Musterklausur Mathe 3 WiW

Prof. Dr. J. Böhm-Rietig
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Wirtschaftsmathematik/Mathematik 3
FH-Köln, Fak.10
02261/8196-120
Muster einer Fachabschlußklausur (90 Min.)
Mathematik 3 für Wirtschaftsingenieure
Teilnehmer (Name, Vorname):
Matrikelnummer:
erreichte Punkte
Max.
erreichte Punkte
Max.
Aufg. 1
11
Aufg. 5
15
Aufg. 2
9
Aufg. 6
12
Aufg. 3
7
Aufg. 4
10
Note :
(max. 64)
Summe =
Gummersbach, den
60,3 ↔ 100%
Unterschrift des Erstprüfer
REGELN
Jede Aufgabe wird auf einem separaten Blatt bearbeitet. Es wird nur das bereitgestellte Papier verwendet und
vollständig abgegeben. Die Heftung der Seiten muß erhalten bleiben!
Sie dürfen auf keinen Fall Bleistift, rote Tinte oder Filzstifte verwenden.!
Es steht 90 Minuten zur Bearbeitung der Klausur zur Verfügung.
Eine Dokumentation der Berechnungsschritte ist unbedingt erforderlich!
29
Zum Bestehen der Klausur sind mindestens
Punkte erforderlich.
In der Klausur sind Ihnen maximal 64 Punkte (106%) angeboten.
Hilfsmittel:
Außer einfachen Taschenrechnern ohne symbolische Rechenoperationenund und dem Lehrwerk Wewel
(oder Papula Bd. 3) sind keine Hilfsmittel erlaubt.
Lose Blätter auf den Arbeitsplätzen sind ausdrücklich untersagt.
Achtung:
Begründen Sie Ihre Formeln auf jeden Fall!
Ihre Bearbeitung soll mathematische Notation enthalten .
Nebenrechnungen gehören auf die Blätter.
Lösungen ohne plausible Erklärungen werden höchstens teilweise anerkannt.
Wenn Sie Ihre Lösungen nicht auf einander folgenden Seiten verteilen, weisen Sie die Fortsetzung bitte immer
eindeutig aus!
[Musterklausur WS06.odt]
S. 7
[16.01.2007]
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Wirtschaftsmathematik/Mathematik 3
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Merkmale gruppierter Daten für Aufg. 3 :
Die: Empirische Verteilungsfunktion ("Summenhäufigkeitsfunktion") F(x) ist bei diskreten
Merkmalen eine Treppenfunktion. Bei gruppierten Daten ist unklar/unbestimmt, wo genau die
Stufen liegen sollen,
Bei gruppierten (klassifizierten) Daten sind oft die Klassenbreiten bi−ai ungleich (ai, bi untere
bzw. obere Klassengrenze). Gezählt wird in jeder Klasse i das Auftreten im Intervall [ ai ; bi [:
ni : abs. Häufigkeiten jeder Klasse i; hi := ni /n .: rel. Häufigkeiten
i
fi :=
∑ hj
: die kumulierten rel. Häufigkeiten;
j=1
hi
: normierte rel. Häufigkeiten
i
bi −ai
Man geht somit davon aus, daß in jeder Klasse Gleichverteilung der Merkmale herrscht.
Die klassierte empirische Verteilungsfunktion:
h =
¿
{
0
H(x) = f i−hi  b i− x 
¿
1
für x  a 1
für ai ≤xbi und alle i∈{1,. .. ,m}
für x≥b m
ist stetig und besteht aus geraden Strecken („Polygonzug“) jeweils mit der Steigung hi* .
Alle statistischen Maße sind nur schätzbar, nicht exakt berechenbar, da Informationen
verdichtet wurden.
m
Mittelwert klassifizierter Daten: x =∑ hi x i im Fall von m Klassen jeweils mit den
i=1
b a
Klassenmitten x i = i i
2
h
Modalwert klass. Daten: x = x k für die am dichtesten besiedelste Klasse: h k =max
i
i
¿
¿
Median und Quantile klass. Daten : Bestimmungsgleichung: H(x0,5) = 0,5
läßt sich eindeutig auflösen, da H eine stetige Funktion ist (analog für bel. Quantile):
0,5 = H(x0,5) = fk – hk*(bk−x0,5)
wenn k die passende Klasse darstellt: fk ≥ 0,5 und fk-1 < 0,5.
f k -0,5
x
=
b
−
0,5
k
Auflösen nach x0,5:
h
k
¿
Dies entspricht der gewöhnlichen Interpolationsformel.
