Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik
für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wintersemester 2015/16
Stefan Etschberger
Hochschule Augsburg
Veranstaltungskonzept
Mitschrift empfohlen!
Folien sind nur
ergänzendes
Material zur
Mitschrift
Aufteilung
in Vorlesung (Plenum)
und Übungsgruppen
(kleinere Gruppen)
Viele Aufgaben als Hausaufgabe, Besprechung in Übungsgruppen
Ohne selbständiges Rechnen der Übungsaufgaben ist Nutzen der
Veranstaltung sehr gering
Fragenstellen ist jederzeit erwünscht
Bei Fragen oder Problemen: E-Mail an Team
Informations-Backbone für Unterlagen und mehr:
http://goo.gl/HEHYav
Organisation
International
Management
Studiengang
Vorkenntnisse,
zusätzliches Interesse,
Tempo
Vorlesung
(ab 8. Oktober)
normal
Betriebswirtschaft
höher
normal
Mathe für
BW und IM
Mathe für
BW und IM
Mathe für
BW und IM
Mi ab 14.00
Raum B2.14
Mi ab 14.00, Raum B2.14
Mi ab 14.00
Raum B2.14
Mathe Plus
Mi ab 9.50, Raum W4.03
Prüfung
Klausur
für BW und IM
(90 Min., 6 Credits)
Zusatzklausur
(30 Min., 2 Credits
als Wahlfach, FWP)
Vorlesungsbegleitende Unterlagen
Arbeitsmaterial: Foliensatz, Aufgabenskript,
Mitschrift auf Wunsch
E-Books innerhalb des
Hochschulnetzwerks
kostenlos unter
Bücher (unterstützend):
Cramer, Erhard und Johanna Neslehova (2012). Vorkurs
Mathematik – Arbeitsbuch zum Studienbeginn in
Bachelor-Studiengängen. 4. Aufl. Dordrecht, Heidelberg,
London, New York: Springer.
http://goo.gl/qHwN7X
Luderer, Bernd (2003). Einstieg in die Wirtschaftsmathematik.
5. Aufl. Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden: Teubner.
Opitz, Otto und Robert Klein (2011). Mathematik – Lehrbuch für
Ökonomen. München: Oldenbourg. ISBN: 3486596713.
Sydsaeter, Knut und Peter Hammond (2008). Essential
Mathematics for Economic Analysis. 3. Aufl. Prentice Hall. ISBN:
0273713248.
Opitz und Klein (2011) Luderer (2003) Sydsaeter und Hammond (2008) Cramer und Neslehova (2012)
http://goo.gl/CWClv2
Prüfung
Klausur:
Klausur am Ende des Semesters
Bearbeitungszeit: 90 Minuten
Erreichbare Punktzahl: 50
Hilfsmittel:
• Schreibzeug,
• Taschenrechner, der nicht 70! berechnen kann,
• ein Blatt (DIN-A4, vorne und hinten beschrieben) mit
handgeschriebenen Notizen (keine Kopien oder Ausdrucke),
Danach (optional): Für Teilnehmer der Mathe-Plus Vorlesung
noch eine 30-minütige Teilklausur über zusätzliche Inhalte
(2 Wahlfachcredits als FWP-Fach zusätzlich möglich)
Zitate
Es gibt Dinge, die den
meisten Menschen unglaublich erscheinen, die
nicht Mathematik studiert
haben.
– Archimedes
Die Mathematik muss man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken
ordnet.
- M. W. Lomonossow
Physics is the study of the world, while mathematics is the study of all possible
worlds.
– Clifford Taubes
In mathematics you don’t understand things. You just get used to them.
– John von Neumann,
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk.
– Leopold Kronecker
Du wolltest doch Algebra, da hast du den Salat.
– Jules Verne
Es ist schon alles gesagt worden, aber noch nicht von allen.
– Karl Valentin
Probleme, ...
