Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen

Probestudium der Physik: Mathematische
Grundlagen
Ludger Santen
1. Februar 2013
Fachrichtung Theoretische Physik, Universität des Saarlandes, Saarbrücken
1
Einführung
Die Mathematik ist die Sprache der Physik und ist deshalb ein wesentlicher Bestandteil des Physikstudiums. Sie stellt am Anfang des Studiums oft eine große
Hürde dar. Deshalb sollten Sie schon im Rahmen Ihrer schulischen Ausbildung
möglichst umfassende Kenntnisse in der Mathematik erwerben, damit sie für ein
Studium der Physik, Mathematik oder den Ingenieurwissenschaften gut gerüstet
sind.
In den Bachelor- und Masterstudiengängen der Physik an der Universität des
Saarlandes legen wir Wert auf eine gründliche Ausbildung in der Mathematik,
die auf die tatsächlichen Bedürfnisse von Physikern abgestimmt ist. Um Ihnen
den übergang von der Schule zur Universität und ein erfolgreiches Studium
zu erleichtern, haben wir in Saarbrücken zahlreiche zusätzliche Lehrangebote
eingerichtet, wie z.B.:
• Mathematischer Vorkurs: Der Vorkurs findet vor dem eigentlichen Studium statt und wiederholt die wichtigsten Inhalte aus der Schulmathematik.
• Mathematische Methoden der Physik: Diese Vorlesung sorgt dafür,
dass Sie die wichtigsten Rechentechniken, die Sie in der Physik benötigen,
rechtzeitig erlernen. Die Vorlesung ist nicht formal gehalten, ähnlich wie
der heutige Kurs.
• Tutorien: Zu allen Veranstaltungen, in denen typischerweise Probleme
auftreten, werden Tutorien angeboten, in denen Sie ihre individuellen Probleme besprechen können.
In der heutigen Mathematikvorlesung, werden Sie einen Crashkurs in den Grundelementen der Vektor- und Wahrscheinlichkeitsrechnung erhalten. Die Inhalte
1
dieser Vorlesung sind auf das Probestudium abgestimmt und dienen dem besseren Verständnis der Theorievorlesungen. In einer echten Vorlesung würden die
Themen deutlich ausführlicher besprochen werden.
2
Vektorrechnung
2.1
Koordinatendarstellung von Vektoren
Eine gerichtete Größe durch einen Pfeil darzustellen, ist plausibel. Um damit
auch vernünftig rechnen zu können, muß man einem Pfeil Zahlen zuordnen.
Hierzu müssen erst einmal Vereinbarungen getroffen werden.
Wenn sie in einer Stadt jemandem die Lage einer in der Nähe liegenden Straße
beschreiben, ist es häufig ganz praktisch, dies mit Hilfe der Anzahl von Abzweigungen zu machen: An der dritten Kreuzung nach links abbiegen und dann die
vierte Querstraße. Beschreiben sie die Lage eines Objektes in einem Raum, so
liegt es nahe, dies wie folgt zu tun: von der Raumecke an der Eingangstür 2
Meter an der linken Wand entlang und dann zu dieser Wand senkrecht 3 Meter nach rechts. Treffen sie die Vereinbarung, dass die Wegstrecke nach rechts
zuerst vor der Wegstrecke nach links genannt wird, so können sie die Lage nun
durch das Zahlenpaar (3, 2) Meter angeben. Wenn sie dies mit der gemachten
Vereinbarung richtig lesen, ist eigentlich über die Lage des Objektes alles gesagt.
Jetzt können sie noch die Richtung an der linken Wand entlang die y-Richtung
nennen und die an der rechten Wand entlang x-Richtung und die Lage wie in
Abb. 1 veranschaulicht.
