Sibylle Schwarz WS 2011/2012 - Westsächsische Hochschule

Logik
Sibylle Schwarz
Fachgruppe Informatik
Fachbereich Physikalische Technik / Informatik
Westsächsische Hochschule Zwickau
Dr.-Friedrichs-Ring 2a, RII 263
http://wwwstud.fh-zwickau.de/~sibsc/
email: [email protected]
WS 2011/2012
1
Logik – Geschichte
I
Logik in Philosophie, Rhetorik (Syllogismen)
Aristoteles (384 - 322 v.Chr.)
I
Grundlagen der Rechentechnik
Aussagenlogik
George Boole (1815 - 1864)
I
Mathematische Logik
Formalisierung des Beweisens (Begriffe und Schlußregeln)
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
Gottlob Frege (1848 - 1925)
David Hilbert (1862 - 1943)
Kurt Gödel (1906 - 1978) Unvollständigkeitssatz
I
formale Grundlagen der (theoretischen) Informatik
Alonzo Church (1903 - 1995)
Alan Turing (1912 - 1954)
2
Logik in der Informatik
theoretische Informatik, Grundlagen:
Beschreibung von formalen Sprachen und Berechnungsmodellen
(klassische Prädikatenlogik)
technische Informatik, z.B. Digitaltechnik:
Logikgatter / Schaltnetze (klassische Aussagenlogik)
praktische Informatik, z.B. Programmierung:
Spezifikation: Definition der Anforderungen an Hard- und Software
Verifikation: Korrektheit von Hard- und Software
Datentypen: definiert durch Eigenschaften (statt Realisierung)
(klassische Prädikatenlogik, modale und temporale Logiken)
angewandte Informatik, z.B. Datenbanken, künstliche Intelligenz:
Wissensrepräsentation / Expertensysteme
Problemlösen / automatischen Beweisen
(klassische und nichtklassische Logiken, Fuzzy-Logik)
allgemein: Logik als Sprache zur Formulierung und Manipulation
geeigneter formaler Modelle der Realität
3
Vorteile der formalen Darstellung
Abstraktion von unwichtigen Details
(Entwicklung und Verwendung von Modellen)
Präzisierung der relevanten Aussagen
(eindeutige Semantik)
Systematisches Lösen von formal dargestellten Problemen
möglich
Struktureigenschaften formaler Beschreibungen
Schlussweisen unabhängig von Bedeutung der
Aussagen
Beispiel: Aus (P oder Q) und (nicht P) folgt Q.
1. T besucht Kino oder Konzert. T nicht im Kino.
Also
√ besucht T das Konzert. √
oder irrational. 2 6∈ .
2. 2 ist rational
√
Also ist 2 irrational.
Q
4
Inhalt der Lehrveranstaltung
I
Aussagenlogik
I
I
I
I
I
I
I
I
Algebraische Strukturen
Prädikatenlogik
I
I
I
I
I
I
Modellierungsbeispiele
Syntax
Semantik (Wahrheitswertfunktionen,
Wahrheitswerttabellen)
Schaltalgebra
logisches Folgern, Beweisen
logisches Schließen, Kalküle
Modellierungsbeispiele
Syntax
Semantik
logisches Folgern
logisches Schließen, Kalküle
Einblick in nichtklassische Logiken
5
Ziele
I
Grundverständnis der Logik als Sprache der Informatik
I
Fähigkeit zur Abstraktion
I
Grundkenntnisse in Modellbildung
I
Beweisverfahren
I
Zusammenhänge zu anderen Gebieten der Informatik und
Mathematik
6
Literatur
empfohlen:
I
Uwe Schöning: Logik für Informatiker,
Spektrum, 1995
I
Kreuzer, Kühling: Logik für Informatiker,
Pearson Studium, 2006
I
Jürgen Dassow: Logik für Informatiker,
Teubner, 2005
ergänzend:
I
Wolfgang Thomas, Jörg Flum, Heinz-Dieter Ebbinghaus:
Einführung in die mathematische Logik
Spektrum, 1998
I
Bernhard Heinemann, Klaus Weihrauch:
Logik für Informatiker
Teubner, 1992
7
Organisation der Lehrveranstaltung
Informationen: Folien, Übungsserien, Termine, Änderungen, ...
http://wwwstud.fh-zwickau.de/~sibsc/lehre/
ws11/logik
Lehrveranstaltungen für jeden Studenten:
I wöchentlich eine Vorlesung (30 SWS)
Donnerstag 9:20 - 10:50 Uhr, HS 2
I 14tägig eine Übung (15 SWS)
Jeder Student besucht eine der Übungsgruppen:
I
I
für 102079/1: Z2 Dienstag 15:20 - 16:50 Uhr, R 311
für 102079/2: Z2 Mittwoch 9:20 - 10:50 Uhr, R 311
Vor- und Nachbereitung (60 SWS): schriftliche Aufgaben (ÜS)
praktische Aufgaben (Autotool)
Literaturstudium
Selbststudium (15 SWS): Literaturstudium
Prüfungsvorbereitung
8
Schriftliche Hausaufgaben – Seminar
schriftliche Übungsserien:
http:
//wwwstud.fh-zwickau.de/~sibsc/lehre/ws11/logik
I
Nachbereitung der letzten Vorlesung
I
Vorbereitung der nächsten Vorlesung
I
Vorbereitung der Seminarvorträge zu jeder Aufgabe
Seminar:
I
Besprechung der Lösungen der schriftlichen
Hausaufgaben
(Vorrechnen durch Studenten)
I
Fragen zum aktuellen Vorlesungsstoff und zu den
schriftlichen und praktischen Hausaufgaben
9
Prüfung
Klausur mit Aufgabentypen aus Übungsserien
Zulassungsvoraussetzungen:
regelmäßige erfolgreiche Lösung der Hausaufgaben
I
schriftliche Aufgaben:
Nachweis durch mindestens dreimal „Vorrechnen“ in
Seminaren
I
50 % der praktischen Pflichtaufgaben (Autotool)
10
Aussagen
Aussage = Behauptung
Beispiele:
I
Es regnet.
