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Wichtige Begriffe der Vorlesung:
Arbeit, Energie
Starrer Körper: Drehmoment, Drehimpuls
Impulserhaltung
Energieerhaltung
Drehimpulserhaltung
Symmetrien
Mechanische Eigenschaften fester Körper
Energiesatz der Mechanik
Wenn nur konservative Kräfte wirken,
also keine Reibung auftritt, dann gilt:
Die Summe aus potentieller und kinetischer
Energie eines abgeschlossenen Systems ist
unveränderlich.
E pot + E kin = E tot = const.
!
Beispiel : Die schiefe Ebene
Epot + Ekin = const = Etot
Anfang
m
2
v max = mgh
2
E tot = E pot = m " g " h
!
h
α
!
v max = 2gh
Ende
E tot = E kin
m
2
= v max
2
Lösung des Pendelproblems
mit Hilfe des Energiesatzes
Das Pendel
E tot = E kin + E pot = const.
Es gibt 2 ausgezeichnete Punkte:
1.) Maximalausschlag
!
" = " max
E tot = E pot (" max ) = mgh
2.) Tiefpunkt
!
!
" =0
E tot = E kin
2
mv max
=
2
!
1.) +2.)
!
v max = 2gh
Der allgemeine Energieerhaltungssatz
- In einem abgeschlossenen System ist die Gesamtenergie konstant.
- Energie kann man weder vernichten noch erzeugen.
- Die Energieformen können nur ineinander umgewandelt werden.
- Dies schließt alle Formen von Energie ein. (Elektrische,
mechanische, chemische Energie, Wärmeenergie, etc.)
Perpetuum mobile
Die von nicht-konservativen Kräften verrichtete Arbeit, WNK
entspricht der Änderung der mechanischen Gesamtenergie
!E ges = !E pot + !Ekin = Wdissipativ
Die Leistung
Die Leistung P ist definiert als die verrichtete
Arbeit pro Zeiteinheit.
dW
P=
dt
Einheit: 1 W(att)=1 J/s=1 kg m2/s3
- Ein Mensch kann ca. 100 W Dauerleistung leisten (Glühbirne).
- 1 PS entspricht 735,5 W
Drehbewegungen und der starre Körper
Versuch
Punktmassen-Systeme
„Abgeschlossenes System“ :
* keine äußeren Kräfte
* nur WW-Kräfte
* Inertialsystem
In einem abgeschlossenen System gilt :
Der Gesamtimpuls ist erhalten.
Die Gesamtenergie ist erhalten.
(einschließlich der Wärme in nicht konservativen Systemen)
Der Gesamtdrehimpuls ist erhalten.
Der starre Körper
- bisher: Bewegung von Massepunkten. Reine
Translationsbewegungen.
- jetzt: ausgedehnte Körper. Translations- und
Rotationsbewegungen.
B
A
B
A
Wirkungslinie
Kräfte wirken entlang der
Verbindungslinie:
Gleichgewicht
Kräfte wirken nicht entlang der
Verbindungslinie:
Rotation
Neu : Es wirkt ein „Drehmoment“
Drehmoment
l : Länge des Hebels
Kraft senkrecht auf Hebel
M =l!F
(N ! m)
D
F
Drehmoment= Hebelarm * Kraft
l
F
α
F ! sin(" )
α
Kraft wirkt unter beliebigem Winkel
D
M = l " Fsenkr . = l " F " sin(! )
Mechanisches Gleichgewicht
l1
F1
F1 !l1 = F2 !l 2
l2
D
F2
(Hebelgesetz)
„Kraft mal Kraftarm=
Last mal Lastarm“
Ein Körper ist dann im Gleichgewicht,
wenn die Summe aller äußerer Kräfte und
die Summe aller Drehmomente Null ist.
Anwendungen des
Hebelgesetzes:
Brechstange, Schere, Schubkarre,
Getriebe, Gliedmaßen, Baukran ...
!
Das Drehmoment als Vektorprodukt
v v v
M =r"F
Eigenschaften :
v v
M !r
v
v
M !F
v
v v
M = r " F " sin(! )
v v
v v
r ! F = "F ! r
Rechte-Hand-Regel
Es trägt nur die Projektion auf die
Senkrechte bei
Das Kreuzprodukt ist antikommutativ!
Schwerpunkt
Def.
mges = ! mi
rs
i
m1
Gesamtmasse
m "r
!
=
!m
i
m2
rs
Schwerpunkt
m3
i
Der Schwerpunkt eines abgeschlossenen
Systems ist unbeschleunigt.
Bei Einwirkung einer äußeren Kraft Fext beschleunigt sich der
Schwerpunkt gemäß :
2
mges
d rS
= Fext
2
dt
(Schwerpunktsatz)
Aussagen über den Schwerpunkt
- Kräfte, die am Schwerpunkt angreifen, wirken auf einen
ausgedehnten Körper wie Kräfte auf einen Massepunkt.
Schwerpunkt=„Gravitationszentrum“
!l m g = l
i
i
SP
mges g
Die Summe aller Drehmomente =
Drehmoment der ges. Masse
im Schwerpunkt
Ein Körper, der am
Schwerpunkt aufgehängt wird,
erfährt im Schwerefeld kein
Drehmoment.
