)
Bildet man den Rayleigh-Quotienten dieses Operators mit einer Versuchsfunktion“ ϕ(x),
”
dann gilt:
µ=
(ϕ, Λ̂ϕ)
≥ λ0
(ϕ, ϕ)
,
(6.36)
wobei (.,.) das Skalarprodukt symbolisiere und die Funktion ϕ(x) im folgenden als normiert
angenommen wird: (ϕ, ϕ) = 1. Den Beweis zur obigen Aussage finde man im Anhang.
Der kleinste Eigenwert wird natürlich umso besser approximiert, je genauer die Versuchsfunktion der exakten Grundzustandsfunktion η0 (x) entspricht. Daher hängt ihre Wahl vom
vorliegenden physikalischen Problem ab und sollte sorgfältig getroffen werden. Desweiteren
ist es geschickt, eine Versuchsfunktion zu wählen, die noch von zu bestimmenden Parametern
abhängig ist. Bestimmt man nun das Minimum von µ in Abhängigkeit dieser Parameter, so
erhält man die beste Approximation für den niedrigsten Eigenwert im gewählten Unterraum.
Entsprechend erhält man den genäherten Grundzustand ϕ(x), wenn die Parameter die Werte
annehmen, die µ minimieren.
Eine Möglichkeit zur Wahl von ϕ(x) ist die Darstellung der Versuchsfunktion durch eine
47
6 Berechnung des Vorfaktors
Abbildung 6.3: Darstellung des unterschiedlichen Temperaturverhaltens in Abhängigkeit von
der Länge des Ringes [17]
bei n abgebrochene Entwicklung nach einer Basis von L2 :
n
X
ϕ(x) =
ck ek (x)
.
(6.37)
k=1
Durch die Wahl der Basis und von n hat man also einen Unterraum des Zustandsraumes des
vorgegebenen Problems ausgewählt, in dem man nun die stationären Werte von µ sucht. Um
die optimalen Entwicklungskoeffizienten ck in Gleichung 6.37 zu erhalten, fordern wir daß der
folgende reelle Ausdruck minimal wird.
X
c∗k cl [(ek , Λ̂el ) − µ(ek , el )] .
(6.38)
I = (ϕ, (Λ̂ − µ1)ϕ) =
k,l
Das heißt die Ableitung dieses Ausdruckes nach den Entwicklungskoeffizienten, bzw. nach den
komplex konjugierten Parametern muß Null ergeben. Mit Gleichung 6.37 erhalten wir also:
X
∂I
cl [(ek , Λ̂el ) − µ(ek , el )] = 0 ;
=
∗
∂ck
k = 1, . . . , n .
(6.39)
l
Außerdem gilt:
(ϕ, ϕ) =
X
c∗k cl (ek , el ) = 1 .
(6.40)
k,l
Somit werden die Koeffizienten, sowie der minimale Eigenwert durch die n homogenen
linearen Gleichungen zusammen mit der Normierungsbedingung für die Versuchsfunktion be-
48
6.3 Numerische Berechnung des kleinsten Eigenwertes
stimmt. Die Lösbarkeitsbedingung für das Gleichungssystem
determinante für die cl verschwinden muß:
¯
¯ (e1 , Λ̂e1 ) − µ(e1 , e1 ) (e1 , Λ̂e2 ) − µ(e1 , e2 )
¯
¯ (e , Λ̂e ) − µ(e , e ) (e , Λ̂e ) − µ(e , e )
2
1
2 1
2
2
2 2
¯
¯
.
.
..
..
¯
bedeutet, daß die Koeffizienten···
···
..
.
¯
¯
¯
¯
¯=0 .
¯
¯
Dies liefert uns eine Gleichung n-ten Grades für die Eigenwerte, und die kleinste Wurzel dieser
Gleichung liefert den kleinsten Eigenwert.
