3. und 4. Semester - Koeln

Unterrichtsinhalte in der Qualifikationsphase für das Fach Mathematik
III. Semester
1.
2.
3.
4.
Ableitungsbegriff, einfache Ableitungsregeln (Potenzregel, Faktor-, Summenregel)
Bestimmung von Extrem-, Wendepunkten, absolute und relative Extrema, Monotonieverhalten,
Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen ohne und mit Parameter
Anwendungen:
 Steckbriefaufgaben
 Anwendungsaufgaben z.B. aus der Physik, der Wirtschaft, der Biologie und anderen Bereichen
 einfache Extremwertaufgaben
Für den LK:
Ableitungsregeln Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel,
komplexe Extremwertaufgaben
IV. Semester
Exponentialfunktionen
1. Eigenschaften von Exponentialfunktionen
2. Bestimmung von Exponentialfunktionen zu gegeben Daten
3. der Logarithmus; Logarithmengesetze
e-Funktion
4. die eulersche Zahl e
5. Verhalten im Unendlichen/ Asymptoten, Symmetrie, Nullstellenbestimmung
6. der natürliche Logarithmus; Lösung von einfachen Exponentialgleichungen
7. Ableitungsregeln (Produkt-, Kettenregel)
8. Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten, absolute und relative Extrema
9. Anwendungsaufgaben
 Wachstums-, Zerfallsprozesse
 Steckbriefaufgaben für e-Funktionen
Für den LK: Exponentialfunktionen einschließlich Kurvenscharen,
Exponentialfunktionen mit gebrochen-rationalen Anteilen,
Logarithmusfunktionen
Integralrechnung (ganzrationale Funktionen / e-Funktionen; LK zusätzlich Logarithmusfunktionen)
10. Bedeutung von Flächen unter Kurven in Sachzusammenhängen (Wirkung)
11. Prinzip der Berechnung von Integralen mit Hilfe von Ober- und Untersummen, Herleitung der
symbolischen Schreibweise
12. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
13. Berechnung der Größe von Flächen
 zwischen Graph und x- Achse, ober- und unterhalb der x-Achse
 zwischen zwei Graphen
14. Aufgaben in Sachzusammenhängen
GK: lineare Substitution
LK: partielle Integration, Integration durch Substitution in einfachen Fällen, Volumen von
Rotationskörpern
V. Semester
Alternative 1: Lineare Algebra und analytische Geometrie
1. Lineare Gleichungssysteme , n>2 (Matrixschreibweise)
2. Begriff des Vektors, Addition , Subtraktion von Vektoren, Multiplikation mit einem Skalar
3. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
4. Parameterform der Geradengleichung
5. Parameter-, Koordinaten- und Normalenform der Ebenengleichung
6. Gegenseitige Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen im Raum
7. Skalarprodukt (Länge, Orthogonalität, LK: Winkel)
8. Abstandsberechnung (GK nur : Punkt – Punkt, Punkt – Gerade, Punkt – Ebene)
9. Anwendungsaufgaben
Alternative 2: Stochastik
1. Einfache Zufallsversuche (relative Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit, Ereignis, Laplace-Versuche)
2. Komplementärregel, elementare und allgemeine Summenregel
3. Mehrstufige Zufallsversuche (Baumdiagramme, Pfadregeln)
3. Bedingte Wahrscheinlichkeit, umgekehrte Baumdiagramme
4. Kombinatorik
5. Zufallsgrößen und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung
6. Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung einer Zufallsgröße
7. Bernoulli-Versuche
 Binomialverteilung; Verwendung der Tabellen der kumulierten Binomialverteilungen
 Bestimmung von Stichprobenumfang n und Erfolgswahrscheinlichkeit p
8. Testen von Hypothesen
 Einseitige Testprobleme
 Fehler 1. und 2. Art
 Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit 1. und 2. Art
Für den LK:
stochastische Unabhängigkeit;
Normalverteilung, Formel von Moivre-Laplace;
zweiseitige Testprobleme;
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit, Formel von Bayes
VI. Semester
1. Wiederholung
2. Vertiefung
3. Besprechung von komplexen semesterübergreifenden Aufgaben