Lösungen – Klasse 8
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Klasse 8 Lösungen – Klasse 8 1. Die vier fett eingezeichneten Linien umschließen eine Fläche (siehe Figur). Wie groß ist deren Flächeninhalt? Lösungshinweis: Ein Kästchen ist eine Flächeneinheit. (A) 30 (B) 32 (C) 36 (D) 40 (E) 48 Lösung: Wir haben bestimmte Teilflächen mit Hellgrau und mit Dunkelgrau markiert. Eine hellgraue Fläche und eine dunkelgraue Fläche haben dieselbe Form und dieselbe Größe. Daher haben sie auch dieselbe Fläche. Durch zwei Flächenverschiebungen (siehe die zwei Pfeile) können wir die Ausgangsfläche in ein Rechteck mit der Länge 8 und Breite 4 umwandeln. Sein Flächeninhalt ist dann 4 8 32 . Die richtige(n) Antwort(en): B 2. Felix behauptete, er könne mit der Geschwindigkeit 50 m/Minute laufen. Leider brachte er einiges durcheinander. Felix ging irrtümlich davon aus, dass gilt: 1 m = 60 cm und 1 Minute = 100 Sekunden. Würde er seine Geschwindigkeit in cm/Sekunde angeben, beschriebe dieser Wert seine Geschwindigkeit korrekt. Die Frage: Was ist statt 50 m/Minute seine tatsächliche Geschwindigkeit in m/Minute? (A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 24 (E) 30 Lösung: In Teil 1 korrigieren wir die Angabe 50 m/Minute Schritt für Schritt. Dabei denken wir so, wie es Felix tat. 1. Schritt: Wegen des 1 m = 60 cm Irrtums muss es zunächst 50 60 3000 cm/Minute heißen. 2. Schritt: Wegen des 1 Minute = 100 Sekunden Irrtums ergeben sich 3000 :100 30 cm/Sekunde. Beachte: 30 cm/Sekunde gibt laut Aufgabentext seine Geschwindigkeit korrekt an. In Teil 2 formen wir die obige Angabe (mit richtiger Umrechnung) um. 1 m cm 1 60 m m 100 30 = 30 = 18 = 30 1 Sekunde 100 1 Minute Minute Minute 60 In Teil 3 führen wir eine Probe (mit richtiger Umrechnung) durch. m 18 100 cm cm = = 30 18 , es stimmt (siehe Teil 2). Minute 60 Sekunde Sekunde Die richtige(n) Antwort(en): B Lösungen der Aufgaben 3. Riesen haben auf einer ebenen, quadratischen Lichtung mit Felsen gespielt und sie anschließend stehen lassen. Am nächsten Tag betreten vier Personen den Rand der Lichtung in den vier markierten Punkten (siehe Figur). Jeder von ihnen sieht genau zwei Felsen. Die Frage: Wie viele Felsen können auf der Lichtung insgesamt stehen? Lösungshinweise: Alle Felsen sind Würfel oder Quader. (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 7 Lösung: Alle fünf Antworten sind möglich. Die folgenden Figuren stellen jeweils ein passendes Beispiel dar: 2 Felsen 3 Felsen 4 Felsen 5 Felsen 7 Felsen Erläuterungen zu den Figuren: Alle Felsen haben die gleiche Höhe und sie sind größer als die Personen, die die Lichtung betreten. Die Felsen wurden entweder hell oder dunkel schraffiert. Die richtige(n) Antwort(en): A, B, C, D, E 4. Wie viele Felder eines 8×8 Bretts können eingefärbt werden, so dass die entstandene Figur achsensymmetrisch ist? Lösungshinweis: Alle Felder sind gleich große Quadrate. (A) 20 (B) 22 (C) 23 (D) 26 (E) 28 Lösung: In Teil 1 zeigen wir, dass 20 eine Lösung ist. Im 1. Schritt zeichnen wir eine senkrechte Symmetrieachse ein. Im 2. Schritt färben wir in der linken Hälfte des Brettes 10 Felder (die Hälfte von 20) beliebig ein. Im 3. Schritt spiegeln wir diese 10 Felder an der Symmetrieachse und färben die 10 „Spiegelfelder“ ein (siehe Figur 1). In Teil 2 zeigen wir, dass 22, 26 und 28 ebenfalls Lösungen sind. Begründung für 26: Wir gehen so vor, wie in Teil 1. Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir im 2. Schritt 13 (die Hälfte von 26) Felder einfärben. Der Gedanken- Klasse 8 gang gilt auch für 22 und 28 (und sogar für jede gerade Zahl zwischen 2 und 64). Figur 1 Figur 2 In Teil 3 zeigen wir, dass auch 23 eine Lösung ist. Im 1. Schritt zeichnen wir eine Diagonale als Symmetrieachse ein. Im 2. Schritt färben wir 3 Felder entlang dieser Diagonale. Im 3. Schritt färben wir 10 Felder unterhalb der Diagonale beliebig ein. Im 4. Schritt spiegeln wir diese 10 Felder an der Symmetrieachse und färben die 10 „Spiegelfelder“ (siehe Figur 2). Die richtige(n) Antwort(en): A, B, C, D, E 5. Zehn Kinder spielen auf einem Sportplatz mit Farbpistolen (Paintball). Es gilt Folgendes: 1. Alle Kinder geben gleichzeitig genau einen Schuss ab. 2. Alle Schüsse sind Treffer. 3. Jeder schießt auf jenes Kind, das am wenigsten entfernt ist. Wenn es mehrere solche Kinder gibt, dann wird eines von diesen frei ausgesucht. Die Frage: Wie viele Kinder können insgesamt getroffen werden? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10 Lösung: In Teil 1 zeigen wir, dass 2 eine Lösung ist. Dies zeigt Figur 1. Die mit fett gezeichneten Kreisen dargestellten Kinder wurden getroffen. Die Pfeile geben an, wer auf wen geschossen hat. Beachte: Alle Bedingungen des Aufgabentextes sind in Figur 1 erfüllt. Figur 1 In Teil 2 zeigen wir, dass 10 eine Lösung ist. Dies zeigt Figur 2. Alle zehn Kinder (10 mit fett gezeichnete Kreise) wurden getroffen. Die Pfeile geben auch hier an, wer auf wen geschossen hat. Lösungen der Aufgaben Beachte: Alle Bedingungen des Aufgabentextes sind in Figur 2 erfüllt. Figur 2 In Teil 3 behaupten wir, dass auch 4, 6 und 8 Lösungen sind. Anregung: Der geneigte Leser möge mindestens einen Fall durch eine passende Figur prüfen. Die richtige(n) Antwort(en): A, B, C, D, E 6. Wie viele zweistellige Zahlen gibt es insgesamt, die durch beide Ziffern teilbar sind? (A) 9 (B) 10 (C) 12 (D) 14 (E) 16 Lösung: Wir arbeiten mit systematischem Probieren. 10 geht nicht, da man durch 0 nicht teilen darf. Daraus folgt auch: Alle Zahlen, die auf Null enden, kommen nicht in Frage. 11 erfüllt die Bedingung, denn 11 ist teilbar durch 1. 12 erfüllt die Bedingung ebenfalls, denn 12 ist teilbar durch 1 und 2. 13 erfüllt die Bedingung nicht, da 13 nicht durch 3 teilbar ist. Wir erhalten folgende zweistellige Zahlen, die die Bedingung erfüllen: 11, 12, 15, 22, 24, 33, 36, 44, 48, 55, 66, 77, 88, 99. Das Zusammenzählen ergibt 14 Zahlen. Alternativlösung: Die Zehnerziffer sei a, die Einserziffer b. Die zweistellige Zahl kann als 10a b geschrieben werden. b ist teilbar durch a (denn 10a b ist teilbar durch a und 10a ist auch teilbar durch a). 