Abbildung 6.4: Darstellung der Funktion f(x) für die Länge l=7 und das äußere Feld h=0,4
Unser Operator Λ̂ hatte die Form
Λ̂ = −∆ + f (s)
(6.41)
f (s) = cos(2ϕs (s)) + h cos(ϕs (s))
¯ ¶
¸
· µ
sn(R(m, h)|m)
s − s0 ¯¯
m
ϕs (s) = arccot dn
δ(m, h) ¯
cn(R(m, h)|m)
(6.42)
(6.43)
Da die Funktion ϕs (s) periodisch in s mit der Periode l ist, gilt das Gleiche für die Funktion
f(s) (siehe Graph 6.4), daher ist es sinnvoll auch für die Basisfunktionen nach denen man
entwickelt die gleiche Periodizidität zu fordern. Wir wählen:
1
ek (s) = √ eikωs
l
mit ω =
2π
l
.
(6.44)
Damit erhalten wir zudem eine vereinfachte Form der obigen Determinante, da diese Basis
normiert ist. Die Versuchsfunktion ergibt sich mit dieser Basis zu:
n
1 X ikωs
ϕ(s) = √
e
l k=0
.
(6.45)
Unsere numerischen Berechnungen zeigen uns, daß bereits wenige Entwicklungskoeffizienten
ausreichen um die wahre Grundzustandsfunktion zu approximieren.
49
6 Berechnung des Vorfaktors
Abbildung 6.5: Der kleinste Eigenwert in Abhängigkeit von h
Der Graph 6.5 zeigt diese numerische Berechnung, für die der Quellcode im Anhang zu
finden ist. Aufgetragen sieht man den kleinsten Eigenwert in Abhängigkeit vom äußeren Feld
h, bei einer festen Länge l=7. Dies ist eine Länge größer denn die
p minimale kritische Länge
von lmin = 2π, und somit gibt es einen Bereich für h < hc = 1 − 4π 2 /l2 ≈ 0.44 in dem
die hyperbolische Fixpunktlösung eine Rolle spielt. Wenn h gegen hc geht erhalten wir einen
Wert für λ, der der Lösung für den homogenen Fall entspricht:
λc = h2 − 1
50
.
(6.46)
7 Diskussion und Ausblick
In dieser Arbeit war es uns möglich eine Theorie für die Magnetisierungsumkehr in dünnen
ferromagnetischen Ringen herzuleiten. Dabei konnten wir feststellen, daß diese Geometrie
weitaus stabiler ist als manch andere betrachtete Konfiguration, da Endkappennukleationen
entfallen. Außerdem gab die Möglichkeit zur analytischen Betrachtung, Einblick in einige
interessante qualitative Eigenschaften eines solchen Systems. Abhängig von den gegebenen
Parametern finden wir unterschiedliche Bereiche der Magnetisierungsumkehr, die entweder
uniform oder aber inhomogen stattfinden kann. Der Übergang zwischen diesen beiden Bereichen ist ein Übergang zweiter Ordnung und geht mit einer Divergenz des Vorfaktors beim
kritischen Wert einher.
Aufgrund der auftretenden Nullmode der inhomogenen Sattelpunktslösung, erhalten wir für
die Umkehrrate einen Vorfaktor, der nicht, wie homogenen Fall Arrhenius-Verhalten aufweist,
sondern temperaturabhängig wird. Dieser Effekt sollte auch in einem Experiment zu sehen
sein, indem man die mittlere Umkehrrate eines Ringes in Abhängigkeit von der Temperatur
einmal für einen Wert des äußeren Feldes unterhalb des kritischen Feldes mißt und zum
anderen für einen Wert oberhalb.
Weitere numerische Rechnungen, die den nichtlokalen magnetostatischen Term mit in Betracht ziehen, sollten bessere quantitative Ergebnisse liefern und für eine weitere Diskussion
wäre es auch interessant die zweidimensionale Theorie auf drei Dimensionen auszuweiten.
