Mathematik Vertiefungskurs
„Ich habe eben die Ergebnisse in Mathe bekommen, gerade
mit 3,3 geschafft. Was mich aber aus der Fassung gebracht
hat, ist die Tatsache, dass 3/4 des Gesamtjahrgangs
(Maschinenbau) durchgefallen ist. Jetzt weiß ich, warum
alle vor Mathe Schiss haben. Das muss man sich echt auf
der Zunge zergehen lassen: 3/4 von 500 Studenten müssen
die Klausur noch mal schreiben, wenn die nicht bestanden
wird, dann sieht es echt düster mit dem Studium aus“.
F1
Erster vorläufiger Bildungsplan
Jahrgangsstufe 11 : Verbindlicher Teil
(1) Einführung in die Aussagenlogik
(2) Einführung in Beweisverfahren
(3) Gleichungen und Ungleichungen lösen
(4) Folgen, Reihen, Konvergenz
(5) Mengen, Relationen, Graphen
l
(21 Wochen)
(4 Wochen)
(3Wochen)
(5Wochen)
(6 Wochen)
(3 Wochen)
Jahrgangsstufe 12 : Verbindlicher Teil
(1) Mengen, Relationen, Graphen
ll
(2) Parameterdarstellung und Polardarstellung
(3) Komplexe Zahlen
(11 Wochen)
(3 Wochen)
(4 Wochen)
(4 Wochen)
Jahrgangstufe 11 und 12: Beispiele für Wahlmodule
(1) Integrationstechniken
(2) Zahlentheorie und Kryptographie
(3) Potenzreihen, Taylorreihen, Fourrierreihen
F2
Vorschlag RPF Pflichtmodule
1. Komplexe Zahlen
• Gauß’sche Zahlenebene,
• Rechnen mit komplexen Zahlen,
• Lösen von Gleichungen
2. Weiterführung der Funktionsuntersuchungen
• Gleichungslehre
• Rationale, trigonometrische, hyperbolische Funktionen
• Umkehrfunktionen
• Differentiations- und Integrationstechniken
3. Vertiefte Untersuchungen von Folgen und Reihen
• Konvergenz
• vollständige Induktion
• rekursive Folgen
• arithmetische und geometrische Folgen und Reihen.
F3
Vorschlag RPF Wahlmodule
1. Zahlentheorie und Kryptographie
• Teilbarkeit, Primfaktorzerlegung
• Rechnen mit Restklassen
• Verschlüsselungsverfahren
2. Potenzreihen, Taylorreihen, Fourierreihen
• Potenzreihen, Konvergenzradius
• Darstellung von Funktionen durch Taylorreihen und Fourierreihen
3. Weiterführung der Stochastik
• bedingte Wahrscheinlichkeit.
• Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Markoff-Ketten
4. Elemente der linearen Algebra
• Matrizenrechnung
• Abbildungen
F4
Vorschlag zur inhaltlichen Gestaltung
(Empfehlung der Regierungspräsidien)
Leitgedanken
• Einführung in besondere Denk- und Arbeitsweisen
mit Schwerpunkt auf begrifflichen Strukturen und
hierarchischen Verknüpfungen
• Vertieftes Kennenlernen und aktives Anwenden von
ausgewählten inhaltlichen und fachmethodischen
Grundlagen
• Ausbau der Rechenfertigkeiten
• Kennenlernen grundlegender Beweisverfahren
• Treffen begründeter Studienentscheidungen
• Geschichtliches
F5
Vorschlag zur inhaltlichen Gestaltung
Kompetenzen
Die Schülerinnen und Schüler können
• grundlegende mathematische Begriffe, Notationen und
Konzepte verstehen und anwenden,
• komplexe symbolische Rechnungen ohne Hilfsmittel
ausführen,
• Beweise nachvollziehen und Beweisverfahren in einfachen
Fällen auf neue Sachverhalte übertragen.
F6
Pflichtmodule
(1) Aussagenlogik und Beweistechniken
Aussage, Existenz- und Allquantor, Verknüpfung von
Aussagen (Negation, Konjunktion, Disjunktion, Implikation,
Äquivalenz), Beweise mit Wahrheitstabelle,
aussagenlogische Gesetze;
Voraussetzung, Behauptung, Satz, Umkehrsatz,
Kontraposition, notwendige und hinreichende Bedingung,
direkter und indirekter Beweis, vollständige Induktion
(2) Vertiefung der Gleichungslehre
Definitionsmenge, Lösungsmenge, Äquivalenzumformungen,
Bruchgleichungen , Wurzelgleichungen, Polynomdivision,
Betragsgleichungen, Ungleichungen
F7
Pflichtmodule
(3) Folgen und Reihen
Explizite und rekursive Folgen, arithmetische und
geometrische Folgen und Reihen,
Monotonie, Beschränktheit, Konvergenz,
Konvergenzsätze
(4) Komplexe Zahlen
Gauß‘sche Zahlenebene, Rechnen mit komplexen
Zahlen, auch Polardarstellung, Lösen von
Gleichungen
F8
Wahlmodule
(1) Weiterführung der Funktionsuntersuchungen
Rationale, trigonometrische Funktionen, Umkehrfunktionen,
Differentiations- und Integrationstechniken
(2) Zahlentheorie und Kryptographie
Teilbarkeit, Primfaktorzerlegung, Rechnen mit Restklassen,
Verschlüsselungsverfahren
(3) Potenzreihen, Taylorreihen, Fourrierreihen
Konvergenzradius, Darstellung von Funktionen durch Taylorreihen
und Fourierreihen
(4) Weiterführung der Stochastik
Bedingte Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsverteilungen,
Markoffketten
(5) Elemente der Linearen Algebra
Matrizenrechnung, Abbildungen
F9
Kontakt ILIAS
Die ILIAS-Plattform der Universität Stuttgart
(Integriertes Lern-,Informations- und ArbeitskooperationsSystem)
http://www.mathematik.unistuttgart.de/studium/schuelerzirkel/matheplus.html
Anmeldung:
(1) Name auf die Liste oder Nachweis der Schule
(2) e-mail an Peter.Lesky@math.uni-stuttgart.de
F 10
Zertifikat
Freiwillige zentrale Zertifikatsklausur
am Freitag, den 27.9.
an den Universitäten
Konstanz, Freiburg, Tübingen, Ulm, Karlsruhe,
Stuttgart, Heidelberg
Ausstellung eines Zertifikats
F 11
Beispiel für Klausuraufgaben
Aussagenlogik und Beweisverfahren (ohne Hilfsmittel)
Vollständige Induktion:
1
n

