QUADRATWURZELN Nach den negativen Zahlen und den Brüchen

QUADRATWURZELN
FRANZ LEMMERMEYER
Nach den negativen Zahlen und den Brüchen steht in Klasse 8 eine weitere Erweiterung des Zahlbereichs an. Den ersten Schritt dazu
machen die Quadratwurzeln.
1. Quadratwurzeln
Ein Quadrat der Kantenlänge 4 cm hat einen Flächeninhalt von
16 cm2 . Ist die Kantenlänge a, dann hat das Quadrat einen Flächeninhalt a2 .
Ist umgekehrt ein Quadrat mit Flächeninhalt 25 cm2 gegeben, so
muss seine Kantenlänge a cm sein, wobei a2 = 25 ist, und natürlich
muss hier a = 5 sein.
Wie groß ist aber die Kantenlänge a eines Quadrats mit einer Fläche
von 2 cm2 ? Ein Quadrat mit Kantenlänge a = 1 cm ist zu klein, eines
mit Kantenlänge a = 2 cm zu groß. Könnte die Kantenlänge a = 32 cm
2
sein? Dies ist zwar ungefähr richtig, aber nicht genau: es gilt ja 32 =
9
= 2 41 , und das ist > 2. Auch a = 75 cm kommt nicht ganz hin: hier
4
2 49
1
ist 75 = 25
= 2 − 25
= 1,96 < 2.
Auch Versuche mit Brüchen, die einen noch größeren Nenner haben,
führen nicht zum Ziel: welchen Bruch auch immer wir für a wählen, nie
ist a2 = 2. Dass dies so ist, haben zuerst die Pythagoreer erkannt, Mitglieder einer “Sekte”, die Pythagoras vor etwa 2500 Jahren gegründet
hat.
Quadratverdopplung. Unter den uns bekannten Zahlen kommt also keine Zahl a vor, die der Gleichung a2 = 2 genügt. Gibt es dann
überhaupt so ein Quadrat mit Flächeninhalt 2 cm2 ? Der große griechische Philosoph Platon erzählt uns eine Geschichte, in der sich Sokrates
mit einem Sklaven Menons unterhält. In diesem Gespräch bringt dieser
den ungebildeten Sklaven durch geschicktes Fragen zur Erkenntnis, wie
man dazu vorzugehen hat.
Wenn das Quadrat links unten Kantenlänge 1 hat, dann hat das
große Quadrat Kantenlänge 2 und Flächeninhalt 4 und ist damit viermal so groß wie das kleine. Zeichnet man aber die Diagonalen so ein
wie in Abb. 1, entsteht ein Quadrat, dessen Flächeninhalt halb so groß
1
2
FRANZ LEMMERMEYER
Abbildung 1. Quadratverdopplung
ist wie der des großen, weil jede Diagonale die Flächen der vier kleinen
Quadrate halbiert. Das Quadrat auf der Diagonale des kleinen Quadrats (also das Quadrat, dessen Kante die Diagonale des Ausgangsquadrats ist) hat damit den doppelten Flächeninhalt des kleinen Quadrats.
Satz 1. Errichtet man auf der Diagonale eines Quadrats ein neues
Quadrat, dann hat dieses doppelt so großen Flächeninhalt wie das Ausgangsquadrat.
Startet man mit einem Quadrat der Kantenlänge 1 cm, dann hat das
Quadrat auf der Diagonale also Flächeninhalt 2 cm2 . Die Kantenlänge
dieses Quadrats kann man nicht mit einem Bruch darstellen; wir führen
daher ein neues Zeichen ein, die Quadratwurzel.
Aufgabe 1. Konstruiere ein Quadrat mit Flächeninhalt 18 cm2 .
√
Quadratwurzeln. Die Quadratwurzel a einer positiven Zahl a > 0
ist diejenige positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt.
√
√
√ 2
Insbesondere
ist
2
diejenige
Zahl
mit
1
<
2
<
2,
für
die
2 =
√ √
2 · 2 = 2 gilt.
√
Quadratwurzeln aus negativen Zahlen wie −4 kann es in den reellen
Zahlen nicht geben, weil sowohl 2 · 2 = +4, also auch (−2) · (−2) = +4
ist, Quadratzahlen also nie negativ sein können.
Die√Quadratwurzeln
von Quadratzahlen lassen sich exakt angeben:
√
es ist 4 = 2, 9 = 3 usw. Nun
√ ist aber nicht nur 3·3 = 9, sondern auch
(−3)·(−3) = 9.√Dennoch ist 9 immer nur die positive Quadratwurzel:
die Gleichung 9 = −3 ist falsch!
QUADRATWURZELN
3
√
√
Das hat gute Gründe: würde man etwa 4 = ±2 und 9 = ±3
setzen, dann wäre