Für andere Quantile löse man H(xα) = α entsprechend auf !
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Aufg. 1 : Verteilungen
(Hinweis: max. Punktzahl nur mit erkennbarem Rechenweg bzw. Dokumentation)
Bei der Herstellung von Bolzen auf einem Automaten sei der Durchmesser X normalverteilt mit einem
Mittelwert µ = 10,00 mm und einer Standardabweichung σ = 0,02 mm.
a) Wieviel % Ausschuß ist zu erwarten, wenn der Bolzendurchmesser mindestens 9,955 mm betragen
muß?
b) Wieviel % Ausschuß ist zu erwarten, wenn der Bolzendurchmesser höchstens 10,051 mm betragen
darf?
c) Wie groß dürfte die Standardabweichung bei gleichem µ maximal sein, um den Anteil der Bolzen,
welche außerhalb der Grenzen 10,00 ± 0,03 mm liegen, unterhalb von 1% zu halten?
: Sonderpunkt für klare Dokumentation, keine Erläterung der Formeln, aber richtige Schreibweise für die
Anteile und Beschreibung, wo bestimmte verwendeten Konstanten herkommen, z:B:
PNV(X<c) = PSNV(Z<(c-µ)/σ) = 1% Vorgabewert.
-1
Φ(x) = 1%  x = Φ (1%)=2,326 und x=(c-µ)/σ  ....
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Aufg. 2: Empirische Datenauswertung, Konfidenzintervalle
a) Berechnen Sie den Mittelwert, den Median und die Standardabweichung für die Werte dieser Stichprobe:
(Zwischenergebnisse sind nicht erforderlich, Sie dürfen den Taschenrechner verwenden)
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X
4,33 4,79 5,21 3,97 5,29 4,21 4,88 4,22 5,18
b) Eine Stichprobe vom Umfang n=16 einer annähernd normalverteilten Population ergab:
s n−1 = 0,385
x = 4,200
Bestimmen Sie ein 90% Konfidenzintervall (3 Nachkommastellen) für den Mittelwert der Gesamtheit.
Dokumentieren Sie den Rechenweg kurz!
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Aufg. 3: Auswertung gruppierter Daten
In einer CD Sammlung befinden sich viele Lieder. Die Liedlängen in Minuten wurden in 8 Klassen eingeteilt,
wobei ein Lied etwas aus der Reihe fiel mit einer Länge von 20 Minuten:
Klasse i
1
2
3
4
5
6
7
8
a)
Liedlänge in Minuten
xi
von ... bis unter ...
1-3
3-4
4-5
5-6
6-8
8-10
10-15
länger als 15
Anzahl
fi
15
25
65
53
7
3
1
1
Geben Sie an, welcher Anteil der Lieder
eine Länge von mindestens 8 Minuten hat !
CD Sammlung Liedlängen
70
60
50
Anzahl
b) Erklären Sie, warum das Säulendiagramm
kein Histogramm ist!
40
30
20
10
0
c)
von ...
bis
unter
...
Wieviele Klassen hätte man wählen sollen?
1-3
3-4
4-5
5-6
6-8
8-10
10-15 länger
als 15
Lie dlänge in M inute n
d) Wie groß ist das dritte Quartil der Verteilung?
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Aufg. 4 : Binomialverteilung
Eine Partei möchte in einem (sehr) einfachen Modell ihren aktuellen Stimmenanteil durch eine Stichprobe
bestimmen. Bei der letzen Wahl stimmten ihr 35% der Wähler zu.
a)
Wie groß muß der Stichprobenumfang mindestens sein, um im Idealfall den Stimmanteil auf ± 1% mit einer
Irrtumswahrscheinlichkeit von 2% zu erfassen?
b) unabhängig von a) !