für n  lN

k 1 k(k  1)
n 1
n
(1)
 n(n  1) 
k 

k 1
2


n
(2)
3
(leicht)
2
für n  lN
(mittelschwer)
2
 k(k  1) 
(k

1)
 (k  4k  4)
3
 2   (k  1) 
4


2
Lösung: ….
F 12
Beispiel zu Klausuraufgaben
Konvergenz
n2
, n  lN
(1) Gegeben ist die Folge an  2
2n  5
a) Bestimmen Sie den Grenzwert a der Folge.
an an.
b) Geben Sie die Definition der Konvergenz a  lim
n
c) Beweisen Sie für die oben angegebene Folge an und den
von Ihnen gefundenen Grenzwert a, dass die Definition
an erfüllt ist.
der Konvergenz a  lim
(mittel)
n
(2) Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen
Sie den Grenzwert durch Anwendung der Sätze über
konvergente Folgen
2n  3n
an  n n , n  lN
(schwer)
2 3
F 13
Zertifikatsklausur
Die Probeklausur…..
F 14
Unterrichtsumsetzung
1.
2.
3.
4.
Komplexe Zahlen
Folgen
Vollständige Induktion
Funktionen:
Reelle Funktionen, ganzrationale Funktionen, Polynome, Nullstellen
(auch doppelte, dreifache,…), Linearfaktorzerlegung, Eigenschaften
von ganzrationalen Funktionen, Umkehrfunktionen
5. Integrationsmethoden
Partielle Integration, Integration durch Substitution
F 15
Andere Unterrichtsgänge (1)
(1) Folgen
Explizite und rekursive Folgen, arithmetische und geometrische
Folgen, Fibonacci-Folge, Heron- und Newtonverfahren
(2) Vollständige Induktion
Summenformeln, Teilbarkeit, n-te Ableitung
(3) Eigenschaften von Folgen
Konvergenz, Monotonie, Beschränktheit
(4) Reihen
arithmetische und geometrische Reihe, einfache
Konvergenzbetrachtungen bei der harmonischen Reihe, Paradoxon
von Zenon
(5) Integrationsmethoden
Substitution, partielle Integration, Kombination der Verfahren (Kreis)
Taylorreihe
F 16
Andere Unterrichtsgänge (2)
(1) Ableitung: Beweis der Potenzregel für ganze Zahlen
(2) Zahlbereichserweiterung lR  C (z = a + ib)
Addition, Subtraktion, Multiplikation
(3) Nullstellen von Polynomen; Linearfaktorzerlegung
Polynomdivision;
Exkurs in die gebrochenrationalen Funktionen (Asymptoten - Anwendung der
Polynomdivision)
Lösungen in C
(4) Division komplexer Zahlen; konjugiert komplexe Zahl
(5) Darstellung komplexer Zahlen in der Gauß‘schen Zahlenebene
(6) Polarkoordinaten einer komplexen Zahl; Euler-Formel
(7) Mandelbrotmenge und Julia-Menge
(8) Taylor-Polynom des Sinus und Cosinus
(9) Begründung der Euler-Formel mit (8)
(10) Approximation der Zahl e
(11) Ableitung der Umkehrfunktion
(12) Beweis der Euler-Formel ohne Taylorreihen;
dazu braucht man die vollständige Induktion
F 17
Andere Unterrichtsgänge (3)
Komplexe Zahlen
_________________________________________________________
Funktionen und Gleichungen
1. Algebraische Gleichungen - ganzrationale Funktionen
Polynomdivision, Linearfaktorzerlegung,
Beweise mit dem Fundamentalsatz, transzendente und algebraische
Zahlen (auch deren Anzahl – Cantor), abzählbar unendlich und
überabzählbar unendlich, gleichmächtige Mengen, Bijektion,
Newton-Verfahren, Horner-Schema
2. Gebrochenrationale Funktionen
Definition und Asymptoten, Quotientenregel, Integration durch
Partialbruchzerlegung
