Fachbereich SciTec
Theoretische Physik WS 2015/2016
Prof. Dr. Bernd Ploss
Peter Haupt
Johannes Capraro
27. Januar 2016
Inhaltsverzeichnis
1 Mathematische Hilfsmittel aus der Vektoranalysis
1.1 Skalarfelder, Vektorfelder und deren Veranschaulichung . . . . . . . .
1.1.1 Skalarfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Integralbildung auf Feldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Linienintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Zirkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Flächenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Volumenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Verknüpfung von Feldern über Integralbildung . . . . . . . . . . . . .
~ r) .
1.3.1 Verküpfung eines Skalarfeldes Φ(~r) mit einem Vektorfeld A(~
~
~
1.3.2 Verknüpfung zweier Vektorfelder A(~r) und B(~r) . . . . . . . .
~ r) . . . . .
1.3.3 Verknüpfung von Skalarfeld f (~r) mit Vektorfeld B(~
1.4 Zylinder- und Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Die Maxwell-Gleichungen im Vakuum für Ladungen und Ströme
3 Elektrostatik
3.1 Das elektrische Potential für vorgegebene Ladungsverteilungen
3.2 Beispiele zur Lösung der Laplace- und Poissongleichung . . . .
3.3 Die Dirac’sche Deltafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
~ an Begrenzungen -etwas Potentialtheorie- .
3.4 Verhalten von Φ, E
3.5 Das Feld zweier Punktladungen, Multipole . . . . . . . . . . . .
3.6 Multipolentwicklung für eine beliebige Ladungsverteilung . . .
3.7 Feld einer Metallkugel in einem angelegtem homogenen Feld . .
3.8 Energie einer Ladungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
6
6
6
6
7
7
7
8
8
9
9
9
10
11
11
12
14
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16
16
17
19
20
23
26
27
28
4 Das von stationären Strömen erzeugte magnetische Feld
31
~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1 Vektorpotential (A)
4.2 Beispiele für das Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Zeitlich veränderliche elektromagnetische Felder
36
6 Quanten
39
6.1 Einordnung der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2 Beispiele für Quanteneffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7 Dualismus Welle-Teilchen
42
7.1 Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.2 Spektralzerlegung und Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . 42
8 Materiewellen und Schrödingergleichung
8.1 Realisierung des Konzeptes der Materiewellen
8.2 Teilchen als Wellenpakete . . . . . . . . . . .
8.3 Heisenbergsche Unschärferelation . . . . . . .
8.4 Zustand, Größe, Wert einer Größe . . . . . .
8.5 Zeitunabhängige Schrödingergleichung . . . .
8.6 Stufenpotential . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
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45
45
46
46
46
49
49
Einführung
Grundbegriffe und Maxwell-Gleichungen
Teilchen:
Elektron, Positron
magn. Moment µ
∓e
1, 00115966 µB
me
mn µB
Neutron (n)
0
−1, 91315
Proton (n)
e
2, 79278
me
mp µB
±e
1, 00116
me
mµ µB
Müonen (µ± )
Pionen (π ± , π 0 )
µB =
Ladung q
±e, 0
0
e}
J
= 9, 27403 · 10−24
2 me
T
Feldkonstanten:
ε0 =
2
1
7A
·
10
4πc2
N
µ0 = 4π · 10−7
N
A2
Coulomb-Gesetz:
1
q1 q2
F~12 =
· 2 · ~e12
4 π ε0 r12
• in dieser Form Fernwirkungsgesetz
• keine Aussage über zeitliche Abhängigkeiten (Verzögerung etc.)
4
• Federsystem als Beispiel
für Nahwirkungsgesetz
• zeitliche Abhängigkeit bei
Dehnung bzw. Stauchung
vorhanden
~ r1 , t) + ~v1 × B(~
~ r1 , t)]
F~1 (t) = q1 [E(~
~ bzw. B
~ abhängig vom gewählten Bezugssystem
• E
Bewegungsgleichung:
d m1 ~v1
q
F~1 (~r1 , t) =
dt
v2
1 − c21
Überlagerungsprinzip:
~ r1 ) = E
~ 2 (~r1 ) + E
~ 3 (~r1 ) + . . .
E(~
~ r1 ) = B
~ 2 (~r1 ) + B
~ 3 (~r1 ) + . . .
B(~
Maxwell-Gleichungen im Vakuum:
1
ρ(~r, t)
ε0
~
~ = − ∂B
rot E
∂t
~ =
div E
~ =0
div B
~
~ = ε0 µ0 ∂ E + µ0~j(~r, t)
rot B
∂t
5
1 Mathematische Hilfsmittel aus der Vektoranalysis
1.1 Skalarfelder, Vektorfelder und deren Veranschaulichung
1.1.1 Skalarfelder
• jeder Raumpunkt wird auf eine Zahl abΦ(x,y,z)
gebildet R3 −−−−−−→ R
• wenn Φ(x, y) = const →Linien
• wenn Φ(x, y, z) = const →Flächen
• beliebig viele zur Visualisierung möglich
1.1.2 Vektorfelder
• jeder Raumpunkt wird auf
einen Vektor abgebildet
Φ(x,y,z)
R3 −−−−−−→ R3
• Visualisierung durch Darstellung einzelner Vektoren
bezogen auf ein Raumelement
• τ könnte Zeit spezifizieren
• c könnte
Nummer“der
”
Feldlinie angeben
• beliebig viele Feldlinien
im Raum denkbar und
durch Feldliniengleichnung
beschreibbar
~r = ~r(τ, c) τ1 ≤ τ ≤ τ2
∂
~ r(τ, c))
~r(τ, c) = E(~
∂τ
~
• Einschränkung: E
6= 0
6
• Dichte bzw. Anzahl der Feldlinien pro Volumenelement als Maß für Feldstärke
• bei Darstellung senken- bzw. quellenfreier Felder Anfang bzw. Ende einer Feldlinie möglich (bedingt durch
ganze Anzahlen der Feldlinien)
1.2 Integralbildung auf Feldern
1.2.1 Linienintegral
ˆτ2
ˆ
~ r(τ )) · ~r˙ dτ
E(~
~ r) d~s =
E(~
γ=
L
τ1
Bsp.:


y
~ =
 Kurve L :
−x
Vektorfeld: E
2
2
x +y −z
  

ˆ1
ˆ
1
y
~



−x
· 2 dτ
E(~r) d~s =
2
2
3
x
+
y
−
z
0
L
 
1
~r = τ 2
3
ˆ1
(2τ − 2τ + 3τ 2 + 12τ 2 − 9τ ) dτ
=
0
ˆ1
(15τ 2 − 9τ ) dτ =
=
0
1
15 3 9 2 τ − τ = 0, 5
3
2 0
1.2.2 Zirkulation
˛
~ r) d~s
Γ = E(~
L
• unabhängig von Anfangspunkt
• abhängig vom Durchlaufsinn
7
0≤τ ≤1
1.2.3 Flächenintegral
ˆv2 ˆu2
¨
~ r(u, v)) ·
E(~
~ dA
~=
E
Φ=
∂~r
∂~r
×
∂u ∂v
dudv
v1 u1
• von der Spitze des Vektors d~a aus gesehen wird die
Randkurve im mathematisch positiven Sinn durchlaufen
• bei geschlossener Fläche (Volumenbereich) Orientierung von d~a nach außen
Bsp.:
 
     
y
1
0
0
x≥0
~ = x
Vektorfeld: E
Ebene E : 0 ; 1 ; 0 y ≥ 0
z
0
0
1
z≥0
 
 
  

1
−1
−1
1−s−t

s
E : ~r = 0 + s  1  + t  0  = 
0
0
1
t

  
1
1−s
1
1−s
ˆ ˆ
ˆ ˆ
1−s−t
1

 · 1 dsdt =
s
(1 − s − t + s + t) dsdt = 0, 5
t
1
0 0
0 0
1.2.4 Volumenintegral
˚
ˆx2
yˆ
(x,y)
2 (x) z2ˆ
Φ(~r) dV =
Φ(~r(x, y, z)) dzdydx
x1
ˆx2
=
yˆ
2 (x)
dx
x1
z2ˆ(x,y)
dy
y1 (x)
˚
y1 (x) z1 (x,y)
dz
Φ(~r(x, y, z))
z1 (x,y)
˚
Φ(~r) dV =
∂x
∂(x, y, z) ∂u
∂x
∂(u, v, w) = ∂v
∂x
∂w
∂~r
∂~r
∂~r ·
×
dudvdw
Φ(~r(u, v, w)) ∂u
∂v ∂w |
{z
}
∂(x,y,z)
| ∂(u,v,w)
|
∂y
∂z Funktional- bzw.
∂u
∂u ∂y
∂z Jacobi-Determinante,
∂v
∂v ∂y
∂z kartesischer Fall
∂w
∂w
8
1.3 Verknüpfung von Feldern über Integralbildung
~ r)
1.3.1 Verküpfung eines Skalarfeldes Φ(~r) mit einem Vektorfeld A(~
~ r) = grad Φ(~r)
A(~
Für jeden Weg L von ~r1 nach ~r2 gilt:
ˆ
~ r) d~s
Φ(~r2 ) − Φ(~r1 ) = A(~
Bedingung:
L
 
