Der Satz des Pythagoras
PYTHAGORAS
570 v. Chr. wurde Pythagoras auf der ionischen
Insel Samos geboren.
Als 20-jähriger ging er in Milet bei Thales und
Anaximander in die Lehre, das waren damals echte
Profis in der Philosophie und Mathematik.
Später lernte er auch bei ägyptischen Priestern und
soll sogar bis nach Babylon gereist sein, um seine
Neugierde zu stillen.
Mit etwa 40 Jahren kehrte er nach Samos zurück.
Pythagoras starb um 500 v. Chr.
Sein ganzes Lebens lang
galt sein Interesse vor
allem der Mathematik, und
hier hatte er den Ägyptern
etwas ganz Besonderes
abgeschaut.
1
Der Satz des Pythagoras
Feldvermessung bei den Ägyptern
Die Felder Ägyptens wurden jedes Jahr vom Nil
überschwemmt und mussten neu ausgemessen
werden. Die Leute dort benutzten dazu eine
geschlossene Schnur mit 12 Knoten, die dadurch
in 12 gleich lange Strecken unterteilt war.
So wie diese hier:
Rechter Winkel = 90 Grad
Wenn sie eine solche Schnur zu einem Dreieck mit den
Seitenlängen 3, 4 und 5 spannten, erhielten sie einen rechten
Winkel mit 90 Grad, denn es entstand ein
rechtwinkliges Dreieck.
Ein erstaunlicher Trick, aber er funktioniert immer!
Den rechten Winkel
brauchten sie für
die Feldvermessung.
2
Der Satz des Pythagoras
Überlegungen des Pythagoras 1
Als begeisterter Mathematiker war Pythagoras ein Zahlenfreund und die Zahlen 3, 4 und 5
ließen ihn nicht mehr los. Computerspiele gab es noch nicht, also spielte er mit den Zahlen.
In einer schlaflosen Nacht multiplizierte er sie einmal mit sich selbst und spielte dann mit den
Ergebnissen weiter. Das sah dann so aus:
3 · 3 = 32 = 9
Neue Zahlen, Quadratzahlen:
4 · 4 = 42 = 16
5 · 5 = 52 = 25
9, 16 und 25.
Vor Aufregung sprang er aus dem Bett.
3
Der Satz des Pythagoras
Überlegungen des Pythagoras 2
Was war passiert?
Er hatte 9 und 16 addiert, der Grund seiner Aufregung war das Ergebnis:
25 !
Als Mathematiker prüfte er sofort nach, was er da entdeckt hatte und mit steigernder Aufregung
stellte er fest:
9 + 16 = 25
Stimmt.
25 - 9 = 16
Stimmt !
25 - 16 = 9
Stimmt auch !!!
4
Der Satz des Pythagoras
Überlegungen des Pythagoras 3
Nutzlose Kunst und sinnlose Spielerei?
Nicht ganz. Man muss nur etwas weiterdenken.
Wenn das Quadrieren und Rechnen mit einfachen Zahlen funktioniert, warum dann nicht
auch mit Flächen?
Probieren wir es doch einmal aus:
Nehmen wir das große Quadrat des Pythagoras,
das mit der Seitenlänge 5 cm.
5 cm · 5 cm = 25 cm2
Das Quadrat hat also einen Flächeninhalt von 25 cm2.
25 cm2
Und dieses Quadrat soll genauso groß sein, wie die beiden
anderen 9 cm2 und 16 cm2 zusammen?
5
Der Satz des Pythagoras
Überlegungen des Pythagoras 4
Also:
Kleines Quadrat
+
mittelgroßes Quadrat
=
+
3cm · 3cm
9 cm2
großes Quadrat
=
+
4cm · 4cm
+
16 cm2
=
?????
?
5cm · 5cm
=
25 cm2
Lassen wir doch einen kleinen Film ablaufen!
6
Der Satz des Pythagoras
Überlegungen des Pythagoras 5
Nehmen wir uns zuerst das Dreieck der Ägypter her und erinnern uns:
Es hat einen rechten Winkel, die Seiten sind 3, 4 und 5 Einheiten lang. So sieht es aus.
Hier ist der rechte Winkel.
Über dieser Seite wird das kleine Quadrat errichtet.
Es hat eine Fläche von 9 cm2.
Über einer
Seite zeichnen wir das
mittelgroße
Quadrat.
Es hat eine Fläche
von 16 cm2.
Nun lassen wir die Teilflächen der oberen Quadrate
wie in einer Sanduhr in die untere, große Fläche
rieseln.
