Vorlesung Mathematik 2 für Informatik Inhalt: Lineare Algebra Literatur

Vorlesung Mathematik 2 für Informatik
Inhalt: Lineare Algebra
I Rechnen mit Vektoren und Matrizen
I Lineare Gleichungssysteme, GauÿAlgorithmus
I Vektorräume, Lineare Abbildungen
I Eigenwerte und Eigenvektoren
Literatur
Gerald und Susanne Teschl:
Mathematik für Informatiker, Band 1, Kapitel 9 bis 14
vektoren.pdf, Seite 1
Vektoren
Ein
x
ndimensionaler Vektor
mit
n∈N
ist ein
nTupel
= ~x = x = (x1 , x2 , ..., xn ).
mit reellen Zahlen
Komponenten
x1 , x2 , ..., xn ,
den
Koordinaten
oder
des Vektors.
Alternative Notation als
 x 
1
x
 2 
Spaltenvektor: x =  .. 
.
xn
Der
Vektorraum Rn
ndimensionalen
( R hoch
n)
ist die Menge aller
Vektoren:
Rn = {(x1 , x2 , ..., xn ) : x1 , ..., xn ∈ R} = R × R × ... × R
vektoren.pdf, Seite 2
Anwendungen
I Physikalische Gröÿen wie Ort, Geschwindigkeit, Kraft etc.
werden durch Verktoren
x ∈ R3
dargestellt.
I Geometrische Objekte können mit Hilfe von Vektoren
beschrieben werden (→ Computergrak)
I rgbFarbwerte können durch einen Vektor
I
x = (r , g , b) ∈ R3 dargestellt werden.
Umsätze x1 , x2 , ..., xn einer Handelskette mit n Filialen
n
lassen sich zu einem Vektor x ∈ R zusammenfassen.
I Allgemein: gleichartige Zahlengröÿen werden zu Vektoren
zusammengefasst
(vgl.
Arrays
in Programmiersprachen)
vektoren.pdf, Seite 3
Koordinatensysteme
dienen der Darstellung von Objekten im zwei- oder
dreidimensionalen Raum durch Vektoren, die als Pfeile
veranschaulicht werden.
P in
Koordinaten
Beispiel: Punkt
mit den
−2
der Ebene
3
In diesem Fall spricht man von
einem
Ortsvektor,
der den
Koordinatenursprung mit dem
Punkt
P
verbindet.
vektoren.pdf, Seite 4
Richtungsvektoren
verbinden Punkte miteinander.
Beispiel: Die Eckpunkte eines
Dreiecks werden die die
Ortsvektoren
A=
und
−3
B=
1
C=
2
−2
1
3
beschrieben.
Die Seiten werden dann durch die Richtungsvektoren
AB =
4
2
,
AC =
5
−3
und
BC =
1
−5
dargestellt.
Bemerkung: Mathematisch gibt es keinen Unterschied
zwischen Orts- und Richtungsvektoren, die Unterscheidung
bezieht sich auf die jeweilige Anwendung.
vektoren.pdf, Seite 5
Rechnen mit Vektoren
Die grundlegenden Rechenoperationen mit Vektoren sind die
Vektoraddition und die Multiplikation mit
Skalaren
(reellen
Zahlen). Die Summe zweier Vektoren der gleichen
n ist komponentenweise
ndimensionalen Vektor:
Dimension
einen

x
+y =
  
x1
y1
 x2   y2 
   
 ..  +  .. 
 .  .
xn
yn
deniert und ergibt wieder

=

x1 + y1
 x2 + y2 



. .
.

.
xn + yn
Analog deniert man die Dierenz x
−y
komponentenweise
mit − statt +.
Bei der Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl
(Skalar)
a·x=
a wirdjedeKompomnente

x1
 x2 

a·
 .. 
 . 
xn
=
a · x1
 a · x2 


 .. 
 . 
a · xn
mit
a
multipliziert:
vektoren.pdf, Seite 6
Beispiele
 
 

+4
5
I 2+5 = 2+5 = 7
3
6
3+ 6
9
2
−2
2 − (−2)
4
I
−
=
= −2
1
3
1−3
 


 


1
0, 5
1
−7
I 1 ·  2  =  1 ,
−7 ·  2  =  −14 
2
3
1, 5
3
−21
1
I
 
4

1
(3; 2; 5; 7) − (1; 2; 3; 4) = (2; 0; 2; 3)