51
7 Diskussion und Ausblick
52
Anhang
.1 Numerische Berechnung des kleinsten Eigenwertes
.1.1 Beweis des Rayleigh-Ritzschen Variationsverfahrens
Die Aussage war, daß der Rayleigh-Quotient eines linearen Operators Λ̂ auf L2 mit einer
Versuchsfunktion“ ϕ(x) aus dem Raum der Zustandsfunktionen größer gleich dem kleinsten
”
Eigenwert des Operators sein soll. Der Beweis hierzu läßt sich recht einfach führen, indem man
die Funktion ϕ(x) nach den (unbekannten) Eigenfunktionen ηi (x) des Operators entwickelt:
X
ϕ(x) =
ci ηi (x)
(.1)
i
Für den Rayleigh-Quotienten ergibt sich damit:
X
µ = (ϕ(x), Λ̂ϕ(x)) =
c∗i cj (ηi (x), Λ̂ηj (x))
i,j
=
X
i
2
|ci | λi
= λ0 +
X
i
= λ0 +
X
i
|ci |2 λi − λ0
|ci |2 λi −
X
i
|ci |2 λ0
,
denn wir wissen aufgrund der Normierung von ϕ(x),daß
X
|ci |2 = 1
(.2)
(.3)
i
Das heißt, wir können den Ausdruck in Gleichung .2 schreiben als:
X
µ = λ0 +
|ci |2 (λi − λ0 ) ≥ λ0
| {z }
i
(.4)
>0
Da wir angenommen haben, daß λ0 der kleinste Eigenwert ist, ist obige Summe immer positiv
und es folgt obige Behauptung.
53
Anhang
.1.2 Der Mathematica-Quellcode
Im folgenden findet man den Mathematica-Quellcode zur Berechnung des kleinsten Eigenwertes und zur Darstellung der Lösung in Abhängigkeit von h. Dabei wurde die Länge l=7
gewählt, wie im Hauptteil dargestellt (siehe Abbildung 6.5)
54
.2 Elliptische Integrale und Funktionen
.2 Elliptische Integrale und Funktionen
.2.1 Definitionen
Die Lösung für die Kreisscheibengeometrie enthält sogenannte elliptische Funktionen [1, 8].
Dabei handelt es sich genauer gesagt um die Jacobi’schen elliptischen Funktionen, bezeichnet
in der Form sn(z|m), cn(z|m) und dn(z|m). Der Name dieser Funktionen rührt daher, daß
sie in der Fortsetzung auf die komplexe Ebene meromorph und doppelperiodisch sind. Der
Ursprung der elliptischen Funktionen liegt im elliptischen Integral, im Fall der Jacobi’schen
elliptischen Funktionen im unvollständigen elliptischen Integral 1. Art. Dieses ist folgender-
55
Anhang
maßen definiert:
F (ϕ|m) =
=
√
Zϕ
dφ
p
1 − m sin2 φ
0
sin
Z ϕ
0
Legendre Form
dt
p
(1 − t2 )(1 − mt2 )
(.5)
Jacobi Form ,
(.6)
wobei m (in der Literatur auch oft mit k bezeichnet) das Modul und ϕ die Amplitude
bezeichnet. Für sin ϕ = 1 erhalten wir das vollständige elliptische Integral 1.Art, das wir mit
K(m) bezeichnen wollen:
π
K(m) = F ( |m) =
2
Z1
0
dt
p
2
(1 − t )(1 − mt2 )
.
(.7)
Die elliptischen Funktionen werden nunmehr über die Umkehrfunktion des obigen elliptischen Integrals definiert. Für 0 < m < 1 ist F (ϕ|m) streng monoton bezüglich ϕ:
q
dF
(.8)
= 1 − m sin2 ϕ > 0 .
dϕ
Daher folgt die Existenz der Umkehrfunktion, welche in der Literatur Amplitudenfunktion
genannt wird:
u = F (ϕ|m) ⇒ ϕ = am(z|m) .
