Aufgaben zur Analysis I

Aufgaben zur Analysis I
Blatt 0
WS 2005/2006
A.Dessai / A.Bartels
Keine Abgabe
Dieses Blatt wird in den Übungen in der zweiten Semesterwoche besprochen.
Aufgabe 0.1
Zeigen Sie: Für jede natürliche Zahl n ist n(n2 + 5) durch 3 teilbar.
Aufgabe 0.2
Für n ∈ N sei A(n) die Aussage
1+
1
5
1
1
1
+ · · · + n+1 = − n+1 .
+
2 22
2
2 2
Ist der Induktionsschritt A(n) =⇒ A(n + 1) für alle n ∈ N richtig? Gilt A(n) für alle n ∈ N?
Aufgabe 0.3
Wo steckt der Fehler im folgenden Beweis?
Behauptung: Alle reellen Zahlen sind gleich.
Beweis: Für n ≥ 1 natürliche Zahl sei A(n) die Aussage
a1 , a2 , . . . , an ∈ R =⇒ a1 = a2 = · · · = an .
(A(n) sagt also aus: je n reelle Zahlen sind gleich.)
Wir zeigen die Richtigkeit von A(n) mittels vollständiger Induktion.
Induktionsanfang n = 1
A(1) ist richtig, da nur eine reelle Zahl betrachtet wird.
Induktionsschritt n
n+1
Seien a1 , a2 , . . . , an+1 reelle Zahlen. Nach Induktionsvoraussetzung ist a1 = a2 = · · · = an
und a2 = a3 = · · · = an+1 . Folglich gilt a1 = a2 = · · · = an+1 . Damit ist A(n + 1) bewiesen.
Aufgabe 0.4
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Jede natürliche Zahl n ≥ 2 läßt sich als Produkt
von Primzahlen schreiben.
Aufgabe 0.5
Beweisen Sie
(x + y)2 = x2 + 2xy + y 2
für alle x, y ∈ R.
Begründen Sie jeden Schritt ihres Beweises mit einem Körperaxiom. Verwenden Sie aber
nicht den binomischen Lehrsatz.
Aufgaben zur Analysis I
Blatt 1
WS 2005/2006
A.Dessai/ A.Bartels
Abgabe:31.10.2005 11:15 Uhr
Aufgabe 1 [4 Punkte]
Zeigen Sie für alle n ∈ N:
(i)
Pn
k2 =
(ii)
P2n
(−1)k+1
k
k=1
k=1
n(n+1)(2n+1)
;
6
=
P2n
1
k=n+1 k .
Aufgabe 2 [4 Punkte]
Zeigen Sie:
X
n n+1
m
=
k+1
k
m=k
für natürliche Zahlen n ≥ k.
Aufgabe 3 [4 Punkte]
Beweisen Sie mit Hilfe der Anordnungsaxiome für x, y, x0 , y 0 ∈ R:
x < y < 0 =⇒ x2 > y 2 .
Aufgabe 4 [4 Punkte]
Für welche n ∈ N gilt n2 ≥ 2n − 1?
Aufgaben zur Analysis I
Blatt 2
WS 2005/2006
A.Dessai/ A.Bartels
Abgabe:31.10.2005 11:15 Uhr
Aufgabe 5 [4 Punkte]
Betrachten Sie die Folgen
3n2
nn
und
b
=
.
n
n2 + 3
n!
Welche dieser Folgen sind beschränkt, welche konvergieren? Berechnen Sie die Grenzwerte
dieser Folgen, falls sie existieren.
an =
Aufgabe 6 [4 Punkte]
Die Folge (fn )n∈N der Fibonacci-Zahlen ist definiert durch f0 = f1 = 1 und fn = fn−1 +fn−2
für n ≥ 2. Zeigen Sie:
(i) fn ≥ n für alle n ∈ N,
(ii) fn+1 fn−1 − fn2 = (−1)n+1 ,
und berechnen Sie limn→∞
fn+1 fn−1
.