Φx
~ r) = grad Φ(~r) = Φy  = ∇Φ
~
A(~
Φz
Eigenschaften:
~ eindeutig
• Φ bestimmt A
~ bestimmt
• umgekehrt ist Φ bis auf Konstante durch A
• notwendige und hinreichende Bedingung:
˛
~ r) d~s
A(~
für jede geschlossene Kurve L = 0
L
~ r) enthält keine geschlossenen Feldlinien
• A(~
~ r) und B(~
~ r)
1.3.2 Verknüpfung zweier Vektorfelder A(~
~ r) = rot A(~
~ r)
B(~
Bedingung:
~ r) = curl A(~
~ r)
engl.: B(~
Für alle Flächen F, die von geschlossener Kurve L berandet
werden gilt:
¨
˛
~ r) d~s =
A(~
L
~ r) dF~
B(~
Stokescher Satz
F (L)

 

P (~r)
Ry − Qz
~ r) = rot A
~=∇
~ × Q(~r) =  Pz − Rx 
B(~
R(~r)
Qx − Py
Eigenschaften:
9
~ bestimmt B
~ eindeutig, umgekehrt nicht
• A
~ = grad Φ → B
~ = rot A
~ = rot grad Φ = 0
• falls A
!
~ r) dF~ = 0
•
B(~
~ r)
1.3.3 Verknüpfung von Skalarfeld f (~r) mit Vektorfeld B(~
~ r)
f (~r) = div B(~
Bedingung:
Für jedes Volumen V gilt:
"
˚
~
~
B(~r) dA =
f (~r) dV
F
V(F )


P (~r)
~ r) = ∇
~ · Q(~r) = (Px + Qy + Rz )
f (~r) = div B(~
R(~r)
Eigenschaften:
~ bestimmt f eindeutig
• B
~ als Rotation darstellbar B
~ = rot A
~
• falls B
~ = div rot A
~=0
,→ f = div B
Voraussetzung:
keine Singularitäten
a) Punktladung eines Coulombfeldes bei ~r = ~0
~ r) ∼ 1 ~er
E(~
r2
~ = 0 für ~r 6= ~0
div E
geschlossene Kugelfläche um ~r = ~0 mit Radius R
"
"
~ dF~ =
E
1 ~ 1
dF = 2 4πR2 = 4π
R2
R
"
"
~ dF~ −
E
F (RA )
~ dF~ = 0
E
F (RI )
10
b) Potentialwirbel
~v = ω
~ × ~r
Γ0
mit ω
~ (ρ) =
~ez
2πρ2
wobei ρ =
p
x2 + y 2
 
x
~r = y 
z
 
−y
Γ0
Γ0  
x
=
~eϕ
~v =
2
2πρ
2πρ
0
˛
˛
Γ0
~v d~s =
dϕ = Γ0 (unabhängig vom Radius R des Weges)
2π
~v (~r) hat geschlossene Feldlinien
~
,→ ~v (~r) = rot A
~ = − Γ0 ln
A
2π
ρ
ρ0
~ez
für ρ > 0: ~v (~r) besitzt Potential
1.4 Zylinder- und Kugelkoordinaten
1.4.1 Zylinderkoordinaten
 
ρ
~r = ϕ
z
kartesisch → zylindrisch
zylindrisch → kartesisch

  p 2
x + y 2
ρ
y 
ϕ = 
arctan

x
z
z
  

x
ρ cos ϕ
y  =  ρ sin ϕ 
z
z
∂~r
= cos ϕ ~ex + sin ϕ ~ey
∂ρ
1 ∂~r
~eϕ =
= − sin ϕ ~ex + cos ϕ ~ey
ρ ∂ϕ
~ez = ~ez
~eρ =
11
d~s = dρ ~eρ + ρ dϕ ~eϕ + dz ~ez
∂(x, y, z) ∂(ρ, ϕ, z) = ρ → dV = ρ dρdϕdz
∂
1 ∂
∂
+ ~eϕ
+ ~ez
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
1 ∂f
∂f
∂f
~eρ +
~eϕ +
~ez
grad f = ∇f =
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
~ =∇·B
~ = 1 ∂ (ρBρ ) + 1 ∂Bϕ + ∂Bz
div B
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
~ =∇×B
~ = 1 ∂Bz − ∂Bϕ ~eρ + ∂Bρ − ∂Bz ~eϕ + 1 ∂ (ρBϕ ) − ∂Bρ ~ez
rot B
ρ ∂ϕ
∂z
∂z
∂ρ
ρ ∂ρ
∂ϕ
2
2
∂
1 ∂
∂
1 ∂
+ 2
∆ = ∇2 =
ρ
+ 2
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ ∂ϕ2
∂z
1 ∂
∂f
1 ∂2f
∂2f
∆f =
+
ρ
+ 2
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ ∂ϕ2
∂z 2
∇ = ~eρ
1.4.2 Kugelkoordinaten
 
r
~r =  ϑ 
ϕ
kartesisch → kugelig
kugelig → kartesisch
p


x2 + y 2 + z 2
 
!