10a ist teilbar durch b (denn 10a b ist teilbar durch b und b ist teilbar durch b). Daraus folgt: b ist teilbar auch durch einen Teiler von 10 (1, 2, 5, 10). Für b =1 a, erhalten wir 9 Lösungen (11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Für b 2a gibt es 4 Lösungen (12, 24, 36, 48), für b 5a gibt es eine Lösung (15). b 10a ist nicht möglich, da a und b Ziffern sind. Es gibt insgesamt 9 4 1 14 Zahlen. Die richtige(n) Antwort(en): D 7. Das Produkt von acht Zahlen ist nicht Null. Außerdem gilt: Wenn alle acht Zahlen um 1 verringert werden, bleibt das Produkt unverändert. Wie viele unterschiedliche Beispiele gibt es für acht solche Zahlen? (A) Genau eins. (B) Höchstens zwei. (C) Mindestens drei. (D) Mindestens vier. (E) Gar keine. Klasse 8 Lösung: Der Ansatz lautet: Wir legen sieben Zahlen fest und ermitteln die achte Zahl. Die ersten sieben Zahlen seien 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2. Die achte Zahl bezeichnen wir mit x. Es folgt 2 2 2 2 2 2 2 x = 1 1 1 1 1 1 1 x 1 d. h. 1 . 127 Mit diesem Ansatz können wir beliebig viele Zahlenbeispiele erhalten. Beachte: Keine der Ausgangszahlen kann 1 sein. Begründung: Ansonsten gäbe es nach den Verringerungen eine Null und das zweite Produkt wäre Null. Dies geht aber nicht, da das erste Produkt ungleich Null ist. Anbei noch drei weitere unterschiedliche Beispiele: Aus 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, x folgt 26 3 x = 16 2 x 1 192 x 2 x 1 , 128 x x 1 . Daraus ergibt sich x 2 1 . 190 95 5 2 5 2 Aus 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, x folgt 2 3 x 1 2 x 1 288 x 4 x 1 , oder 190 x 2 . Daraus ergibt sich x 4 1 . 284 71 4 3 4 3 Aus 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, x folgt 2 3 x 1 2 x 1 432 x 8 x 1 , oder 284 x 4 . Daraus ergibt sich x oder 424 x 8 . Daraus ergibt sich x 8 1 . 424 53 Die richtige(n) Antwort(en): C, D 8. Ein Würfel steht auf einem Tisch. Er wird dort durch mehrfaches Kippen folgendermaßen bewegt: nach rechts, nach hinten, nach links, nach vorne, wieder nach rechts, nach hinten, nach links, nach vorne usw. Nach dem wievielten Kippen kann der Würfel in seine Ausgangsposition zurückkehren? Lösungshinweis: Die Bedingung ist dann erfüllt, wenn sich alle Ecken des Würfels wieder in ihrer Ausgangslage befinden. (A) 6. (B) 9. (C) 24. (D) 36. (E) Nie. Lösung: In Teil 1 untersuchen wir die Bewegung des Würfels nach den ersten vier mal Kippen (siehe Figur 1, 2, 3, 4 und 5) und formulieren einige Feststellungen. Figur 1 zeigt die Ausgansposition, Figur 5 die Lage nach dem 4. Kippen. Eine Seitenfläche des Würfels wurde schraffiert, eine Ecke markiert. 1. Feststellung: Der Würfel bewegt sich auf einem 2×2 Quadrat. 2. Feststellung: Der Würfel befindet sich nach jedem 4-ten Kippen auf seinem Ausgangsfeld. Seine Ecken sind aber nicht immer in ihrer Ausgangslage. Tatsächlich, in Figur 5 befindet sich die schraffierte Fläche und damit einige ihrer Ecken nicht in ihrer Ausgangslage. 