Einführung in die Zahlentheorie
Jörn Steuding
Uni Wü, SoSe 2015
I Zahlen
II Modulare Arithmetik
III Quadratische Reste
IV Diophantische Gleichungen
V Quadratische Formen
Wir behandeln die ’wesentliche Zahlentheorie’ bis einschließlich
1801 (Erscheinungsjahr der ’Disquistiones Arithmeticae’ von Gauß).
Die Kapitel I, II und III sind relevant für das gymnasiale Lehramt.
V. Quadratische Formen
Eine quadratische Form ist gegeben durch ein homogenes quadratisches Polynom in mehreren Veränderlichen (vgl. Pellsche
Gleichung, Summen von Quadraten). Die zentrale Fragestellung ist:
Welche ganzen Zahlen (oder Primzahlen) lassen sich durch eine
vorgelegte Form darstellen? Diese Theorie wurde weitgehend von
Lagrange, Legendre, Gauß und später Dirichlet, Hermite und
Minkowski entwickelt.
18. Binäre quadratische Formen
19. Reduktionstheorie
20. Ausblick: Formen höheren Grades
§18. Binäre quadratische Formen
Gegeben ganze Zahlen a, b, c notieren wir die quadratische Form Q
als
(a, b, c) : (X , Y ) 7→ aX 2 + bXY + cY 2
bzw. in der Sprache der linearen Algebra mit Hilfe einer
symmetrischen Matrix als
X
a b/2
t
Q[X , Y ] = X Q X
mit Q =
, X=
.
b/2 c
Y
§18. Binäre quadratische Formen
Definitheit
D := D(Q) := b2 − 4ac (= −4 det Q) heißt Diskriminante von
Q = (a, b, c). Ferner ist Q positiv definit, wenn Q[x, y ] nur positive
Werte für (x, y ) 6= (0, 0) annimmt; nimmt sie hingegen nur negative Werte an, heißt sie negativ definit und ansonsten indefinit. Im
Folgenden sei stets a > 0.
Satz 18.1. Ist D ein Quadrat, so lässt sich Q in ein Produkt zweier
rationaler Linearformen faktorisieren:
√
−b + D
2
2
aX +bXY +cY = a(X −ζY )(X −ζY ) mit ζ = ζ(a,b,c) :=
2a
und dem Konjugierten ζ. Ist D < 0, so ist Q positiv definit; für
D > 0 hingegen ist Q indefinit (und nimmt sowohl positive als auch
negative Werte an).
Die Faktorisierung besteht auch für Nicht-Quadrate D, allerdings
ist dann ζ quadratisch irrational!
§18. Binäre quadratische Formen
Äquivalenz
Zwei Formen Xt QX und Xt Q̃X heißen äquivalent, wenn
Q̃ = At QA
mit einer Matrix A ∈ SL2 (Z). Hierbei ist SL2 (Z) die Gruppe aller
2 × 2-Matrizen mit ganzzahligen Einträgen und Determinante eins.
Wir notieren die Äquivalenz zweier Formen (a, b, c) und (A, B, C )
in Zeichen durch (a, b, c) ∼ (A, B, C ); hierbei gilt offensichtlich
D = b2 − 4ac = B 2 − 4AC .
Satz 18.2 (Lagrange, 1768). i) Äquivalenz binärer quadratischer
Formen ist eine Äquivalenzrelation und ii) äquivalente Formen
stellen dieselben Zahlen dar.
§19. Reduktionstheorie
Überblick in den Äquivalenzklassen zu vorgeschriebener
Fundamentaldiskriminante gewinnt man durch geschickte
Multiplikation mit SL2 (Z)-Matrizen. Im Hintergrund steht damit
die Modulgruppe und deren Operationen auf der oberen komplexen
Halbebene.
§19. Reduktionstheorie
Fundamentaldiskriminanten und Hauptformen
Im Folgenden nehmen wir stets an, dass D kein Quadrat ist. Es ist
entweder D ≡ 0 mod 4 oder D ≡ 1 mod 4 und jedes solche D 6= 0
wird eine Fundamentaldiskriminante genannt.
Zu jeder Fundamentaldiskriminante existiert stets mindestens eine
Äquivalenzklasse repräsentiert durch die Hauptform
X 2 − 14 DY 2 ,
falls D ≡ 0 mod 4,
bzw.
X 2 + XY − 41 (D − 1)Y 2 ,
falls
D ≡ 1 mod 4.