r
z



 ϑ  = arccos p
2 + y2 + z2 

x


ϕ
y
arctan
  
 x
x
r sin ϑ cos ϕ
y  =  r sin ϑ sin ϕ 
z
r cos ϑ
12
∂~r
= sin ϑ cos ϕ ~ex + sin ϑ sin ϕ ~ey + cos ϑ ~ez
∂r
1 ∂~r
= cos ϑ cos ϕ ~ex + cos ϑ sin ϕ ~ey − sin ϑ ~ez
~eϑ =
r ∂ϑ
1 ∂~r
~eϕ =
= − sin ϕ ~ex + cos ϕ ~ey
r sin ϑ ∂ϕ
~er =
d~s = dr ~er + r dϑ ~eϑ + r sin ϑ dϕ ~eϕ
∂(x, y, z) 2
2
∂(r, ϑ, ϕ) = r sin ϑ → dV = r sin ϑ drdϑdϕ
∂
1 ∂
1
∂
+ ~eϑ
+ ~eϕ
∂r
r ∂ϑ
r sin θ ∂ϕ
∂f
1 ∂f
1 ∂f
grad f = ∇f =
~er +
~eϑ +
~eϕ
∂r
r ∂ϑ
r sin θ ∂ϕ
∂
1
∂
~ =∇·B
~ = 1 ∂ (r2 Br ) + 1
div B
(sin ϑBϑ ) +
Bϕ
2
r ∂r
r sin ϑ ∂ϑ
r sin θ ∂ϕ
~ =∇×B
~
rot B
∂Bϑ
∂
1 ∂
∂Br
∂
1
1 ∂Br
1
(Bϕ sin ϑ) −
−
(rBϕ ) ~eϑ +
(rBϑ ) −
~er +
~eϕ
=
r sin ϑ ∂ϑ
∂ϕ
r sin ϑ ∂ϕ
∂r
r ∂r
∂ϑ
∂
∂2
1 ∂
∂
1
∂
1
∆ = ∇2 = 2
r2
+ 2
sin ϑ
+ 2 2
r ∂r
∂r
r sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ2
2
2
∂
2 ∂
1 ∂
1 cos ϑ ∂
1
∂2
= 2+
+ 2 2+ 2
+ 2 2
∂r
r ∂r r ∂ϑ
r sin ϑ ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ2
∂
1 ∂
1
∂f
1
∂2f
2 ∂f
∆f = 2
r
+ 2
sin ϑ
+ 2 2
r ∂r
∂r
r sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ2
∇ = ~er
13
2 Die Maxwell-Gleichungen im Vakuum für Ladungen
und Ströme
a) Gaußsches Gesetz
"
˚
~ dF~ = 1
E
ρ(~r, t) dV
ε0
F
V
m
~ = 1 ρ(~r, t)
div E
ε0
b) Induktionsgesetz
˛
¨
d
~
~ dF~
E d~s = −
B
dt
L
F
m
~
~ = − ∂B
rot E
∂t
c) Ampere’sches Gesetz
¨
¨
˛
d
~
~
~
~j dF~
E dF + µ0
B d~s = ε0 µ0
dt
F
F
L
m
~
~ = ε0 µ0 ∂ E + µ0~j
rot B
∂t
d)
"
~ dF~ = 0
B
F
m
~ =0
div B
14
jetzt div auf (c):
~ = µ0 div ~j + ε0 µ0 ∂ div E
~
div
rot B
| {z
}
∂t | {z }
ρ
0
(a)
0
∂
div ~j + ρ = 0
∂t
˚
↓
dQ
d
=
dt
dt
dV
˚
˚
V
"
~j dF~
div ~j dV = −
ρ dV = −
V
F
,→ Gesetz der Ladungserhaltung somit in Maxwell-Gleichungen enthalten
15
3 Elektrostatik
3.1 Das elektrische Potential für vorgegebene Ladungsverteilungen
d
ρ
~ = ~0
dt
~j = ~0
~ = ~0
B
Voraussetzung:
~ = ρ
div E
ε0
→
~ = ~0
rot E
~ als Gradient eines Potentials darstellbar: E
~ = −grad Φ
,→ E
~ = −div grad Φ = ρ
Poisson-Gleichung: div E
ε0
⇔
∆Φ = −
• Punktladung q bei ~r = ~0
Φ=
1 q
4πε0 r
~ =
E
1 q
~er
4πε0 r2
• Punktladungsverteilung
Φ=
N
1 X qn
4πε0 n=1 |~r − ~rn |
~ =
E
N
1 X
qn
~r − ~rn
4πε0 n=1 |~r − ~rn |2 |~r − ~rn |
• kontinuierliche Ladungsverteilung
˚
1
ρ(~r0 )
Φ=
dV 0
4πε0
|~r − ~r0 |
V
• Flächenladungsverteilung
¨
1
σ(~r0 )
Φ=
|dF 0 |
4πε0
|~r − ~r0 |
F
• Linienladungsverteilung
ˆ
1
λ(~r0 )
Φ=
|ds0 |
4πε0 |~r − ~r0 |
L
16
ρ
ε0
3.2 Beispiele zur Lösung der Laplace- und Poissongleichung
a) homogen geladene Platte in x-z-Ebene
Φ(x, y, z) = Φ(y)
σ = const
für y 6= 0 :
→
∆Φ = Φyy = 0
Φ = ay + b
y>0:
Φ+ = ay + b
y<0:
Φ− = ay + b
spiegelsymmetrisches Problem
→
a = −a b = b
~
E(y)
= −a sgn y ~ey
betrachten Flächenstück auf Platte, da σ = const kann dF → ∆F ;
jetzt Anwendung des Gaußschen Gesetzes:
"
~ dF~ = −a∆F − a∆F = −2a∆F
E
1
ε0
F
˚
ρ dV =
1
σ∆F
ε0
V
σ
2ε0
b unbestimmt
,→ a = −
Bsp. Plattenkondensator
σ
für zwei Platten mit +σ bzw. −σ
ε0
Felder überlagern (Superpositionsprinzip)
E =
b) homogen geladene Kugel mit Radius R Gesamtladung:
4
Q = ρ πR3
3
Potential:
Φ(~r) = Φ(| ~r |)
1 ∂
∆Φ(r) = 2
r ∂r
17
r
2 ∂Φ
∂r
=
 ρ

−

 ε
,r ≤ R



,r > R
0
0
r ≤ R:
1 ∂
ρ
2 ∂Φ
r
=−
2
r ∂r
∂r
ε0
´
3
dr
ρ
r
∂Φ
=−
+ C1
−−−→ r2
∂r
ε0 3
´
dr
ρ 2 C1
+ C2
−−−→ Φ = −
r −
6ε0
r
→
→
∂
ρ
2 ∂Φ
r
= − r2
∂r
∂r
ε0
∂Φ
ρ r
1
=−
+ C1 2
∂r
ε0 3
r
r > R:
→
´
1 ∂
2 ∂Φ
r
=0
r2 ∂r
∂r
∂Φ
D1
= 2
∂r
r
∂Φ
= D1
∂r
´
dr
D1
−−−→ Φ = −
+ D2
r
dr
−−−→ r2
Konstantenbestimmung:
wählen Φ = 0 für r → ∞
→
Φ = D2 = 0
für r = 0 muß Φ endlich sein, da keine Punktladung
!
→
C1 = 0
3 1 r 2
−
2 2 R
für r = R muß Φ stetig sein
→
−
ρ 2
D1
R + C2 = −
6ε0
R
~ stetig sein
für r = R muß E
→
→
ρ
D1
R=− 2
3ε0
R
1 ρ 2
C2 =
R
2 ε0
→
D1 =
−ρ 3
−Q
R =
3ε0
4πε0
r ≤ R:
Φ=−
1 ρ
ρ 2 1 ρ 2
r +
R =
6ε0
2 ε0
2 ε0
−
r > R:
Φ=
Q
4πε0 r
18
r2
+ R2
3
=
1 Q
4πε0 R
3.3 Die Dirac’sche Deltafunktion
betrachten Punktladung q bei ~r = ~0 → ρ(~r) = q δ(~r)

6 0

˚
0 ,| r |=
δ(~r) =
δ(~r) dV = 1


∞ ,| r | = 0
R3
δ(~r) = δ(x) δ(y) δ(z)
formal
1
r
∆
bei r = 0 differenzierbar
1
= −4πδ(~r)
r
betrachten
˚
V
"
1
r
bei Radius R
˚
1
1
∆ dV =
div grad dV =
r
r
V
1
1
grad dF = − 2 4πR2 = −4π
r
R
F
jetzt bei Radius → 0
˚
˚
˚
1
∆ dV =
−4πδ(~r) dV = −4π
δ(~r) dV
r
V
V
V
|
{z
}
1
Eigenschaften der Deltafunktion:
19
a)
δik =