3. Feststellung: Eine Lösung muss ein Vielfaches von 4 sein (2. Feststellung). 4. Feststellung: Die markierte Ecke befindet sich stets an derselben Stelle. Lösungen der Aufgaben Figur 1 Figur 2 Figur 3 Figur 4 Figur 5 In Teil 2 führen wir 8 weitere Male das Kippen durch (Figuren 6 bis 13). Figur 6 Figur 7 Figur 8 Figur 9 Figur 10 Figur 11 Figur 12 Figur 13 5. Feststellung: Nach 12 mal Kippen entsteht wieder die Ausgangsposition (siehe Figur 13). Begründung: Die Lage der schraffierten Seitenfläche ist die alte. Da die markierte Ecke stets an derselben Stelle blieb (4. Feststellung), müssen die anderen Ecken auch ihre Ausgangslage haben. 6. Feststellung: Nur die Vielfachen von 12 führen ebenfalls wieder zur Ausgangsposition (siehe 5. Feststellung). Daraus folgt: Es gibt keine Lösung kleiner als 12. Wegen 24 = 2 12 und 36 = 3 12 sind 24 und 36 Lösungen. Die richtige(n) Antwort(en): C, D 9. Ein kleiner und ein großer Frosch starten von derselben Stelle. Jeder wählt eine Richtung aus, in die er sich dann bewegt. Der kleine Frosch macht dabei Sprünge von 6 cm und der große Sprünge von 9 cm. Die zwei Frösche springen stets gleichzeitig. Die Frage: Nach dem wievielten Sprung des großen Frosches kann der Abstand zwischen den Fröschen genau 60 cm betragen? (A) 2. (B) 4. (C) 9. (D) 17. (E) 20. Lösung: In Teil 1 zeigen wir, dass 4 eine Lösung ist. Dazu stellen wir uns vor, dass sich die Frösche in entgegengesetzten Richtungen bewegen. Bei jedem Sprung erhöht sich dann der Abstand zwischen ihnen um 9 + 6 = 15 cm. Da 4 15 = 60 ist, stellt 4 eine Lösung dar. In Teil 2 zeigen wir, dass 2 keine Lösung ist. Begründung: Die zwei Frösche entfernen sich dann am schnellsten voneinander, wenn sie sich so bewegen, Klasse 8 wie in Teil 1. Nach 2 Sprüngen beträgt deren Entfernung aber nur 2 15 = 30, also keine 60 cm. In Teil 3 zeigen wir, dass 20 eine Lösung ist. Dazu stellen wir uns vor, dass sich die zwei Frösche in dieselbe Richtung bewegen. Bei jedem Sprung erhöht sich ihr Abstand um 9 - 6 = 3 cm. Da 20 3 = 60 ist, stellt 20 eine Lösung dar. In Teil 4 zeigen wir, dass 9 eine Lösung ist. Der große Frosch hat in 9 Sprüngen die Strecke von 9 ⋅ 9 = 81 cm zurückgelegt. Der kleine Frosch hat in 9 Sprüngen die Strecke von 9 ⋅ 6 = 54 cm zurückgelegt. Mit den Längen von 81 cm, 54 cm und 60 cm lässt sich eindeutig ein Dreieck konstruieren, siehe Figur 1. In Teil 5 zeigen wir, dass 17 eine Lösung ist. Der große Frosch hat in 17 Sprüngen die Strecke von 17 ⋅ 9 = 153 cm zurückgelegt. Der kleine Frosch hat in 17 Sprüngen die Strecke von 17 ⋅ 6 = 102 cm zurückgelegt. Mit den Längen von 153 cm, 102 cm und 60 cm lässt sich eindeutig ein Dreieck konstruieren, siehe Figur 2. Figur 1 Figur 2 Anregung: Der geneigte Leser möge eins der Dreiecke konstruieren (statt 60 cm arbeite man mit 60 mm usw). Beachte: Der Winkel zwischen den zwei Richtungen ergibt sich in beiden Figuren aus der Konstruktion. Wir müssen ihn weder