(.9)
Mit Hilfe dieser Amplitude können wir die drei in der Arbeit verwendeten Funktionen, den
elliptischen Sinus (sn), den elliptischen Kosinus (cn), sowie die elliptische Delta-Amplitude
(dn) definieren:
sn(z|m) = sin(am(z|m)) = sin ϕ
(.10)
cn(z|m) = cos(am(z|m)) = cos ϕ
(.11)
q
∂
dn(z|m) =
(.12)
am(z|m) = 1 − sin2 ϕ .
∂z
Weitere Funktionen werden aus Kombinationen dieser drei oben genannten auf folgende Art
und Weise gebildet. Die Funktion, die mit den Buchstaben pq bezeichnet wird, wobei sowohl
p als auch q Element der Menge der vier Buchstaben s (sn), c (cn), d (dn) oder n (1) ist, wird
gebildet als folgender Quotient:
pq(z|m) =
pn(z|m)
qn(z|m)
mit
nn = 1 .
(.13)
Die Funktion sc(z|m) wird beispielsweise gebildet aus:
sc(z|m) =
sn(z|m)
cn(z|m)
.
(.14)
Desweiteren wird in der Arbeit noch eine weitere Form des elliptischen Integrals verwandt,
nämlich das vollständige elliptische Integral zweiter Art, im Text mit E(ϕ|m) bezeichnet. Es
hat die Form:
Zϕ p
(.15)
E(ϕ|m) = dt 1 − m sin2 t .
0
56
.2 Elliptische Integrale und Funktionen
Abbildung .1: Darstellung der elliptischen Funktionen
.2.2 Nützliche Relationen
Differentiation nach dem Argument z
∂
sn(z|m) = cn(z|m) dn(z|m)
∂z
∂
cn(z|m) = − sn(z|m) dn(z|m)
∂z
∂
dn(z|m) = −m sn(z|m) cn(z|m)
∂z
(.16)
(.17)
(.18)
Differentiation nach dem Modul m
∂
sn(z|m) =
∂m
∂
cn(z|m) =
∂m
∂
dn(z|m) =
∂m
1
cn(z|m) dn(z|m)((1 − m)z − E(am(z|m)|m) + m sn(z|m) cd(z|m))
2m(1 − m)
1
sn(z|m) dn(z|m)((m − 1)z + E(am(z|m)|m) − m sn(z|m) cd(z|m))
2m(1 − m)
1
sn(z|m) cn(z|m)((m − 1)z + E(am(z|m)|m) − dn(z|m) sc(z|m))
2(1 − m)
Beziehungen zwischen den Basisfunktionen
cn(z|m)2 + sn(z|m)2 = 1
1 − m + m cn(z|m)
2
2
1 − m sn(z|m)
(.19)
2
(.20)
2
(.21)
= dn(z|m)
= dn(z|m)
57
Anhang
Spezielle Werte der elliptischen Basisfunktionen
sn(z|0) = sin z
sn(z|1) = tanh z
sn(K(m)|m) = 1
´
³
|m
=√
sn K(m)
2
1
√
1+ 1−m
cn(z|0) = cos z
cn(z|1) = sech z
cn(K(m)|m) = 0
´
³
1
(1−m) 4
√
|m
=
cn K(m)
√
2
dn(z|0) = 1
dn(z|1) = sech z
1+ 1−m
√
dn(K(m)|m) = 1 − m
´
³
1
|m
= (1 − m) 4
dn K(m)
2
Periodizität
sn(u + 2K(m)|m) = − sn(u|m)
cn(u + 2K(m)|m) = − cn(u|m)
dn(u + 2K(m)|m) = dn(u|m)
sn(u + 2K(m)|m)
= sc(u|m)
sc(u + 2K(m)|m) =
cn(u + 2K(m)|m)
58
(.22)
(.23)
(.24)
(.25)
.3 Darstellung von Stablösung und Kreisscheibenlösung im Vergleich
.3 Darstellung von Stablösung und Kreisscheibenlösung im
Vergleich
Auf den folgenden Seiten findet man einige graphische Darstellungen der inhomogenen Sattelpunktslösung für den unendlich langen Stab und für die Kreisscheibe. Zum besseren Vergleich
ist der beliebige Anfangspunkt“ der Nukleation rot markiert, für die Kreisscheibe ist dies
”
−l/2 für den Stab −∞.