2
fn
Aufgabe 7 [4 Punkte]
(i) Sei x ≥ 0 eine reelle Zahl und n ≥ 4 eine natürliche Zahl. Zeigen Sie
(1 + x)n ≥
n2 2
x .
2
(ii) Sie b > 1 eine reelle Zahl. Zeigen Sie, dass es n0 ∈ N gibt, so dass bn > 2n für alle
natürlichen Zahlen n ≥ n0 gilt.
Aufgabe 8 [4 Punkte]
Sei ϕ : N → N eine Bijektion, das heißt eine Abbildung, so dass es zu jedem n ∈ N genau
ein m ∈ N gibt mit ϕ(m) = n. Sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass die
Folge (aϕ(n) )n∈N genau dann konvergiert, wenn die Folge (an )n∈N konvergiert.
Aufgaben zur Analysis I
Blatt 3
WS 2005/2006
A.Dessai/ A.Bartels
Abgabe:14.11.2005 11:15 Uhr
Aufgabe 9 [4 Punkte]
Die Folge (an )n≥1 sei definiert durch a1 = 1, a2 = 2, an+2 = a2n+1 − an für n ≥ 1. Zeigen
Sie,
(i) an+1 − an ≥ 1 für n ≥ 1.
(ii) (an )n≥1 divergiert bestimmt gegen +∞.
Aufgabe 10 [4 Punkte]
Zeigen Sie,
(i)
7n + 5
= 0,
n→∞
3n
lim
(ii)
∞
Y
(1 −
n=2
d.h. die Folge (an )n≥2 mit an :=
Qn
r=2 (1
1
1
)= ,
n2
2
−
1
r2 )
konvergiert gegen 12 .
Aufgabe 11 [4 Punkte]
(i) Sei (an )n∈N eine Folge ganzer Zahlen die gegen a ∈ R konvergiert. Zeigen Sie, a ∈ Z
und es gibt ein n0 ∈ N mit an = a für alle n ≥ n0 .
(ii) Seien α, β und γ reelle Zahlen und (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen mit der Eigenschaft,
lim a2n = α,
lim a2n+1 = β und
lim a3n = γ.
n→∞
n→∞
n→∞
Zeigen Sie, α = β = γ und limn→∞ an = α.
Aufgabe 12 [4 Punkte]
Seien (an )n∈N und (bn )n∈N konvergente Folgen mit limn→∞ an = a und limn→∞ bn = b.
(i) Die Folge (|an − bn |)n∈N konvergiert gegen |a − b|.
(ii) Die Folge (max(an , bn ))n∈N konvergiert gegen max(a, b).
Hinweis: Benutzen Sie (i).
Aufgaben zur Analysis I
Blatt 4
WS 2005/2006
A.Dessai/ A.Bartels
Abgabe:21.11.2005 11:15 Uhr
Aufgabe 13 [4 Punkte]
Welche der folgenden Reihen konvergieren?
(i)
∞
X
n1
(−1)
n=1
−n
,
n
(ii)
∞
X
1
(2n
+
1)2
n=0
Aufgabe 14 [4 Punkte]
Ein Ball fällt aus der Höhe H auf einen ebenen Grund. Bei jedem Aufprall springt der Ball
auf das r-fache der zuletzt erreichten Höhe. (Dabei ist 0 < r < 1.) Zeigen Sie, dass der bis
1+r
zum Stillstand zurückgelegte Weg 1−r
H beträgt.
Aufgabe 15 [4 Punkte]
Beweisen oder widerlegen Sie:
(i) Jede konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt.
(ii) Jede Folge mit genau einem Häufungspunkt konvergiert.
(iii) Jede Folge hat nur endlich viele Häufungspunkte.
Aufgabe 16 [4 Punkte]
Seien α < β reelle Zahlen. Betrachten Sie die durch a0 = α, a1 = β und
an =
an−1 + an−2
,
2
n≥2
definierte Folge. Entscheiden Sie, ob diese Folge konvergiert.
Aufgaben zur Analysis I
Blatt 5
WS 2005/2006
A.Dessai/ A.Bartels
Abgabe:28.11.2005 11:15 Uhr
Aufgabe 17 [4 Punkte]
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.