,
1, 6
I  2  +  −1, 5  =  0, 5 
−1
3, 1
2, 1




−2
3
I − 1 , 5 ·  6  =  −9  .
4
−6
 
1
4
I 2+
ist nicht deniert.
1
3


0 6
5
vektoren.pdf, Seite 7
Geometrisch
entspricht die Addition von Vektoren im
R2
oder
R3
dem
aneinander hängen der Vektorpfeile.
Multiplikation mit einem Skalar entspricht einer Streckung
bzw. Stauchung sowie bei einem negativen Skalar der
Umkehrung der Pfeilrichtung.
vektoren.pdf, Seite 8
Bemerkung
Zu Ortsvektoren
Richtungsvektor
A, B erhält man den zugehörigen
x von A nach B als Dierenz x = B − A.
Beispiel
Der Vektor
x=
1
3
−
−3
1
=
4
2
verbindet
die Punkte mit den Koordinaten
A=
−3
1
und
B=
1
3
.
vektoren.pdf, Seite 9
Rechenregeln für Vektoren x, y , z ∈ Rn
I
I
I
I
x + y = y + x (Kommutativgesetz),
(x + y ) + z = x + (y + z) (Assoziativgesetz),
x + 0 = x mit dem Nullvektor 0 = (0; 0; ...; 0),
x − x = 0.
Fazit:
(Rn , +)
ist
abelsche Gruppe.
Rechenregeln für x, y ∈ Rn und a, b ∈ R
I
I
I
I
a · (b · x) = (a · b) · x (Assoziativgesetz),
(a + b) · x = a · x + b · x und
a · (x + y ) = a · x + a · y (Distributivgesetze),
0 · x = a · 0 = 0 und 1 · x = x ,
x − y = x + (−1) · y .
vektoren.pdf, Seite 10
Norm (oder Betrag) eines Vektors = Länge des Pfeils
Im
p
x
1
2
2
R2 : kxk = x2 = x1 + x2
nach Pythagoras.
Allgemein im
kxk =
Rn :
p
x12 + x22 + ... + xn2 .
Beispiele
1 √
1 = 2,
3 −4 = 5,
 
 1 
−
2
= 3,
2
 
1   √
 2 
 3  = 30.
4 Anwendung
Den Abstand zweier Punkte
Verbindungsvektors
A
und
B
erhält man als Norm des
B − A.
vektoren.pdf, Seite 11
Eigenschaften der Norm
x, y ∈ Rn und a ∈ R gilt
I k0k = 0 und kxk > 0, falls x 6= 0 (Positivität),
I ka · xk = |a| · kxk (Homogenität),
I kx + y k ≤ kxk + ky k (Dreiecksungleichung)
Für
Einheitsvektor = Vektor mit Norm 1
Ist
x 6= 0
beliebig, so ist
x
kxk
1
=
kxk
·x
ein Einheitsvektor.
Beispiele für Einheitsvektoren
 
0
 1 ,
0
 

2
1 
3 2
=
1

2/3
 2/3 ,
1/3
√1
2

1
−1
1

 −2 


 3 .


55
 −4 
1
und √
5
Spezielle Einheitsvektoren im
e1
= (1; 0; 0),
e2
= (0; 1; 0),
3
R
e3
sind:
= (0; 0; 1),
analog im
Rn .
vektoren.pdf, Seite 12
Das Skalarprodukt im Rn
ordnet zwei Vektoren
hx, y i = ~x · ~y =
x, y ∈ Rn
Pn
i=1 xi yi
einen Skalar
hx, y i ∈ R
zu:
= x1 · y1 + x2 · y2 + ... + xn · yn ∈ R
Beispiele
I
I
1
3
, 4
= 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11
2
3
3
, −4
= 3 · 3 − 4 · (−4) = 32 + 42 = 25
−4
*
I
1
 
4

+
 2   −3 

 

 −3 ,  −2 
−4
1
= 1 · 4 + 2 · (−3) − 3 · (−2) − 4 · 1 = 0.
vektoren.pdf, Seite 13
Eigenschaften des Skalarprodukts
I
I
I
I
hx, xi =px12 + ... + xn2 = kxk2 ≥ 0 bzw.
kxk = hx, xi,
hy , xi = hx, y i (Symmetrie),
ha · x, y i = a · hx, y i für Skalare a ∈ R und
hx + z, y i = hx, y i + hz, y i sowie
hx, y + zi = hx, y i + hx, zi für x, y , z ∈ Rn (Bilinearität),
hx, y i = kxk · ky k · cos ^(x, y ),
wobei ^(x, y ) für den Winkel zwischen x und y und cos
für die Cosinusfunktion steht,
x⊥y (x senkrecht y ) ⇔ hx, y i = 0 und
|hx, y i| ≤ kxk · ky k (CauchySchwarzUngleichung)
I insbesondere
I
vektoren.pdf, Seite 14

