Kreisbewegung
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13.06.2016 Kreisbewegung Ex. 20.4 (3. Gebot) Du sollst Dir keine Bilder machen von Dingen, die im Himmel, auf der Erde, im Wasser oder unter der Erde sind. Ein Bild sagt mehr als tausend Worte. 1 13.06.2016 Einführung Die Erde dreht sich und alles, was auf der Erde steht oder liegt, dreht sich mit. Wir alle drehen auf einer riesigen Kreisbahn in einem Tag einmal rundum. Kreisbewegungen in überaus vielfältiger Art können wir auf dem Prater beobachten und erleben. Im Riesenrad, auf dem Karussell und beim Looping der Achterbahn bewegen wir uns auf einer Kreisbahn. Aber auch auf der Strasse begegnen wir dieser Bewegung. Auch wenn wir mit dem Auto, Motorrad oder Fahrrad einen Kreisel nur bis zur nächsten Abzweigung befahren, gelten dabei doch die Gesetze der Kreisbewegung. Quelle: (FAZ 26.10.99, Seite T5) Aufgrund der unterschiedlichen Trägheitsmomente unterscheidet sich die Fahrphysik von Bus und PKW vor allem bei Drehbewegungen. Bei geradliniger Fahrt verhalten sich beide annähernd gleich. 2 13.06.2016 Bewegung auf einer Kreisbahn Es variiert die Richtung der Geschwindigkeit Zeit und überstrichener Winkel Vom Vektor zum Mittelpunkt * überstrichener Winkel φ 0 2π *Johannes Kepler (*1571) nannte diesen Vektor „Fahrstrahl“ 5s Zeit t 3 13.06.2016 Die Winkelgeschwindigkeit Einheit ∆ϕ 1 (oder 1 rad) Überstrichener Winkel ∆t ϖ = Zeit zum „Überstreichen“ des Winkels 1s ∆ϕ ∆t 1 1/s Winkelgeschwindigkeit Periode und Winkelgeschwindigkeit Einheit T ϖ = 2π T 1s 1 1/s Periode, Zeit einen Umlauf, Winkel 2π Winkelgeschwindigkeit 4 13.06.2016 Formulierung von Drehungen in einer Ebene • • Drehungen in einer Ebene ändern einen Winkel und lassen den Radius konstant Die Komponenten des Fahrstrahls sind Funktionen von Radius und Winkel Komponenten des Fahrstrahls x r ϕ y Einheit x = r ⋅ cos ϕ y = r ⋅ sin ϕ r ϕ 1m 1m Komponenten des Vektors 1m Betrag, „Radius“ 1rad Winkel 5 13.06.2016 Versuch • Drehimpulserhaltung auf dem Drehschemel – Auf dem Drehschemel mit Drehimpuls null bezüglich der Schemel-Drehachse wird ein rotierendes Rad gebracht, Achse senkrecht zum Schemel – Auf dem Schemel wird die Achse des Rads parallel zur Achse des Schemels gebracht • – die Bewegung des Schemels erhält Drehimpuls null bezüglich der Schemelachse aufrecht Zum Versuch Drehimpulserhaltung auf der Drehbühne 6 13.06.2016 7 13.06.2016 Erläuterung zum Versuch „Drehimpulserhaltung im abgeschlossenen System“ Unterlage, Drehteller, Rad und Personen bilden das abgeschlossene System, Drehimpuls Null. Beim Andrehen des Rads erscheint am Rad der Drehimpuls (rot) der durch den Drehimpuls auf den Rest des Systems (blau) kompensiert wird. Das Trägheitsmoment des restlichen Systems um die horizontale Achse ist so groß, dass die Winkelgeschwindigkeit minimal bleibt Ein Experimentator hat die Bühne verlassen, was für das weitere ohne Belang ist. Die