1


fi =
, für i = k
0
, sonst
∞
X
δik fk
k=−∞
ˆ∞
ˆ∞
0
0
0
δ(x − x0 )f (x) dx
δ(x − x )f (x ) dx =
f (x) =
−∞
−∞
b)
δ(~r) = δ(x) δ(y) δ(z)
c)
ˆ∞
0
f (y)δ 0 (x − y) dy = f 0 (x)
δ (x) :
−∞
~ an Begrenzungen -etwas Potentialtheorie3.4 Verhalten von Φ, E
1
Φ(~r) =
4πε0
˚
ρ(~r0 )
dV 0
| ~r − ~r0 |
V
Problem: oft ρ nicht vorgegeben, sondern z.B:
• Φ auf Begrenzungen
~
• Normalkomponente von E
Bsp. Kondensator, im Inneren ladungsfrei
Potentialtheorie:
Durch Vorgabe von Φ oder der Normalableitung von Φ auf der Oberfläche eines Volumens, ist Φ im gesamten Volumen eindeutig
definiert.
Wenn Ladung im Volumen vorhanden ist, dann ist das Gesamtpotential gleich der
Summe der Einzelpotentiale:
˚
1
ρ(~r0 )
Φ =Φ̃ +
dV 0
| ~r − ~r0 |
↑ 4πε0
V
∆Φ = 0
20
~ oder Φ:
Einfluß von Begrenzungen auf E
~ 2n − E
~ 1n = σ
E
ε0
a)
Beweis:
"
~ dF~ = 1
E
ε0
˚
ρ dV =
Q
ε0
V
F
~ 2n ∆F~ − E
~ 1n ∆F~ = σ ∆F~
E
ε0
↑
nur Normalkomponente, da
~ 2t · ∆F~ = 0
E
~ im Inneren von Metall:
b) E
~ = ~0
E
,→ Oberfläche eines Metalls ist Äquipotentialfläche
Beweis:
~
~j = σ · E
↑
elektr. Leitfähigkeit
~ t im Inneren ~0 → E
~ t außen auch ~0
,→ E
,→ Feldlinien treffen senkrecht auf Metalloberfläche
c) Ladungen sitzen auf der Oberfläche eines Metalls
ρ
~
div
| {zE} = ε0
~ ~
0 für E=
0
d) hohler Metallkörper, im Inneren ladungsfrei:
~ = ~0 im Inneren
E
21
Beweis:
˛
˛
~ d~s = 0
E
1
2
~ d~s = 0
E
↓
da keine Potentialdifferenz auf Oberfläche
Feldfrei
Potentialtheorie:
∆Φ = 0
?
−−−−→
Φ(~r)
a) Methode der Spiegelladung
Metallplatte darf eingelegt
werden, ohne dass sich das
Feld ändert
Trick
−−−→
rotationssym. um z-Achse
b) Versuch durch Superposition von Lösungen Φn (~r)
X
Φ=
cn Φn (~r) : ∆Φ = 0
n
Bsp. Ladung in Metallkugel
∆Φ = 0
C
+D
r
Q2 = 4πR2 2 σ2
Φ=
Q1 = 4πR1 2 σ1
0 < r ≤ R1 :
Q
C1
+ D1
C1 =
r
4πε0
Q
1
1
Φ1 =
−
+ Φ0
4πε0 r
R1
Φ1 (R1) = Φ0 =
Φ1 =
~1 =
E
22
Q 1
~er
4πε0 r2
C1
+ D1
R1
R1 < r < R2 :
Φ2 = Φ0
r ≥ R2 :
Φ3 =
C3
+ D3
r
Φ3 = (Φ0 − D3 )
!
C3 = R2 (Φ0 − D3 )
Φ3 (R2 ) = Φ0
R2
+ D3
r
E3 = (Φ0 − D3 )
R2
~er
r2
Q2 = 4πε0 R2 Φ0
Metallkugel geerdet:
Φ0 = 0 Q2 = 0
Φ3 = 0 für r > R2
E3 = 0
Metallkugel isoliert:
Q1 + Q2 = 0
Q
Φ0 =
4πε0 R2
Q2 = −Q1 = Q
Q
Φ3 =
4πε0 r
3.5 Das Feld zweier Punktladungen, Multipole
q1 = ±q2
p
r = x2 + y 2 + z 2
1
q1
q2
Φ=
+
4πε0 r1
r2
p
p
x2 + y 2 + (z − d)2 = r2 + d2 − 2zd
p
p
r2 = x2 + y 2 + (z + d)2 = r2 + d2 + 2zd
r1 =
jetzt Φ für r d:
r
r1,2 =
p
r2 + d2 ∓ 2zd = r
1+
d2
d
∓ 2 cos ϑ
r2
r
.....................
|
{z
}
1
23
r→∞
D3 = 0
betrachten:
√
1
1
3
15
= 1 − x + x2 − x3 . . .
2
8
48
1+x
setzen:
ξ = cos ϑ
d
r
η=
r
1
=p
r1
1 .................
− 2ξη + η 2
| {z }
x
3
2 15
3
1
=1−
−2ξη + η 2 +
−2ξη + η 2 −
−2ξη + η 2 . . .
2
8
48
∞
X
1 3 2 2
n
=
η Pn (ξ) = |{z}
1 + ξ η + − + ξ η + ...
|{z}
2 2
n=0
P0
{z
}
|
P1
P2
P0 = 1 P1 = ξ
P2 =
3 2 1
ξ −
2
2
P3 =
5 3 3
ξ − ξ
2
2
Pn - Legendre - Polynome
Eigenschaften:
Pn (1) = 1
Pn (ξ) =
1
2n n!
n
dn
ξ2 − 1
n
dξ
Pn (−ξ) = (−1)n P (ξ)
betrachten q1 = q; q2 = ±q:
Φ=
n
∞ n
−d
1 q X d
Pn ±
Pn
4πε0 r n=0 r
r
jetzt q2 = −q:
Φ=
∞ 2n−1
1 2q X d
P2n−1
4πε0 r n=1 r
jetzt q2 = +q:
∞ 2n
1 2q X d
Φ=
P2n
4πε0 r n=0 r
24
allgemein:
1
Qn
Pn
4πε0 rn+1
∞
X
Φ=
Φn
Φ=
- Potential eines Multipols
- gesamtes Potential
n=0
1
4πε0
1
Φ1 =
4πε0
1
Φ2 =
4πε0
Q0
r
Q1
cos ϑ
r2
Q2 3
1
2
cos ϑ −
r3
2
2
Φ0 =
- Monopol
- Dipol
- Quadrupol
Φ3 =
...
- Oktopol
Φn =
...
- 2n − pol
Dipolanordnung:
(∗)
(∗)
z.B. CO2
Oktopolanordnung:
Quadrupolanordnungen:
1
Φ=
4πε0
Q1 = 2qd = p~
2qd2
2qd3
P
+
P3 + . . .
2
r3
r5
25
3.6 Multipolentwicklung für eine beliebige Ladungsverteilung
Φ=
1
4πε0
˚
ρ(~r0 )
dV 0
| ~r − ~r0 |
V
p
p
~r2 + ~r02 − 2 ~r ~r0 = r2 + r02 − 2 ~r ~r0
s
0
0 2
~r
~r
r
−2
=r 1+
r
r
r
(
" )
0 #
2
1
1
3
1
r0
~r
~r
2
1−
+ [. . .] . . .
=
−2
| ~r − ~r0 |
r
2
r
r
r
8
| ~r − ~r0 | =
1
=
r
(
"
# )
2
~r0
1 r0
3 (~er · ~r0 )2
1 + ~er + −
...
+
r
2 r
2
r2


˚
˚
˚


1
1
1
1
2
ρ(~r0 )dV 0 + 2
ρ(~r0 )(~er · ~r0 )dV 0 + 3
ρ(~r0 ) 3(~er · ~r0 )2 − r02 dV 0 . . .
Φ=

4πε0 r
r
2r
V
V
|V {z
}
Q0 =Q(0)
Φ=
3
P




Q0
1
+
4πε0 
r


i=1
(1)
xi Qi
r3
+
3 1
2 r5
3
X
(2)
Qik xi xk + . . .







i=1
k=1
wenn:
 
x1
~r = x2 
x3
dann:
und
 0
x1
~r0 = x02 
x03
˚
(1)
Qi
ρ(~r0 )x0i dV 0
=
V
˚
(2)
Qik =
1 02
2
2
x1 + x02 + x03 δik dV 0
ρ(~r0 ) x0i x0k −
3
V
Eigenschaften des Quadrupolmomentes:
26
• Tensor 2. Stufe
(2)
(2)
• symmetrisch Qik = Qki
• Spur Q(2) = 0
• Q(2) hat 5 unabhängige Elemente
Für jeden Tensor 2. Stufe existiert ein besonders angepasstes Koordinatensystem. Eines
in den der Tensor nur noch Diagonalelemente enthält. Dieses kann durch entsprechende
Rotationen (3 Freiheitsgrade) erzeugt werden:
 
 000 
x
x
y  → y 000 
z
z 000

,→
Q11
Q12
Q13
Q12
Q22
Q23

Q13

Q23
0 − Q11 − Q22
→

Q11
 0
0
0
Q22
0
0
0


0 − Q11 − Q22
3.7 Feld einer Metallkugel in einem angelegtem homogenen Feld
Ohne Metallkugel:
~ r) = E0~ez
E(~
Φ(~r) = −E0 z
Kugel mit Radius R0
und Mittelpunkt ~r = ~0
• Kugelpotential wird sich einstellen Φ(r ≤ R0 ) = 0
• E-Feld wird verbogen, Feldlinien treffen senkrecht auf Kugel
• Kugel ungeladen Q = 0
• Monopolmoment nicht vorhanden
27
Wählen Dipolansatz, da Ladungsschwerpunkte auf Kugeloberfläche verschoben werden:
 