...die Sie nach dem Kurs lösen können:
Sich widersprechende Politiker entlarven,
Bedarf an Einzelteilen in Produktionsprozessen bestimmen,
die Käuferfluktuation zwischen verschiedenen Produkten im
Zeitablauf analysieren,
die Nachfragereaktion von Kaffee auf Preisänderungen
bestimmen
Ihre Rente ausrechnen
Große Kisten in kleine Ecken quetschen
Möglichst viel Gewinn bei möglichst wenig
Ressourcenverbrauch machen
EduVote
Stefan Etschberger
Umfragen in Vorlesung mit EduVote:
System zur Abstimmung im Hörsaal
App herunterladen oder direkt benutzen unter eduvote.de
User-Id: Etschberger
Printed Sources
8
Begriffe
Begriff
Logarithmus
Kartesisches Produkt
Geometrische Reihe
Kapitalwert
Simplex-Algorithmus
Nie gehört
Gehört
Kann ich erklären
Mathematik: Gliederung
1
Grundlegende Bausteine
2
Grundlegende Werkzeuge
3
Lineare Algebra
4
Lineare Programme
5
Folgen und Reihen
6
Finanzmathematik
7
Reelle Funktionen
8
Differenzieren 1
9
Differenzieren 2
10
Integration
1
Grundlegende Bausteine
Reelle Zahlen
Ganzzahlige Potenzen
Algebraische Umformungen
Brüche
Nichtganzzahlige Potenzen
Logarithmen
Zahlen
Mathematik
Stefan Etschberger
„Vernünftige“ Zahlen
Natürliche Zahlen: N
1. Grundlegende
Bausteine
Ganze Zahlen; Z
1.1. Reelle Zahlen
Rationale Zahlen: Q
1.3. Algebraische
Umformungen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
Rationale Zahlen liegen unendlich dicht auf dem Zahlenstrahl
1.4. Brüche
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
Aber
2. Grundlegende
Werkzeuge
Aber: Lösungen von Gleichungen wie
3. Lineare Algebra
4. Lineare Programme
x2 = 2
haben keine rationale Lösung
Folge: Es gibt auch irrationale Zahlen: Z.B.
5. Folgen und Reihen
6. Finanzmathematik
√
7. Reelle Funktionen
2
8. Differenzieren 1
9. Differenzieren 2
10. Integration
12
Dezimaldarstellung rationaler Zahlen
Mathematik
Stefan Etschberger
Zahldarstellung über Vielfache von 10
Die meisten Leute schreiben Zahlen heute im Dezimalsystem
1. Grundlegende
Bausteine
1.1. Reelle Zahlen
Damit möglich: Schreiben jeder natürlichen Zahl mit
Kombinationen der Ziffern 0, 1, . . . , 9
1.2. Ganzzahlige Potenzen
z.B.: 2009 = 2 · 103 + 0 · 102 + 0 · 101 + 9 · 100
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
Mit Dezimalkomma: Schreiben rationaler Zahlen möglich
z.B.: 2,36 = 2 · 100 + 3 ·
10
3
1
101
+6·
z.B.:
= 3,333 . . . = 3 + 3 ·
(unendlicher Dezimalbruch)
1
101
1
102
+3·
(endlicher Dezimalbruch)
1
102
+3·
1
103
+ ...
Jede rationale Zahl kann man über einen periodischen
Dezimalbruch darstellen
1.3. Algebraische
Umformungen
1.4. Brüche
1.6. Logarithmen
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Lineare Algebra
4. Lineare Programme
5. Folgen und Reihen
6. Finanzmathematik
7. Reelle Funktionen
8. Differenzieren 1
9. Differenzieren 2
10. Integration
13
Definition reeller Zahlen
Mathematik
Stefan Etschberger
Eine reelle Zahl hat die Form
x = m, a1 a2 a3 . . .