Achse der rotierenden Scheibe wird vom Experimentator auf dem Drehteller von der horizontalen in die vertikale Lage gebracht. Der kompensierende Drehimpuls folgt. Die Achse der Scheibe steht senkrecht, der kompensierende Drehimpuls ebenso: Das Trägheitsmoment von Experimentator und Drehteller ist vergleichbar mit dem des Rads, der Drehimpuls ist als Rotation des Drehtellers mit dem Experimentator zu erkennen, Drehsinn umgekehrt zu dem des Rads. Die Winkelgeschwindigkeiten von Rad und Experimentator samt Drehteller verhalten sich wie die Kehrwerte der Trägheitsmomente dieser Komponenten. 8 13.06.2016 "Wie kann man eine Bewegung auf einer Kreisbahn am besten beschreiben?" • Der Winkel ϕ wird im Bogenmaß als Verhältnis der zu ihm gehörenden Größen von Kreisbogen b und Kreisradius r angegeben: ϕ = b/r • Die Länge des Kreisbogens kann man mit einem einfachen Dreisatz berechnen. Der Bogen über einem 60°Winkel z.B. ist des vollen Umfanges U, α α da 6·60°= 360°. b =U ⋅ = 2πr ⋅ • Eine Kreisbewegung heißt gleichförmig, falls in gleichen Zeitabschnitten gleiche 360 360 Winkel überstrichen werden. • • Die Winkelgeschwindigkeit ω ist das Verhältnis des überstrichenen Winkels ∆ ϕ zur dabei verflossenen Zeit ∆t: ω = ∆ ϕ/ ∆t. Die Winkelgeschwindigkeit ω ("omega") nennt man auch Kreisfrequenz. Eine Kreisbewegung heißt gleichförmig, falls die Winkelgeschwindigkeit ω konstant ist. • Die Zeit für einen Umlauf auf einer Kreisbahn nennt man Umlaufszeit oder Periode. Man verwendet für sie das Formelzeichen T. Die Einheit von T ist die Sekunde. ∆ϕ ∆t = 2π / T Translation und Rotation 9 13.06.2016 Die Winkelgeschwindigkeit Einheit ω= ∆ϕ ∆t v =ω⋅r Farbe in der Abbildung Vektor in Richtung der 1 1/s=1Hz Drehachse, grün Bahngeschwindigkeit, 1 1m/s orange Trägheitsmoment Zwei Zylinder haben die gleiche Masse, trotzdem beschleunigt der Hohlzylinder langsamer. Der Hohlzylinder speichert bei gleicher Drehgeschindigkeit mehr Rotationsenergie als der Vollzylinder. Bei gleicher Abnahme der potenzieller Energie bleibt für die lineare kinetische Energie ein geringerer Anteil 10 13.06.2016 Trägheitsmoment Während die Masse m eines Körpers eine unveränderliche Größe darstellt, ist dies für das Trägheitsmoment des Körpers nicht der Fall, denn dieses hängt von der Form des Körpers und der Wahl der Drehachse ab. Im Fall der Vollscheibe werden viele einzelne Massenstückchen mn definiert und die dazugehörigen Abstände rn bestimmt, um die einzelnen Trägheitsmomente mnrn2 aufzusummieren. Trägheitsmoment Winkelbeschleunigung: α= ∆ω ∆t Abhängigkeit der Winkelbeschleunigung von der wirkenden Kraft: α = const ⋅ M Trägheitsmoment: Drehmoment: I = m⋅r2 M = I ⋅α 11 13.06.2016 Der Drehimpuls Einheit L = I ⋅ω 1 m2 kg/s I = m⋅r2 1 m2 kg Vektor in Richtung der Drehachse, grün Trägheitsmoment für einen Massenpunkt m Abstand r von der Achse Der Drehimpuls und Bahnimpuls Einheit L =r⋅ p p = m⋅v v = r ⋅ω 1 m2 