RECHNEN MIT VARIABLEN UND BINOMISCHE FORMELN

RECHNEN MIT VARIABLEN UND BINOMISCHE FORMELN
Addition und Subtraktion mit Variablen
Es dürfen nur Ausdrücke mit gleichen Variablen addiert oder subtrahiert werden. a und a² sind
auch unterschiedliche Variablen. Vielleicht hilft es dir, die Ausdrücke (alles was mit + oder getrennt ist = Ausdruck) einzukreisen. Bei der Addition müssen beim Ergebnis die Buchstaben
gleich sein, nur die Zahl davor ändert sich. Bsp.: 3a² + 6a² = 9a² Der Buchstabe a² bleibt gleich.
4x + 2y – 5z + 3x + 1x² + 5x = 12x + 2y – 5z + 1x²
Hier gilt die Regel „Minus“ und „Minus“ ergibt „Plus“ nicht, diese gilt nur bei einer
Multiplikation/Division, oder wenn die Vorzeichen direkt hintereinander (also ohne Zahl
dazwischen) stehen. Eine Additions-/Subtraktions-Rechnung kann man sich am besten mit
Geld vorstellen. -3-7 bedeutet: man hat 3 Euro Schulden, muss weitere 7 Euro hergeben =>
noch mehr Schulden, also -11. Hier kann logischerweise nicht +11 herauskommen, denn das
würde bedeuten, man hat nun 11 Euro am Konto.
-3 – 4 = -7
-3 + 4 = +1
+3 – 4 = -1
+3 + 4 = +7
Bei der Malrechnung: Regel ++ => +, -- => +, -+ => -, +- => - gilt:
(-3)*(-4) = +12
(-3)*(+4) = -12
(+3)*(-4) = -12
(+3)*(+4) = +12
Multiplikation und Division mit Variablen
und Potenzen
Multiplizieren und Dividieren darf man immer. Es müssen die Variablen nicht gleich sein.
Gleiche Variablen dürfen mit Hochzahlen zusammengefasst werden, auch die Zahlen werden
zusammengefasst (einfach multipliziert). Hier kommen die Potenzregeln (Potenz = Buchstabe
oder Zahl mit einer Hochzahl) zur Anwendung.



Bei der Multiplikation werden die Hochzahlen gleicher Variablen addiert.
Bei der Division werden die Hochzahlen gleicher Variablen subtrahiert.
Wird eine Hochzahl nochmals hoch genommen, so werden beide Hochzahlen
multipliziert.
4x * 2y * 3x * 1x² = 4*2*3*1*x*x*x²*y = 24*x4*y
x4 * x3 = x7
𝑥4
𝑥³
= x1
(x³)4=x12
x4 + x³ = VERBOTEN
x4 - x³ = VERBOTEN
Achtung: -(1)² = -1 (-1)² = 1
-1² = -1 Das ² bezieht sich nur auf die Zahl oder Klammer
Sonst gelten die allgemeinen mathematischen Rechenregeln, nämlich:
Klammerregeln
Plus vor Klammer: Vorzeichen in der Klammer ändern sich nicht.
Minus vor Klammer: Vorzeichen in der Klammer ändern sich.
Achtung: Diese Regeln gelten nur, wenn kein „Mal“ direkt vor oder hinter der Klammer
steht, sonst gilt die Regel des hineinmultiplizierens.
Ing. Philipp Hofer, BEd. BEd.
Rechnen mit Variablen und Binomischen Formeln
Hineinmultiplizieren: Der Faktor (Zahl oder x, der außerhalb der Klammer mit „Mal“ dabei
steht) wird mit jedem Ausdruck (was oben eingeringelt wurde, also alles was mit „Plus“ oder
„Minus“ getrennt wird), multipliziert.
a * ( 2x - 3y + 4z ) = a*2x – a*3y + a*4z = 2ax – 3ay + 4az
Werden 2 Klammern multipliziert, so multipliziert man jeden Ausdruck mit jedem.