Formal können sie für die x- und y-Richtung Vektoren angeben. Diese Richtungsvektoren mit der Länge 1 nennen wir ex bzw. ey . Dann ist k = xex + yey
für geeignete Zahlen x und y. Die Zahlen x und y nennt man die Koordinaten
des Vektors ~k in dem durch ex und ey aufgespannten Koordinatensystem. Die
Vektoren ex und ey sind dessen Basis. Es sind viele verschiedene Koordinatensysteme möglich. Tatsächlich definieren zwei beliebige Vektoren e1 und e2 ein
Koordinatensystem in der Ebene, solange e1 6= αe2 für alle α ∈ R. Hat man
sich auf ein Koordinatensystem geeinigt, so reicht die Angabe der Koordinaten
zur Bestimmung eines Vektors: k = (x, y).
Ganz analog liegt es im dreidimensionalen Raum nahe, anstelle eines ebenen
Koordinatensystemes ein Koordinatensystem mit drei Raumachsen x, y und z
einzurichten und einen Punkt P im Raum bzw. einen Vektor ~r vom Ursprung
zum Punkt P durch ein Zahlentripel (x, y, z) zu beschreiben.1
Besondere Koordinatensysteme sind die kartesischen Koordinatensysteme.
Für diese stehen jeweils zwei Basisvektoren senkrecht aufeinander und jeder
!
1 Manchmal
ist es bequemer r =
Unterschied zwischen (x, y, z) und
x
y
zu schreiben. Tatsächlich gibt es einen formalen
z
!
x
y
, der hier aber nicht von Bedeutung ist.
z
2
Abbildung 1: Die Koordinaten (x = 3, y = 2) im kartesischen (x, y)-Koordinatensystem geben die Lage des Punktes P an. Andererseits beschreibt das Zahlenpaar auch den Vektorpfeil r, der bei (0, 0) startet und bei (3, 2) endet.
Basisvektor hat die Länge 1. Wir beschränken uns zunächst auf solche Koordinatensysteme.
2.1.1
Länge eines Vektors
Für die Länge oder Norm eines Vektors schreibt man |r|. Es entspricht dem
Abstand eines Punktes P welcher durch r beschrieben wird vom Ursprung.
Dessen Abstand läßt sich in der Ebene mit den Regeln zur Berechnung der
Hypothenuse eines Dreieckes bestimmen.
p
| r |= x2 + y 2
(1)
Analog ist die Norm eines Vektors in 3 Dimensionen
p
| r |= x2 + y 2 + z 2
(2)
und für einen Vektor in N Dimensionen r = (x1 , x2 , . . . , xN ) ist die Länge
v
uN
uX
| r |= t
x2i .
(3)
i=1
3
Abbildung 2: Addition von Vektoren bzw. deren Verschiebung ist vertauschbar.
2.1.2
Elementare Rechenregeln für Vektoren




x1
x2
Die Addition zweier Vektoren r1 =  y1  und r2 =  y2  sieht in Komz1
z2
ponentenschreibweise so aus


x1 + x2
r1 + r2 =  y1 + y2  .
(4)
z1 + z2
Es ist daraus unmittelbar einsichtig, daß die Reihenfolge der Addition beliebig
ist. Die Summe ergibt immer den gleichen Endpunkt, was man sich leicht wie
in Abb. 2 veranschaulichen kann.
Es gibt ein neutrales Element 0 :
r+0=r
(5)
und die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl a entspricht einer Multiplikation der Komponenten des Vektors,


ax
ar =  ay  ,
(6)
az
was einer Änderung der Länge gleichkommt: |ar| = a|r| (a > 0). Ausserdem gilt
für Vektoren auch das Assoziativgesetz.
(a + b) + c = a + (b + c) .
2.2
(7)
Polarkoordinaten
Neben kartesischen Koordinaten (x, y) kann in der Ebene ein durch die Pfeilspitze des Vektors a gekennzeichneter Punkt auch durch den Abstand vom Ursprung, also der Länge des Vektors r = |a|, und dem Winkel α zwischen dem
Vektor und der x-Achse beschrieben werden. Dies sind ebenfalls zwei Zahlen, r
4
Abbildung 3: Vektor a = r(cos α, sin α) in Polarkoordinaten.
und α, wie die Anzahl der Komponenten des Vektors a = (a1 , a2 ). Aus diesen
Polarkoordinaten erhält man die kartesische Koordinaten über die Beziehung
cos α
a=r
,
(8)
sin α
wobei −π ≤ α < π. Wegen cos2 α + sin2 α = 1 gilt dann nach Konstruktion für
die Länge |a| = r.