§19. Reduktionstheorie
einmal mehr Division mit Rest
Satz 19.1 (Lagrange, 1768). Zu gegebener
Fundamentaldiskriminante D enthält jede Äquivalenzklasse
mindestens eine Form (a, b, c), deren Koeffizienten den folgenden
Ungleichungen genügen:
|b| ≤ |a| ≤ |c|
und D = b2 − 4ac.
Insbesondere existieren also stets nur endlich viele Klassen
äquivalenter Formen. Die Klassenzahl h(D) zählt die Anzahl der
Äquivalenzklassen von Formen mit Diskriminante D; also:
Korollar 19.2. Die Klassenzahl ist endlich: 1 ≤ h(D) < ∞.
In assoziierten quadratischen Zahlkörpern ist Klassenzahl eins
gleichbedeutend mit eindeutiger Primzerlegung im Ganzheitsring.
Beispielsweise gelten h(−3) = 1 und h(−4) = 1.
§19. Reduktionstheorie
Berechnung der Klassenzahl
Die analytische Klassenzahlformel von Dirichlet (1839) besagt im
Falle D < 0
X χD (n)
ω√
h(D) =
,
−D
2π
n
n≥1
wobei ω = 2, 4 oder 6 ist, je nachdem ob D < −4, = −4b oder
= −3 gilt und χD (•) = ( D• ) das Jacobi-Symbol ist. Z.B. gilt
4 √
1 1 1
1 = h(−4) =
4 1 − + − ± ... .
2π
3 5 7
§19. Reduktionstheorie
Reduktion positiv definiter Formen
Satz 19.3 (Gauß, 1801). Zu jeder Form (A, B, C ) mit
Fundamentaldiskriminante D = B 2 − 4AC < 0 (also positiv definit)
existiert eine eindeutig bestimmte äquivalente Form
(a, b, c) ∼ (A, B, C ) mit
−a < b ≤ a < c
oder
0 ≤ b ≤ a = c.
Damit kann man das Minimum quadratischer Formen abschätzen:
Gegeben Q = (a, b, c) mit D = b2 − 4ac < 0, existieren x, y ∈ Z
mit
r
√
b2
−D
2
=
,
0 < Q[x, y ] ≤ √
ac −
4
3
3
wobei Gleichheit genau für (a, b, c) ∼ m(1, 1, 1) für m ∈ N auftritt.
§19. Reduktionstheorie
Darstellung von Primzahlen
Eine Zahl n wird durch die quadratische Form (a, b, c) echt
dargestellt, wenn es teilerfremde x, y gibt mit
n = ax 2 + bxy + cy 2 .
Satz 19.4. Eine gegebene ganze Zahl n wird genau dann durch die
quadratische Form (a, b, c) echt dargestellt, wenn die Diskriminante
D = b2 − 4ac ein Quadrat modulo 4n ist.
Damit ergibt sich ein alternativer Beweis des Fermatschen
Zweiquadratesatzes:
Korollar 19.5. i) Die quadratische Form X 2 + Y 2 stellt jede
Primzahl p ≡ 1 mod 4 dar und ii) die quadratische Form X 2 + 2Y 2
stellt jede Primzahl p ≡ 1 oder 3 mod 8 dar.
Hier ließen sich etliche weitere Beispiele anbringen...
§20. Ausblick: Formen höheren Grades
Eine in weiten Teilen zum binären Fall analoge Analyse positiv
definiter ternärer quadratischer Formen wird Aufschluss über die
Darstellbarkeit natürlicher Zahlen als Summe von drei Quadraten
liefern. Insbesondere wird der tiefe bislang noch unbewiesene Satz
13.4 von Gauß hergeleitet...
§20. Ausblick: Formen höheren Grades
Ternäre quadratische Formen
Eine ternäre quadratische Form mit ganzzahligen Koeffizienten ai j
ist von der Gestalt
Q[X , Y , Z ] = Xt Q X
mit Q = (aij ) = Qt , Xt = (X , Y , Z ).
Es gilt
a11 Xt Q X = (a11 X + a12 Y + a13 Z )2 + q[Y , Z ],
wobei q ein binäre quadratische Form ist.
Im Folgenden sei stets a11 > 0. Dann ist Q genau dann positiv
definit, wenn D(q) < 0 bzw. det Q > 0 gilt.
