Teil V
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Inhaltsangabe
6
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
125
6.1
Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2
Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.3
Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.4
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . 134
6.5
Bedingte Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.6
Ereignisbäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
124
6
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
siehe L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band
3, Kapitel II,1-3, pp 251-314, Vieweg und Teubner, 6. Auflage, Wiesbaden
2011.
6.1
Slide 267
Kombinatorik
Urnenmodell
• Ziehen (aus einer “Urne”) ohne Zurücklegen
Beispiel: Lottozahlen 49 verschiedene Kugeln, je 1mal
• Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel: Spiel 77 etc. (jede Ziffer kann mehrmals vorkommen) 9(10?)
Kugeln, je 1mal
Definition: Stichprobe
Die zufällige Entnahme von k Kugeln heißt in der Statistik Stichprobe vom Umfang k.
Sie heißt geordnet, wenn die Reihenfolge der Entnahme
berücksichtigt wird.
Sie heißt ungeordnet, wenn die Reihenfolge der Entnahme nicht berücksichtigt wird.
Slide 268
Urnenmodell
Beispiel
••••◦◦◦ → ••••◦◦◦ + ••
• Wahrscheinlichkeit, dass 1. Kugel schwarz:
4
7
• mit Zurücklegen: Wahrscheinlichkeit, dass 2. Kugel schwarz:
gangssituation ••••◦◦◦ )
=⇒ Wahrscheinlichkeit, 2 schwarze Kugeln zu ziehen:
125
16
49
4
7
(Aus-
• ohne Zurücklegen: Wahrscheinlichkeit, dass 2. Kugel schwarz:
gangssituation ••• ◦◦◦ )
=⇒ Wahrscheinlichkeit, 2 schwarze Kugeln zu ziehen:
1
2
(Aus-
4
14
• Die Wahrscheinlichkeit, nacheinander mehrere unabhängige Ereignisse
zu erhalten, ergibt sich als Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten
Slide 269
Permutationen
• Auf wie viele Arten kann ich drei verschiedenfarbige Kugeln anordnen?
•◦•
••◦
◦••
◦••
•◦•
••◦
• allgemein: Anordnungsmöglichkeiten von n verschiedenfarbigen Kugeln:
– 1. Kugel: n Möglichkeiten
– 2. Kugel: (n − 1) Möglichkeiten
– usw.
– n. (letzte) Kugel: 1 Möglichkeit
• Insgesamt: Die Zahl der Permutationen von n verschiedenen Elementen, P (n), ist
P (n) = n · (n − 1) · (n − 2) . . . 2 · 1 = n!
Slide 270
Permutationen
• Befinden sich unter den n Kugeln n1 gleiche (z. B. n1 schwarze Kugeln),
fallen alle Anordnungen zusammen, die sich durch Vertauschungen der
gleichen Kugeln ergeben (also n1 ! Anordnungen sind nicht voneinander
unterscheidbar) .
• Dann gilt offenbar
P (n; n1 ) =
126
P (n)
n!
=
P (n1 )
n1 !
• Analog kann man zeigen, dass die Zahl der Permutationen von n Kugeln, unter denen sich jeweils n1 , n2 , . . . , nk gleiche Kugeln befinden,
gegeben ist durch
P (n; n1 , n2 , . . . , nk ) =
n!
n!
= k
Q
n1 ! n2 ! . . . nk !
ni !
i=1
Slide 271
Permutationen
• z.B. n = 4, davon je 2 weiße und 2 schwarze
4!
4·3·2
=
=6
2! 2!
2·2
••◦◦ •◦•◦ •◦◦• ◦••◦ ◦•◦• ◦◦••
P (n) =
Slide 272
Kombinationen
• aus einer Urne mit n verschiedenen Elementen werden nacheinander k
Elemente gezogen.
• In beliebiger Reihenfolge angeordnet bilden sie dann eine Kombination
k-ter Ordnung
• Die Anzahl der Kombinationen hängt davon ab, ob die Ziehung mit
oder ohne Zurücklegen erfolgt.