I
Die Straße ist naß.
I
I
9 ist eine Primzahl.
√
2∈
I
3<5
I
x < 5 (hängt von x ab, keine Aussage)
I
Ist x < 5? (keine Aussage)
I
Sei x < 5. (keine Aussage)
I
Morgen regnet es.
I
Es ist nicht alles Gold, was glänzt.
Q
11
Wahrheitswerte
Prinzipien der klassischen Logik:
Zweiwertigkeit Jede Aussage ist wahr oder falsch.
ausgeschlossener Widerspruch Keine Aussage ist sowohl
wahr als auch falsch.
Wahrheitswerte 1 (wahr) oder 0 (falsch)
Jede Aussage p hat genau einen Wahrheitswert W(p) ∈ {0, 1}.
Beispiele:
I
W(Es regnet.) = ?
I
W(Die Straße ist naß.) = ?
I
I
W(9 ist eine Primzahl.) = 0
√
W( 2 ∈ ) = 0
I
W(3 < 5) = 1
I
W(Morgen regnet es.) = ?
I
W(Es ist nicht alles Gold, was glänzt.)=1
Q
12
Zusammengesetzte Ausdrücke – Junktoren
Junktor (mit zugeordneter Stelligkeit):
Symbol (Syntax) für Verknüpfung von Aussagen
z.B. „und“ (zweistellig), „nicht“ (einstellig)
Gottlob Frege: Die Bedeutung des Ganzen ist eine Funktion
der Bedeutung seiner Teile.
Wahrheitswert eines zusammengesetzten Ausdruckes lässt
sich aus dem Wahrheitswert seiner Teilausdrücke berechnen.
Semantik (Bedeutung) eines n-stelligen Junktors ∗:
[∗] : {0, 1}n −→ {0, 1}
(n-stellige Funktion auf der Menge {0, 1})
Wahrheitswertkonstanten (nullstellige Junktoren):
t mit [t] = 1
f mit [f] = 0
13
Konjunktion ∧
Es regnet und 9 ist eine Primzahl.
I W(9 ist eine Primzahl.)= 0
I W(Es regnet)=?
I W(Es regnet und 9 ist eine Primzahl.)=0
p ∧ q ist genau dann wahr, wenn beide Aussagen p und q wahr
sind.
W(p) W(q) W(p ∧ q)
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
W(p ∧ q) = min(W(p), W(q))
[∧] = min ist kommutativ, assoziativ
n
^
pi = p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn
i=1
14
Disjunktion ∨ (inklusiv)
Es regnet oder 3 < 5.
I W(3 < 5) = 1
I W(Es regnet)=?
I W(Es regnet oder 3 < 5.)=1
p ∨ q ist genau dann wahr, wenn wenigstens eine der
Aussagen p und q wahr ist.
W(p) W(q) W(p ∨ q)
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
W(p ∨ q) = max(W(p), W(q))
[∨] = max ist kommutativ, assoziativ
n
_
pi = p1 ∨ p2 ∨ · · · ∨ pn
i=1
15
Negation ¬
Q
√
√
(meist 2 6∈
¬( 2 ∈ )
√
I W( 2 ∈
)=0
√
I W(¬( 2 ∈
)) = 1
Q
Q)
Q
¬p ist genau dann wahr, wenn p falsch ist.
W(p) W(¬p)
0
1
1
0
W(¬p) = 1 − W(p)
16
Implikation →
Wenn es regnet, dann ist die Straße naß.
I
W(Es regnet.)=?
I
W(Die Straße ist naß.)=?
I
W(Wenn es regnet, dann ist die Straße naß.)=1
p → q ist genau dann wahr, wenn die Aussage p falsch oder
die Aussage q wahr ist.
W(p) W(q) W(p → q)
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
W(p → q) =
1 falls W(p) ≤ W(q)
0 sonst
17
Äquivalenz ↔
3 < 5 gilt genau dann, wenn 0 < 5 − 3 gilt.
I
W(3 < 5) = 1
I
W(0 < 5 − 3) = 1
I
W(3 < 5 gilt genau dann, wenn 0 < 5 − 3 gilt.)=1
p ↔ q ist genau dann wahr, wenn entweder beide Aussagen p
und q gelten oder beide nicht gelten.
W(p) W(q) W(p ↔ q)
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
W(p ↔ q) =
1 falls W(p) = W(q)
0 sonst
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