Kapitel 1: Vollkommener Wettbewerb, Marktgleichgewicht, Wohlfahrt

Universität Erfurt – Lehrstuhl für Mikroökonomie
Kapitel 1: Vollkommener Wettbewerb, Marktgleichgewicht,
Wohlfahrt und Monopol
Lösungsskizze zu Aufgabe 1.1
a) Marktgleichgewicht: D ( p ) = S ( p ) ⇒ 1000 − 10 p = −50 + 25 p
⇒ 35 p = 1050 ⇔ p ∗ = 30
D( P = 30) = q ∗ = 1000 − 10 ⋅ 30 = 700
b) Die Preiselastizität der Nachfrage:
ε q, p =
∂q / q ∂q p
30
=
⋅ ⇒ ε q , p = −10 ⋅
= −0.429
∂p / p ∂p q
700
c) D( p = 25) = 750 , S ( p = 25) = 575 . Also existiert eine Überschussnachfrage von
750 − 575 = 175 Einheiten.
Lösungsskizze zu Aufgabe 1.2
D1 (q1)= 60 – q1 => q1 = 60 – p1
D2 (q2)= 30 – q2 => q2 = 30 – p2
a) Preiselastizität der Nachfrage: ε q , p =
∂q / q ∂q p
=
⋅
∂p / p ∂p q
für Markt 1: ε 1 = (−1)
p
−p
=
;
60 − p 60 + p
für Markt 2: ε 2 = (−1)
p
−p
=
⇒ ε1 < ε 2
30 − p 30 + p
b) Der Monopolist setzt in jedem Land: MR = MC;
Land 1:
MC = 4q
R = (60 – q1) q1 = 60q1 – q1² ⇒ MR = 60 – 2 q1
MR = MC ⇒
Land 2:
C (q) = 2q²
60 – 2q1 = 4q1 ⇒ q1 = 10
R = (30 – q2) q2 = 30q2 – q2² ⇒ MR = 30 – 2q2
MR = MC ⇒
30 – 2q2 = 4q2 ⇒ q2 = 5
c) Preise in Land 1 und 2?
Land 1:
p1 (10) = 60 – 10 ⇒ p1 = 50
Land 2: p2 (5) = 30 – 5 ⇒ p2 = 25
d) Land 1 / Wohlfahrt im Monopol:
CS = 0.5 · (60-50) · 10 = 50 ; PS = R – C = 10 · 50 – 200 = 300 ⇒ W = 50 + 300 = 350
Land 1 / Wohlfahrt im vollkommenen Wettbewerb:
p = MC ⇒ 60 – q1 = 4q1 ⇒ q1 = 12 ⇒ p1 = 48
CS = 0,5 · (60 – 48) ·12 = 72
PS = 0.5 · 12 · 48 = 288
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⇒ W = CS + PS = 360
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Wohlfahrtsverlust in Land 1: DWL1 = 360 – 350 = 10
Land 2 / Wohlfahrt im Monopol:
CS = 0.5 · (30-25) · 5 = 12,5
PS = 5 · 25 – 0,5 · 20 · 5= 75
⇒ W = CS + PS =
87,5
Land 2 / Wohlfahrt im vollkommenen Wettbewerb:
p = MC ⇒ 30 – q1 = 4q1 ⇒ q1 = 6 ⇒ p1 = 24
CS = 0.5 · (30 – 24) · 6 = 18 ;
PS = 0,5 · 6 · 24 = 72
⇒ W = CS + PS = 90
Wohlfahrtsverlust in Land 2: DWL2 = 90 – 87,5 = 2,5
Lösungsskizze zu Aufgabe 1.3
!
a) R(q ) = pq = (a − bq )q = aq − bq 2 ⇒ MR(q ) = a − 2bq = 0 ⇔ q = a / 2b
b) π (q ) = pq − c(q ) = (a − bq )q − 0,5bq 2 = aq − bq 2 − 0,5bq 2 = aq − 1,5bq 2
!
c) ∂π (q ) / ∂q = a − 2bq − bq = 0 ⇔ q Mon = a / 3b ⇒ p Mon = a − b(a / 3b) = a − a / 3 = 2a / 3
!
d) p C = MC ⇔ p C = bq ⇔ q C = p C / b
e) π (q ) = (1 − T )[(a − bq )q − 0,5bq 2 ] = (1 − T )[aq − bq 2 − 0,5bq 2 ]
!