(i)
(iii)
∞
X
nn
3
+1
(−1) 4
,
n
+1
n=0
∞
X
1
3n ,
n=0
2n
(ii)
(iv)
√
n−2
√
,
(−1)
n+1
n=0
∞
X
∞
X
n=0
n
(n5 + 2)
3n
4n+1
.
Aufgabe 18 [4 Punkte]
Am Anfang eines 10 Meter langen Gummibandes sitzt eine Schnecke. Jeden Tag kriecht
sie einen Meter voran. Nachts, wenn sie ruht, dehnt ein Dämon das Band gleichmässig so
aus, dass es jedesmal um 10 Meter länger wird. Dämon und Schnecke seien unsterblich, das
Band unbegrenzt dehnbar. Erreicht die Schnecke jemals das Ende des Bandes?
Aufgabe 19 [4 Punkte]
P∞
(i) Ein b-adischer Bruch ν=−n aν b−ν heißt periodisch, wenn es N ∈ Z und p ∈ N gibt,
so dass aν = aν+p für alle ν ≥ N . Zeigen Sie, ein b-adischer Bruch ist genau dann
periodisch, wenn er gegen eine rationale Zahl konvergiert.
P∞
(ii) Jede reelle Zahl x mit |x| ≤ 12 lässt sich schreiben als x = k=1 3kk mit k ∈ {−1, 0, 1}
für alle k.
Aufgabe 20 [4 Punkte]
(i) Sei a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · · ≥ 0 eine monoton fallende Folge nicht negativer reeller Zahlen.
Zeigen Sie,
P∞
P∞ n
(a)
n=1 an konvergiert genau dann, wenn
n=0 2 a2n konvergiert.
P∞
(b) Konvergiert n=1 an , so gilt limn→∞ nan = 0.
P∞
1
konvergiert.
(ii) Zeigen Sie, n=1 n√
n
Bonusaufgabe A [2 Bonuspunkte]
n
(−1)
Sei
P∞an = n . Zeigen Sie, zu jeder reellen Zahl b gibt es eine Bijektion ϕ : N → N, so dass
n=1 aϕ(n) = b.
Aufgaben zur Analysis I
Blatt 6
WS 2005/2006
A.Dessai/ A.Bartels
Abgabe: 5.12.2005 11:15 Uhr
Aufgabe 21 [4 Punkte]
(i) Zeigen Sie, dass für x ∈ R die Reihe
(ii) Sei f (x) =
x2k
k=0 (2k)! ,
P∞
x2k
k=0 (2k)!
P∞
absolut konvergiert.
x ∈ R. Zeigen Sie:
f (2x) = 2f (x)2 − 1.
Aufgabe 22 [4 Punkte]
Sei a ∈ Z. Sei (xn )n∈N eine Folge positiver reeller Zahlen, die bestimmt gegen +∞ divergiert.
Beweisen oder widerlegen Sie:
exn
lim
a = +∞.
n→∞ (xn )
Aufgabe 23 [4 Punkte]
Sei (an )n∈N eine beschränkte Folge und a ∈ R. Zeigen Sie: lim supn→∞ an = a gilt genau
dann, wenn
(i) limk→∞ ank = a für eine Teilfolge (ank )k∈N von (an )n∈N und
(ii) limk→∞ ank ≤ a für jede konvergente Teilfolge (ank )k∈N von (an )n∈N .
Aufgabe 24 [4 Punkte]
Eine reelle Zahl x heißt algebraisch falls es n ∈ N und a0 , . . . , an ∈ Q gibt mit an 6= 0, so
dass
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0
gilt. Zeigen Sie: Nicht jede reelle Zahl ist algebraisch.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass die Menge der algebraischen Zahlen abzählbar ist. Dazu
dürfen Sie ohne Beweis benutzen, dass jedes Polynom nur endlich viele Nullstellen hat.
Aufgaben zur Analysis I
Blatt 7
WS 2005/2006
A.Dessai/ A.Bartels
Abgabe: 12.12.2005 11:15 Uhr
Aufgabe 25 Für x ∈ R definieren wir den hyperbolischen Sinus und Cosinus durch
1 x
(e − e−x ),
2
1
cosh(x) := (ex + e−x ).