(1)
§20. Ausblick: Formen höheren Grades
Äquivalenz und Reduktion
Äquivalenz ternärer quadratischer Formen erklärt sich mittelst
SL3 (Z)-Matrizen in völliger Analogie zum binären Fall. Wiederum
induziert dies eine Äquivalenzrelation. Auch besteht eine
vergleichbare Reduktionstheorie:
Satz 20.1. Jede Klasse äquivalenter, positiv definiter, ternärer
quadratischer Formen mit Determinante ∆ enthält mindestens eine
Form, deren Koeffizienten
√
3
2 max{|a12 |, |a13 |} ≤ a11 ≤ 34 ∆
erfüllen.
§20. Ausblick: Formen höheren Grades
Summen von drei Quadraten
Korollar 20.2. Jede positiv definite, ternäre quadratische Form mit
Determinante ∆ = 1 ist äquivalent zu X 2 + Y 2 + Z 2 .
Damit existiert nur eine Äquivalenzklasse zur Determinante ∆ = 1,
und es folgt verhältnismäßig leicht:
Satz 13/20.4 (Dreiquadratesatz von Gauß, 1801). Eine
natürliche Zahl lässt sich genau dann als Summe von drei
Quadraten schreiben, wenn
n 6= 4k (8m + 7)
für k, m ∈ N0 .
Dies liefert insbesondere einen alternativen Beweis des
Vierquadratesatzes.
§20. Ausblick: Formen höheren Grades
Figurierte Zahlen
Der junge Gauß notiert am 10. Juli 1796 in sein Tagebuch:
EYPHKA ! num = ∆ + ∆ + ∆
•
• •
Eine Zahl der Form 12 m(m + 1) heißt Dreieckszahl.
Korollar 20.4 (Gauß, 1796). Jede natürliche Zahl lässt sich
darstellen als Summe von höchstens drei Dreieckszahlen.
Augustin-Louis Cauchy bewies 1813 eine alte Behauptung Fermats,
dass sich jede natürliche Zahl als Summe von höchstens d
d -gonal-Zahlen schreiben lässt. (Für d = 4 enthält dies den
Lagrangeschen Vierquadratesatz.)
§20. Ausblick: Formen höheren Grades
Figurierte Zahlen
Der junge Gauß notiert am 10. Juli 1796 in sein Tagebuch:
EYPHKA ! num = ∆ + ∆ + ∆
•
• •
Eine Zahl der Form 21 m(m + 1) heißt Dreieckszahl.
Korollar 20.4 (Gauß, 1796). Jede natürliche Zahl lässt sich
darstellen als Summe von höchstens drei Dreieckszahlen.
Augustin-Louis Cauchy bewies 1813 eine alte Behauptung Fermats,
dass sich jede natürliche Zahl als Summe von höchstens d
d -gonal-Zahlen schreiben lässt. (Für d = 4 enthält dies den
Lagrangeschen Vierquadratesatz.)
§20. Ausblick: Formen höheren Grades
Probleme für die Semesterferien...
• Kann eine binäre (ternäre) quadratische Form sämtliche
natürlichen Zahlen darstellen?
Nach dem Vierquadratesatz stellt die Form X 2 + Y 2 + Z 2 + W 2
ganz N dar. Übrigens zeigten Conway & Schneeberger 1993, dass
eine positiv definite quadratische Form, die alle natürlichen Zahlen
n ≤ 15 darstellt, bereits sämtliche natürlichen Zahlen darstellt!
• Zeige, dass es neben 52 = 4! + 1 nur noch zwei weitere Quadrate
der Form n2 = m! + 1 gibt...
¡ Vorsichtig! Eines der beiden Probleme ist ungelöst...
ein Schlusswort
Vor zweihundert Jahren gab es kaum so viele Menschen wie jetzt
hier anwesend, die Ihr Wissen über Zahlentheorie hatten!
Was wird in zweihundert Jahren noch an weiteres Wissen
hinzugekommen sein?
Viel Erfolg in der Klausur und eine gute vorlesungsfreie Zeit!
ein Schlusswort
Vor zweihundert Jahren gab es kaum so viele Menschen wie jetzt
hier anwesend, die Ihr Wissen über Zahlentheorie hatten!
Was wird in zweihundert Jahren noch an weiteres Wissen
hinzugekommen sein?
Viel Erfolg in der Klausur und eine gute vorlesungsfreie Zeit!
ein Schlusswort
Vor zweihundert Jahren gab es kaum so viele Menschen wie jetzt
hier anwesend, die Ihr Wissen über Zahlentheorie hatten!
Was wird in zweihundert Jahren noch an weiteres Wissen
hinzugekommen sein?
Viel Erfolg in der Klausur und eine gute vorlesungsfreie Zeit!
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Kapitel V: Quadratische Formen