angeben noch berechnen. Wichtig ist nur, dass es diese Winkel gibt – weil es die Dreiecke gibt. Die richtige(n) Antwort(en): B, C, D, E 10. Tabea, Olga und Hannah machten eine seltsame Schneeballschlacht. Olga warf den ersten Schneeball. Anschließend ging es folgendermaßen zu: Jedes Mal, wenn eines der Mädchen getroffen wurde, warf sie Schneebälle, sonst nicht. Genauer: Tabea warf dann stets 6, Hannah stets 5 und Olga stets 4 Schneebälle. Irgendwann hörten sie auf zu spielen. Insgesamt 13 Schneebälle hatten niemanden getroffen. Die Frage: Wie oft konnte Hannah getroffen worden sein? Lösungshinweis: Keiner traf sich selbst. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 Lösung: In Teil 1 formulieren wir einen Lösungsansatz, eine Annahme, einige Feststellungen und führen Bezeichnungen ein. Lösungen der Aufgaben Lösungsansatz: Wir konzentrieren uns auf die 13 Schneebälle, die niemanden getroffen haben. Wir bezeichnen diese als relevante Schneebälle. Annahme: Stellen wir uns vor, was gewesen wäre, wenn jedes Mädchen die Schneebälle, mit denen sie getroffen wurde, weitergeworfen hätte. 1. Feststellung: Tabea warf stets 5, Hannah stets 4, Olga stets 3 weitere neue Schneebälle (siehe Annahme). 2. Feststellung: Alle geworfenen Schneebälle wurden irgendwann (nach eventuellem Weiterwerfen) zu einem Schneeball, der niemanden trifft. Aus der Annahme und aus der 1. Feststellung folgt: 3. Feststellung: Im Spiel gab es insgesamt 13 relevante Schneebälle. Bezeichnungen: Tabea sei von t, Hannah von h und Olga von o Schneebällen getroffen worden. Es handelt sich dabei nur um neue Schneebälle, also um Schneebälle, die nicht weitergeworfen worden sind und es sind Gesamtzahlen. Aus der 1. Feststellung folgt: 3. Feststellung: Es gilt 5t 4h 3o 1 13 oder 5t 4h 3o 12 (*) Beachte: 1 steht für den ersten Schneeball, den Olga zuerst warf. In Teil 2 ermitteln wir t, h und o. Sie stehen für positive ganze Zahlen. 4. Feststellung: h kann höchstens 3 sein. Begründung: Wenn h mindestens 4 wäre, dann wäre die linke Seite von (*) mindestens 16 – statt 12. Aus der 4. Feststellung folgt: 4 und 5 stellen keine Lösung dar. Wir führen nun eine Fallunterscheidung durch. 1. Fall: h = 1. Aus (*) wird 5t 3o 8 mit der einzigen Lösung t = s = 1. Dies bedeutet: Alle drei wurden genau einmal neu getroffen. Das Spiel kann dann so abgelaufen sein: Zunächst warf Olga einen Schneeball und traf damit Hannah. Daraufhin warf Hannah 5 Schneebälle, von denen 1 Olga und 1 Tabea traf und 3 niemanden trafen. Zum Schluss warf Olga noch 4 und Tabea noch 6 Schneebälle, die jedoch niemanden trafen. Insgesamt trafen 3 4 6 13 Schneebälle niemanden. Die Bedingung (*) ist erfüllt. 