2
sinh(x) :=
Zeigen Sie, dass beide Funktionen stetig sind. Skizzieren Sie den Verlauf von sinh und cosh.
Beweisen Sie die Identität
cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1.
Aufgabe 26 [4 Punkte]
Welche der folgenden Funktionen sind in 0 ∈ R stetig?

 −1 : x < 0
0 : x=0 ,
g(x) =

1 : x>0
exp(− x12 ) : x 6= 0
.
h(x) =
0 : x=0
Aufgabe 27 [4 Punkte]
(i) Sei a < b < c. Seien f : [a, b] → R und g : [b, c] → R stetige Funktionen. Dabei gelte
f (b) = g(b). Zeigen Sie, dass die Funktion h : [a, c] → R mit
f (x) : x ∈ [a, b]
h(x) =
g(x) : x ∈ [b, c]
stetig ist.
(ii) Seinen f, g : R → R stetige Funktionen, so dass f (x) = g(x) für alle x ∈ Q. Zeigen Sie:
f = g.
Aufgabe 28 [4 Punkte]
Sei f : R → [0, ∞[ eine stetige Funktion mit f (x + y) = f (x) · f (y) für alle x, y ∈ R. Sei
c ∈ R mit f (1) = exp(c). Zeigen Sie: f (x) = exp(c · x) für alle x ∈ R.
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis benutzen,
dass es für q ∈ N, q ≥ 1 und a ∈ [0, ∞[ eine
√
eindeutige nichtnegative q-te Wurzel q a gibt.
Bonusaufgabe B [2 Bonuspunkte]
Gibt es eine stetige Funktion f : R → R, so dass für jedes x ∈ R die Menge
f −1 (x) = {y ∈ R | f (y) = x}
genau zwei oder kein Element enthält?
Aufgaben zur Analysis I
Blatt 8
WS 2005/2006
A.Dessai/ A.Bartels
Abgabe: 19.12.2005 11:15 Uhr
Aufgabe 29 [4 Punkte]
Der hyperbolische tangens tanh : R → R ist definiert durch
tanh(x) =
sinh(x)
.
cosh(x)
Zeigen Sie, dass tanh eine stetige Umkehrfunktion besitzt. Was ist ihr Definitionsbereich?
(Die Funktionen sinh und cosh wurden in Aufgabe 25 definiert.)
Aufgabe 30 [4 Punkte]
Betrachten Sie die Funktion f : [0, ∞[→ R, x 7→
√
x. Zeigen Sie:
(i) f ist gleichmäßig stetig.
(ii) f ist nicht Lipschitz stetig.
In den Übungen am 22. und 23.12.05 wird eine Übungsklausur geschrieben. Diese Übungsklausur wird direkt im Anschluss besprochen und nicht benotet. Die Teilnahme an der
Übungsklausur wird als Vorbereitung auf die Klausur am Semesterende eindringlich empfohlen.
Aufgaben zur Analysis I
Blatt 9
WS 2005/2006
A.Dessai/ A.Bartels
Abgabe: 09.01.2006 11:15 Uhr
Aufgabe 31 [4 Punkte]
(i) Die Funktion R → R, x 7→ ax , ist für a > 1 streng monoton wachsend und für
0 < a < 1 streng monoton fallend.
(ii) In beiden Fällen wird R bijektiv auf R>0 :=]0, ∞[ abgebildet.
(iii) Die Umkehrabbildung a log : R>0 → R (der Logarithmus zur Basis a) ist stetig.
(iv) Es gilt a log x =
log x
log a
für x > 0.
Aufgabe 32 [4 Punkte]
(i) Für jede komplexe Zahl z 6= 0 gilt |z/z| = 1.
(ii) Sei a ∈ R. Die Gleichung z 2 + 2az + 1 = 0 hat genau dann zwei verschiedene reelle
Lösungen, wenn |a| > 1 ist. Wie sehen die Lösungen für |a| = 1 und |a| < 1 aus?