• z.B.: Die Lottozahlen sind eine Kombination 6-ter Ordnung mit n = 49
ohne Zurücklegen
Slide 273
127
Kombinationen
Definition: Kombinationen
Die Ziehung von k Kugeln (aus einer Grundgesamtheit
von n Kugeln) ohne Zurücklegen heißt Kombination kter Ordnung ohne Wiederholung. Die Anzahl der Kombinationen beträgt
n
C(n; k) =
(k ≤ n)
k
Zieht man k aus n Kugeln mit Zurücklegen, so heisst
eine Realisierung Kombination k-ter Ordnung mit Wiederholung und die Anzahl der Kombinationen beträgt
n+k−1
CW (n; k) =
(k ≥ 0)
k
Slide 274
Binomialkoeffizienten
α
α!
=
β! · (α − β)!
β
Slide 275
Variationen
128
Definition: Variationen
Die Anordnung von k Kugeln (aus einer Grundgesamtheit von n Kugeln) in der Reihenfolge ihrer Ziehung und
ohne Zurücklegen heißt Variation k-ter Ordnung ohne
Wiederholung. Die Anzahl der Variationen beträgt
V (n; k) =
n!
(n − k)!
(k ≤ n)
Die entsprechende Anordnung mit Zurücklegen heisst
Variation k-ter Ordnung mit Wiederholung und die Anzahl der Variationen beträgt
VW (n; k) = nk
Slide 276
(k ≥ 0)
Zusammenfassung
Menge
Permutation
Whlg.
ohne
n!
n!
k1 !k2 ! . . . kn !
n!
Variation ohne Whlg.
(n − k)!
Variation mit Whlg.
nk
n
Kombination
ohne
k
Whlg.
n+k−1
Kombination
mit
k
Whlg.
Permutation mit Whlg.
6.2
Slide 277
Grundbegriffe
Würfeln mit einem homogenen Würfel
129
Reihenfolge
n aus n n aus n +
k aus n
-
k aus n
+
k aus n
-
k aus n
+
• homogen bedeut hier: nicht gezinkt!
• Es sind 6 verschiedene Ergebnisse oder Versuchsausgänge möglich.
• Die Menge {1, 2, 3, 4, 5, 6} heißt die Ergebnismenge Ω.
• Das Ergebnis eines Wurfes des Würfels, also die Menge mit einer der
Zahlen 1–6, ist ein Elementarereignis ω.
• das Ergebnis des Wurfs ist nicht vorhersehbar, also zufallsbedingt.
• Das Experiment Würfeln ist ein Zufallsexperiment.
• Neben den Elemenarereignissen gibt es noch andere Ereignisse, das
heisst Teilmengen von Ω
z.B. Es wird eine gerade Zahl gewürfelt. Dann ist das Ereignis durch
die Menge C = {2, 4, 6} dargestellt.
• Ereignisse sind Teilmengen der Ergebnismenge Ω.
• Alle Elementarereignisse sind gleich wahrscheinlich!
Slide 278
Ziehung von Kugeln aus einer Urne
Beispiel: Ziehen von 3 Kugeln aus einer Urne mit 3 weißen und 2 schwarzen mit Zurücklegen und in der Reihenfolge der Ziehung: ◦◦◦••
• Elementarereignisse: ◦◦◦ ◦◦• ◦•◦ ◦•• •◦◦ •◦• ••◦ •••
• Ereignis: 2 Kugeln sind weiß: {◦◦•, ◦•◦, •◦◦}
• Ereignis: alle Kugeln haben gleiche Farbe: {◦◦◦, •••}
Slide 279
130
Zufallsexperimente
Definition: Zufallsexperimente
Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, bei dem folgende Bedingungen (Voraussetzungen) erfüllt sind:
1. Das Experiment lässt sich unter den gleichen äußeren
Bedingungen beliebig oft wiederholen.
2. Bei der Durchführung des Experimentes sind mehrere
sich gegenseitig ausschließende Ergebnisse möglich.
3. Das Ergebnis der konkreten Durchführung des Experimentes lässt sich nicht mit Sicherheit vorhersagen,
sondern ist zufallsbedingt.