2.3
Skalarprodukt
Betrachtet man noch einen zweiten Vektor
b1
cos β
b=
= rb
b2
sin β
(9)
mit rb = |b| und −π ≤ β < π, so stellt sich z.B. die Frage, welchen Winkel diese
beiden Vektoren a und b einschließen. Diese Frage führt uns auf die Einführung
des Skalarprodukts zweier Vektoren.
Wir hatten gesehen, dass die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl zu einer
Verlängerung desselben führt. Für das Produkt zweier Vektoren kann man sich
verschiedene Möglichkeiten vorstellen. Das Skalarprodukt zweier Vektoren so
definiert, dass das Ergebnis eine reelle Zahl, ein Skalar, ist. Das Skalarprodukt
ermöglicht die Definition eines Winkels ϕ zwischen zwei Vektoren.
Definition Skalarprodukt: Für N -dimensionale Vektoren a und b ist
a·b
N
X
=
ai bi
i=1
das Skalarprodukt
2 Zum
2
der Vektoren a und b.
Skalarprodukt sagt man in der Literatur auch häufig Inneres Produkt.
5
(10)
Mit dem Skalarprodukt definiert man den Winkel zwischen a und b über
a · b = |a| |b| cos ϕ
.
(11)
Mit a in Polardarstellung, a= r(cos α, sin α), und b = (1, 0) ist diese Definition
unmittelbar einsichtig: a · b = r cos α. Dreht man beide Vektoren um einen
Winkel β, verändert aber den Winkel zwischen beiden nicht, dann sind die
Lagen beider Vektoren a = r(cos(α, β), sin(α + β)) und b = (cos β, sin β) und
das Skalarprodukt von beiden Vektoren muß unverändert bleiben. Man kann
dies unmittelbar nachrechnen:
cos(α + β)
cos β
a·b = r
·
sin(α + β)
sin β
=
r [cos(α + β) cos β + sin(α + β) sin β]
=
r [(cos α cos β − sin α sin β) cos β + (cos α sin β + sin α cos β) sin β]
r cos α cos2 β + sin2 β = r cos α .
(12)
=
Im dritten Schritt der Rechnung wurden Additionstheoreme
cos(α + β)
=
(cos α cos β − sin α sin β)
(13)
sin(α + β)
=
(cos α sin β + sin α cos β)
(14)
für trigonometrische Funktionen verwendet.
In den folgenden Vorlesungen ist die Interpretation des Skalarprodukt als Projektion von großer Bedeutung. Eine Projektion ist eine mathematische Operation, in der nur bestimmte Anteile eines Vektors gemessen werden. Wenn
wir beispielsweise einen dreidimensionalen Vektor auf die xy-Ebene projizieren,
dann lassen wir einfach seine z-Komponente weg. Das entspricht in etwa einer
Fotografie, bei der wir ein zweidimensionales Bild einer dreidimensionalen Welt
aufnehmen.3
Für das Skalarprodukt gilt:
a·b =
|a| |b| cos ϕ
(15)
|a| (Projektion von b auf a.)
(16)
= |b| (Projektion von a auf b.)
(17)
=
Die Projektion eines Vektors a auf einen Vektor b misst also den Anteil von a,
der parallel zu b ist.
Regeln für das Skalarprodukt
S1
a·b=b·a
S2
a · (αb) = α a · b
assoziativ
S3
a · (b + c) = a · b + a · c
distributiv
kommutativ
3 Bei der Fotografie erzeugen wir natürlich den Eindruck räumlicher Tiefe - das ist bei einer
Projektion nicht der Fall.
6
3
Wahrscheinlichkeitsrechnung
3.1
Wahrscheinlichkeiten
Bei vielen Experimenten läßt sich der Ausgang nicht mit Bestimmtheit vorhersagen. Dennoch weisen sie eine gewisse Regularität auf. Dies ist z.B. beim
Würfeln der Fall: Man erwartet, dass in etwa 16 der Fälle der Wurf die 6 ergibt.