Aufgabe 33 [4 Punkte]
Bestimmen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren.
in
n=1 n
(i)
P∞
(ii)
P∞ 1−i n
n=0
1+i
Aufgabe 34 [4 Punkte]
(i) Die Funktion z 7→
1
z
ist auf C∗ := {z ∈ C | z 6= 0} stetig.
(ii) Die Funktion z 7→ exp(− z12 ) lässt sich nicht auf ganz C stetig fortsetzen, d.h. es gibt
keine stetige Funktion f : C → C mit f (z) = exp(− z12 ) für alle z ∈ C∗ .
Bonusaufgabe C [2 Bonuspunkte]
(i) Für n ∈ N und x ∈ R gilt (cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx.
(ii) cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x.
Bitte wenden.
Bonusaufgabe D [4 Bonuspunkte]
Sei P (z) = z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 mit a0 , . . . , an−1 ∈ C, n ≥ 1.
(i) Die Funktion |P | : C → R, z 7→ |P (z)| nimmt ihr Minimum an.
(ii) Sei z0 ∈ C mit P (z0 ) 6= 0. Sei für ζ ∈ C
p(ζ) =
P (z0 + ζ)
.
P (z0 )
Zeigen Sie: es gibt β ∈ C, k ∈ N und eine stetige Funktion f : C → C, so dass
p(βζ) = 1 − ζ k + ζ k+1 f (ζ)
für alle ζ ∈ C.
(iii) Ist P (z0 ) 6= 0, so ist |P (z0 )| kein Minimum für die Funktion |P |.
(iv) Es gibt z ∈ C mit P (z) = 0.
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis die folgende Version des Satzes vom Minimum und Maximum benutzen: Jede stetige Funktion f : DR (0) → R nimmt ihr Minimum und Maximum
an. Dabei ist R ≥ 0 und DR (0) die Menge der komplexen Zahlen deren Betrag höchstens R
ist.
Bonusaufgabe E [2 Bonuspunkte]
Beweisen Sie die Version des Satzes vom Minimum und Maximum aus dem Hinweis aus
Bonusaufgabe D.
Fröhliche Weihnachten!
Aufgaben zur Analysis I
Blatt 10
WS 2005/2006
A.Dessai/ A.Bartels
Abgabe: 16.01.2006 11:15 Uhr
Aufgabe 35 [4 Punkte]
(i) Sei cn = an + ibn ∈ C mit an , bn ∈ R. Beweisen Sie: Konvergiert die Reihe
absolut, so konvergiert sie auch im gewöhnlichen Sinne.
P
n∈N cn
(ii) Beweisen Sie das Additionstheorem für den Tangens:
tan(a + b) =
tan(a) + tan(b)
,
1 − tan(a) tan(b)
a, b, a + b ∈ R \ {(2k + 1)
π
| k ∈ Z}.
2
Aufgabe 36 [4 Punkte]
Bestimmen Sie für jede der nachfolgenden Funktionen die Ableitung in allen Punkten, in
denen die Funktion differenzierbar ist.
ax + b
, a, b, c, d, x ∈ R,
cx + d
x 7→xx , x > 0
x 7→
x 7→ arctan(x2 ),
ad − bc = 1, cx + d 6= 0,
x ∈ R,
2
x 7→ arctan(x) ,
x ∈ R.
Aufgabe 37 [4 Punkte]
Berechnen Sie die Grenzwerte
lim (1 +
n→∞
x n
) , x∈R
n
und
lim xx .
x&0
Aufgabe 38 [4 Punkte]
Sei f : R → R definiert durch
f (x) =
x2 sin( x1 ) : x 6= 0
.
0 : x=0
(i) Zeigen Sie: f ist auf ganz R differenzierbar.
(ii) Berechnen Sie f 0 .
(iii) Wo ist f 0 stetig?
Aufgaben zur Analysis I
Blatt 11
WS 2005/2006
A.Dessai/ A.Bartels
Abgabe: 23.01.2006 11:15 Uhr
Aufgabe 39 [4 Punkte]
Wie muß man den Radius und die Höhe einer zylindrischen Konservendose mit vorgegebenem
Fassungsvermögen wählen, wenn man so wenig Blech wie möglich zu ihrer Herstellung verwenden will?