2. Fall: h = 2. Aus (*) wird 5t 3o 4 . Diese Gleichung hat jedoch keine Lösung. Wenn t mindestens 1 ist, ist die linke Seite mindestens 5. Wenn t = 0, bekommen wir 3o = 4, die keine Lösung hat, da o eine positive ganze Zahl ist. 3. Fall: h = 3. Aus (*) wird 5t 3o 0 mit den einzigen Lösungen t = o = 0. Dies bedeutet: Nur Hannah wurde dreimal getroffen. Olgas erster Schneeball kann Hannah getroffen haben. Mehr Schneebälle (noch 2) sind jedoch nicht möglich, denn weder Olga noch Tabea wurden getroffen und konnten daher keine Schneebälle werfen. Bemerkung: Alle aufgeführten Zahlen wurden bereits untersucht. Wir zeigen noch zusätzlich, dass h = 0 ebenfalls nicht möglich ist. Tatsächlich, (*) wird zu 5t 3o 12 . Sowohl 3o als auch 12 sind teilbar durch 3. Daher muss 5t und damit auch t teilbar durch 3 sein. Die einzige Möglichkeit ist t 0 (ansonsten ist die linke Seite von 5t 3o 12 größer als 12). Aus t = 0 folgt o 4 . Dies geht jedoch nicht, denn Olga kann nicht 4 Mal getroffen worden sein, wenn die anderen zwei Mädchen kein einziges Mal getroffen wurden. Die richtige(n) Antwort(en): A Klasse 8 11. Der 1. Januar 2016 war ein Freitag. Was für ein Wochentag wird der 2016-te Tag nach dem 1. Januar 2016 sein? (A) Montag (B) Dienstag (C) Donnerstag (D) Freitag (E) Samstag Lösung: Die Freitage wiederholen sich alle 7 Tage. Alle Tage, die ein Vielfaches von 7 sind (7, 14, 21 usw.) werden daher ein Freitag sein. Wegen 2016 = 288 7 ist auch 2016 ein Vielfaches von 7. Daraus folgt: Der 2016-te Tag nach dem 1. Januar 2016 wird auch ein Freitag sein. Die richtige(n) Antwort(en): D 12. Unsere Aufgabe ist es, in mehreren Schritten von 1 bis 201 zu gelangen. Im ersten Schritt fangen wir mit der Zahl 1 an und addieren 1 dazu oder multiplizieren sie mit 3. Mit dem Ergebnis verfahren wir im nächsten Schritt genauso: Entweder addieren wir 1 dazu oder multiplizieren es mit 3. Wir setzen dieses Verfahren fort. Die Frage: In wie vielen Schritten können wir das Ziel 201 erreichen? (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 12 Lösung: In Teil 1 formulieren wir die Aufgabe durch „rückwärts Denken“ neu. Wir starten bei 201 und möchten bei 1 ankommen. Bei jedem Schritt können wir entweder 1 subtrahieren (statt addieren) oder durch 3 dividieren (statt multiplizieren). Beachte: Die Zwischenergebnisse müssen stets ganze Zahlen sein. Durch 3 dürfen wir also nur solche Zahlen dividieren, die durch 3 teilbar sind. In Teil 2 zeigen wir, dass die Aufgabe in 8 Schritten lösbar ist. Zuerst arbeiten wir durch „rückwärts Denken“. Bei der nächsten Darstellung steht „ “ für „minus 1“ und „ “ für „geteilt durch 3“. 201 67 → 66 22 → 21 7 → 6 2 → 1 (*) Die ursprüngliche Aufgabe kann man daher in 8 Schritten lösen. Bei der nächsten Darstellung steht „ “ für „plus 1“ und „ “ für „mal 3“. 1 2 6 7 21 22 66 → 67 201 In Teil 3 zeigen wir, dass die Aufgabe in 10 Schritten lösbar ist. Dazu reicht es, wenn wir die ersten Schritte der obigen Lösung ändern: 1 3 4 5 6 7 21 22 66 → 67 201 In Teil 4 zeigen wir, dass die Aufgabe in 12 Schritten lösbar ist. Bei der nächsten Darstellung steht „ “ für „plus 1“ und „ “ für „mal 3“. 