1. Grundlegende
Bausteine
Dabei: m: Ganze Zahl
1.1. Reelle Zahlen
und ai (mit i = 1, 2, . . .) ist unendliche Folge von Ziffern von 0
bis 9
1.3. Algebraische
Umformungen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
Damit: Nichtperiodische Dezimalbrüche heißen irrationale
Zahlen
Beispiele:
1.4. Brüche
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Lineare Algebra
√
2,
√
− 17,
4. Lineare Programme
π,
0,1121121112 . . .
5. Folgen und Reihen
6. Finanzmathematik
Rechenoperationen +, −, ·, : mit reellen Zahlen ergeben
wieder reelle Zahlen
Einzige Ausnahme: p0 ist keine reelle Zahl
7. Reelle Funktionen
8. Differenzieren 1
9. Differenzieren 2
10. Integration
14
Ganzzahlige Potenzen
Mathematik
Stefan Etschberger
Abkürzung: 3 · 3 · 3 · 3 = 34 oder
Allgemein:
1
2
·
1
2
·
1
2
·
1
2
·
1
2
=
1 5
2
1. Grundlegende
Bausteine
an = a · a · . . . a
1.1. Reelle Zahlen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
1.3. Algebraische
Umformungen
Rechenregeln:
1.4. Brüche
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1
a
= n
a
ar · as = ar+s
−n
1.6. Logarithmen
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Lineare Algebra
4. Lineare Programme
s
(ar ) = ar·s
5. Folgen und Reihen
6. Finanzmathematik
7. Reelle Funktionen
Achtung: im allgemeinen
8. Differenzieren 1
r
r
(a + b) 6= a + b
r
9. Differenzieren 2
10. Integration
15
Anwendungsbeispiel für Potenzen
Mathematik
Stefan Etschberger
Zinseszinsen
Anlage von 1000 € auf Bankkonto
Verzinsung jeweils am Jahresende 2,5 %
Zinsen nach einem Jahr: 1000 · 2,5 % = 25
Kontostand am Jahresende:
1. Grundlegende
Bausteine
1.1. Reelle Zahlen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
1.3. Algebraische
Umformungen
1000 + 1000 · 2,5 % = 1000 · (1 + 0,025) = 1000 · 1,025
Kontostand am Ende des zweiten Jahres:
(1000 · 1,025) + (1000 · 1,025) · 0,025
= 1000 · 1,025 · (1 + 0,025)
= 1000 · 1,025 · 1,025 = 1000 · 1,0252
Allgemein: Kontostand ist bei Anfangskapital K und einem
Zinssatz von i nach n Jahren
Kn = K · (1 + i)
n
1.4. Brüche
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Lineare Algebra
4. Lineare Programme
5. Folgen und Reihen
6. Finanzmathematik
7. Reelle Funktionen
8. Differenzieren 1
9. Differenzieren 2
10. Integration
16
Wichtige Rechenregeln
Mathematik
Stefan Etschberger
Es gilt für beliebige Zahlen a, b, c:
1.
a+b=b+a
2.
(a + b) + c = a + (b + c)
3.
a+0=a
4.
a + (−a) = 0
5.
ab = ba
6.
(ab)c = a(bc)
7.
1·a=a
8.
aa−1 = 1 (für a 6= 0)
9.
10.
(−a)b = a(−b) = −ab
(−a)(−b) = ab
11.
a(b + c) = ab + ac
12.