3. Exponentialfunktionen – Hyperbelfunktionen
Umkehrfunktion, injektiv, Ableitung der Umkehrfunktion,
Produktintegration, Integration durch Substitution,
hyperbolische Funktionen, Bogenlänge
F 18
Komplexe Zahlen
Der Einstieg…..
F 19
Komplexe Zahlen
Zahlbereichserweiterungen: lN  Z  Q  lR
Ein paar Rechenaufgaben zum Warmwerden
Satz 1:
Zwischen zwei rationalen Zahlen liegt mindestens eine weitere rationale
Zahl.
(erster Beweis)
Die rationalen Zahlen liegen dicht.
Hilfssatz:
Das Quadrat jeder geraden ganzen Zahl ist gerade, das Quadrat jeder
ungeraden ganzen Zahl ist ungerade. (erster eigenständiger Beweis)
Satz 2:
2 ist keine rationale Zahl
(indirekter Beweis)
F 20
Vorgehensweise
Hilfssatz:
Das Quadrat jeder geraden ganzen Zahl ist gerade, das Quadrat jeder
ungeraden ganzen Zahl ist ungerade.
Tipp: Jede gerade ganze Zahl lässt sich in der Form g  2  k mit k  Z ,
jede ungerade ganze Zahl lässt sich in der Form u  2  k  1mit k  Z
darstellen.
Beweis des Hilfssatzes:
g2  (2k)2  2  (2k)2
u2  (2k  1)2  4k 2  4k  1  2  (2k 2  2)  1
F 21
Komplexe Zahlen
2. Komplexe Zahlen
z = a + ib
Definition von i
Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division
Einschub: binomische Formeln, Wdh DG,
Rechnen mit Wurzeln (teilweise Radizieren, Nenner rational
machen – auch mit 3. binomischer Formel)
3. Konjugiert komplexe Zahlen
Definition und Lage im Koordinatensystem
Die Rollen von i und –i
Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division
F 22
Komplexe Zahlen
4. Die Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen
Zahlenebene
Darstellung der Zahl z als Punkt oder Ortsvektor,
Polarkoordinaten
Betrag einer komplexen Zahl, insbesondere
Lösungen von zn = a
Trigonometrische Form einer komplexen Zahl
z  r  (cos()  isin())
5. Einschub: Beweis der Additionstheoreme
zur Vorbereitung der Multiplikation
F 23
Komplexe Zahlen
5. Multiplikation und Division in Polarkoordinatendarstellung
Geometrische Deutung als Drehung bzw. Drehstreckung
6. Einschub: Folgen und Vollständige Induktion
Die Türme von Hanoi (explizite und rekursive Darstellung)
Gauss Summe, Summe aller geraden Zahlen (ungeraden Zahlen,
Quadratzahlen)
Summenzeichen
7. Potenzen komplexer Zahlen
Potenzen einer Zahl z auf dem Einheitskreis
Formel von Moivre
mit vollständiger Induktion bewiesen
geometrische Lage von Potenzen z,z2,z3,…,zn (Kreis, Spirale)
F 24
Komplexe Zahlen
8. Wurzeln
n-te Einheitswurzeln und Kreisteilungsgleichung zn = 1
n-te Wurzeln als Eckpunkte eines regulären n-Ecks
9. Funktionen in C
Lineare Funktionen:
Translation f(z) = z + b
Drehstreckung f(z) = a  z
Allgemein: f(z) = a  z  b
Komplexwertige Folgen:
(Mandelbrotmenge, Fraktale)
Physikalische Anwendung:
Beschreibung von Kreisbewegungen, Wechselstrom
10. Lösungen algebraischer Gleichungen (Geschichtliches)
F 25
2000 v. Chr.
Babylonier
300 v. Chr.
Euklid
16.Jahrhundert
1540 - 1603
F. Vieta
1500 -1557
N. Tartaglia
1501 - 1576
G. Cardano
„Klaut“ diese Formeln
 Cardanosche Formeln
1522 – 1565
L. Ferrari
1802 -1829
N.H. Abel
1811 - 1832