1 3 → 4 → 5 → 6 18 19 20 21 → 22 66 → 67 201 Im Teil 5 zeigen wir, dass die Aufgabe in weniger als 8 Schritten nicht lösbar ist. Tatsächlich: 1. Feststellung: Wenn wir durch 3 teilen, kommen wir schneller voran, als wenn wir 1 subtrahieren. Dies bedeutet: 2. Feststellung: Am schnellsten erreichen wir das Ziel, wenn wir jede durch 3 teilbare Zahl auch durch 3 dividieren (statt 1 zu subtrahieren). 3. Feststellung: Bei der Lösung in Teil 2 haben wir jede durch 3 teilbare Zahl Lösungen der Aufgaben tatsächlich durch 3 dividiert, siehe die Zeile (*). Aus den 2. und 3. Feststellungen folgt, dass die Aufgabe in weniger als 8 Schritten nicht lösbar ist. Dies bedeutet: Mit 4 Schritten (A) oder 6 Schritten (B) ist die Aufgabe nicht lösbar. Die Untersuchung ergab, dass von den aufgeführten Zahlen nur 8, 10 und 12 Schritte zum Ziel führen. Die richtige(n) Antwort(en): C, D, E 13. In Grumlipur fahren zwei Busse: Bus A und Bus B. Eine Fahrkarte wurde in der Figur abgebildet. Beim Entwerten wird das Feld A oder B gelocht und noch zwei Felder mit Ziffern. Auf wie viele Arten kann eine Fahrkarte insgesamt entwertet werden? (A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 40 (E) A B 1 2 3 4 5 6 50 Lösung: In Teil 1 ermitteln wir alle denkbaren Entwertungen bei Bus A. Wir arbeiten systematisch und schreiben die Ziffernkombinationen in aufsteigender Reihenfolge. A-12, A-13, A-14, A-15, A-16 A-23, A-24, A-25, A-26 A-34, A-35, A-36 A-45, A-46 A-56 Es sind also insgesamt 5 4 3 2 1 15 Möglichkeiten. In Teil 2 ermitteln wir alle denkbaren Entwertungen bei Bus B. Es sind ebenfalls 15. Begründung: Die Ziffernkombinationen sind dieselben, nur A wird überall durch B ersetzt. In Teil 3 addieren wir die Teilergebnisse: 15 + 15 = 30. Die richtige(n) Antwort(en): C Aufgabe zur detaillierten Ausarbeitung: 14. Jemand hat einige Felder eines 8×8 Schachbretts schraffiert. Dabei wurden folgende Regeln beachtet: 1. Das erste Feld kann man frei wählen. Ab dem 2-ten Feld gilt: 2. Jedes Feld hat genau eine gemeinsame Seite mit jenem Feld, das direkt vor diesem Feld schraffiert wurde. Ab dem 3-ten Feld gilt: 3. Kein Feld hat gemeinsame Seiten mit anderen, nicht direkt vorher schraffierten Feldern. Die Figur zeigt ein Beispiel mit 36 schraffierten Feldern. Das erste Feld war das Feld links unten. Eure Aufgabe besteht darin, die Zahl 36 so stark wie möglich zu „überbieten“, d. h. noch mehr Felder zu schraffieren – aber mit der Einhaltung aller Regeln. Lösungshinweis: Je mehr schraffierte Felder ihr schafft, desto mehr Punkte Klasse 8 bekommt ihr. Aber Vorsicht: Wenn ihr die Regeln nicht einhaltet, wird eure Figur nicht gewertet, ihr bekommt also in diesem Fall keine Punkte. Lösung: Die Figur zeigt ein Beispiel mit 42 schraffierten Feldern. Das Startfeld war in der Spalte ganz links das zweite Feld von unten (die anderen Felder ergeben sich dann automatisch). Die Punkteverteilung ist wie folgt: 37 korrekt schraffierte Feder: 2 Punkte, 38 korrekt schraffierte Feder: 4 Punkte, 39 korrekt schraffierte Feder: 7 Punkte, 40 korrekt schraffierte Feder: 10 Punkte, 41 korrekt schraffierte Feder: 13 Punkte, 42 korrekt schraffierte Feder: 16 Punkte. (Insgesamt maximal 16 Punkte.)