Slide 280
Elementarereignisse und Ergebnismenge
Definition: Elementarereignisse und Ergebnismenge
1. Die möglichen, sich aber gegenseitig ausschließenden
Ergebnisse eines Zufallsexperiments heißen Elementarereignisse (symbolische Schreibweise: ω1 , ω2 , ω3 , . . .).
2. Die Menge aller Elementarereignisse heißt Ergebnismenge Ω.
Slide 281
Ereignisse und Ereignisraum
Definition: Ereignisse und Ereignisraum
1. Eine Teilmenge A der Ergebnismenge Ω eines Zufallsexperimentes heißt Ereignis.
2. Die Menge aller Ereignisse, die sich aus der Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes bilden lassen, heißt
Ereignisraum.
3. Die Ergebnismenge Ω selbst heißt das sichere Ereignis.
Slide 282
Verknüpfung von Ereignissen
• Entweder tritt Ereignis A ein oder B oder A und B gleichzeitig: Vereinigung der Ereignisse A ∪ B
131
• Ereignis A und Ereignis B treten gleichzeitig ein: Schnittmenge der
Ereignisse A ∩ B
• Ereignis A tritt nicht ein: Das Komplement von A tritt ein: Ā = Ω\A.
Ā ist die Restmenge von Ω und A.
• Es gelten die de Morganschen Regeln
A ∪ B = Ā ∩ B̄
A ∩ B = Ā ∪ B̄
6.3
Slide 283
Wahrscheinlichkeiten
Laplace-Experiment
• Wird ein Zufallsexperiment mit einer endlichen Ergebnismenge Ω =
{ω1 , ω2 , . . . , ωn } genügend oft wiederholt und treten alle Elementarereignisse mit nahezu gleicher Häufigkeit auf, so nennt man dies ein
Laplace-Experiment.
• z.B.: Würfeln. Bei n Würfen ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Elementarereignis ungefähr 1/6.
• z.B. Ziehen einer Kugel (mit Zurücklegen) aus einer Urne mit 3 weißen
und 2 schwarzen Kugeln: ◦◦◦••
• Jede Kugel wird, da sie vor dem Ziehen ununterscheidbar sind, mit
gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen ⇒ Laplace-Expt
• aber: Erwartungswert, eine weiße Kugel zu ziehen, ist 60 %. Das Ereignis ’weiße Kugel’ hat die relative Häufigkeit 0.6.
Slide 284
132
Wahrscheinlichkeiten
• Für das Laplace-Experiment mit m verschiedenen Elementarereignis1
sen wird dem Elementarereignis ωi die Wahrscheinlichkeit P (ωi ) =
m
zugeordnet.
• die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A ist dann durch
P (A) =
X
p(ωi ) = g(A) ·
i
1
g(A)
=
m
m
gegeben.
• g(A) ist die Anzahl der für Ereignis A günstigen Fälle.
• m ist die Anzahl der ingesamt möglichen Fälle.
• beachte: diese Definition der Wahrscheinlichkeit gilt nur für endliche
Ergebnismengen und gleiche Wahrscheinlichkeiten für Elementarereignisse (gleiche ’a priori’-Wahrscheinlichkeiten).
Slide 285
Relative Häufigkeiten
• Die relative Häufigkeit eines Ereignisses ist ganz praktisch definiert als
die Zahl der für das Ereignis positiven Versuche, dividiert durch die
Gesamtzahl der Versuche.
• Die relative Häufigkeit hn (A) eines Ereignisses A ist eine nicht-negative
Zahl, die höchstens gleich 1 sein kann. Es gilt also immer
0 ≤ hn (A) ≤ 1
• Für das sichere Ereignis Ω, das immer eintritt, gilt:
hn (Ω) = 1
• Für 2 sich gegenseitig ausschließende Ereignisse A und B gilt
hn (A ∪ B) = hn (A) + hn (B),
Slide 286
133
(A ∩ B = ∅)
Relative Häufigkeiten
• Erfahrungsregel: mit zunehmender Gesamtzahl n der Versuche “stabilisiert” sich i.A. die relative Häufigkeit hn (A) und schwankt immer
weniger um einen bestimmten Wert h(A).