∂π (q ) / ∂q = (1 − T )(a − 2bq − bq ) = = 0 ⇔ q Mon = a / 3b ⇒ Keine Wirkung der
proportionalen Einkommensteuer auf das Maximierungsproblem des Monopolisten!
f) Parameter eingesetzt ergibt sich für die Menge im vollkommenen Wettbewerb:
qC = pC/b =12/3 = 4
Zu welchem Preis maximal die Wettbewerbsmenge (im Monopol) nachgefragt wird, kann
mit Hilfe der inversen Nachfragefunktion ermitteln: p(qC = 4)= 24 – 12 = 12
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Kapitel 2: Preisdiskriminierung im Monopol
Lösungsskizze zu Aufgabe 2.1
D(p) = 225 – q
MC(q) = 3q
a) Einheitlicher Monopolpreis:
Wohlfahrt im Monopol mit einheitlichem Monopolpreis:
Optimalitätsbedingung des Monopolisten: MR = MC
R = pq = (225 – q)q = 225q – q² ⇒ MR = 225 – 2q
225 – 2q = 3q ⇒ qM = 45 ⇒ pM = 180
CS = 0,5 · 45 · 45 = 1012,5 PS = pq – 3/2q² ⇒ PS = 180 · 45 – 3/2(45) 2 = 5062,5
Wohlfahrt im Monopol: PS + CS = 6075
Wohlfahrt beim vollkommenen Wettbewerb:
Bedingung: p = MC ⇒ 3q = 225 – q ⇒ q* = 56,25 ⇒ p* = 168,75
CS = 0,5 · (56,25)2 = 1582 (gerundet)
PS = pq – c(q) = 168,75 · 56,25 – 3/2(56,25)2 = 9492 – 4746 = 4746 (gerundet)
W = CS + PS = 6328
Vergleich Wohlfahrt im Monopol und im Wettbewerb:
Wohlfahrtsverlust: 6328 – 6075 = 253
b) Preisdiskriminierung 1. Grades: Der Monopolist verlangt von jedem Kunden den Preis,
der der Zahlungsbereitschaft des jeweiligen Kunden entspricht. Dadurch schöpft er die
gesamte Konsumentenrente ab. Der Monopolist setzt p = MC, d.h. der Markt ist effizient.
Wohlfahrtsverlust bei perfekter Preisdiskriminierung = 0; CS = 0; PS = 6328
Lösungsskizze zu Aufgabe 2.2
Um die Gewinne aus Preisdiskriminierung 3. Grades zu maximieren, setzt der Monopolist in
jedem Marktsegment MC = MR . Für den ersten Markt bedeutet das:
10 = 100 − 10Q1 ⇔ 10Q1 = 90 ⇔ Q1 = 9
Der Preis in diesem Segment ist dann: P1 = 100 − 5Q1 = 100 − 45 = 55 .
Im zweiten Marktsegment folgt aus MC = MR : 10 = 50 − 8Q2 ⇔ 8Q2 = 40 ⇔ Q2 = 5
Der Preis in diesem Segment ist dann: P2 = 50 − 4Q 2 = 50 − 20 = 30 .
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Lösungsskizze zu Aufgabe 2.3
a) Wenn die Firma beide Produkte getrennt voneinander verkauft, dann sollte sie den Preis
für das Produkt A 75 € setzen. Zu diesem Preis verkauft die Firma das Produkt A an die
Konsumenten 2 und 3 und erlöst 150 €. Kosten betragen 20 €. Für Produkt B sollte die
Firma 30 € verlangen, denn zu diesem Preis wollen Konsumenten 1 und 2 kaufen und die
Firma macht einen Erlös von 60 €, Kosten der Firma belaufen sich auf 10 €. Der
Gesamtgewinn der Firma beträgt dann 180 €.
b) Wenn die Firma ein Güterbündel verkauft, dann sind bei der Gewinnmaximierung die
Zahlungsbereitschaften der Konsumenten für das Bündel ausschlaggebend.
betragen 90, 105, und 110 € für die jeweiligen Konsumenten.