0
1 p~ · ~r
0
p
~
=
Φ1 =
4πε0 r3
pz
pz z
1 p~ · ~r
= −E0 z +
Φ = −E0 z +
4πε0 r3
4πε0 r3
pz 1
KK
−−→ Φ = −E0 r cos ϑ +
cos ϑ
4πε0 r2
pz 1
= −E0 r +
cos ϑ
4πε0 r2
Randbedingung Φ = 0 für r = R0
pz 1
!
Φ(R0 ) = −E0 R0 +
cos ϑ = 0
4πε0 R0 2
|
{z
}
!
,→
pz = 4πε0 E0 R0
=0
3
Erzeugung eines präzisen Dipolfeldes, da Randbedingung exakt erfüllt
3.8 Energie einer Ladungsverteilung
ˆ
F~ d~r
W =
q1 bei ~r1 = ~0 dann q2 nach ~r2
L
ˆ
~ 1 (~r0 ) d~r0
q2 E
2
2
W =
L
L : ∞ → ~r2
ˆ
W =−
L
q2 grad Φ1 (~r20 ) d~r20 = −q2 [Φ1 (∞) − Φ1 (~r2 )] = q2 Φ1 (~r2 )
↑
Φ1 (∞) = 0
28
Ladung
von ∞ nach erforderliche Arbeit
1
~r1
2
~r2
3
~r3
..
.
..
.
1
q1
q2
4πε0 | ~r1 − ~r2 |
1
q1
q2
W3 =
q3 +
q3
4πε0 | ~r1 − ~r3 |
| ~r2 − ~r3 |
..
.
N
~rN
WN =
0
W2 =
−1
1 NP
qn
qN
4πε0 n=1 | ~rn − ~rN |
gesamte Arbeit:
W =
N
X
Wm =
m=1
N m−1
X
X
m=1 n=1
qm qn
1
4πε0 | ~rm − ~rn |
N
N
1 X X 1
qm qn
W =
2 m=1 n=1 4πε0 | ~rm − ~rn |
m6=n
Potential von Punktladungen, die momentan betrachtete aber ausgenommen:
Φ̃(~rm ) =
N
X
n=1
m6=n
1
qn
4πε0 | ~rm − ~rn |
→ W =
jetzt kontinuierliche Ladungsverteilung:
˚
1
ρ(~r0 )
Φ̃(~rm ) =
dV 0 = Φ(~r)
4πε0
| ~r − ~r0 |
N
X
1
qm Φ̃(~rm )
2
m=1
1
W =
2
˚
(~
r 6=~
r0 )
1
W = − ε0
2
~ = −ε0 ∆Φ(~r)
ρ(~r) = ε0 div E
2
~ ~ − E
Φ(~r) ∆Φ(~r) = div (Φgrad Φ) − (grad Φ)2 = −div (ΦE)
˚
˚ 2
ε0
~
~ dV + ε0
,→ W =
div (ΦE)
E dV
2
2
betrachten Kugel mit Radius R:
˚
"
~
~ dF~
div (ΦE) dV =
ΦE
VK
FK
29
Φ(~r) ρ(~r) dV
˚
Φ(~r) ∆Φ(~r) dV
wenn R Ausdehnung der Ladungsverteilung:
Φ∼
,→
W =
ε0
2
2
1
~
E ∼ 2
r
1
r
˚ 2
~
E dV
Gesamtenergie
R3
w=
,→
ε0 ~ 2
E 2
˚
lokale Energiedichte
w dV ≥ 0
W =
R3
30
4 Das von stationären Strömen erzeugte magnetische
Feld
~
4.1 Vektorpotential (A)
•
"
~ = 0;
div B
~ F~ = 0
Bd
~
~ = µ0~j + µ0 0 ∂ E ;
rot B
∂t
~
∂E
statisch:
=0
∂t ¨
˛
~ r = µ0
~jdF~ = µ0 I
Bd~
~ = µ0~j;
⇒ rot B
• I=Strom
• j=Stromdichte
• Einfache Fälle:
˛
ˆ
~
Bd~r = Bt (~r) |d~r| = µ0 I
L
L
– Wahl von L so, dass Integrant konstant
– t=Tangentialkomponente
• Beispiel: unendlich langer, dünner, stromdurchflossener Draht
B(~r) = B(ρ, ϕ) = Bρ e~ϕ
˛
~ r = Bϕ 2πρ = µ0 I
Bd~
B(ρ, ϕ) =
µ0 I
e~ϕ
2πρ
~ = 0; B
~ = rot A
~
A) div B
~ = µ0~j; rot rot A
~ = µ0~j
B) rot B
~ = grad (div A)
~ − ∆A
~
rot rot A
rot grad Φ = 0; (Φ = beliebiges Skalarfeld)
~ 0 := A
~ + grad Φ
A
~ 0 = rot A
~
rot A
31
• Coulombeichung: div grad Φ = ∆Φ = 0
~ = −rot rot A
~ = −µ0~j
⇒ ∆A
∆Ax = −µ0 jx ;
(∆Φ = −
1
(Φ(~r) =
4π0
∆Ay = −µ0 jy ;
˚
ρ
)
0
ρ(~r0 )
dV 0 )
|~r − ~r0 |
∆Az = −µ0 jz
˚
µ0
jx (~r0 )
Ax (~r) =
dV 0 (analog zu x und y)
4π
|~r − ~r0 |
˚
j(~r0 )
~ r) = µ0
dV 0
A(~
4π
|~r − ~r0 |
• Bei langen Drähten:
ˆ
Id~r0
~ r) = µ0
A(~
4π
|~r − ~r0 |
L
˚
µ0
j(~r0 )
0
~
~
B = rot A =
rot
)dV
4π
|~r − ~r0 |
• x-Komponente:
rot
j(~r0 )
|~r − ~r0 |
jz (~r0 )
∂
jy (~r0 )
−
|~r − ~r0 |
∂z |~r − ~r0 |
x
∂
1
1
0 ∂
= jz (~r0 )
−
j
(~
r
)
y
∂y |~r − ~r0 |
∂z |~r − ~r0 |
− 1
∂
1
∂ =
(y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 + (x − x0 )2 2
0
∂y |~r − ~r |
∂y
jz (~r0 )(~r0 − ~r)y − jy (~r0 )(~r0 − ~r)z
=
3
|~r − ~r0 |
(~r0 − ~r) × ~j(~r0 ) =
3
|~r − ~r0 |
∂
=
∂y
x
• Biot-Savart’sches Gesetz:
˚
(~r0 − ~r) × ~j(~r0 ) 0
~ = µ0
B
dV
3
4π
|~r0 − ~r|
32
• Spezialfall: dünner Leiter
ˆ
(~r0 − ~r) × Id~r0
~ → µ0
B
3
4π
|~r0 − ~r|
L
4.2 Beispiele für das Vektorpotential
a) homogenes B-Feld in z-Richtung
~ = (0; 0; B)
B
~ = (0, xB; 0)
I) A
~ = (−yB; 0; 0)
II) A