In der Abbildung .2 ist die Sattelpunktsmagnetisierung für die kritische Länge lc aufgetragen. Deutlich zu erkennen ist der unterschiedliche Verlauf der beiden Lösungen. Für die
Kreisscheibe haben wir eine nahezu homogene Lösung, wohingegen beim Stab, für den es
keine kritische Länge gibt, deutlich die zwei Kinks zu sehen sind.
Abbildung .2: Darstellung der Magnetisierung
Auf der folgenden Seite sind zwei Darstellungen für sehr große Kreislängen zu sehen. Hier
erkennt man die markante Ähnlichkeit der zwei Sattelpunktskonfigurationen beim Stab und
bei der Kreisscheibe. Weiterhin ist erkennbar, wie die Kinks in beiden Geometrien mit zunehmenden äußerem Feld h näher zusammenrücken, wohingegen für h in der Nähe von Null
eine symmetrische Verteilung der Kinks in der Kreisscheibe vorliegt.
In der letzten Graphik (Abbildung .5) ist zu sehen, wie sich beide Lösungen für große h
einer homogenen Lösung annähern.
59
Anhang
Abbildung .3: Darstellung der Magnetisierung
Abbildung .4: Darstellung der Magnetisierung
60
.3 Darstellung von Stablösung und Kreisscheibenlösung im Vergleich
Abbildung .5: Darstellung der Magnetisierung
61
Anhang
62
Literaturverzeichnis
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Limit of Micromagnetics’.
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Stochastic Dynamics III, pages 1–11. SPIE, Bellingham, 2005.
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aux terres cuites. Ann. Géophys., 5:99–136, 1949.
[20] R.Forman. Invent. Math., 88:447.
[21] H. Risken. The Fokker–Planck Equation. Springer-Verlag, second edition, 1989.
64
Danke
Ein herzliches Dankeschön möchte ich an den Betreuer meiner Arbeit hier in Heidelberg, Herrn Prof.
Dr. H. Horner, und an den Betreuer meiner Arbeit während meines Auslandsaufenthaltes an der
University of Arizona, Herrn Prof. Dr. D. L. Stein, richten. Ich werde die zahlreichen lebhaften und
interessanten Diskussionen, in denen ich viel lernen durfte und die letztendlich zu der hier vorliegenden
Arbeit geführt haben, gerne in Erinnerung behalten.
Ein weiteres Dankeswort möchte ich meiner Familie aussprechen, die mich in meinem Vorhaben
immer unterstützt hat. Auch ohne sie wäre diese Arbeit nicht denkbar gewesen.
Darüber hinaus möchte ich mich für die ideelle und finanzielle Unterstützung des Evangelischen
Studienwerks, Villigst, das mich über meine gesamte Studienzeit begleitet hat, bedanken, genauso wie
für die Ermöglichung meines Auslandsaufenthaltes durch das Akademische Auslandsamt in Heidelberg.
Dankbar bin ich auch für das gebührenfreie Studium in Konstanz und Heidelberg, das mir die
Gelegenheit dazu gab, mich in meinen Interessen weiter zu entfalten und mich individuell weiterzubilden. Ich sehe dies nicht als eine Selbstverständlichkeit an und möchte daher die Gelegenheit nutzen,
die Bedeutung dieser Tatsache für mich an dieser Stelle zu betonen.
65
Erklärung
Ich versichere, daß ich diese Arbeit selbständig verfaßt und keine anderen als die angegebenen Quellen
und Hilfsmittel benutzt habe.
Heidelberg, den ...................
..................................
Unterschrift
67