Es wurden 100 Wahlberechtigte („mit Zurücklegen“) in einer repräsentativen Zufallsstichprobe mit
versteckter, annonymer Antwortmöglichkeit zu ihrer Wahlpräferenz befragt. Davon haben sich 30 für die
Partei ausgesprochen. Berechnen Sie P( X ≤ 30 ) mit p=0,35 !
Wenn Sie eine andere Verteilung als die Binomialverteilung verwenden wollen, so müssen Sie dies
ausreichend begründen und entsprechende Nachweise führen !
c)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe vom Umfang 10 mindestens ein Wähler für
diese Partei ist?
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Aufg. 5: Hypothesentest (entweder Parameter- oder Verteilungstest !)
(Hinweis: max. Punktzahl nur mit erkennbarem Rechenweg, Dokumentation und klarer Interpretation)
Hypothesentest für Mittelwertdifferenzen Punkte: 1 + 12 + 2
Der pH-Wert der beiden chemischen Lösungen X und Y wurde überprüft.
Eine Analyse der 6 Stichproben von Lösung X ergab einen mittleren pH-Wert von 7,35 bei einer
Standardabweichung von 0,027.
Eine Analyse der fünf Stichproben der Lösung Y ergab einen mittleren pH-Wert von 7,40 bei einer
Standardabweichung von 0,037
a) Beschreiben Sie die vermuteten Unterschiede beider Lösungen!
b) Führen Sie einen korrekt dokumentierten Differenzentest für die Mittelwerte zum
Signifikanzniveau α=5 % durch!
c) Beschreiben Sie Ihr Rechenergebnis bezogen auf die gegebene Problemstellung mit Worten!
Verteilungstest
Punkte: etwa 15
Das Eintreffen von Bestellungen eines Produktes wurde vier Wochen lang protokolliert. Es ergab sich folgende
Tabelle der beobachteten Bestellungen je Tag:
Bestellungen
je Tag
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
≥10
beobachtete
Häufigkeit
4
4
3
7
8
5
1
3
2
2
1
Man vermutet nun, dass die Bestellungen wie in der Vergangenheit Poisson-verteilt auftreten, was zu diesen
erwarteten Klassenwahrscheinlichkeiten führen würde:
Bestellungen
je Tag
Wahrscheinlichkeit
nach PoissonVerteilung [%]
0
1
2,2
2
8,4
16,0
3
4
20,3
5
19,4
6
14,9
7
9,5
8
5,2
≥10
9
2,5
1,0
0,6
Testen Sie, ob diese Annahme angesichts der Beobachtungen noch zutrifft.
Definieren Sie einen richtigen statistischen Anpassungstest!
Beschreiben Sie das Ergebnis unter Berücksichtigung des Aufgabenkontextes!
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S. 7
[16.01.2007]
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Kopiervorlage
Musterklausur (2006)
FH-Köln, Fak.10
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Fachabschlußklausur (90 Min.)
Mathematik 3 für Wirtschaftsingenieure
Teil 2 ohne Hilfsmittel
Teilnehmer (Name, Vorname):
Matrikelnummer:
erreichte Punkte
Aufg. 6
Max.
12
REGELN
Sie dürfen auf keinen Fall Bleistift, rote Tinte oder Filzstifte verwenden.!
Es stehen 15 bis 20 Minuten zur Bearbeitung dieses Klausurteils zur Verfügung.
Keine Hilfsmittel !
Aufg. 6: Allgemeine Fragen
nur in Auszügen!!!!
a) Für ein Konfidenzintervall der Varianz-Schätzung aus Stichproben benötigen Sie welche Verteilung?
b) PSNV( | Z | ≤ 2 ) ≈
% ?
c) Welche Varianz besitzt die Poissonverteilung , wenn ihr Parameter den Wert µ=9 hat?
d) Wie (nach welchem Verteilungsgesetz) streut die Ausfallzeit elektronischer Bauelemente im allgemeinen?
e).Wieso wurde in der Vorlesung so ein großer Wert auf die richtige Wahl der Formel für die Berechnung der
Standardabweichung einer Stichprobe gelegt? Was bedeuten und wozu benutzen wir sn-1, sn , σ ?
......
[Musterklausur WS06.odt]
S. 8
[16.01.2007]