~=0
div A



~ = (−y B ; x B ; 0)
III) A
2
2
b) langer, stromdurchflossener Draht
– z-Achse längs des Drahtes
1 ∂ ∂
1 ∂2
∂2
ρ
+ 2
+
)Aρ (ρ, ϕ, z) = 0
ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ2
∂z 2
1 ∂ ∂
1 ∂2
∂2
II) ∆Aϕ (ρ, ϕ, z) = (
ρ
+ 2
+
)Aϕ (ρ, ϕ, z) = 0
ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ2
∂z 2
1 ∂ ∂
1 ∂2
∂2
III) ∆Az (ρ, ϕ, z) = (
ρ
+ 2
+
)Az (ρ, ϕ, z) = 0
ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ2
∂z 2
I) ∆Aρ (ρ, ϕ, z) = (
⇒ I, II, III gültig für ρ = 0
~ kann keine z-Komponente haben; B
~ = rot A;
~ Az 6= 0
– B
~ ist rotationssymmetrisch um die z-Achse
– B
~=0
– div A
– Ansatz:
33
~ = (0; 0; Az )
A
1 ∂ ∂Az
ρ
= 0; Az = α ln ρ + β
ρ ∂ρ ∂ρ
~ = rot A
~ = −α 1 ~eϕ
B
ρ
˛
α
~ r = − 2πρ = µ0 I ⇒ α = − µ0 I
Bd~
ρ
2π
L
~ = µ0 I 1 ~eϕ
~ = − µ0 I ln ρ~ez ; B
A
2π
2π ρ
c) stromdurchflossene rechteckige Schleife
~ = −µ0~j
∆A
∆Ax = −µ0~jx
– Dipolmoment: (elektrostatisch)
px = pz = 0
py = −bQ+ + bQ− = −2bQ+ = −2a2bλ+
– Dipolmoment der x-Komponente des Vektorpotentials:
mx,y = −2a2bI (magnetisches Drehmoment)
34
∆Ay = −µ0 jy
px = aQ+ − aQ− = 2a2bλ+
– Dipolmoment der y-Komponente des Vektorpotentials:
my,x = 2a2bI
∆Az = −µ0 jz = 0
– Wähle Az = 0, sonst konstant und linear abhängig
– Dipolnäherung:
µ0 −4abIy
4π r3
µ0 4abIx
Ay =
4π r3
Az = 0
~ × ~r
~ = µ0 m
⇒ A
; m
~ = 4abI~ez
4π r3
~ = rot A
~
B
∂Az
∂Ay
µ0 3mz zx
⇒ Bx =
−
=
∂y
∂z
4π r5
∂Ax
∂Az
µ0 3mz zy
⇒ By =
−
=
5
∂z
∂x
4π r
3z 2
∂Ax
µ0
∂Ay
1
−
=
mz − 3 + 5
⇒ Bz =
∂x
∂y
4π
r
r
~ · ~r)~r − r2 m
~
~ = µ0 3(m
B
5
4π
r
Ax =
35
5 Zeitlich veränderliche elektromagnetische Felder
• Beschränkung auf Raumbereiche mit ρ(~r) = 0; ~j(~r) = 0
~ =0
div E
~ =0
div B
~
~ = − ∂B
rot E
∂t
~
~ = 0 µ0 ∂ E
rot B
∂t
2~
~ + grad div E
~ = −∆E
~
~ = − ∂ rot B
~ = −0 µ0 ∂ E = −∆E
⇒ rot rot E
∂t
∂t2
2~
2~
~ = 0 µ0 ∂ E = 1 ∂ E ; c = √ 1
⇒ ∆E
∂t2
c2 ∂t2
0 µ0
2~
~ = 1 ∂ B
⇒ ∆B
2
c ∂t2
∂ 2 Ψ(z, t)
1 ∂ 2 Ψ(z, t)
1 ∂ 2 Ψ(z, t)
=⇒
=
c2
∂t2
∂z 2
c2
∂t2
• allgemeine Lösung:
∆Ψ(z, t) =
Ψ(z, t) = f + (z − ct) + f − (z + ct); f (u) = f (z ∓ ct)
• Spezialfall: monochromatische, ebene Welle, die sich in positiver z-Richtung ausbreitet:
n
o
Ψ(z, t) = f + (z − ct) = cos(kz − ωt) = Re ei(kz−ωt)
2π
ω
= = k (Wellenzahl)
λ
c
• dreidimensionale, ebene harmonische Welle, die sich in Richtung des Wellenzahlvektors ~k ausbreitet:
n
o
~
Ψ(r, t) = cos(~k~r − ωt) = Re ei(k~r−ωt)
• Ebene harmonische Welle, die sich in z-Richtung ausbreitet:
~ r, t) = E(z
~ − ct)
E(~
~ r, t) = B(z
~ − ct)
B(~
~ = ∂Ex + ∂Ey + ∂Ez = ∂Ez (z − ct) = 0
div E
∂x
∂y
∂z
∂z
0
⇒ Ez (~r, t) = const. = Ez
~ =0
div B
⇒ Bz (~r, t) = const. = Bz0
36
• In Ausbreitungsrichtung besitzt weder das E-Feld noch das B-Feld eine zeitlich
variierende Komponente
~
~ = − ∂B
rot E
∂t
∂Ez
∂Ey
∂Bx
−
=−
∂y
∂z
∂t
∂Ey
∂Bx
=
∂z
∂t
⇒
∂Ex
∂Ez
∂By
−
=−
∂z
∂x
∂t
∂Ey
∂Ex
∂Bz
−
=−
∂x
∂y
∂t
∂Ex
∂By
=−
∂z
∂t
∂Ey
∂Ex
−
= 0 (uninteressant)
∂x
∂y
⇒
⇒
~
~ = 1 ∂E
rot B
2
c ∂t
∂By
1 ∂Ex
=− 2
∂z
c ∂t
∂Bx
1 ∂Ey
= 2
∂z
c ∂t
0 = 0 (uninteressant)
∂Ey
∂z
∂Ex
∂z
∂By
∂z
∂Bx
∂z
∂Bx
∂t
∂By
=−
∂t
1 ∂Ex
=− 2
c ∂t
1 ∂Ey
= 2
c ∂t
=
⇒
⇒
⇒
⇒
∂Ey (u)
∂u
∂Ex (u)
∂u
∂By (u)
∂u
∂Bx (u)
∂u
∂Bx
∂u
∂By
=c
∂u
1 ∂Ex
=
c ∂u
1 ∂Ey
=−
c ∂u
= −c
u = z − ct
(überflüssig)
(überflüssig)
∂Ey
∂Bx
= −c
∂u
∂u
∂By
∂Ex
=c
∂u
∂u
kEy (u) = −cBx (u) + const.
(const. = Ey0 )
kEx (u) = cBy (u) + const.
(const. = Ex0 )
37
~
• z.B.: Ekx-Achse
⇒ Ey = 0 = Ez ; Bx = 0 = Bz ; Ex (z − ct) = cBy (z − ct)
~ B)
~
• ⇒ Elektromagnetische Wellen sind Transversalwellen (E⊥
• ebene, monochromatische Wellen, die sich in z-Richtung ausbreiten:
0 = Ex = Ez = Bz = By
o
n
Ey (~r, t) = E0 cos(kz − ωt) = E0 Re ei(kz−ωt)
1
Bx (~r, t) = − E0 cos(kz − ωt)
c
1
~ = µ0 H
~ (im Vakuum)
c= √
; B
0 µ0
• Energiedichte:
1
1
0 E 2 + µ0 H 2
2
2
1
1
µ0 H 2 =
E2
B2 =
µ0
µ0 c2
= 0 E 2
w(~r, t) =
⇒ µ0 H 2 = 0 E 2
1
1
⇒ w(~r, t) = 0 E 2 + µ0 H 2 = 0 E 2
2
2
1