E. Galois
1777 - 1855
C.F. Gauß
Formulierte Bedingungen, mit denen sich für
jede gegebene Gleichung beliebigen Grades
entscheiden lässt, ob sie auflösbar ist.
Verknüpfte die Theorie der Gleichungen mit
dem Gruppenbegriff Galoistheorie
Letzte Zusammenfassung in der Nacht vor
seinem tödlichen Duell.
Komplexe Zahlen
11. Der Fundamentalsatz der Algebra
(Fassung von C.F. Gauß)
Jede Gleichung der Form
f(z)  zn  an1  zn1  an2  zn2  ...  a1  z  a0  0 mit n  1 und ai  C
hat in C mindestens eine Lösung.
Es gibt viele Beweise für diesen Satz.
F 33
Der Fundamentalsatz der Algebra
Von einem der Beweise wird mithilfe von Geogebra eine
Grundidee vermittelt, und zwar am Beispiel eines
Polynoms vom Grad 3:
f(z)  z3  (2  i)  z 2  i  z  (4  3i)
g( z )
h( z )
1. Betrachtet werden zunächst die Funktionen g und h
mit g(z)  z und h(z)  i  z  (4  3  i) .
3
F 34
Der Fundamentalsatz der Algebra
Ein Kreis Kz um den Ursprung in der z-Ebene wird durch g mit
w = g(z) in einen Kreis Kw um den Ursprung in der w-Ebene
abgebildet.
Wird Kz einmal durchlaufen, wird der Bildkreis K dreimal
durchlaufen.
F 35
Der Fundamentalsatz der Algebra
Kreis Kz um den Ursprung der z-Ebene mit dem
Radius r wird durch h mit w = h(z) = iz + (4 + 3i) in
einen Kreis in der w-Ebene abgebildet, der den
Mittelpunkt w  4  3i und den Radius rw  i  r  r hat.
0
F 36
Der Fundamentalsatz der Algebra
2. Die weitere Idee ist nun, dass sich die Funktion f
mit f(z)  z  (2  i)  z  i  z  (4  3i) wie im Reellen
3
g( z )
2
h( z )
für große lzl = r annähernd wie g und
für sehr kleine lzl = r näherungsweise wie h verhält.
Verkleinert man den Radius r des Kreises Kz stetig,
geht die Bildfigur 1 stetig in die Bildfigur 2 über.
F 37
Der Fundamentalsatz der Algebra
F 38
Der Fundamentalsatz der Algebra
Großer Radius r1: Das Bild von Kz bei f ist noch eine geschlossene
Kurve in der w-Ebene, die den Ursprung der w-Ebene dreimal
durchläuft.
F 39
Der Fundamentalsatz der Algebra
Kleiner Radius r2: Das Bild von Kz bei f ist eine
geschlossene Kurve in der w-Ebene, die den Ursprung der
w-Ebene nicht mehr durchläuft.
F 40
Der Fundamentalsatz der Algebra
Verkleinert man den Radius stetig von r1 nach r2, so wird die
Bildfigur aus Abb. 3 stetig in die Bildfigur aus Abb. 4
deformiert.
Dann muss es mindestens einen Radius geben, bei dem die
Bildkurve den Ursprung der w-Ebene trifft,
d.h. aus dem zugehörigen Kreis Kz gibt es eine Zahl zo mit f(zo)=0
F 41
Folgen – ein „Proseminar“
(1) Definition von Folgen
explizite und rekursive Folgen;
arithmetische und geometrische Folgen
(2) Nullfolgen
(3) Eigenschaften von Folgen - Monotonie und Beschränktheit
bei expliziten und rekursiven Folgen (vollständige Induktion)
(4) Der Grenzwert einer Folge
(5) Grenzwertsätze (Beweise)
(6) Der Grenzwert von monotonen und beschränkten Folgen
(Satz und Umkehrsatz)
(7) Die Vollständigkeit der reellen Zahlen; Intervallschachtelung
(8) Geometrische Reihe
(9) Eulersche Zahl
F 42
Partielle Integration und
Integration durch Substitution
 e
4
(1)
(2)
2