(a + b)c = ac + bc
1. Grundlegende
Bausteine
1.1. Reelle Zahlen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
1.3. Algebraische
Umformungen
1.4. Brüche
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Lineare Algebra
4. Lineare Programme
5. Folgen und Reihen
6. Finanzmathematik
7. Reelle Funktionen
8. Differenzieren 1
9. Differenzieren 2
10. Integration
17
Einfache Algebra
Mathematik
Stefan Etschberger
Algebraische Ausdrücke
Beispiel für einen algebraischen Ausdruck:
4x2 y2 + 7y4 x − 9xy + 11xy4
Die einzelnen Summanden (4x2 y2 , −9xy, usw.) heißen Terme
des Ausdrucks
Faktoren vor den Buchstaben (4, 7, −9, 11): Koeffizienten
Terme, die sich maximal durch Koeffizienten unterscheiden,
genannt Koeffizienten von der gleichen Art, können
zusammengefasst werden:
1. Grundlegende
Bausteine
1.1. Reelle Zahlen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
1.3. Algebraische
Umformungen
1.4. Brüche
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Lineare Algebra
4. Lineare Programme
7y4 x + 11xy4 = 18xy4
5. Folgen und Reihen
6. Finanzmathematik
Binomische Formeln
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
7. Reelle Funktionen
8. Differenzieren 1
9. Differenzieren 2
10. Integration
(a + b)(a − b) = a2 − b2
18
Faktorisieren
Mathematik
Stefan Etschberger
Primfaktorzerlegung
Zahlen können multiplikativ in Primfaktoren zerlegt werden,
Beispiel
1. Grundlegende
Bausteine
1.1. Reelle Zahlen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
64 = 8 · 8 oder
1848 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11
Faktorisierung algebraischer Ausdrücke
1.3. Algebraische
Umformungen
1.4. Brüche
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
Analog bei algebraischen Ausdrücken:
Zerlegung in irreduzible Faktoren
2. Grundlegende
Werkzeuge
Beispiele:
4. Lineare Programme
3. Lineare Algebra
5. Folgen und Reihen
2 3
2
2
5a b − 15ab = 5 · a · b · (ab − 3)
16a4 b2 − 9b4 = b2 · 4a2 − 3b · 4a2 + 3b
6. Finanzmathematik
7. Reelle Funktionen
8. Differenzieren 1
9. Differenzieren 2
10. Integration
19
Brüche
Mathematik
Stefan Etschberger
Division zweier Zahlen (a, b ∈ R, b 6= 0) kann durch Bruch geschrieben werden
a:b=
a
= a/b
b
1. Grundlegende
Bausteine
1.1. Reelle Zahlen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
Rechenregeln (a, b, c ∈ R):
1.3. Algebraische
Umformungen
1.4. Brüche
a·c
a
=
b·c
b
−
(b, c 6= 0)
a
(−1)a
−a
a
= (−1) =
=
b
b
b
b
a
c
ad + cb
+ =
b
d
bd
a·
b
ab
=
c
c
a c
a d
ad
: = · =
b d
b c
bc
−a
(−a) · (−1)
a
=
=
−b
(−b) · (−1)
b
a
b
a+b
+ =
c
c
c
a+
b
ac + b
=
c
c
a c
ac
· =
b d
bd
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Lineare Algebra
4. Lineare Programme
5. Folgen und Reihen
6. Finanzmathematik
7. Reelle Funktionen
8. Differenzieren 1
9. Differenzieren 2
10. Integration
20
Quadratwurzel
Mathematik
Stefan Etschberger
Potenz mit ax , wenn a ≥ 0 und x = 1/2: Quadratwurzel
Schreibweise:
1
2
a =
√
1. Grundlegende
Bausteine
a
wenn a ≥ 0
Rechenregeln für a 6= 0 und b > 0:
√
√ √
ab = a b
r
√
a
a
= √
b
b
1.1. Reelle Zahlen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
1.3. Algebraische
Umformungen
1.4. Brüche
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Lineare Algebra
4. Lineare Programme
5. Folgen und Reihen
6. Finanzmathematik
Achtung: Im allgemeinen:
√
√
√
a + b 6= a + b
7. Reelle Funktionen
8. Differenzieren 1
9. Differenzieren 2
10. Integration
21
N-te Wurzeln
Mathematik
Stefan Etschberger
1
Problem: Was bedeutet z.B. 5 3 ?