w(~r, t) = 0 E02 cos2 (kz − ωt) = 0 E02 [cos(0) + cos(2(kz − ωt))]
2
1
• zeitlicher Mittelwert: < w(~r, t) >= 0 E 2
2
~
• Energiestromdichte: S
2
~=E
~ ×H
~ = E0 cos2 (kz − ωt)~ez
S
cµ0
1
c
0 µ0
= cw(~r, t)~ez ;
= 2 =c
= 0 c
cµ0
c µ0
µ0
1
1 ~
S = w(~r, t)~ez
c2
c
p2
– klassisches Teilchen: Ekin =
2m
– relativistisches Teilchen:
p
E = (m0 c2 )2 + (cp)2 ;
• Impulsdichte: p~(~r, t) =
für m0 → 0 : E → cp
38
6 Quanten
6.1 Einordnung der Quantenmechanik
• c → Relativitätstheorie
• Energie in Portionen“ → Quantenmechanik
”
h
• Planck-Konstante: h, beziehungsweise ~ = 2π
(~ω = hν)
klassische Mechanik
~ → 0; c → ∞
Quantenmechanik
klassische Elektrodynamik
relativistische Mechanik
~ → 0; c 6= ∞
~ 6= 0; c → ∞
relativistische Quantenmechanik
Quantenfeldtheorie
~ 6= 0; c 6= ∞
6.2 Beispiele für Quanteneffekte
1. Strahlung schwarzer Körper
2. der photoelektrische Effekt
3. Compton Effekt
4. Emissionsspektrum von Atomen
1. Strahlung schwarzer Körper
• Spektrales Emissionsvermögen: Es (ω, T ) (von Einheitsfläche abgestrahlte
Energie in Frequenzintervall [ω, ω + dω])
• klassische Theorie: Es (ω, T ) =
tastrophe!
ω2
4πc2 kT
39
J
(k = 1.38 · 10−23 K
), Ultraviolettka-
• Planck: Strahlungsenergie bei einer bestimmten Frequenz ω kann nur in
Paketen (Quanten) ausgetauscht werden:
E = n~ω; ~ = 1.054 · 10−34 Js
1
~ω 3
~ω
4πc2 e kT
−1
~ω
=1+
+ ···
kT
~ω
≈1+
(einsetzen → klassische Beziehung)
kT
Es (~, ω) =
~ω
e kT
~ω
e kT
2. der photoelektrische Effekt
• 1887, Hertz (Karlsruhe)
1) Für ω < ω0 : I = 0; ω0 (kathodenmetall)
2) Gegenspannung U für die I = 0 wird:
– Us =
~(ω−ω0 )
e
– I > 0 für eUs < Ekin
3) Licht mit bestimmten ω; I ∝ Intensität des Lichtes
•
E = ~ω
p~ = ~~k
p
|~
p| c = E 2 − (mc2 )2 → relativistische Energie-Impulsbeziehung
⇒ für m → 0 : E = ~ω = |~
p| c
~
⇒ |~
p| = ω = ~ ~k c
ω ~ ⇒
= k c
3. Compton Effekt
40
• Streuung von Licht an Elektronen
• ωs (gestreutes Licht) < ω (einfallendes Licht)
4. Emissionsspektrum von Atomen
• scharfe Linie im Emissionsspektrum
• Wasserstoff:
1
λ
= const.; ( n12 −
1
1
);
n22
n1 , n2 ∈ N; n1 < n2
• Bohrsches Atommodell:
– nur Elektronenbahnen mit Drehimpuls n~; n ∈ N0
– Kreisbahnen: mvr = n~; v = Bahngeschwindigkeit
– auf diesen Bahnen Bewegung strahlungsfrei
– Elektron kann von Bahn der Energie E auf Bahn mit Energie E 0 wechseln (E − E 0 = ~ω)
– Kreisbahnen im Coulomb-Zentralfeld
mv 2
1
1
1
1 ze2
+
= 0; Iω 2 = r2 mω 2 = mv 2
4π0 r2
r
2
2
2
2
ze 1
⇒ v2 =
mr 4π0
⇒ mvr = n~
−
n2 ~2
4π0
ze2 m
1
ze2 1
⇒ E = mv 2 −
2
r 4π0
2
1 ze
1
ze2 1
1 ze2 1
E= m
−
=−
2
r m4π0
r 4π0
2 r 4π0
2
2 4
2
1 ze ze m 1
1
1z e m
E=−
=−
2 4π0 n2 ~2 4π0
2 n2 ~2 (4π0 )2
1 (ze2 )2 m
1
E(n = 1) = −
2
~2
(4π0 )2
1 (ze2 )2 m 1
1
1
⇒ ∆E = −
−
2
~2
n21
n22 (4π0 )2
⇒r=
41
7 Dualismus Welle-Teilchen
7.1 Doppelspalt
2
2
2
• Interferenz: I (Intensität) ∝ |Φ| 6= |Φ1 | + |Φ2 | ; (Φ = Φ1 + Φ2 )
• kleine Lichtintensitäten (immer nur ein Photon im Experiment)
– für kurze Belichtungszeiten: ein lokaler Fleck auf dem Schirm (Teilchenspalt)
– für lange Belichtungszeiten: Interferenzmuster (Wellenspalt)
7.2 Spektralzerlegung und Fouriertransformation
~ r, t) = E0~ep ei(~k~r−ωt) ; ~ep : Einheitsvektor der linearen Polarisation
• E(~
• ~e2p = 1; ~ep~k = 0
• Energiestromdichte: I = I0 cos2 Θ
• Einzelnes Photon:
– Photon passiert den Analysator, oder
– Photon wird absorbiert
– ⇒ Durchgangswahrscheinlichkeit: cos2 Θ
• Interpretation:
42
– eine Messung ergibt nur bestimmte Resultate (Durchgang oder Absorption):
Eigenwerte
– zu den Messresultaten gehören zwei Eigenvektoren ~ep = ~ex und ~ep = ~ey
– ein beliebiger Vektor ~ep = ~ex cos Θ + ~ey sin Θ
– Quadrat der Koeffizienten gibt die Wahrscheinlichkeit für Durchgang (cos2 Θ)
oder Absorption (sin2 Θ)
– Polarisationsrichtung nach Messung: ~ex
• Fouriertransformation
1
f (x, t = 0) =
2π
ˆ∞
F (k)eikx dk
−∞
wenn f (x, t = 0) gegeben:
ˆ∞
0
0
f (x, t = 0)e−ik x dx
F (k ) =
−∞