Bei dieser Art von Ereignissen A können wir also eine Wahrscheinlichkeit P (A)
angeben, mit der das Ereignis eintritt. Für P (A) gilt P (A) = nnAS wobei nA
die Anzahl der Ereignisse A angibt und nS die Gesamtzahl aller möglichen
Ereignisse S und ns , nA 1.
3.2
Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit
Unabhängig von dem betrachteten System besitzen die Wahrscheinlichkeiten
folgende Eigenschaften:
(i) Für ein beliebiges Ereignis A im Konfigurationsraum F gilt
0 ≤ P (A) ≤ 1
(18)
(ii) Für die Gesamtwahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse S gilt
nS
P (S) =
=1
nS
(19)
(iii) Die Zahl der Ereignisse bei denen A oder B auftritt ist
nA∪B = nA + nB − nA∩B
,
(20)
wobei nA∩B die Zahl der Ereignissen angibt bei denen A und B gemeinsam
auftreten. Damit gilt für die Wahrscheinlichkeit
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
(21)
Lassen Sie uns für (iii) ein Beispiel betrachten. Wir suchen die Wahrscheinlichkeit dafür, aus einem Skat-Kartenspiel zufällig ein Pik oder einen Buben
zu ziehen. Da es 8 Pik-Karten, 4 Buben und einen Pik-Buben gibt, gilt nS =
32; nP = 8; nB = 4; nB∩P = 1 und damit P (P ∪B) = P (P )+P (B)−P (P ∩B) =
8/32 + 4/32 − 1/32 = 11/32.
3.3
Statistische Größen
Sei g eine Funktion der Zufallsgröße A. Die Zufallsgröße A kann die Werte xi
mit der Wahrscheinlichkeit f (xi ) annehmen. Dann ist der Durchschnitts- oder
Erwartungswert E[g] von g definiert über
X
E[g] =
g(xi )f (xi ) .
(22)
i
Aus dieser Definition lassen sich folgende Eigenschaften des Erwartungswertes
leicht ableiten:
7
(i) Falls a eine Konstante ist, gilt E[a] = a.
(ii) Für eine beliebige Konstante gilt a E[ag] = aE[g].
(iii) Falls g(x) = h(x) + k(x), so ist auch E[g] = E[h] + E[k]
Der Erwartungswert der Funktion g(x) = x wird auch der Mittelwert der
Verteilung f genannt. Also
X
hxi =
xi f (xi ) .
(23)
i
Andere Schreibweisen sind E(x) oder [x]. Der Mittelwert einer Verteilung gibt
häufig den typischen Wert der zugehörigen Zufallsvariable an.4
Bei Zufallsprozessen ist es auch wichtig, die Fluktuationen um den Mittelwert
zu charakerisieren. Üblicherweise wird dazu die Varianz verwendet. Sie wird
definiert als
X
X
E[(x − hxi)2 ] =
(xi − hxi)2 f (xi ) =
x2i f (xi ) − hxi2 .
(24)
i
i
Eine alternative Notation ist σ 2 oder auch V [x].
Betrachten wir zum Abschluss wieder unser Beispiel des Würfels, allerdings
diesmal den Würfel eines Trickbetrügers. Der Würfel ist so manipuliert, dass die
6 bei einem Viertel aller Würfe fällt, die 1 mit der Wahrscheinlichkeit p = 1/12
und die übrigen Zahlen mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1/6 fallen. Dann
ergibt sich für den Mittelwert
hxi =
6
X
5
ipi =
i=1
X i
1
6
47
+
+ =
≈ 3.92
12 i=2 6 4
12
(25)
und für die Varianz
2
2
2
σ = hx i−hxi =
6
X
i=1
2
i pi −
6
X
!2
ipi
=
i=1
2
5
1 X i2 36
47
395
+
+ −
=
≈ 2.74 .
12 i=2 6 4
12
144
(26)
4 Neben den Mittelwert wird eine Verteilung auch oft durch den Median x
med charakterisiert. Das ist der Wert für den P (χ ≤ xmed ) = 1/2.
8