kg/s Drehimpuls 1 m kg/s Bahnimpuls p, orange 1 m/s Bahngeschwindigkeit 12 13.06.2016 Drehimpulse bei beschleunigter Drehung Einheit L = I ⋅ω Farbe in der Abbildung 1 m2 kg/s Vektor in Richtung der Drehachse, grün Drehmoment bei beschleunigter Bewegung Einheit M = I ⋅α α= ∆ω ∆t 1 1/s2 1 1/s2 Drehmoment, Vektor in Richtung der Drehachse, Winkelbeschleunigung 13 13.06.2016 Winkelgeschwindigkeit, Drehimpuls und Drehmoment auf der Kreisbahn Einheit ω= α= ϕ t ω t I = m⋅r 2 L = I ⋅ω M =I⋅ ∆ω ∆t Begriff 1 1/s Winkelgeschwindigkeit 1 1/s2 Winkelbeschleunigung 1 m2 kg Trägheitsmoment für einen Massenpunkt m Abstand r von der Achse 1 m2 kg/s Drehimpuls für einen Massenpunkt 1 m2 kg/s2 Drehmoment Drehimpuls, Drehmoment und Trägheitsmoment sind bezüglich der Drehachse definiert: Diese Größen ändern sich bei Änderung von Ort und Richtung der Achse Der Satz von der Drehimpulserhaltung • Wirken auf ein abgeschlossenes System von Massenpunkten keine äußeren Kräfte, dann bleibt die Summe der Drehimpulse zeitlich konstant Einheit r r m L 1 kg ∑ i = LS = const s i =1 N Die Summe der Impulse ist konstant Die Gesetze zur Energie- Impuls- und Drehimpulserhaltung bleiben bei allen Vorgängen in der Natur erfüllt Weitere Erhaltungssätze gibt es nur noch für Teilchenzahlen 14 13.06.2016 Drehmoment Drehmomentschlüssel r=0,4m F=50N r=0,2m F=100N Achtung: M darf nicht mit der Arbeit verwechselt werden Dimension: [Nm] Beim Drehmoment wirkt nur die Kraftkomponente senkrecht zum Hebelarm Im nicht abgeschlossenen System wirkt ein Drehmoment Wenn du mit dem Fuß eine Kraft auf das Pedal ausübst, so erzeugt diese Kraft eine Drehwirkung an der Kurbel. Man sagt, diese Kraft erzeugt ein Drehmoment. Kraft Wovon ist dieses Drehmoment abhängig? 15 13.06.2016 Wovon ist dieses Drehmoment abhängig? Kraftarm r Wirkungslinie Kraft Das Drehmoment ist abhängig - vom Betrag der Kraft F - von der Kraftrichtung - vom Abstand r der Drehachse zur Wirkungslinie der Kraft (Kraftarm) Wie hängen Kraft, Kraftarm und Drehwirkung zusammen? Wirkungslinie r Kleinerer Kraftarm r → kleineres Drehmoment Kleinerer Kraftarm r und kleinere Kraft F → kleineres Drehmoment 16 13.06.2016 Wirkungslinie Kraftarm r Kraft F Das Drehmoment M = Fr einer Kraft F ist das Produkt aus ihrem Betrag F und dem Kraftarm r. Einheit: 1Nm Welche Kraft wirkt nun in der Kette? Kraft FP Was wäre zu beobachten, wenn nur die Kraft FP ein Drehmoment im Uhrzeigersinn erzeugen würde? Die Drehfrequenz von Kurbel, Kette und Zahnkranz nähme zu. 17 13.06.2016 Welche Kraft wirkt nun in der Kette? Kraft FK rK rP Kraft FP Die Kraft FK erzeugt am Kettenblatt ein Drehmoment gegen den Uhrzeigersinn. Sind beide Drehmomente gleich groß, bleibt die Drehfrequenz konstant – man spricht vom Drehmomentgleichgewicht. Somit gilt also: FP rP = FK rK bzw. FK = rP FP rK Mit welcher Kraft wirkt ein Bremsklotz auf die Felge? Bremszug 40 N 10 cm 160 N 2,5 cm Drehachse 18 13.06.2016 Welche Kraft wird mit dem Bremszug übertragen? 