Aufgabe 40 [4 Punkte]
Berechnen Sie die Grenzwerte
limπ
x→ 2
cos(x)
,
(x − π2 )
1
sin(e− x )
x&0
x
lim
und
limπ
x→ 2
tan(x) +
1
x−
π
2
.
Aufgabe 41 [4 Punkte]
Zeigen Sie für x > 0
1
≤ log(x) ≤ x − 1.
x
Hinweis: Betrachten Sie x = 1 und benutzen Sie die Ableitungen der Funktionen.
1−
Aufgabe 42 [4 Punkte]
Sei V ⊂ R und a ein Häufungspunkt von V . Seien f , g : V → R zwei Funktionen. Dabei
sei f (a) = 0, f differenzierbar in a und g stetig in a. Zeigen Sie: h(x) = f (x)g(x) ist
differenzierbar in a und es gilt h0 (a) = f 0 (a)g(a).
Bonusaufgabe F [2 Bonuspunkte]
Sei f : ]a, b[→ R eine Funktion. Zeigen Sie: f ist genau dann konvex, wenn f stetig ist und
f(
für alle x, y ∈]a, b[ gilt.
f (x) + f (y)
x+y
)≤
2
2
Aufgaben zur Analysis I
Blatt 12
WS 2005/2006
A.Dessai/ A.Bartels
Abgabe: 30.01.2006 11:15 Uhr
Aufgabe 43 [4 Punkte]
Bestimmen Sie das Supremum der Menge { log(x)
| x > 0}.
x
Aufgabe 44 [4 Punkte]
Berechnen Sie die folgenden Integrale.
(i)
R e2
(ii)
R
√t
dt,
t2 +1
(iii)
R
xe−x dx,
(iv)
R 2π
e
log(log(x))
x log(x) dx,
3
0
sin(nx) sin(mx)dx, n, m ∈ N, n 6= m.
Aufgabe 45 [4 Punkte]
Sei f : [0, 1] → R eine beschränkte Funktion, die auf ]0, 1] stetig ist. Zeigen Sie, dass f
Riemann-integrierbar ist.
Aufgabe 46 [4 Punkte]
R1
(i) Berechnen Sie 0 et dt mittels Riemannscher Summen.
(ii) Ist die Funktion f : [0, 1] → R, die durch
1 : x ∈ { n1 | n ∈ N, n 6= 0}
f (x) =
0 : sonst
definiert ist, Riemann-integrierbar?
Am Samstag den 28.01.2006 wird von 9:00 bis 12:00 Uhr die Klausur zur Analysis I
geschrieben. Die Klausur entscheidet über die Scheinvergabe und die Scheinnote. Seien Sie
bitte schon um 8:45 Uhr im Hörsaalgebäude damit wir pünktlich beginnen können. Bringen
Sie bitte Ihren Studentenausweis mit. Es sind während der Klausur keinerlei Hilfsmittel
erlaubt. Bringen Sie aber bitte Kugelschreiber oder Füller und unbeschriebenes Din A4
Papier mit. (Die Klausur kann nicht mit Bleistift geschrieben werden.) Wer die Klausur
nicht besteht, kann an einer Nachklausur am 30.03.2006 teilnehmen. In dieser Nachklausur
kann aber nur noch die Note 4 erreicht werden. Sollten Sie am Termin der Klausur verhindert
sein, so melden Sie sich bitte bis spätestens Freitag vor der Klausur bei Arthur Bartels (Zi
513). In diesem Fall können Sie in der Nachklausur die üblichen Noten erreichen. Wer die
Klausur wegen Krankheit verpasst und dies mit einem Attest belegt, kann in der Nachklausur
ebenfalls die üblichen Noten erreichen.
