Energie Federpendel - mathphys

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Energie bei Schwingungen
Theorie
Jede harmonische Schwingung ist durch mindestens zwei Energieformen, die ineinander übergeführt werden können, gekennzeichnet. Es muss der Energieerhaltungssatz der Mechanik gelten:
Eges = const
Bei Federpendel wird kinetische Energie in Spannenergie und umgekehrt verwandelt.
1
1
2
2
Ekin =  m 0  v , Espann =  D  y
⇒
Ekin  Espann = const
2
2
Momentane Elongation: y ( t) = y0  sin ( ω  t  φ)
Geschwindigkeit:
v ( t) =
d
dt

y0  sin (ω  t  φ) = y0  ω  cos (ω  t  φ)



1
1
2
2
Ekin  Epot =  m 0  y0  ω  cos ( ω  t  φ)   D  y0  sin ( ω  t  φ)
2
2
Aus der Differentialgleichung der harmonischen Schwingung folgt: D = m 0  ω
2
1
1
2 2
2
2
2
2
Ekin  Epot =  m 0  y0  ω  ( cos ( ω  t  φ) )   m 0  ω  y0  ( sin ( ω  t  φ) )
2
2
Ausklammern:
1
1
2 2
2
2
2 2
Ekin  Epot =  m 0  y0  ω  ( cos ( ω  t  φ) )  ( sin ( ω  t  φ) )  =  m 0  y0  ω
2
2
1
2 2
Der Term E0 =  m 0  y0  ω ist konstant.
2
1
2
Umformung: E0 =  D  y0
2
Bemerkung:
E0 ist die Gesamtenergie, aber auch die Amplitude der kinetischen Energie und der Spannenergie.
Beispiel 1
1 

Gegeben ist die Elongation einer Masse m 0 = 0.12  kg mit y ( t)  5.0  cm  cos  2.50  π   t.
s


a) Berechnen Sie die Richtgröße D.
b) Berechnen Sie die Funktion der Spannenergie Espann ( t) und stellen Sie beide Abhängigkeiten graphisch dar.
c) Berechnen Sie die Funktion der Geschwindigkeit v ( t) und der konetischen Energie Ekin ( t)
und stellen Sie beide Abhängigkeiten graphisch dar.
d) Zeigen Sie graphisch, dass der Energieerhaltungssatz erfüllt ist.
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Energie bei Schwingungen
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Teilaufgabe a)
2
1

D   2.50  π    0.12  kg
s

1
ω  2.50  π 
s
D  7.4 
N
m
Teilaufgabe b)
 7.9  t 

 s 
2
Espann ( t) 
1
2
 D  ( y ( t) )
2
93.0  cm  kg  cos 
2
Espann ( t) 
2
s
0.06
0.01
0.005
0.02
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
 0.02
 0.005
Spannenergie in J
Elongation y in m
0.04
 0.04
 0.06
 0.01
Zeit t in s
Elongation y in m
Spannenrgie in J
Teilaufgabe c)
v ( t) =
d
y ( t) =
dt
v ( t)  0.393
Ekin =
1
2
1 
1 
1




 5.0  cm  cos  2.5  π   t  = 0.050  m   2.5  π    sin  2.5  π   t
s 
s 
s



dt 
d
1 

 sin  2.5  π   t
s
s 

m
 m 0  ( v ( t) )
2
1 
 
Ekin ( t) =  m  v0   sin  2.5  π   t 
2
s 
 
1
2
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Energie bei Schwingungen
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2
Ekin ( t)  9.267  10
3
1 
 
 J   sin  2.5  π   t 
s 
 
2
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0.01
Elongation y in m
0.3
0.005
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
 0.1
 0.005
Kinetische Energie in J
0.4
 0.3
 0.4
 0.01
Zeit t in s
Elongation y in m
Geschwindigkeit v in m/s
Teilaufgabe d)
Eges ( t)  9.267  10
3
J
Elongation y in m
0.01
0.0075
0.005
0.0025
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Zeit t in s
Spannenergie
Kinetische Energie
Gesamtenergie
In folgendem Beispiel wird nicht nur die Spannenergie berücksichtigt, sondern auch die potentielle
Energie im Schwerefeld der Erde.
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Beispiel 2
Am unteren Ende einer vertikal aufgehängten
N
Feder mit der Federkonstanten D  7.4 
m
wird ein Körper befestigt, dessen Masse m so
groß ist, dass die Masse der Feder vernachlässigt werden kann. Der Körper und die
Schraubenfeder bilden zusammen ein FederSchwere-Pendel.


Durch die Gewichtskraft FG des Pendelkörpers wird die Feder um Δy vorgedehnt
(siehe die in der Skizze eingezeichnete


Vordehnung Δy). Wird das Pendel in
vertikaler Richtung ausgelenkt und dann
losgelassen, so schwingt der Pendelkörper längs einer vertikalen Achse auf
und ab. Für die bei der Schwingung
auftretenden Dehnungen der Feder gilt
das Hookesche Gesetz. Dämpfungsverluste
sind vernachlässigbar klein.
a) Nennen Sie die drei mechanischen Energieformen, die bei der Schwingung des Federpendels
eine Rolle spielen, und erläutern Sie die Energieumwandlungen, die bei der Bewegung des
Pendelkörpers vom oberen Umkehrpunkt bis zum unteren Umkehrpunkt stattfinden.
b) Stellen Sie die Energien graphisch dar.
Teilaufgabe a)
Energie im oberen Umkehrpunkt:
Epoto  m 0  g  2  y0
Espanno 
1
Epoto  0.118 J

2
 D  Δy  y0
2
Espanno  0.044 J
Ekino  0
Ekino  0
Egeso  Epoto  Espanno  Ekino
Egeso  0.162 J
Energie in der Gleichgewichtslage:
Epotg  m 0  g  y0
Espanng 
Eking 
1
2
1
2
 D  ( Δy)
Epotg  0.059 J
2
 2
 m 0  v0
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Energie bei Schwingungen
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Espanng  0.094 J
Eking  0.00927 J
Epot
wird umgewandelt
in Ekin und Espann
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Egesg  Epotg  Espanng  Eking
Epot und Ekin
Egesg  0.162 J
werden umgewandelt
in Espann
Energie im unteren Umkehrpunkt:
Epotu  0
Epotu  0
Espannu 
1
2

2
 D  Δy  y0
Espannu  0.162 J
Ekinu  0
Ekinu  0
Egesu  Epotu  Espannu  Ekinu
Egesu  0.162 J
Teilaufgabe b)
Energiediagramm
0.2
T
T
4
2
0.18
 T
Eges  
4
0.16
 
Energien in mJ
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Zeit t in s
Spannenergie
Lageenergie
Bewegungsenergie
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