40 N 3 cm 20 N Drehachse 6 cm Drehmoment Die Drehwirkung hängt nicht nur vom Betrag der Kraft F ab, sondern auch von ihrer Richtung. FDreh = F ⋅ sin α Die Drehwirkung ist zusätzlich abhängig von der Länge des Hebelarms r. M = FDreh ⋅ r = F ⋅ r ⋅ sin α r r r r r M = F × r → M = F ⋅ r ⋅ sin γ (Vektorprodukt) 19 13.06.2016 • Kraft zur Änderung der Bewegungsrichtung Kräftefrei Zentripetalkraft wirkt Zentripetalkraft 20 13.06.2016 Zentripetalkraft und Beschleunigung auf der Kreisbahn Vektoren für Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Kraft Zentripetal- und Trägheitskraft auf der Kreisbahn Zentripetalbeschleunigung Zentripetalkraft Zentrifugalkraft Den Eintritt in die Kreisbahn erzwingt eine reale Kraft, die Zentripetalkraft Gleichzeitig erscheint die der Zentripetalkraft entgegengesetzte, aber gleichgroße Trägheitskraft, die Zentrifugalkraft 21 13.06.2016 • Bewegung auf einer Kreisbahn mit Winkelgeschwindigkeit ω: • Die zur Zentripetalbeschleunigung erforderliche Haltekraft heißt „Zentripetalkraft“ • Die dieser Kraft entgegengesetzt gleichgroße Trägheitskraft heißt „Zentrifugalkraft“ • Betrag beider Kräfte: F = m · r · ω2 [N] 22 13.06.2016 Ia = Ib Ia > Ic Ia < Ic Ia = Ic Der auf der Spitze stehende und am Faden hängende Kreisel Das Bild k ann zurzeit nicht angezeigt werden. 23 13.06.2016 r z Lz r ∆Lr r L r α Lr r ω Laborsystem: Schwerer Kreisel r l S r r ∆L M= ∆t ϑ y O r r r M =l ×F x Der „Aufstehkreisel“ (Tippy-Top) und das rotierende Frühstücksei S < < 24 13.06.2016 r r L, ω r ez ' ϑ r r r M = l × FR r l r FR − Gleitreibung Weitere Beispiele • • • • • Kreisel - Erde Gewehrlauf - Drehimpuls Katze Turmspringen Rohes Ei – gekochtes Ei 25 13.06.2016 Beispiel: Hurricane Beispiel: Raumfahrt Schwerelosigkeit im Orbit ~ Σ Künstliche Schwerkraft „Unten“ = radial FG = mg Fz ω F=0 r Fz r Fz r Fz r Fz 26 13.06.2016 Beispiel: Geodit (Erdform) ≈ Rotationsellipsoid definiert NN (Normal-Null), RÄquator ≈ RPol + 20 km Beispiel: Gezeiten ~ ωr Σ Mond Erde Flutberg Flutberg r FZ Schwerpunkt: Σ r FGrav r FGrav r r FZ FGrav r FZ Mond r FGrav Gravitationskraft des Mondes r FZ Zentrifugalkraft durch Rotation um Schwerpunkt Experiment: Rolle mit Faden Kein Drehmoment 27 13.06.2016 iv) Erdpräzession r F1 r F2 r ωp r ωE r M1 r F1 zur Sonne Sonnenanziehung > Zentrifugalkraft Sonnenanziehung < Zentrifugalkraft ωp = S1 2π 26000 Jahre Ekliptik (Ebene der Erdumlaufbahn um die Sonne) r F2 S2 Erde r M2 (Rotationsellipsoid) Zusätzlich: Rotationsachse ≠ Figurenachse ⇒ Nutation ωN = 2π 305 Tage iii) Kreiselkompass r L r ⊗M Drehmoment durch Erddrehung ⇒ Nord – Süd – Ausrichtung West Erddrehung ωE Ost 28 13.06.2016 Rotationsenergie Translation: kinetische Energie: E=mv²/2 Bei der Rotation ist: v=rω, eingesetzt in E ergibt das: Erot=m ω²r²/2 und I=mr² (Trägheitsmoment) Insgesamt: Erot=I ω²/2 (Beispiele: Schwungräder, Spin) 29