Aufgaben zur Analysis I
Ferienblatt
WS 2005/2006
A.Dessai/ A.Bartels
Abgabe: im Sommersemester1
Aufgabe 47
Sei f : R → R eine stetige Funktion und x0 ∈ R. Ferner sei die Einschränkung von f auf
R \ {x0 } eine differenzierbare Funktion und es existiere limx→x0 f 0 (x) = c ∈ R. Zeigen Sie:
f ist auch im Punkt x0 differenzierbar und es gilt f 0 (x0 ) = c.
Aufgabe 48
Sei f : R → R eine Funktion. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen.
(i) ∀ > 0 ∃x0 ∀x > x0 |f (x)| < .
(ii) Für jede Folge (xn )n∈N die bestimmt gegen +∞ divergiert gilt limn→∞ f (xn ) = 0.
(iii) Die Funktion g : [0, ∞[→ R mit
g(x) =
f ( x1 ) : x ∈]0, ∞[
0 : x=0
ist stetig in 0 ∈ R.
Aufgabe 49
Sei f : R → R eine Funktion, die in jedem Punkt unendlich oft differenzierbar ist. Sei
(an )n∈N eine streng monoton fallende Folge mit limn→∞ an = a ∈ R. Es gelte f (an ) = 0 für
alle n ∈ N. Zeigen Sie:
(i) f (a) = 0.
(ii) f 0 (a) = 0.
(iii) Es gibt eine streng monoton fallende Folge (bn )n∈N mit a = limn→∞ bn und f 0 (bn ) = 0
für alle n ∈ N.
(iv) f (n) (a) = 0 für alle n ∈ N.
Aufgabe 50
(i) Sei P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , ai ∈ R ein Polynom und sei f (x) =
exp( x1 )P ( x1 ) für x < 0.
Zeigen Sie: es gibt ein Polynom Q(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0 , bi ∈ R, so
dass f 0 (x) = exp( x1 )Q( x1 ), x < 0. gilt.
(ii) Zeigen Sie, die Funktion g : R → R mit
exp( x1 ) : x < 0
g(x) =
0 : x≥0
ist auf ganz R unendlich oft differenzierbar.
(iii) Was sind die Häufungspunkte der Nullstellenmenge der Funktion g aus (ii)?
1 Ohne
Bewertung, wird in der ersten Übung im Sommersemester besprochen.
Aufgabe 51
(l)
Sei für l ∈ N, (an )n∈N eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Zeigen Sie: es gibt eine streng
monoton wachsende Folge (kn )n∈N natürlicher Zahlen, so dass für jedes l ∈ N der Grenzwert
(l)
limn→∞ akn existiert.
Aufgabe 52
Sei f : R → R differenzierbar und es gelte limx→∞ f 0 (x) = a ∈ R. Zeigen Sie:
(i) Für jedes x ∈ R gibt es y ∈ [x, x + 1] mit f (x + 1) − f (x) = f 0 (y).
(ii) limx→∞ (f (x + 1) − f (x)) = a.
Aufgabe 53
Sei f : [0, 1] → R stetig mit f (0) = f (1). Zeigen Sie: für jedes n ∈ N, n 6= 0 gibt es x ∈ [0, 1]
mit f (x) = f (x + n1 ).
Aufgabe 54
Für alle y ∈ R hat die Gleichung
exp(x) + log(x) + sin(x) = y
eine eindeutige Lösung x ∈]0, ∞[.
Aufgabe 55
P∞
Hat die Potenzreihe f (z) = n=0 cn (z
a)n Konvergenzradius R > 0, so konvergiert für
P−
∞
n−1
jedes 0 < r < R die Reihe g(z) :=
absolut und gleichmäßig auf
n=1 n · cn (x − a)
K(a, r) := {z ∈ C | |z − a| ≤ r}.
Aufgabe 56
Berechnen Sie
xn
n=2 n(n−1)
P∞
für |x| < 1.
Aufgabe 57
P∞
1
Zeigen Sie, dass die durch k=0 k!·(1+4
k x2 ) definierte Funktion f (x) unendlich oft differenzierbar ist. Zeigen Sie dann, dass die Taylor-Reihe von f für den Entwicklungspunkt a = 0
für jedes x 6= 0 divergiert.