AEinführung in die Algebra

A
Einführung in die Algebra
für M, MCS, LaG
Technische Universität Darmstadt
Fachbereich Mathematik
WS 2002/03
Prof. Dr. Klaus Keimel
Dr. (AUS) Werner Nickel
15./18. November 2002
Lösungen zu den Gruppenübungen Nr. 4
M INITEST
T1 Eine nicht-leere Teilmenge U einer Gruppe G ist eine Untergruppe, falls
[ ]
U abgeschlossen bezüglich der Verknüpfung in G ist.
[x]
gh−1 ∈ U für alle g, h ∈ U .
[x]
U eine Gruppe für die gleiche Operation ist.
[ ]
g 2 ∈ U für alle g ∈ U .
T2 Es sei U eine Untergruppe der Gruppe G Dann gilt:.
[ ]
Eine Linksnebenklasse hat immer die Form U x für x ∈ G.
[x]
Eine Linksnebenklasse hat immer die Form xU für x ∈ G.
[x]
Für alle x, y ∈ G gilt U x ∩ U y = ∅ oder U x = U y.
[ ]
x und y aus G liegen in derselben Linksnebenklasse von U , wenn gilt xy −1 ∈ U .
T3 Es sei f : G → H ein Homomorphismus von Gruppen. Dann gilt:
[x]
Dann gilt f (g1 )f (g2 ) = f (g1 g2 ) für alle g1 , g2 ∈ G.
[ ]
Dann ist auch f −1 ein Homomorphismus.
[x]
Dann ist f −1 (H) eine Untergruppe von G.
[x]
Dann ist f −1 (1) eine Untergruppe von G.
G RUPPEN ÜBUNGEN
G14
a) Wir werden zeigen, dass mit g, h ∈ H auch gh−1 in H liegt: Sei g = e2πit und h = e2πiu mit
t, u ∈ Q. Dann ist h−1 = e−2πiu und wir erhalten gh−1 = e2πit e−2πiu = e2πi(t−u) . Da t − u ∈ Q,
folgt gh−1 ∈ H.
2π
2π
b) Es sei g das Element e n i aus H. Dann sind die Potenzen von g von der Form e n ki und bilden
daher die Untergruppe Cn von H. Beachte, dass H (und somit auch T) zyklische Untergruppen
von beliebig hoher Ordnung hat.
2π
0
Ist g das Element e n ki , so liegen alle seine Potenzen in Cn . Ist nk 0 = nk gekürzt, so bilden die
Potenzen von g die Untergruppe Cn0 .
c) Jede von 0 verschiedene komplexe Zahl z hat die eindeutige Darstellung in komplexen Polarkoordinaten z = |z|ei arg(z) , wobei |z| der Betrag ist und arg(z) der Winkel, 0 ≤ arg(z) < 2π, den die
komplexe Zahl mit der reellen Achse einschließt. Damit erhält man die folgende Abbildung:
ϕ : C× −→ T × R>0
z 7−→ (ei arg(z) , |z|)
Da die Darstellung in komplexen Polarkoordinaten eindeutig ist, ist dies eine bijektive Abbildung.
Zu zeigen bleibt, dass es sich um einen Homomorphismus handelt:
ϕ(z1 )ϕ(z2 ) = (ei arg(z1 ) , |z1 |)(ei arg(z2 ) , |z2 |) = (ei arg(z1 ) ei arg(z2 ) , |z1 ||z2 |)
= (ei arg(z1 )+i arg(z2 ) , |z1 · z2 |) = (ei arg(z1 ·z2 ) , |z1 · z2 |) = ϕ(z1 · z2 ).
G15
Bei dieser Rechnung machen wir natürlich Gebrauch von den Eigenschaften der Exponentialfunktion, des Betrages und der Tatsache, dass sich die Winkel zweier komplexer Zahlen addieren, wenn
man sie miteinander multipliziert.
0 0
a b
a b
a) Es seien
und
Elemente aus A. Das Inverse der zweiten Matrix ist
0 1
0 1
−1
a
−a−1 b
.
0
1
Nun berechnen wir
a0
0
b0
1
a−1
0
−a−1 b
1
=
a0 a−1
0
−a0 a−1 b + b0
1
Da a0 a−1 > 0 und −a0 a−1 b + b0 ∈ R ist, folgt dass A eine Untergruppe von GL(2, R) und somit
eine Gruppe ist.
b) Die Hintereinanderausführung von Abbildungen ist assoziativ, daher brauchen wir dies für die
Elemente von M nicht zu zeigen. Es seien x 7→ ax + b und x 7→ cx + d zwei Elemente aus M.
Die Hintereinanderausführung ergibt die Abbildung x 7→ c(a x + b) + d = ac x + (bc + d). Dann ist
ac positiv und bc + d eine reelle Zahl und daher ist die Abbildung x 7→ ac x + (bc + d) ein Element
von M. Die identische Abbildung x 7→ x ist in M. Das Inverse der Abbildung x 7→ a x + b ist
x 7→ a−1 x−a−1 b, wie man leicht nachrechnet, und ein Element von M. Damit ist M eine Gruppe.
Wir definieren nun die Abbildung
ϕ:
M
−→ A
a
(x 7→ ax + b) 7−→
0
b
1
Es ist klar, dass ϕ bijektiv ist. Die Homomorphieeigenschaft rechnen wir nach:
ϕ((x 7→ cx + d) ◦ (x 7→ ax + b)) = ϕ(x 7→ ac x + (bc + d))
ac bc + d
c d
a b
=
=
0
1
0 1
0 1
= ϕ(x 7→ cx + d)ϕ(x 7→ ax + b)
c) Wir bestimmen zunächst die Linksnebenklassen von U . Dazu sei c > 0 und d ∈ R fest gewählt.
Die zugehörige Linksnebenklasse ist:
c d
ac d
b d
·U =
| a ∈ R, a > 0 =
| b ∈ R, b > 0
0 1
0 1
0 1
Die Rechtsnebenklassen sind:
c d
ac
U
=
0 1
0
d) Der Menge A entspricht die rechte Halbebene.
ad
1
| a ∈ R, a > 0
6
-
Die Elemente einer Linksnebenklasse entsprechen hierbei den Punkten {(b, d) | b ∈ R, b > 0} für
festes d ∈ R. Dies sind waagerechte Halbgeraden, die an der senkrechten Koordinatenachse beginnen; in der obigen Grafik sind einige solcher Geraden in ein Koordinatensystem eingezeichnet.
6
*
1
-
Die Elemente einer Rechtsnebenklasse entsprechen den Punkten {(ac, ad) | a ∈ R, a > 0}. Dies
sind Halbgeraden, die im Ursprung beginnen und in Richtung (c, d) verlaufen. Von diesen sind
einige in der obigen Grafik eingezeichnet.
Damit sieht man, dass Links- und Rechtsnebenklassen sehr verschiedene Mengen sein können.
G16 Wir betrachten die Potenzen von g und erhalten g, g 2 , g 3 , . . . Da G eine endliche Gruppe ist, kann es
nur endlich viele verschiedene Potenzen von g geben, also muss es positive natürliche Zahlen p und q,
o.B.d.A. p > q, geben mit g p = g q . Durch Multiplizieren mit g −p erhält man 1 = g q−p .
G17 Achtung: Lösung gesucht.