1
Damit Rechenregeln gültig bleiben: 5 3 ist Lösung der
Gleichung x3 = 5
Also Allgemein (a ∈ R, n ∈ N):
1 n
= a1 = a
an
Schreibweise:
1
an =
√
n
a
1. Grundlegende
Bausteine
1.1. Reelle Zahlen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
1.3. Algebraische
Umformungen
1.4. Brüche
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Lineare Algebra
4. Lineare Programme
5. Folgen und Reihen
Allgemeine rationale Exponenten (a ∈ R, p ∈ Z, q ∈ N):
p
aq
1 p
√ p
= aq
= qa
6. Finanzmathematik
7. Reelle Funktionen
8. Differenzieren 1
9. Differenzieren 2
10. Integration
22
Logarithmen
Mathematik
Stefan Etschberger
Wie löst man die Gleichung ax = b nach x auf?
(dabei soll gelten a, b > 0 und a 6= 1)
Neues Symbol: Der Logarithmus von b zur Basis a:
x
a =b
⇔
1. Grundlegende
Bausteine
x = loga b
1.1. Reelle Zahlen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
1.3. Algebraische
Umformungen
Beobachtungen:
1.4. Brüche
• loga a = 1
• loga 1 = 0
• loga (an ) = n
Rechenregeln:
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Lineare Algebra
4. Lineare Programme
5. Folgen und Reihen
loga (c · d) = loga c + loga d
c
= loga c − loga d
d
loga bn = n · loga b
loga
6. Finanzmathematik
7. Reelle Funktionen
8. Differenzieren 1
9. Differenzieren 2
10. Integration
23
Logarithmen
Mathematik
Stefan Etschberger
Spezielle Logarithmen:
log2 x = ld x
log10 x = log x
loge x = ln x
Logarithmus dualis
Dekadischer Logarithmus
1. Grundlegende
Bausteine
Logarithmus naturalis
1.1. Reelle Zahlen
Umrechnung von Basen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
1.3. Algebraische
Umformungen
loga b =
logc b
logc a
1.4. Brüche
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
2. Grundlegende
Werkzeuge
Beispiel
Nach wieviel Jahren verdoppelt sich ein Anfangskapital K mit einem jährlichen
Zins von 5%?
Lösung:
3. Lineare Algebra
4. Lineare Programme
5. Folgen und Reihen
6. Finanzmathematik
2K = K · (1 + 5%)n = K · 1,05n
7. Reelle Funktionen
⇔
1,05n = 2
8. Differenzieren 1
⇔
n = log1,05 2 =
ln 2
≈ 14,2
ln 1,05
9. Differenzieren 2
10. Integration
24
HA 7.10.2015
Aufgabe 1
Lösen Sie in den nachstehenden Aufgaben die Klammern auf und fassen Sie soweit wie möglich zusammen:
a) .3s C 2t/.4s 3t/.5s 7t/
.5a 2b/.5a C 2b/ .7a 3b/.7a 3b/
25a2 4b 2
49a2 C 9b 2 42ab
c) 8x .x C ..3x 2y/ .5x C 3y// .. x C 6y///
b)
Aufgabe 2
Wenden Sie die binomischen Formeln zur Vereinfachung folgender Ausdrücke an:
a)
b)
c)
d)
e)
9a2 2b 2
p
3 2a 2b
s2 t 2
2s 2 C 4st C 2t 2
a2 x 4 2ayx 2 b 2 C b 4 y 2
p p
xy 1
1
xy
p
4a C 12 ab C 9b
Aufgabe 3
Vereinfachen Sie unter Anwendung der Rechengesetze für Wurzeln bzw. Potenzen:
q
2
xy 2
q
16xy 4 3 4x 2 y 2
s
3
5 x
c)
32
qp
p
d)
4a2 x 2 a3 x
a)
q
b)
3
Aufgabe 4
Berechnen Sie x aus den folgenden Beziehungen:
1
a) 3 log x D log 1024
log 16
b) log x D 13 .log 250 C log 15
ln .x 2 / 2 ln x
c)
De
ln .x C 1/
d) e x D e 2x 50000
log 30/