Diese
Gegeben diese
Zahlungsbereitschaften, maximiert die Firma ihren Gewinn, wenn sie den Preis für ein
Bündel aus Produkt A und Produkt B gleich 90 € setzt. Zu diesem Preis sind alle
Konsumenten bereit, das Bündel zu kaufen. Die Firma erlöst 270 € und hat Kosten in
Höhe von 15 €. Die Firma macht also einen Gewinn von 225 €, also 45 € mehr als im
ersten Fall vom Aufgabenteil a).
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Kapitel 3: Allgemeine Gleichgewichtstheorie
Lösungsskizze zu Aufgabe 3.1
a)
X: 2 Tage: (5,9), (7,4), (13,2)
Y:
3 Tage: (3,11), (6,6), (11,4)
3 Tage: (8,10), (10,7), (14,5)
5 Tage: (6,12), (9,9), (13,7)
B
Anfangsausstattung
OY
P
UY3
UX3
9
UX2
UY5
4
2
P
OX
5
7
13
B
b) s. Definitionen in den Vorlesungsfolien
c)
X stimmt jedem Tausch zu, bei dem er sich nicht schlechter stellt:
⇒ X : ( 7, 4)
Y : (9,9)
2 Tage
5 Tage
Y stimmt jedem Tausch zu, bei dem er sich nicht schlechter stellt:
⇒ X : (10,7) Y : (6,6)
3 Tage
3 Tage
Lösungsskizze zu Aufgabe 3.2
a)
Anfangsausstattungen von S und T:
Im Gleichgewicht gilt:
−
∂U S / ∂x S
p
=− x
∂U S / ∂y S
py
MRS S = −
wS = (6,3) und wT = (6,3)
px
= MRS T
py
Nebenbedingung:
y S2
p
= x ⇔ p y y S = 2 p x xS
2 xS yS
py
p x xS + p y yS = 6 p x + 3 p y
⇒ 6 p x + 3 p y − p x xS = 2 p x xS
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⇒ xS = 2 +
⇒ 2( 6 p x + 3 p y − p y y S ) = p y y S
−
p
∂U T / ∂xT
=− x
∂U T / ∂yT
py
px
⇒ 12 p x + 6 p y = 3 p y y S
⇒ yS = 4
px
+2
py
p x xT + p y yT = 6 p x + 3 p y
Nebenbedingung:
2 xT yT
p
= x ⇔ 2 p y y T = p x xT
2
py
xT
py
⇒ 2(6 p x + 3 p y − p x xT ) = p x xT
⇒ 12 p x + 6 p y = 3 p x xT
⇒ xT = 4 + 2
py
px
⇒ 2 p y yT = 6 p x + 3 p y − p y yT
⇒ yT = 2
px
+1
py
b) Preisrelation im GG: Im Gleichgewicht muss gelten:
x S + xT = 12 ⇔ 2 +
⇒3
py
px
=6
py
px
+4+2
py
px
= 12
⇒ py = 2 px
⇒6
⇒ xS = 2 +
2 px
p
= 4 , ⇒ yS = 4 x + 2 = 4 ,
px
2 px
⇒ xT = 4 +
2 ⋅ 2 px
= 8,
px
⇒ yT = 2
Die nachgefragten Mengen sind also:
y S + yT = 6 ⇔ 4 +
px
=3
py
px
p
+ 2 + 2 x +1 = 6
py
py
⇒ py = 2 px
px
+1 = 2
2 px
( x S , y S ) = (4,4)
( xT , yT ) = (8,2)
Lösungsskizze zu Aufgabe 3.3
a)
Das allgemeine Gleichgewicht im vollkommenem Wettbewerb ist Pareto-effizient (gilt auch bei mehr als
zwei Gütern/Konsumenten) d.h. ein Markt, auf dem jeder Teilnehmer versucht, seinen individuellen Nutzen
zu maximieren, führt zu einem Pareto-effizienten Ergebnis. Voraussetzungen: „normale“ Indifferenzkurven,
keine Externalitäten etc.
b) Jede Pareto-effiziente Allokation ist ein Gleichgewicht in einem Markt mit vollkommenem Wettbewerb.