x
 cos(x)  dx
  sin(x) dx
2
0

1. Versuch:

  sin(x) dx  [  sin(x)  cos(x)]    sin(x)  dx
2
0

0
2
0
also 0 = 0 ?????
  x  ln(x
 9)  dx
4
5

2
1. Versuch:   x  ln(x  9)  dx 
u

4
v'


5
(3)
2
Wie erhält man v?????
F 43
Notenfindung
•
•
•
•
•
•
Zertifikatsklausur (nicht !!)
Klausur
Klausur mit Skript
Referate (Beweise, schwierige Aufgaben,…)
Seminararbeit
Planarbeit
F 44
Probleme
1. Notenabgrenzung gegenüber den anderen Wahlfächern
(Psychologie,…)
2. Nachmittagsunterricht / Hausaufgaben
3. Vor allem im 2. Halbjahr längere Unterbrechungen
(Unterrichtsausfall durch Studienfahrt, Konferenz, Feiertag,…)
4. Problem der Nachhaltigkeit
5. Unklarheit über Inhalte (Probierphase)
6. Einige Schüler machen nicht weiter in 12
(Abitur schon im März, bereits genügend Kurse…)
F 45
Ausblick aufs nächste Schuljahr
(1) Integration durch Partialbruchzerlegung
(2) Gebrochenrationale, trigonometrische, hyperbolische Funktionen
(1)
(2)
(3)
(4)
und eines der Wahlmodule
Zahlentheorie und Kryptographie
Potenzreihen, Taylorreihen, Fourierreihen
Weiterführung der Stochastik
Elemente der linearen Algebra
F 46
Rückmeldung
• Warum hast Du den Kurs gewählt?
• Waren die Inhalte verständlich?
• Rückwirkungen auf den normalen Matheunterricht
(1) Themen noch besser verstanden
(2) Wiederholung der Grundkenntnisse
(3) Andere Problemlösestrategien kennengelernt
(4) Anwendung einzelner Inhalte (z.B. Satz von Vieta)
F 47
Rückmeldung
Was hat Dir an diesem Kurs gefallen/nicht gefallen
(1) Gute Atmosphäre
(2) sich intensiv mit mathematischen Inhalten vertieft zu
beschäftigen (mehr als Standard)
(3) Kein Druck, dass man gleich alles verstehen muss
(4) Das „Proseminar“ - die Vorträge gingen zu schnell
(5) Unterricht am Nachmittag
F 48
Fazit
Das „Proseminar“ effektiver gestalten
oder ganz weglassen
Aufgaben aus anderen Ländern in anderen Sprachen
Warum wirst Du den Kurs nicht weiter belegen?
Zu viele Aktivitäten außerhalb der Schule und
frühzeitiges Abitur
Werbung für neue Kurse???
F 49