ˆ∞
0
1

F (k)eikx dk  e−ik x dx
=
2π
−∞
−∞
 ∞

∞
ˆ
ˆ
0
1 
=
F (k)ei(k−k )x dx dk
2π
−∞
−∞
 ∞

ˆ∞
ˆ
0
1
F (k) 
=
ei(k−k )x dx dk
2π
−∞
−∞
{z
}
|
ˆ∞

=2πδ(k−k0 )
ˆ∞
F (k 0 ) =
F (k)δ(k − k 0 )dk
−∞
• f (x) ◦—–• F (k)
– Ausdehnung im Ortsraum: ∆x =
43
2π
a
– Breite der Verteilung: ∆k = 2a
– ∆x∆k =
2π
a 2a
= 4π
44
8 Materiewellen und Schrödingergleichung
• 1923 de Broglie: Hypothese der Materiewelle
• 1927 Darvisson, Germer: Interferenz von Elektronenstrahlen
8.1 Realisierung des Konzeptes der Materiewellen
1. Das Teilchen wird durch Wellenfunktion Ψ(~r, t) beschrieben
2
2. |Ψ(~r, t)| wird als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert
2
• ρ(~r, t) = |Ψ(~r, t)| ; ρ(~r, t)dxdydz
→ Wahrscheinlichkeit, dass Teilchen in Volumen dxdydz um den Ort ~r zu
Zeitpunkt t zu finden
´∞ ´∞ ´∞
•
ρ(~r, t)dxdydz = 1
−∞ −∞ −∞
3. Messung einer beliebigen Größe; es soll Spektralzerlegung“ gelten
”
• Eigenfunktion Ψn (~r) mit Eigenwert an
• wenn Ψ(~r, t0 ) = Ψn (~r) dann liefert Messung den Eigenwert an
P
• Ψ(~r, t0 ) = cn Ψn (~r) (Spektralzerlegung)
n
2
→ Messung liefert bestimmten Wert aj mit Wahrscheinlichkeit |cj |
• Nach der Messung: Wenn Messergebnis aj dann Wellenfunktion nach Messung: Ψj (~r) (Reduktion der Wellenfunktion)
4.
• Zeitliche Entwicklung des Systems wird durch Schrödingergleichung beschrieben
~
Ψ(~r, t) = Ψ0 ei(k~r−ωt) ;
p~2
= E = ~ω; p~ = ~~k
2m
∂
Ψ(~r, t) = −iωΨ(~r, t)
∂t
∂
p~2
~2~k 2
→ i~ Ψ(~r, t) = ~ωΨ(~r, t) =
Ψ(~r, t) =
Ψ(~r, t)
∂t
2m
2m
∂
~2
→ i~ Ψ(~r, t) = −
∆Ψ(~r, t)
∂t
2m
⇒ Schrödingergleichung für ein freies Teilchen
45
• Verallgemeinerung: Teilchen in Potential V (~r)
p~2
+ V (~r) = ~ω
2m
∂
~2
→ i~ Ψ(~r, t) = −
∆ + V (~r) Ψ(~r, t)
∂t
2m
{z
}
|
→ E=
Ĥ: Hamilton-Operator
∂
→ i~ Ψ(~r, t) = ĤΨ(~r, t)
∂t
8.2 Teilchen als Wellenpakete
~
• Ebene Welle: Ψ(~r, t) = Ψ0 ei(k~r−ωt) ; ω =
• Superpositionsprinzip: Φ(~r, t) =
´
~k2
2m ;
~
~k =
p
~
~
~
dk
f (~k)ei(k~r−ωt) (2π)
3
• Phasen- und Gruppengeschwindigkeit:
~vp =
ω(~k)
2
k2 =
~~k
2m
|k|
p~
=
2m
∂
∂
∂
~
~~k
~vg = (
;
;
)ω(~k) = ∇~k ω(~k) = (kx , ky , kz ) =
∂kx ∂ky ∂kz
m
m
p~
=
m
8.3 Heisenbergsche Unschärferelation
• Ebene Welle: keinerlei räumliche Lokalisierung aber sehr starke Lokalisierung des
Impulses (~
p = ~~k)
• ∆k∆x > 1
• ∆p∆x > ~≥
~
2
8.4 Zustand, Größe, Wert einer Größe
• Physikalische Größe G“ (Observable) drückt quantitative Beziehung zwischen
”
verschiedenen physikalischen Systemen aus
→ Beispiel: Energie, Impuls, Drehimpuls
• Naturvorgänge sind Übergänge zwischen Zuständen
→ stetig ablaufende Vorgänge (unendliche Folge inkrementaler Schritte): Prozesse
46
• Zustände: im allgemeinen nicht direkt beobachtbar
• der einer Observablen G“ zugeordnete Messwert W (G, Z) =< G > ist eine Zahl;
”
(Z=Zustand)
• in einem Zustand hat jede Observable einen festen Wert
• Prozessgröße: nicht dem Zustand zugeordnet, sondern einem Prozess als Ganzem
(Beispiel: Wärme, Arbeit)
• Rolle der Zeit:
– Observablen haben in jedem Zustand einen bestimmten Wert
– Umgekehrt: das System befindet sich zu jedem Zeitpunkt in einem Zustand
– Zeit dient der Anordnung von Zuständen
• Messung physikalischer Größen:
– Einzelmessung: Ablesen eines Zahlenwerts von einem Messinstrument für
die Größe G“
”
– Eigenwert von G“: mögliche Zahlenwerte bei einer Einzelmessung (an einem
”
bestimmten System)
– Spektrum von G“: Menge aller Einzelwerte
”
– Messung: Wiederholung von Einzelmessungen an einem Ensemble (von gleichen und im gleichen Zustand befindlichen) Systemen)
– nur eine Einzelmessung pro System
• Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion w(G, Z)
• Observable und deren Werte
– ~r-Wahrscheinlichkeitsdichte: w(~r, t) = |Ψ(~r, t)|
– Funktion G(~r):
2
´
∗ Wert
G(~r): W (G, Ψ) = w(~r, t)G(~r)d~r
´ von
= Ψ∗ (~r, t)G(~r)Ψ(~r, t)d~r (W=Mittelwert)
´
2
∗ |Ψ(~r, t)| d~r = 1
47
– Erhaltung der Wahrscheinlichkeit:
∗ ∂ w(~r, t) + div ~jw (~r, t) = 0 (~jw =Wahrscheinlichkeitsstromdichte)
∂t
– Impulsabhängige Größen (zum Beispiel: p~ selbst):
~ ~k = −i∇
~
p~ = ~~k; i~k = ∇;
ˆ
~
W (~
p, Ψ) = Ψ∗ (~r, t)(−i~∇)Ψ(~
r, t)d~r
G(~
p, ~r, . . . ) = Funktion des Impulses
ˆ
~ ~r)Ψ(~r, t)d~r
W (G(~
p, ~r), Ψ) = Ψ∗ (~r, t)Ĝ(~
p = −i~∇,
~
p
~=−i~∇
(G(~
p, ~r) −−−−−→ Ĝ(~
p, ~r))
Größe
Ort
Impuls
– Drehimpuls
Energie
klassische Mechanik
~r
p~
~ = ~r × p~
L
p~2
H=
+ V (~r)
2m | {z }
|{z}
Wellenmechanik
~r = ~rˆ = (x̂, ŷ, ẑ)
~ = (p̂x , p̂y , p̂z )
p~ˆ = −i~∇
~ˆ = ~rˆ × p~ˆ = −i~(~r × ∇)
L
G(~
p, ~r, t)
~ ~r, t)
Ĝ(p~ˆ, ~rˆ, t) = Ĝ(−i~∇,
Ekin
beliebige Größe
2~ 2
∇
Ĥ = − ~2m
+ V (~r)
Epot
• Reihenfolge von Operatoren im allgemeinem nicht vertauschbar
h
i
• ÂB̂ − B̂ Â = Â, B̂
h
i
• Â, B̂ = Kommutator
• ÂB̂ = kurze Schreibweise für:
´
Ψ∗ ÂB̂Ψd~r
[x̂, ŷ] = x̂ŷ − ŷx̂ = xy − yx = 0
∂
∂
∂
∂
[p̂x , p̂y ] = p̂x p̂y − p̂y p̂x = −i~ (−i~ ) − (−i~) (−i~)
=0
∂x
∂y
∂y
∂x
∂
∂
[x̂, p̂y ] = x̂p̂y − p̂y x̂ = x(−i~ ) − (−i~ )x = 0
∂y
∂y
∂
∂
∂
∂
[x̂, p̂x ] = x̂p̂x − p̂x x̂ = x(−i~ ) − (−i~ )x = −i~x
+ i~(1 + x )
∂x
∂x
∂x
∂x
= i~
48
8.5 Zeitunabhängige Schrödingergleichung
• Beschreibung stationärer Zustände
– Werte aller Observablen zeitlich konstant
– Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(~r, t) = ρ(~r) = |Ψ(~r, t)|
2
– nur Phase von Ψ(~r, t) zeitabhängig
– Ψn (~r, t) = Ψn (~r)e−iωn t = Ψn (~r)e−i
En
~
t
• Schrödingergleichung:
∂
~2
∆ + V (~r) Ψn (~r, t) = i~ Ψn (~r, t)
−
2m
∂t
~2
∂
−
∆ + V (~r) Ψn (~r)e−iωn t = i~ Ψn (~r)e−iωn t
2m
∂t
= i~Ψn (~r)(−iωn )eiωn t = En Ψn (~r)e−iωn t
~2
−
∆ + V (~r) Ψn (~r) = En Ψn (~r)
2m
ĤΨn (~r) = En Ψn (~r)
8.6 Stufenpotential
•
V (x) = V0 Θ(x − x0 )
2
−
~ ∂2
Ψ = [E − V0 Θ(x − x0 )] Ψ
2m |∂x{z2 }
Ψ00
49
Integration der Schrödingergleichung
xˆ0 +ε
~2
−
2m
Ψ00 (x)dx = −
~2
[Ψ0 (x0 + ε) − Ψ0 (x0 − ε)]
2m
x0 −ε
xˆ0 +ε
[E − V0 Θ(x − x0 )] Ψ(x)dx
=
x0 −ε
xˆ0 +ε
xˆ0 +ε
Ψ(x)dx −
=E
x0 −ε
V0 Θ(x − x0 )Ψ(x)dx
x0 −ε
Quadratintegrabilität: |Ψ(x)| < K,
K ∈ reelle Zahlen
x +ε
ˆ0
ε→0
Ψ(x)dx ≤ |E| K2ε → 0
0 ≤ E
x0 −ε
x +ε
x +ε
ˆ0
ˆ0
ε→0
0 ≤ V0
Θ(x − x0 )Ψ(x)dx = V0
Ψ(x)dx < |V0 | Kε → 0 für V0 endlich
x0 −ε
0
x0
0
ε→0
Ψ (x0 + ε) − Ψ (x0 − ε) → 0
⇒ Ψ0 (x0 ) ist stetig
⇒ Ψ(x0 ) ist stetig und differenzierbar (aus weiterer Integration)
• stationäre ebene Welle, die in positiver x-Richtung läuft, konstantes Potential V0
Ψ(x) = Ψ0 eikx
~2 ∂ 2
−
+
V
0 Ψ(x) = EΨ(x)
2m ∂x2
~2
~2 ∂ 2
2
ikx
ikx
+
V
(ik)
+
V
Ψ
e
=
−
= EΨ0 eikx
−
0
0 Ψ0 e
0
2m ∂x2
2m
1p
~2 2
k = E − V0 ; k =
2m(E − Vo ); E − V0 = Ekin
2m
~
E > V0 : k ist reell
E < V0 : k ist rein imaginär
1p
2m(V0 − E)
k = iχ; χ =
~
• allgemein
Ψ(x) = Ψ0+ eikx + Ψ0− e−ikx (1-dimensional: V0 konstant)
50
• Annahme
– Teilchen läuft von links kommend auf Potentialstufe zu; Wahl von x0 = 0
• Ansatz
1√
−x
2mE
x < 0 : Ψ− (x) = e|ik{z− x} + |Re−ik
;
k
=
−
{z }
~
einfallend
x > 0 : Ψ+ (x) =
reflektiert
1p
T
e
;
k
=
2m(E − V0 )
+
| {z }
~
ik+ x
transmittiert
Ψ(x) = Ψ− (x)Θ(−x) + Ψ+ (x)Θ(x)
(
0 für x < 0,
Θ(x) =
1 für x ≥ 0
Ψ0− (x) = ik− eik− x − ik− Re−ik− x
Ψ0+ (x) = ik+ T eik+ x
• Stetigkeitsbedingungen
Ψ− (0) = Ψ+ (0); 1 + R = T
Ψ0− (0) = Ψ0+ (0); k− (1 − R) = k+ T
k− (1 − R) = k+ T = k+ (1 + R)
k− − k− R = k+ + k+ R
k− − k+ = k− R + k+ R
k− − k+
R=
k− + k+
2k−
T =1+R=
k− + k+
• Reflexionswahrscheinlichkeit
k− − k+ 2
2
PR = |R| = k− + k+ • Transmissionswahrscheinlichkeit
P T = 1 − PR
51
−iχ+ 2
a) E < V0 : k+ = iχ+ ; PR = kk−
= 1; PT = 0
− +iχ+
Ψ+ (x) = T ei(iχ+ )x = T e−χ+ x
b) E > V0 : k− , k+ : reell; PR > 0 für V0 6= 0
k− − k+ 2 k− + k+ 2 k− − k+ 2
=
−
PT = 1 − PR = 1 − k− + k+ k− + k+ k− + k+ 2k− 2 k+
4k− k+
2 k+
=
=
2
k− + k+ k− = T k−
|k− + k+ |
Tunneleffekt
• für χ2a >> 1; Vereinfachung: B = 0
√
2a
• T = e−χ2a = e− ~ 2m(V0 −E)
√
4a
2
• PT = |T | = e− ~ 2m(V0 −E)
• optisches Analogon:
52
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Skript (ver. 2016-01-27) - EAH-Jena