Unter bestimmten Annahmen (z.B. „normale“ Indifferenzkurven etc.) kann jede Pareto-effiziente Allokation
durch ein kompetitives Marktgleichgewicht erreicht werden. Implikation: Verteilungswirkung und Effizienz
können separiert werden. Jede Pareto-effiziente Allokation (auch eine „gerechte“) kann erreicht werden,
wenn die Ausstattung der Wirtschaftssubjekte (vorher) entsprechend umverteilt wird.
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Kapitel 4: Einführung in die Spieltheorie
Lösungsskizze zu Aufgabe 4.1
Spieler A hat keine dominante Strategie!
Spieler B hat eine dominante Strategie! (B1; egal ob Spieler A A1 oder A2 wählt ist es für Spieler B immer beste
Antwort B1 zu wählen)
Nash-Gleichgewicht: A1,B1
Lösungsskizze zu Aufgabe 4.2
a) Nash-Gleichgewicht: (Werbung, Werbung)
b) Ja, die Firmen sollten sich mit einem bindenden Vertrag verpflichten, nicht zu werben, denn dies erhöht die
Gewinne der beiden Anbieter im Vergleich zu der Situation im Nash-GG.
Lösungsskizze zu Aufgabe 4.3
a)
.
A
.
1 0 .0 0 0
P
1 5 .0 0 0
.
N ic h t
a n b ie te n
P
N ic h t
N ic h t
anannehm en nehm en
annehm en
.
.
(0 ;0 )
( 2 0 0 0 ;2 0 0 0 )
annehm en
.
.
(7 0 0 0 ;-3 0 0 0 )
.
(0 ;0 )
( 0 ;0 )
b)
.
M r. S
E S B
M r. C
E S B
.
1 0 0 ;1 0 0
F S
.
.
F S
E S B
.
0 ;0
.
0 ;0
M r. C
F S
.
1 0 0 ;1 0 0
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Lösungsskizze zu Aufgabe 4.4
D( p ) = max{0,12 − p}
p = 12 – q für p ≤ 12 und q = q1 + q2
Kosten
Einheiten
3
4
6
Firma 1
9
10
15
Firma 2
8
10
Nicht möglich
Strategiekombination
p = (12 – q)
π1
π2
(3,3)
6
9
10
(3,4)
5
6
10
(4,3)
5
10
7
(4,4)
4
6
6
(6,3)
3
3
1
(6,4)
2
-3
-2
Das Spiel in Normalform:
F2
q2 = 3
q2 = 4
q1 = 3
9, 10
6, 10 *
q1 = 4
10, 7 *
6, 6
q1 = 6
3, 1
-3, -2
F1
→ Nash-Gleichgewichte: (q1 = 4, q2 = 3) und (q1 = 3, q2 = 4)
Lösungsskizze zu Aufgabe 4.5
Spieler 1 hat keine dominante Strategie!
Spieler 2 hat eine dominante Strategie! (auf jede Entscheidung von Spieler 1 ist es „beste Antwort“ von Spieler
2 C zu wählen.
Nash-Gleichgewichte: (M,C)
Lösungsskizze zu Aufgabe 4.6
Tabelle 1
Spieler 1
T
B
Spieler 2
L
6, 3, 2
2, 3, 9
R
4, 8, 6 *
4, 2, 0
T
B
Spieler 2
L
8, 1, 1
9, 4, 9 *
R
0, 0, 5
0, 0, 0
Tabelle2
Spieler 1
Nash-Gleichgewichte: (T, R, Tabelle 1) und (B, L, Tabelle 2)
Lösung zu Aufgabe 4.7
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. . . . . . . . . .
KJ n
KE
n
j
j
(1;0)
(0;10)
n
KJ
j
(10²;0)
n
KE
j
(0;103)
n
KJ
j
(104;0)
n
KE
j
n
KJ
KE
n
j
j
(0;105) (106;0)
n
KJ
j
(0;107) (108;0)
n
KE n
(0;0)
j
(0;109)
Durch Rückwärtsinduktion kann man das Nash-Gleichgewicht bestimmen. Im Gleichgewicht wählt jeder Spieler
bei jedem Entscheidungsknoten „j“. Daraus folgt, dass das Spiel bereits nach der ersten Entscheidung beendet
ist. Der Auszahlungsvektor ist: (1, 0).
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