Einführung in die Physik

Einführung in die Physik
für Pharmazeuten und Biologen (PPh)
Mechanik, Elektrizitätslehre, Optik
Übung :
Vorlesung:
Tutorials:
Montags 13:15 bis 14 Uhr, Butenandt-HS
Montags 14:15 bis 15:45, Liebig HS
Montags 16:00 bis 17:30, B00.019, C3003, D0001
Web-Seite zur Vorlesung :
http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/wise_07_08/pph/
Vorlesung Physik für Pharmazeuten : PPh - 04
Impuls
Drehimpuls und Drehmoment
Starrer Körper
- Schwerpunkt und Trägheitsmoment
- Hebelgesetz, Drehmoment,
Impuls
p = m⋅v
Definition des Impulses
als „Bewegungszustand“ (Newton)
Exakte Formulierung des 2. Newtonsche Axiom (Aktionsprinzip)
Ursache für eine Änderung des Bewegungszustands ist eine Kraft. Sie
ist definiert als die Ableitung des Impulses nach der Zeit
d
F= p
dt
Beweis :
r
r
F ⋅ dt = dp
[Tafel 1a]
für m=const.
F = m ⋅a
d
d
d
F = p = (m ⋅ v ) = m ⋅ v = m ⋅ a
dt
dt
dt
Kraftstoß=Impulsänderung
Aufprall Tennisball an einer
Wand
v'
v
mit F = m a
[Tafel 1b]
und
F(z) = ?
bisher: Massepunkt im äusseren Kraftfeld: gleichförmig
beschleunigte Bewegung, Kreisbahn, Kraft, Energie.
Jetzt: Stoß
Impuls und Kraftstoß
Experiment
[Tafel 2]
Impulserhaltungssatz
In einem abgeschlossenen System (keine äußeren Kräfte)
bleibt der Gesamtimpuls konstant
∑m ⋅v
i
i
= const
Anwendungsbsp.
Impulserhaltungssatz
m1
v1
"Inverses"
Skateboard
Experiment
m2
m1
m2
v2
Aus dem Wechselwirkungssatz (Actio=Reactio) folgt:
Die Kräfte auf Wagen 1 und Wagen 2 sind zu jedem Zeitpunkt
gleich groß aber entgegengerichtet.
m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 = 0
Keine äußeren Kräfte, d.h. der Gesamtimpuls ist konstant
Weiters Bsp: Der zentrale Stoß (1D)Impulsbilanz
v1
vorher
v2
nachher
m1 v1 + m2 v 2 = m1 v1′ + m2 v′2
Impulserhaltung
[Tafel 3a]
Beispiel: Elastische Proton-Proton
Streuung (3D)
90°
Nach dem Stoß schließen die
Bahnen einen Winkel von 90°
ein.
Kollision von zwei Billardkugeln
(im Zeitlupenverfahren gefilmt)
aus Dransfeld et al.
[Tafel 3b]
Der zentrale, maximal inelastische
Stoß
v1
v2
v1’ =v2’=v’
nachher
vorher
Impulserhaltung
m1 v1 + m2 v 2 = (m1 + m2 ) v′
Betrachte Spezialfall v2=0
Energie vor dem Stoß
Evor =
m1 2
v1
2
[Tafel 4, Experiment]
Energie nach dem Stoß :
Enach =
m1 + m2 2
m1
m1 2
v′ =
v1
2
(m1 + m2 ) 2
Chemische Reaktionen :
auch reaktive Stöße müssen den Impulssatz erfüllen
A + BC ⎯⎯→ AB + C
K
r
r
r
r
p A + pBC = p AB + pC
Ekin ( A) + Ekin ( BC ) =
Ekin ( AB) + Ekin (C ) + ∆Echem
Die kinetische Energie ist nicht
erhalten, sondern hängt von der
Umwandlung „innerer Energie“ ab.
Energiebilanz
für endotherme und exotherme Reaktionen
Drehimpuls
Kreuzprodukt
r
r r
c = a ×b
v
a
r
b
r
c
„Rechte-Hand-Regel“
Beispiel Bahngeschwindigkeit
v
ω
m
v
v
v
r
v
r r r
v =ω×r
ω
v
r
v
v
„Rechte-Hand-Regel“
„Korkenzieherregel“
Definition Drehimpuls (L)
v
ω
m
v
v
v
ω
v
r
: Winkelgeschwindigkeit
: Bahnvektor
m : Masse
v
r
Definition Drehimpuls
L = r×m v
Der Drehimpuls hat die Einheit kg·m2/s
Drehimpuls als Vektor
L
v
ω
v
r
v
v
[Tafel 5]
v v v
v =ω×r
v r
r
L = r × mv
Erhaltung des Drehimpulses
Bei Abwesenheit eines äußeren Drehmoments (M)
bleibt der Drehimpuls konstant.
r
r
M = 0 ⇒ L = const
[Experiment: Drehstuhl]
DrehimpulsErhaltungssatz
Der Drehimpuls ist auch bei
nicht-kreisförmigen Bewegungen erhalten.