Beispiel x = 
Es ist
und
kxk =
1
2
−1
√

 
,
y =
,
z = −
1
ky k =
6,
2

√
1


2
kzk =
5,
3
√
14
hx, y i = 1 · 0 + 2 · 2 + (−1) · 1 = 3, hx, zi = −1
sowie
hy , zi = 0.
*
hx, y + zi =
Aus der Bilinearität folgt z. B.
1
2

  +
3
hy , zi = 0,
stehen
Für den Winkel
α
= hx, y i + hx, zi = 3 − 1 = 2.
,  1 
−1
Da
0
3
y
und
zwischen
z
x
senkrecht aufeinander.
und
y
gilt
p
3
hx, y i
= √ √ = 0, 3 ≈ 0, 5477
kxk · ky k
6·
5
⇒ α = arccos 0, 5477 = 56, 8o = 0, 991 rad, wobei arccos
(Arcuscosinus) die Umkehrfunktion des Cosinus bezeichnet.
cos α
=
vektoren.pdf, Seite 15
Geometrische Anwendungen
R2
C = (2; 0).
Beispiel: Gegeben sei das Dreieck im
A = (−1; 1), B = (2; 3)
Die Seite
AB
und
AC wird
√ durch y = (3; −1)
ky k = 10.
α
x√
= B − A = (3; 2)
kxk = 13.
wird durch den Vektor
beschrieben und hat die Länge
Der Winkel
mit den Eckpunkten
beschrieben und hat die Länge
zwischen diesen beiden Seiten kann berechnet
werden durch
hx, y i = kxk · ky k · cos α ⇔
cos α
=
hx, y i
7
=√
≈ 0, 614 ⇒ α ≈ 52, 1o = 0, 91
kxk · ky k
130
rad
Analog erhält man für die Seite BC die Länge 3 und die
o
o
Winkel β ≈ 56, 3 und γ ≈ 71, 6 .
vektoren.pdf, Seite 16
Parameterdarstellung von Geraden im R2 und R3
Zu Vektoren
t∈R
x
und
v
ist die Menge aller Punkte
Jede Gerade
g
mit
x der Ortsvektor
Richtungsvektor v
lässt sich so darstellen, wobei
eines beliebigen Punktes auf
zwei Punkte auf
Diese
x +t ·v
eine Gerade.
g
g
ist und der
verbindet.
Parameterdarstellung
ist nicht eindeutig.
vektoren.pdf, Seite 17
Beispiel
Gesucht ist eine
der Geraden
Parameterdarstellung
Punkte
1
A=
und
2
−1
B=
im
1
Als Ortsvektor kann (zum Beispiel)
1
2
−
−1
1
=
R
g
durch die
.
x =B =
werden, als Richtungvektor
v =A−B =
2
−1
1
gewählt
2
1
.
Somit ist
g=
−1
1
+t ·
2
1
−1
2
:t∈R =
+R· 1 .
1
eine (von vielen möglichen) Parameterdarstellung der Geraden.
vektoren.pdf, Seite 18
Gerade g = x + R · v
vektoren.pdf, Seite 19
Anwendung der Parameterdarstellung
Berechnung von Schnittpunkten, Schnittwinkeln, Projektionen etc.
Im Beispiel muss für den Schnittpunkt von
g
mit der
x1 Achse
−1 + 2t
1+t
gelten:
x1
0
=
−1
1
Aus der Gleichung für die
0
+t ·
2
1
=
x2 Koordinate
folgt
= 1 + t ⇔ t = −1.
Eingesetzt in die Gleichung für die
x1 Koordinate
ergibt sich
nun
x1 = −1 + 2 · (−1) = −3,
d. h.
g
schneidet die 1. Koordinatenachse im Punkt
−3
0
.
vektoren.pdf, Seite 20
Beispiel: Schnittwinkel zweier Geraden
Seien
A = (1; 1; 2), B = (2; −1; 3)
Die Gerade
g
durch
A
und
B
und
C = (0; −2; 2) ∈ R3 .
hat die Parameterdarstellung
g = {(1; 1; 2)+t ·(1; −2; 1) : t ∈ R} = (1; 1; 2)+R·(1; −2; 1),
h = (1; 1; 2) + R · (−1; −3; 0)
stellt die Gerade durch
A
und
C
dar.
Der Schnittwinkel
α
