Verteilung

Emmerich Kneringer
Theorie und Praxis von χ2
SS 2004 - 704031
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K
g
n
u
s
as
p
n
na
e
v
r
u
6. Vorlesung
26. April 2004
Die Statistik der Woche
Nachtrag zur
letzten Vorlesung
!
Approximation der χ2-Funktion am Minimum
"
k
k 2
falls Fit-Funktion linear in den Parametern
(
y
−
p
x
∑
i
j i )
N
j =0
→ exakte quadratische Form
χ 2 ( p1 ,L, pk ) = ∑
2
#
!
σi
später in dieser VL, wenn die χ2-Verteilung besprochen wurde
Praxis-Tipps (anhand des Gauss-Strahl Beispiels)
"
"
2
i =1
Wahrscheinlichkeit χ2/DoF ≥ 3.15 für DoF=3
"
!
Beispiel: Polynom-Fit
Funktion in Origin überlagern
Zeichenbereich der Fit-Funktion erweitern
Nomenklatur
!
Zufallsvariablen
"
!
!
"
!
f(x) = F'(x) ≥ 0
auch ρ(x)
p.d.f.
(probability density function)
Redeweise:
"
X verteilt nach der Dichte (und nicht nach der Verteilungsfkt.)
#
3
cumulative distribution f.
F(x) = –∞ ∫x f(x') dx'
Wahrscheinlichkeitsdichte
"
random variable
X,Y
Verteilungsfunktion
"
(engl.)
z.B.: X gaussverteilt, X chi2-verteilt, χ2 –Verteilung (die p.d.f)
Tafel
Tafel
Definition:
Erwartungswert, Varianz
4
 yi − f ( xi , pk ) 

χ ( pk ) = ∑ 
σi
i =1 

N
2
Theorie der χ2 -Verteilung
!
Gauss-verteilte Zufallsvariable y
"
"
!
Normierung y → Y: E[Y] = 0, V[Y] = σ2 = 1
Y normal Gauss-verteilt
Quadrieren: Z = Y2
E[Z] = E[Y2] = V[Y] = 1
" V[Z] = E[(Z–E[Z])2]
= E[Z2] – E[Z]2
4] – E[Y2]2
=
E[Y
Y Gauss-verteilt
"
mit Mittelwert 0
5
( x − x )2 = x2 − x 2
V [ X ] = E[ X 2 ] − E[ X ]2
= 3σ4 – (σ2)2
=2σ =2
4
alle geraden Momente
der Gauss-Verteilung
2
… χ2 -Verteilung
!
Zufallsvariable Z → N-mal summieren
"
"
χ2N = ΣN Zi (alle Zi unabhängig)
χ2N ist wieder eine Zufallsvariable
#
#
Mittelwert: E[χ2N] = E[ΣN Zi] = ΣN E[Zi] = ΣN 1 = N
Varianz: V[χ2N] = V[ΣN Zi] = ΣN V[Zi] = ΣN 2 = 2N
↑ nächste Seite
"
!
"χ2N ist chi-quadrat-verteilt mit N Freiheitsgraden"
Kommentare
"
zentraler Grenzwertsatz:
#
"
6
N gross (z.B. N > 20): χ2N → Gauss-verteilt
vgl. Poisson-Verteilung:
#
Mittelwert n und Varianz n
von statistisch unabhängigen
Zufallsvariablen
Varianz einer Summe =
Summe der Varianzen
N→n
Vorlesung Math. Meth. 1 – G. Grübl:
hier f Zufallsvariable,
nicht p.d.f.
cov( X , Y ) = ⟨ X − ⟨ X ⟩⟩⟨ Y − ⟨Y ⟩⟩
7
= ⟨ XY ⟩ − ⟨ X ⟩⟨Y ⟩ = 0
χ2-Verteilung
8
"
http://www.stat.vt.edu/~sundar/java/applets/Distributions.html
χ2-Verteilung (N=1):
analytische Form der Dichtefunktion
!
Funktion einer Zufallsvariable
"
ist wieder Zufallsvariable
#
!
Erhaltung der Wahrscheinlichkeit
"
z.B.: [-1,1] → [0,1]
(interaktiv mit Origin)
x
y(x) g(y')dy'
→
f(x) = g(y)·dy/dx
–∞ ∫ f(x')dx' = –∞ ∫
exp(-x2/2) ∝ g(y)·2x
"
Normierung:
Normierung:
siehe
siehenächste
nächsteSeite
Seite
"
"
g(y) ∝ exp(-y/2)/√y
#
9
hier X → X2 =: Y
bei y = 0 divergent, jedoch integrierbar
χ2N → X
Zusammenfassung: χ2-Verteilung
!
Die p.d.f. der χ2-Verteilung für N Freiheitsgrade (DoF)
(N = 1,2,…) ist definiert durch:
1
f ( x; N ) = N 2 N x N 2−1e − x 2 ( x ≥ 0)
2 Γ( 2 )
"
"
E[X] = N
V[X] = 2N
f(x;N)
N=1
N=2
N=5
N=10
10
x
Bemerkung
von Herrn M.
Wieviele
WievieleFreiheitsgrade?
Freiheitsgrade?
Man
Mandenke
denkesich
sichz.B.
z.B.zuerst
zuerstdie
dieoberen
oberen
und
undunteren
unterenDaten
Datenkombiniert.
kombiniert.
!
Was ist, wenn diese Daten einfach gemessen wurden?
"
Berechne die Wahrscheinlichkeit,
bei 3 Freiheitsgraden χ2 ≥ 3×3.15 = 9.45 zu haben:
#
11
~2%, d.h. wenn alles mit rechten Dingen zugeht,
dann stehen die Chancen 1:50 Daten zu messen,
die 'so weit oder weiter auseinanderliegen'.
χ2-Verteilung
5 Freiheitsgrade
7%
Weiteres Beispiel
!
Mischungswinkel sin2θW
"
elektro-schwache Theorie
3σ = 3‰
χ2 Wert innerhalb derGenauigkeit der Daten o.k.
= 2.04
12
Was
Wasist
istdas
dasProblem
Problemmit
mitdiesen
diesenDaten?
Daten?