Der Drehimpuls bezieht sich immer auf einen (Dreh)-Punkt
Definition Drehmoment M
l : Länge des Hebels
Kraft senkrecht auf Hebel
M =l×F
[Nm]
Drehpunkt
F
Drehmoment= Hebelarm *Kraft
l
F
α
α
F ⋅ sin(α )
Kraft wirkt unter beliebigem Winkel
D
M = l ⋅ Fsenkr . = l ⋅ F ⋅ sin(α )
Mechanisches Gleichgewicht
l1
F1
F1 ⋅l1 = F2 ⋅l 2
l2
D
(Hebelgesetz)
F2
„Kraft mal Kraftarm=
Last mal Lastarm“
Experiment: Balkenwaage
Ein Körper ist dann im Gleichgewicht,
wenn die Summe aller äußerer Kräfte und
die Summe aller Drehmomente Null ist.
Anwendungen des Hebelgesetzes:
Brechstange, Schere, Schubkarre,
Getriebe, Gliedmaßen, Baukran ...
Das Drehmoment (M) als
Vektorprodukt
v v v
M = r ×F
Eigenschaften :
v v
M ⊥r
v
v
M ⊥F
v
v v
M = r ⋅ F ⋅ sin(α )
v v
v v
r × F = −F × r
Rechte-Hand-Regel
Es trägt nur die Projektion auf die
Senkrechte bei
Das Kreuzprodukt ist antikommutativ!
Grundgleichung der rotierenden
Bewegung
v r
r
L = r × mv
r
dL r r r
= M = r ×F
dt
(analog zu dp/dt=Fa)
Erhaltungsgrößen für
Punktmassen-Systeme
„Abgeschlossenes System“ :
* Keine äußeren Kräfte
* nur WW-Kräfte
* Inertialsystem
In einem abgeschlossenen System gilt :
Der Gesamtimpuls ist erhalten.
Die Gesamtenergie ist erhalten.
(einschließlich der Wärme in nicht konservativen Systemen)
Der Gesamtdrehimpuls ist erhalten.
Schwerpunkt
m2
Def.
M = ∑ mi
rs
Gesamtmasse
m ⋅r
∑
=
∑m
i
i
Schwerpunkt
m1
rs
m3
i
Bei Einwirkung einer äußeren Kraft Fext : Der Schwerpunkt
bewegt sich so, als ob die gesamte Masse in ihm vereinigt wäre
und die Summe aller äußeren Kräfte auf ihn wirkt.
d 2 rS
M 2 = Fext
dt
(Schwerpunktsatz)
Der Schwerpunkt eines abgeschlossenen Systems ist unbeschleunigt.
Aussagen über den Schwerpunkt
-Kräfte, die am Schwerpunkt angreifen, wirken auf einen
ausgedehnten Körper, wie Kräfte auf einen Massepunkt.
Schwerpunkt=„Gravitationszentrum“
∑l m ⋅ g = l
i
i
SP
M ges ⋅ g
Die Summe aller Drehmomente =
Drehmoment der ges. Masse im Schwerpunkt
Ein Körper, der am Schwerpunkt
aufgehängt wird, erfährt im
Schwerefeld kein Drehmoment.
[Experiment Schwerpunktsbrett]
Motivation Trägheitsmoment (I)
Motivation :
Das Trägheitsmoment ist die „träge Masse“ der Drehbewegung
L = r × mv = mr 2 ⋅ ω = I ⋅ ω
„Drehimpuls“ = „Drehträgheit“ mal “Drehgeschwindigkeit“
dL / dt = M = I ⋅ dω dt
„Drehkraft“ = „Drehträgheit“ mal “Drehbeschleunigung“
Definition : Trägheitsmoment I
Einzelne Massenpunkte
I = ∑ mi ⋅ ri
i
2
Achse
Trägheitsmoment
einer kontinuierlicher
Massenverteilung
I = ∑ mi ⋅ ri ⇒ ∫ r dm
2
2
i
r
Achse
dm
Dynamik starrer Körper
Wurfparabel eines starren Körpers
• Schwerpunkt beschreibt Wurfparabel M aSchwerpunkt =Fa
r
r
L = Iω
• Rotation um den Schwerpunkt:
Die Bewegung eines ausgedehnten Körpers lässt sich immer
zusammensetzen aus der Translation des Schwerpunkts und die Rotation
des Körpers um den Schwerpunkt. Der freie starre Körper hat sechs
Freiheitsgrade der Bewegung.
Rotationsenergie
Jedes einzelne Masse-Element
besitzt die kinetische Energie
m 2 m 2 2
v = ω r
2
2
Gesamtenergie:
ERot
mi 2 2 1
I 2
2
2
∑ 2 ri ω = 2 ∑ mi ri ⋅ ω = 2 ω
i
i
I 2
= ω
2
Rotationsenergie
eines starren Körpers
Analogien zwischen Translations- und
Rotationsbewegungen
Ort
Translation
v
r
Beschleunigung
v
v
v
a
Masse
m
Geschwindigkeit
v
v
v dp
F = m⋅a =
Kraft
dt
v
v
p
=
m
⋅
v
Impuls
m 2
Kinetische Energie
⋅v
2
Rotation
Winkel
ϕ
v
Winkelgeschw.
ω
Winkelbeschl.
v
α
2
I
=
m
r
∑ iiv
Trägheitsmoment
v
v dL
Drehmoment M = I ⋅ α =
dt
v
v
Drehimpuls
L = I ⋅ω
I
Rotationsenergie
⋅ω 2
2