• naheliegend: Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeiten
• aufgrund prinzipieller Schwierigkeiten nicht durchführbar
• stattdessen Axiomatik von Kolmogorov (1903-1987)
Slide 287
Wahrscheinlichkeitsaxiome von Kolmogorov
Jedem Ereignis A eines Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge Ω wird
eine reelle Zahl P (A), Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A genannt, so zugeordnet, dass folgende Axiome erfüllt sind
Axiom 1: P (A) ist eine nichtnegative Zahl, die höchstens gleich 1 ist:
0 ≤ P (A) ≤ 1
Axiom 2: Für das sichere Ereignis (Ergebnismenge) Ω gilt:
P (Ω) = 1
Axiom 3: Für paarweise sich gegenseitig ausschließende Ereignisse A1 , A2 , A3 , . . .
gilt (“Additionssatz”):
P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ . . .) = P (A1 ) + P (A2 ) + P (A3 ) + . . .
6.4
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Slide 288
134
Festlegung von Wahrscheinlichkeiten in der Praxis
• näherungsweise wird eine unbekannte Wahrscheinlichkeit P (A) eines
zufälligen Ereignisses durch die in umfangreichen Versuchsreihen beobachtete relative Häufigkeit hn (A) ersetzt, also
P (A) ≈ hn (A)
mit der Bedingung, dass die hn (Ai ) im Einklang mit den Kolmogorov’schen Axiomen sind. hn (A) ist ein Schätzwert (Näherungswert) für
die meist unbekannt bleibende Wahrscheinlichkeit P (A))
• das ist die sogenannte ’statistische Festlegung’
Slide 289
Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten unabhängiger
Ereignisse
• Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf mit 2
Würfeln einen Sechserpasch (2 mal die Augenzahl 6) zu werfen?
• diese Wahrscheinlichkeit ist im übrigen die Gleiche, wie mit einem
Würfel nacheinander zweimal eine 6 zu werfen
• 1. Wurf: P (0 60 ) = 1/6
• da 1. und 2. Wurf unabhängig voneinander sind, die Wahrscheinlichkeit
für den Sechser im 2. Wurf also nicht vom Ergebnis des 1. Wurfes
abhängt:
• 2. Wurf: P (0 60 ) = 1/6
• Gesamtwahrscheinlichkeit ist das Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten, also
P (0 6 − 60 ) = P (0 60 ) ∩ P (0 60 ) = 1/6 · 1/6 = 1/36
Slide 290
135
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
• Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 2 Würfen mit 1 Würfel
die Zahl 6 zu würfeln (exakt: ’mindestens’ eine 6’ zu würfeln)?
• Ereignis A: 6 im 1. Wurf: P (A) = 1/6
• Ereignis B: 6 im 2. Wurf: P (B) = 1/6
• Additionssatz p(A ∪ B) = p(A) + p(B) ist nicht anwendbar, weil die
beiden Ereignisse überlappen.
• es gilt noch, die Wahrscheinlichkeit dafür, 2 Sechser zu würfeln, abzuziehen, da diese nicht zum Ereignis beiträgt.
• es gilt der allgemeine Additionssatz
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
• in unserem Fall
P (A ∪ B) = 1/6 + 1/6 − 1/36 = 11/36
6.5
Slide 291
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Bedingte Wahrscheinlichkeit
• Häufig interessiert die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses B unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis
A bereits eingetreten ist.
• man nennt diese Wahrscheinlichkeit die bedingte Wahrscheinlichkeit
von B unter der Bedingung A.
• Dafür wählt man das Sympol P (B|A).
Slide 292
136
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Beispiel
• In einer Urne befinden sich 3 weiße und 3 schwarze Kugeln: ◦◦◦•••
• Wir entnehmen zufällig und nacheinander 2 Kugeln ohne Zurücklegen
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei der 2. Ziehung eine weiße Kugel
zu erhalten?