+2 + 3 = +5,



−2 + 3 = +1,
√
√
4+ 9=

+2 − 3 = −1,



−2 − 3 = −5,
d.h. die Summe zweier Quadratwurzeln könnte bis zu vier verschiedene
Ergebnisse haben.
p√
Noch
schlimmer
wären
die
Folgen
für
16, das dann entweder
√
√
4 = ±2 oder −4 wäre: Aber Wurzeln aus negativen Zahlen gibt es
nicht, weil Quadrate nicht negativ sein können.
√
√
√
Aufgabe 2. Wie viele verschiedene Ergebnisse könnte 4 + 9 + 25
haben, wenn man für Quadratwurzeln beide Vorzeichen gelten lässt?
Rechnen mit Quadratzahlen. Beim Rechnen mit Quadratwurzeln
muss man auf einige oft gemachte Fehler besonders achten:
1. Quadratwurzeln aus Summen lassen sich nicht einzeln ziehen:
√
9 + 4 6= 3 + 2 = 5,
√
denn 9 + 4 = 13√und 13 liegt sicherlich zwischen 3 und 4. Entsprechendes gilt für√ 9 − 4. √ √
√
Dagegen ist 9 · 4 = 9 · 4, denn die linke Seite ist 36q
= 6, die
√ √
rechte ebenfalls wegen 9 · 4 = 3 · 2 = 6. Auch im Falle von 94 kann
man die Wurzel aus Zähler und Nenner einzeln ziehen.
√
2. 0,09 6= 0,03, denn 0,032 = 0,0009. Um solche Fehler zu vermeiden,
√
ist es oft hilfreich, Dezimalzahlen als Brüche darzustellen: 0,09 =
q
9
3
= 10
= 0,3.
100
√
√ 2
3. Man muss genau zwischen − 5 und (− 5 )2 unterscheiden (das
hat eigentlich mit Quadratwurzeln nichts zu √
tun, sondern
√ gilt genauso
√
2
2
2
für −5 und (−5) ): Selbstverständlich ist (− 5 ) = (− 5 )·(− 5 ) =
√ 2
+5, während man aber bei − 5 festgelegt hat, dass erst das Quadrat
und dann die Multiplikation mit −1 auszuführen ist, d.h. also dass
√ 2
− 5 = −5 ist. Sinn der Sache ist, dass man sich bei diesem Ausdruck die Klammern sparen kann: hätte man diese Übereinkunft nicht
√ 2
√
getroffen, müsste man −( 5 )2 statt einfach − 5 schreiben.
Auch bei der Benutzung von Taschenrechnern muss man an dieser
Stelle aufpassen.
4
FRANZ LEMMERMEYER
Übungen
(1) Kopfrechnen: Bestimme die folgenden Quadratwurzeln.
√
√
a)
36
b)
144
√
√
c) √225
d) √49
441
f)
1 000 000
e)
(2) Kopfrechnen: Bestimme die folgenden Quadratwurzeln.
p
p
a)
0,36
b)
0,09
p
p
c) p0,0016
d) p0,0001
e)
2,25
f)
6,25
(3) Kopfrechnen: Bestimme zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, √
zwischen denen die jeweilige Quadratwurzel liegt. Beispiel:
2 < 6 < 3, weil 4 < 6 < 9.
√
√
a) < 28 <
b) < 72 <
√
√
c) < √200 <
d) < √140 <
e) < 420 <
f) < 480 <
(4) Berechne:
√
a)
16 + 9
√
c)
52 + 122
√
64 + 36
√
d)
132 − 52
b)
(5) (MS) Berechne:
r
16
9
+
a)
r 25 25
9
c)
1+
16
b)
(6) (MS) Berechne:
√
a)
16 · 49 · 81
√
c)
14 · 10 · 35
b)
(7) (MS) Berechne, falls möglich:
√
a)
−72
p
c)
−22 (9 − 16)
b)
r
144
25
+
r 169 169
25
d)
4+
36
√
18 · 50 · 144
r
8 5 4
d)
·
·
15 42 7
p
(−4)2
p
d)
(−1)2 · (−42 )
QUADRATWURZELN
(8) Berechne:
√
√
a)
32 + 42
√
c) ( 3 + 4 )2
(9) Berechne:
√ √
a)
2· 2
√
√
c)
3+2· 3
(10) Berechne:
√ p
a)
4 · 0,25
√ √
c)
3 · 27
5
√
32 + 42
√
d)
32 · 42
b)
√
√
2+ 2
√
√
d) 4 5 − 5 5
b)
√ √
2 · 18
r r
2
75
d)
·
3
98
b)
(11) Berechne:
√
√ √
2( 8 + 50 )
a)
√ √
√
c)
5( 20 + 125 )
b)
(12) Berechne:
√
√
a)
2 · (3 · 2 )
√
√
√
c)
6 · (3 24 + 2 54 )
b)
√ √
√
3( 75 + 12 )
√ √
√
d)
6( 24 + 54 )
√
√
√
2 · (2 2 + 3 2 )
√
√
√
d)
4 · (3 81 − 4 16 )
(13) Vereinfache durch teilweises Ziehen der Wurzel.
√
√
a)
75
b)
162
√
√
c)
24
d)
125
(14) Berechne:
√ 2
2
a)
√ 2
c)
17
b)
(15) Vereinfache:
√
√
a)
18 + 50
√
√
c)
20 + 45
b)
√ 2
5
√ 2
d)
193
√
√
12 + 75
√
√
d)
48 + 147
6
FRANZ LEMMERMEYER
(16) Berechne:
r
r
50
a)
r 18
90
c)
6,4
75
r 48
40
d)
4,9
b)
(17) Berechne:
p
p
32,4 : 0,1
a)
p
p
c)
0,294 : 2,4
(18) Berechne:
q
√
a)
8 + 64
q
√
√
c)
81 + 256
(19) Berechne:
r
1
1
a)
−
25
r 16 r
1
1
c)
−
25
169
p
√
80 : 0,2
p
p
d)
0,111 : 0,444
b)
q
√
b)
9 + 49
q
√
d)
2 4
r
r
1
1
b)
−
r 144 r 169
1
1
d)
−
49
625
Hinweis: Man braucht die Hauptnenner, wie etwa 16 · 25 im
ersten Beispiel, nicht auszurechnen.
(20) Berechne:
s
a)
3
1−
s
c)
1
9
s
1
4
7
1
− 16
(21) Berechne:
√
a)
1+3
√
c)
1+3+5+7
b)
1
4
5
−
s
d)
1
16
1
9
9
−
1
25
√
b)
1+3+5
√
d)
1+3+5+7+9