( 2x - 3y + 4z ) * ( 3a - 8b + 1c ) = 2x*3a + 2x*(-8b) + 2x*1c - 3y*3a – 3y*(-8b) – 3y*1c + 4z*3a
+ 4z*(-8b) + 4z*1c = 6ax – 16bx + 2cx – 9ay + 24by – 3cy + 12az – 24az + 4cz
Beispiel 1:
Beispiel 2:
Beispiel 3:
Beispiel 4:
x + (3x-2) => x + 3x - 2 = 4x - 2
x - (3x-2) => x - 3x + 2 = -2x + 2
x*(3x-2) => x*3x – x*2 = 3x² - 2x
36 - (3x-2)*x => 36-(3x²-2x) => 36 - 3x² + 2x
Verbindung der 4 Grundrechenarten
 zuerst die Rechnungen in den Klammern
 wenn die Rechnungen in der Klammer nicht lösbar sind
dann die Klammern auflösen (laut Klammerregeln)
 dann die Punktrechnungen * und :
 dann die Strichrechnungen + und –
KLAPUSTRI-Regel
Bei mehreren Klammern, zuerst immer die inneren, dann die äußeren, bei mehreren Plus-,
Minus-, Mal- oder Dividiertrechnungen von links nach rechts rechnen.
Bsp.: 27a + (5c + 3b) - [6a - (12b + 3c)] + 4a * (5a - 2a + b) =
27a + 5c + 3b - [6a - 12b - 3c] + 4a * (3a + b) =
27a + 5c + 3b - 6a + 12b + 3c + 12a² + 4ab =
21a + 15b + 8c + 12a² + 4ab
Zuerst die Klammern ausrechnen,
wenn´s nicht geht, auflösen)
nur gleiche zusammenfassen
Herausheben
Kommt eine Zahl oder ein Buchstabe in mehreren Ausdrücken (eingeringelten) vor, so kann
man diesen herausheben. Man kann auch nur Teile von Zahlen herausheben, z.B. aus 6 die
Zahlen 3 oder 2, oder aus 10 die Zahlen 5 oder 2. Herausheben darf man allerdings nur dann,
wenn in allen Ausdrücken die herausgehobene Zahl oder der herausgehobene Buchstabe
vorkommt. Hebt man den kompletten Ausdruck heraus, so bleibt 1 übrig (Bsp. 3).
Bsp.: 2ab – a2 = a*(2b-a)
4c2 + 12x = 4*(c²+3x)
4x + 8x² = 4x*(1+2x)
2x – 3 = x*(x-??) Hier darf man nicht herausheben, da x nicht in beiden vorkommt.
Ing. Philipp Hofer, BEd. BEd.
Rechnen mit Variablen und Binomischen Formeln
Binomische Formeln
Es gibt drei Binomische Formeln, innerhalb der Klammer stehen immer 2 Ausdrücke (bi=2).
Die Binomischen Formeln sollen das Klammerausmultiplizieren beschleunigen. Allerdings
gelten diese nur, wenn die beiden Ausdrücke in beiden Klammern gleich sind. Die Formeln
lauten:
Wenn du die Binomischen Formeln nicht
(a+b) * (a+b) = (a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b) * (a-b) = (a-b)² = a² - 2ab + b²
(a+b) * (a-b)
= a² - b²
auswendig weißt, kannst du die Ergebnisse auch
durch Klammerausmultiplizieren herleiten.
(a+b) ² = (a+b) * (a+b) = a² + ab + ab + b² = a² +
2ab + b²
Man kann also Binomische Formeln auf 2 verschiedene Varianten lösen:


Entweder man schreibt statt dem ² die Klammer mit sich selbst multipliziert nochmals
auf und multipliziert dann die beiden Klammern aus (wie im Kästchen oben) oder
man lernt das Binomische-Formel-Schema auswendig, dieses funktioniert wie folgt:
Das Ergebnis von ( + )² und von ( - )² besteht immer aus 3 Teilen, das Ergebnis vom ( + )*(
- ) besteht aus 2 Teilen. Achtung: bei der ersten Formel werden zwei +, bei der zweiten ein -,
dann ein + und bei der dritten Formel wird ein Minus als Vorzeichen verwendet.
Im ersten Teil wird der erste Ausdruck in der Klammer (im Bild die 5a) zum Quadrat
genommen.
Im dritten Teil wird der zweite Ausdruck in der Klammer (im Bild die -3b) zum Quadrat
genommen.
Im zweiten Teil multipliziert man den ersten Ausdruck in der Klammer mit dem zweiten (also
5a * -3b) und multipliziert das Ergebnis (also -15ab) noch mit 2.
Variante mit Variante mit +
Variante mit + und -
Ing. Philipp Hofer, BEd. BEd.