Drei Gleichgewichtsarten
Stabiles GGW:
Jede Verrückung x erhöht
die Lage des
Schwerpunktes
d 2 E pot
dx 2
>0
Kleine Auslenkung x
=> Rückstellkräfte
Frück~ - x
Labiles GGW:
Jede Verrückung erniedrigt
die Lage des
Schwerpunktes
Indifferentes GGW:
Jede Verrückung läßt die
Lage des Schwerpunkts
unverändert
Der Drehimpuls
v
!
m
v
v
v
! : Winkelgeschwindigkeit
v
r : Bahnvektor
m : Masse
v
r
Definition
Bahngeschwindigkeit
r r r
v ="!r
Drehimpuls :
r r
r
L = r " mv
Der Drehimpuls hat die Einheit kg·m2/s
Der Drehsinn: Winkelgeschwindigkeit als Vektor
v
!
m
v
v
r r r
v =" #r
v
r
v
!
v
r
!
v
v
„Rechte-Hand-Regel“
„Korkenzieherregel“
Drehimpuls als Vektor
v v v
v =" #r
v r
r
v
L = r " mv = I # $
v
!
v
r
v
v
v
!
v
r
!
!
v
v
Was passiert, wennvein Drehmoment wirkt?
!L
v
v
v
L
v v
dL v
F v
= M " #L = M $ #t
M
dt
v
r
v
v
! L parallel M
!
Erhaltung des Drehimpulses
Wir betrachten die zeitliche
Ableitung des Drehimpulses L
dL
=M
dt
!
dL
d (mv )
= r!
= r ! Fa = M
dt
dt
Grundgleichung der
rotierenden Bewegung
(analog zu dp/dt=Fa)
Bei Abwesenheit eines äußeren Drehmoments
bleibt der Drehimpuls konstant.
r
r
M = 0 ! L = const
(DrehimpulsErhaltungssatz)
Der Drehimpuls ist auch bei
nicht-kreisförmigen Bewegungen erhalten.
Der Drehimpuls bezieht sich immer auf einen (Dreh)-Punkt
Motivation :
Trägheitsmoment
Das Trägheitsmoment ist die „träge Masse“ der Drehbewegung
r r
r$ 2
L = r # mv = mr " ! = I " !
„Drehimpuls“ = „Drehträgheit“ mal “Drehgeschwindigkeit“
M = I " d! dt
„Drehkraft“ = „Drehträgheit“ mal “Drehbeschleunigung“
Definition : Trägheitsmoment I
Einzelne Massenpunkte
I = " mi ! ri
i
2
Achse
Trägheitsmoment einer
kontinuierlichen Massenverteilung
2
I = " mi $ ri # ! r 2 dm
i
r
Achse
dm
Rotationsenergie
Jedes einzelne Masseelement
besitzt die kinetische Energie
m 2 m 2 2
v = " r
2
2
!
Gesamtenergie:
I 2
= !
2
!
ERot
mi 2 2 1
I 2
2
2
" 2 ri # = 2 " mi ri $ # = 2 #
i
i
Rotationsenergie
eines starren Körpers
Dynamik starrer Körper
Wurfparabel eines starren Körpers
• Schwerpunkt beschreibt Wurfparabel M aSchwerpunkt =Fa
r
r
L = I!
• Rotation um den Schwerpunkt:
Die Bewegung eines ausgedehnten Körpers lässt sich immer
zusammensetzen aus der Translation des Schwerpunkts und die
Rotation des Körpers um den Schwerpunkt. Der freie starre
Körper hat also sechs Freiheitsgrade der Bewegung.
Analogien zwischen Translationsund Rotationsbewegungen
Ort
Translation
v
r
Beschleunigung
v
v
v
a
Masse
m
Geschwindigkeit
v
v
v dp
F = m!a =
Kraft
dt
v
v
p = m!v
Impuls
m 2
Kinetische Energie
!v
2
Rotation
Winkel
Winkelgeschw.
Winkelbeschl.
!
v
!
v
!
2
I
=
m
r
! i iv
Trägheitsmoment
v
v dL
Drehmoment M = I ! " =
dt
v
v
Drehimpuls
L = I !"
I
Rotationsenergie
!" 2
2
Symmetrieachsen und freie Achsen
Feste Drehachse
Freie Drehachse
Die Rotation um freie Achsen erfordert kein Drehmoment.
Jeder starre Körper besitzt (mindestens) drei freie Achsen, und
diese stehen senkrecht aufeinander.
Der kräftefreie Kreisel : Nutation
Ein Kreisel ist ein Körper, der sich um eine freie Achse
dreht.
Rotiert ein Körper um eine seiner freien Achsen, sind Drehachse
und Drehimpuls parallel zueinander.
Kreisel im Schwerefeld : Präzession
von oben:
DF
Das Rad läuft um die
Aufhängung mit Umlauffrequenz
L
DL
v
!L v
=M
!t
v v
! L = L " !#
v
M !"
v =
L
!t
Höhere Drehimpulse stabilisieren die Drehachse
Präzession des Kreisels