der beiden Geraden ist der Winkel
zwischen den Richtungsvektoren und wird bestimmt durch:
cos α
=
h(1; −2; 1), (−1; −3; 0)i
5
= √ ⇒ α = 49, 8o
k(1; −2; 1)k · k(−1; −3; 0)k
60
vektoren.pdf, Seite 21
Bemerkung
Beim Schnitt zweier Geraden tritt neben dem Winkel α auch
o
immer der Supplementwinkel β = 180 − α auf, wobei gilt
cos β
= − cos α.
Der Winkel zwischen zwei Richtungsvektoren
ist je nach Wahl der Richtungsvektoren entweder
α
oder
β.
Standardmäÿig wird der kleinere der beiden Winkel als
Schnittwinkel der Geraden deniert. Diesen erhält man für
beliebige Richtunsvektoren
cos α
=
v
und
w
durch
|hv ,w i|
.
kv k·kw k
vektoren.pdf, Seite 22
Orthogonale Projektion
x, v ∈ Rn
orthogonale Projektion
Zu Vektoren
v=
6 0 deniert man die
von x in Richtung von v durch
mit
πv (x) = x|| =
hx, v i
·v
hv , v i
Beispiel
4
und
v=
hx, v i = 4 − 1 = 3
hv , v i = 1 + 1 = 2
und
Mit
x=
πv (x) =
1
3
2
·v =
3
2
·
1
ist
−1
und somit
1
−1
=
,
−1, 5
1 5
Spezialfall
Ist e ein Einheitsvektor (d. h.
πe (x) = hx, ei · e
kek = 1),
so ist
vektoren.pdf, Seite 23
Eigenschaften der orthogonalen Projektion
Ist
hx, v i > 0,
v,
seine Länge ist
kπv (x)k =
wobei
Ist
α
so zeigt der Vektor
hx,v i
kv k
x|| = πv (x)
in Richtung von
= kxk · cos α,
der Winkel zwischen
x
und
v
ist.
hx, v i < 0, so zeigt πv (x) in die entgegengesetzte
v , die Länge ist ebenfalls kxk · | cos α|.
Richtung
von
Ist
ist
hx, v i = 0, d. h. x und v stehen
πv (x) = 0 der Nullvektor.
Insbesondere hängt
von der Länge von
πv (x)
v ab.
senkrecht aufeinander, so
nur von der Richtung, nicht jedoch
vektoren.pdf, Seite 24
Orthogonale Zerlegung
x|| = πv (x), so steht der Vektor x⊥ = x − x|| senkrecht auf
v und damit auch auf x|| , d. h. man hat eine Zerlegung
x = x|| + x⊥ , wobei x|| ein skalares Vielfaches von v ist und x⊥
senkrecht auf v steht.
Ist
Beispiel x =
Mit
x|| =
,
−1, 5
1 5
4
1
und v =
folgt
1
−1
x⊥ = x − x|| =
,
2, 5
2 5
.
vektoren.pdf, Seite 25
Anwendung: Abstand PunktGerade
A ∈ Rn und
einen Vektor y⊥
senkrecht auf g steht.
Die kürzeste Verbindung zwischen einem Punkt
g = x + R · v ist ist durch
der A mit g verbindet und der
einer Gerade
gegeben,
Man erhält
y⊥ ,
indem man zu einem beliebigen
y = x − A,
den auf dem Richtungsvektor v der Geraden
Anteil y⊥ = y − πv (y ) bestimmt.
Verbindungsvektor
y,
z. B.
senkrechten
vektoren.pdf, Seite 26
Beispiel
Abstand des Punktes
Punkte
g=
−1
−1
1
2
zur Geraden
3
g
durch die
−3
−2
1
und
1
A=
+R·
2
. Man erhält
2
y=
,
1
−1
1
−A=
,
π(2;1) (y ) =
−3
2
, 1
−2
· 2
1
2
1
⇒ y⊥ =
−3
−2
−
,
2
−8 2 −3, 2 =
· 1 = −1, 6
5
1
−3, 2
−1, 6
=
,
−0, 4
0 2
.
Der Abstand zwischen Punkt und Gerade ist
ky⊥ k =
√
0, 2
≈ 0, 45.
vektoren.pdf, Seite 27