Rechnen mit Variablen und Binomischen Formeln
Demnach kann man auch die rechte Seite (ausgerechnete Form) der Binomischen Formeln auf
die linke (Klammerform) bringen. Hierzu muss man sich zuerst überlegen, die die rechte Form
zustande kommt. Betrachten wir das erste Beispiel mit 9+54a+81a². Hier kommt die 9 aus 3²
und der Ausdruck 81a² aus (9a)² zustande. Wenn man also hoch 2 rechnen muss, um die rechte
Seite zu ermitteln, so muss man genau das Gegenteil (also Wurzel) rechnen, um von der
rechten Seite auf die linke zu kommen.
4x² + 12x + 9 => 1. Formel, Wurzel aus 4x² = 2x, Wurzel aus 9 = 3 => 4x² + 12x + 9 = (2x+3)²
16 – 40y + 25y² => 2. Formel, Wurzel aus 16 = 4, aus 25y² = 5y => 16 – 40y + 25y²= (4-5y)²
64x²-16 => Nur 2 Ausdrücke => 3. Formel, Wurzel aus 64x² = 8x, aus 16 = 4 => (8x+4)(8x-4)
Negative Hochzahlen
Negative Hochzahlen können als positive geschrieben werden, wenn man sie unterhalb des
Bruchstrichs schreibt. Stehen sie von vornherein bereits unterhalb eines Bruchs, so werden
sie nach oben geschrieben (einfach immer auf die andere Seite => Vorzeichen der Hochzahl
ändert sich). Sobald ein Plus oder Minus in der Rechnung steht, darf man diesen Trick nicht
mehr anwenden.
𝑎−3 =
1
𝑎−3
1
1
5−8 =
𝑎3
𝑥 3 ∗𝑤 −2 ∗𝑥 −5
= 𝑎3
𝑦 3 ∗𝑧 −4
6*𝑎 −3 =
58
=
6
(3𝑎)−2 =
𝑎3
𝑥 3 ∗𝑧 4
𝑥 3 +𝑤 −2 ∗𝑥 −5
𝑦 3 ∗𝑤²∗𝑥 5
𝑦 3 ∗𝑧 −4
1
(3𝑎)2
= wergen dem „+“ oben verboten
Hat ein gesamter Bruch eine negative Hochzahl, so wird einfach dessen Kehrwert gebildet,
die Hochzahl wird dadurch positiv.
4∗𝑥 −2 ∗𝑦∗𝑧 −1
(
3−1 ∗𝑦 −1 ∗𝑧
3
𝑧∗𝑥 2 ∗𝑧 1
−3
:(
2
3∗𝑥 −1 ∗𝑦
3−1 ∗𝑦 −1 ∗𝑧
3
5∗𝑥 2 ∗𝑧 −1
2
) =(4∗𝑥 −2∗𝑦∗𝑧 −1) ∗ ( 3∗𝑥 −1∗𝑦 ) =
5∗𝑥 2 ∗𝑧 −1
)
5∗𝑥 2 ∗𝑥
2
𝑧³∗𝑥 6 ∗𝑧³
25∗𝑥 4 ∗𝑥²
25∗𝑧 6 ∗𝑥 12
25∗𝑧 4 ∗𝑥 12
(4∗𝑦∗3∗𝑦) ∗ ( 3∗𝑦∗𝑧 ) =( 123∗𝑦6 ) ∗ ( 9∗𝑦²∗𝑧² )=(15552∗𝑦8∗𝑧²)=( 15552∗𝑦8 )
Wurzeln
Auch Wurzeln können als Hochzahlen geschrieben werden. Ein √𝑥 beispielsweise kann auch
1
als 𝑥 2 geschrieben werden, da das x in der Klammer keine Hochzahl und somit die Hochzahl 1
hat. Die 2 kommt daher, dass vor jeder Wurzel immer eine Zahl stehen muss (die wievielte
5
Wurzel es ist), und eine normale Wurzel ist immer eine Quadratwurzel (2-te Wurzel). Die √𝑥 8
8
kann auch als 𝑥 5 geschrieben werden. Somit kann man auch Wurzeln multiplizieren, wenn das
gleich in der Wurzel steht.