• 2 Fälle sind zu unterscheiden
• Fall 1: weiße Kugel bei der 1. Ziehung. Die 2. Ziehung wird dann aus
einer Urne mit der Konfiguration ◦◦ ••• vorgenommen.
P (B|A) = 2/5
• Fall 2: schwarze Kugel bei der 1. Ziehung. Die 2. Ziehung wird dann
aus einer Urne mit der Konfiguration ◦◦◦ •• vorgenommen.
P (B|Ā) = 3/5
Slide 293
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Beispiel
• Folglich ist der Ausgang der 2. Ziehung abhängig vom Ergebnis der 1.
Ziehung:
• es lassen sich also nur Wahrscheinlichkeiten unter bestimmten Voraussetzungen (Bedingungen) angeben
Slide 294
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Definition: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses B unter der Bedingung, dass das Ereignis A bereits
eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von
B unter der Bedingung A, P (B|A)
P (B|A) =
Slide 295
P (A ∩ B)
P (A)
137
(P (A) 6= 0)
Multiplikationssatz
Für das
gleichzeitige
Eintreten zweier Ereignisse gilt der MultiplikationsTheorem:
Multplikationssatz
Die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten
zweier Ereignisse A und B ist
P (A ∩ B) = P (A) · P (B|A)
satz
oder
P (B ∩ A) = P (B) · P (A|B)
also
P (A) · P (B|A) = P (B) · P (A|B)
Slide 296
stochastisch unabhängige Ereignisse
Definition: stochastisch unabhängige Ereignisse
Zwei Ereignisse heißen stochastisch unabhängig, wenn
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
gilt
Slide 297
stochastisch unabhängige Ereignisse
Definition: stochastisch unabhängige Ereignisse
Zwei Ereignisse heißen stochastisch unabhängig, wenn
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
gilt
maW: wenn (P (B|A) = P (B)!
Slide 298
Bayessche Formel
• Gibt es mehrere verschiedene Wege, um ein Ereignis B zu erzielen, so
besagt die Bayessche Formel
138
Theorem: Bayessche Formel
Für verschiedene Zwischenstationen Ai auf dem Weg zu
einem Ereignis B ergibt sich: Die totale Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von B ist
P (B) =
n
X
P (Ai ) · P (B|Ai )
i=1
6.6
Slide 299
Ereignisbäume
Wiederholter Münzwurf
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 4maligem Münzwurf mindestens
einmal ’Zahl’ zu erreichen?
Addiere die Wahrscheinlichkeiten entlang aller Wege, die zum Ereignis A
(mindestens einmal Zahl in 4 Würfen) beitragen:
p(A) =
Slide 300
1 11 111 1111
1 1 1
1
15
+
+
+
= + + +
=
2 22 222 2222
2 4 8 16
16
Urnenmodell
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei zweimaligem Ziehen ohne Zurücklegen zweimal die gleiche Farbe zu ziehen, wenn zu Beginn 4 blaue und 2 rote
Kugeln in der Urne liegen?
139
p(2mal gleiche Farbe) =
p(2 Farben) =
Slide 301
2 3 1 1
6
1
7
· + · =
+
=
3 5 3 5
15 15
15
4
4
8
2 2 14
· +
=
+
=
3 5 35
15 15
15
Baumdiagramme
Nutzung eines Ereignisbaums
Bei einem in mehreren Stufen ablaufenden Zufallsexperiment lässt sich
jedes mögliche Endergebnis durch einen bestimmten Pfad im zugehörigen Ereignisbaum darstellen. Die Berechung der Wahrscheinlichkeiten erfolgt dabei
mit Hilfe der sog. Pfadregeln
1. Die Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades werden miteinander multipliziert.
2. Führen mehrere Pfade zum gleichen Endergebnis (d.h. tragen sie zum
“Ereignis” bei), so addieren sich ihre Wahrscheinlichkeiten.
Bemerkung: Der Ereignisbaum beim Münzexperiment war unvollständig (oder
beschnitten, engl.: ’pruned’)
140