1
5
8
5
16
21
10
Beispiel: √𝑥* √𝑥 8 = 𝑥 2 *𝑥 5 = 𝑥 10 *𝑥 10 = 𝑥 10 oder wieder als Wurzel geschrieben: √𝑥 21
Man kann auch Wurzeln erweitern, indem man die Hochzahl mit der Zahl vor der Wurzel mit
einer bestimmten Zahl multipliziert. Haben Wurzeln die gleiche Vorzahl (also die gleichvielte
Wurzel) und werden diese multipliziert bzw. dividiert, so kann man die Wurzeln
zusammenfassen. Demnach kann man Wurzeln auch kürzen (Vorzahl mit Hochzahl).
5
5
5
5
5
√𝑥* √𝑥 8 = √𝑥 5 *√𝑥 8 = √𝑥 5 ∗ 𝑥 8 = √𝑥13
Ing. Philipp Hofer, BEd. BEd.
3 6
√ √𝑥 8 = 18√𝑥 8 = 9√𝑥 4
Rechnen mit Variablen und Binomischen Formeln
Sind mehrere Wurzeln ineinander, so werden die Vorzahlen multipliziert und alles unter eine
Wurzel geschrieben (Rechnung oben rechts).
Partielles Wurzelziehen
Partielles Wurzelziehen bedeutet, dass man aus einem Teil innerhalb der Wurzel diese zieht
und den restlichen Teil unter der Wurzel lässt. Man versucht die Zahl in Teile zu zerlegen, aus
denen man die Wurzel ziehen kann. Im unteren Beispiel kann man zwar aus 26 keine Wurzel
ohne Kommastellen ziehen, wenn man 26 aber auf 4*6 aufteilt, kann man aus 4 die Wurzel
ziehen.
√26 = √4 ∗ 6 = √4 ∗ √6 = 2*√6
Logarithmus
Den Logarithmus verwendet man immer dann, wenn man die Hochzahl sucht, also z.B. bei
4
2𝑥 =5. Falls die Grundzahl (Basis) gesucht wird, muss man die Wurzel ziehen. 𝑥 4 =5 => x=√5.
Es gibt zwei Logarithmen am Taschenrechner, nämlich den Log und den Ln. Welchen man für
die folgenden Schritte verwendet ist vollkommen egal. ① Beginnend schreibt man vor beiden
Seiten ein log oder ln. ② Dann darf man die Hochzahl vor den Logarithmus schreiben. ③
Nun bringt man den bearbeiteten Logarithmus auf die andere Seite
2𝑥 =5 ① ln(2𝑥 ) = ln(5)
② x*ln(2) = ln(5) |:ln(2)
8 ∗ 2𝑥−4 =4 |:8 => 2𝑥−4 = 0,5 ① log(2𝑥−4) = log(0,5)
③(x-4) =
log(0,5)
log(2)
=> x =
log(0,5)
log(2)
ln(5)
③ x = ln(2)
② (x-4)*log(2) = log(0,5) |:log(2)
+4
Logarithmusregeln
Werden zwei Logarithmen addiert, so kann man beide in einen Logarithmus zusammenfassen
und die Inhalte multiplizieren. Beim Subtrahieren werden sie in einem dividiert. Umgekehrt
gilt es natürlich genauso.
log(4x) + log(3x) = log(4x*3x) = log(12x²)
4𝑥
4
log(4x) - log(3x) = log(3𝑥) = log(3)
ln(6) = ln(3*2) = ln(3) + ln(2)
ln(6) = ln(12:2) = ln(12) - ln(2)
Falls ein Logarithmus in dieser Form dasteht, kann man ihn einfach umschreiben:
log 2 16 = x => 2𝑥 = 16 und löst den die wie oben mit den Punkten 1-4 beschrieben.
Hier noch kurz der Unterschied zwischen ln oder log. Wie oben beschrieben, ist es vollkommen
egal, welchen der beiden Logarithmen man vor beiden Seiten schreibt. Der Unterschied
besteht darin, dass ln das Gegenteil von „e hoch“ ist, während log das Gegenteil von „10 hoch“
ist. Falls in einer Rechnung „e“ vorkommt, macht es mehr Sinn, wenn man den ln nimmt, denn
ln(e) kürzt sich weg. Aber man könnte auch genauso gut den log verwenden, dann kann man
aber nicht kürzen.
Ing. Philipp Hofer, BEd. BEd.
Rechnen mit Variablen und Binomischen Formeln