7
Der Satz des Pythagoras
9
o
o
o
o o o
o
o o o
o
o
o
o o o o o o
o o
o o
o
o
c
16
So sieht unsere
„Sanduhr“ aus.
Hier sind
„Zählwerke“.
Noch ein Klick,dann
läuft die „Sanduhr“
automatisch los !!!
a = 4 cm
b = 3 cm
a2
cm2
0
= 16
b2 = 9 cm2
8
Der Satz des Pythagoras
16
9
o
o
o o oo
o
o o o o o o
o o o o o o
o o
o o
o
o
c
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
0
9
Der Satz des Pythagoras
15
9
o
o
o o oo
o
o o o o o o
o o o o o o
o o
o o
o
c
o
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
0
10
Der Satz des Pythagoras
14
9
o
o
o o oo
o
o o o o o o
o o o o o o
o o
o
o
c
oo
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
2
11
Der Satz des Pythagoras
13
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
9
o
o
o o oo
o
o o o o o o
o o o o o o
o o
o
c
oo
o
3
12
Der Satz des Pythagoras
12
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
9
o
o
o o oo
o
o o o o o o
o o oo o o
o
o
c
oo
oo
4
13
Der Satz des Pythagoras
11
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
9
o
o
o o oo
o
o o o oo o
o o
o o
o o
o
c
oo
oo
o
5
14
Der Satz des Pythagoras
10
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
9
o
o o
o
o
o
o o o oo o
o o
o o
o o
o
c
oo
oo
oo
6
15
Der Satz des Pythagoras
9
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
9
o
o o
o
o o
o o o oo o
o o
o
o o
o
c
oo
oo
oo
7
o
16
Der Satz des Pythagoras
8
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
9
o
o o
o
o o
o o o oo o
o
o
o o
o
c
oo
oo
oo
8
oo
17
Der Satz des Pythagoras
7
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
9
o
o
o
o o
o o o oo o
o
o
o o
o
c
oo
oo
oo
9
oo
o
18
Der Satz des Pythagoras
6
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
9
o
o
o
o
o o o oo o
o
o
o o
o
c
oo
oo
oo
10
oo
oo
19
Der Satz des Pythagoras
5
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
9
o
o
o
o
o
o
o
o
o o
o
o o
o
c
ooo
oo
oo
11
oo
oo
20
Der Satz des Pythagoras
4
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
9
o
o
o
o
o
o o oo
o
o o
o
c
ooo
ooo
oo
12
oo
oo
21
Der Satz des Pythagoras
3
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
9
o
o
o
o
o o oo
o
o o
o
c
ooo
ooo
ooo
13
oo
oo
22
Der Satz des Pythagoras
2
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
9
o
o
o
o o oo
o
o o
o
c
ooo
ooo
ooo
14
ooo
oo
23
Der Satz des Pythagoras
1
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
9
o
o
o o oo
o
o o
o
c
ooo
ooo
ooo
15
ooo
ooo
24
Der Satz des Pythagoras
---
9
c
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
ooo
ooo
ooo
ooo
ooo
o
o o
o o o
o o
o
16
25
Der Satz des Pythagoras
--Achtung !!!
Ein Quadrat
ist jetzt leer.
Nun geht es
mit dem
anderen
weiter!
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
9
o
o o
o o o
o o
o
c
ooo o
ooo
ooo
16
ooo
ooo
26
Der Satz des Pythagoras
---
8
o
o o
o o o
o o
c
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
ooo o
ooo o
ooo
ooo
ooo
17
27
Der Satz des Pythagoras
---
7
o
o o
o o o
o
c
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
ooo o
ooo o
ooo o
ooo
ooo
18
28
Der Satz des Pythagoras
---
6
o
o o
o o
o
c
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
ooo o
ooo o
ooo o
ooo o
ooo
19
29
Der Satz des Pythagoras
---
5
o
o
o o
o
c
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
ooo o
ooo o
ooo o
ooo o
ooo o
20
30
Der Satz des Pythagoras
---
4
o
o o
o
c
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
ooo oo
ooo o
ooo o
ooo o
ooo o
21
31
Der Satz des Pythagoras
---
3
o
o
o
c
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
ooo oo
ooo oo
ooo o
ooo o
ooo o
22
32
Der Satz des Pythagoras
---
2
o
o
c
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
ooo oo
ooo oo
ooo oo
ooo o
ooo o
23
33
Der Satz des Pythagoras
---
1
o
c
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
ooo oo
ooo oo
ooo oo
ooo oo
ooo o
24
34
Der Satz des Pythagoras
---
---
Es stimmt tatsächlich.
Die Flächen der
kleineren Quadrate
passen genau in das
große Quadrat.
a = 4 cm
b = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
c
ooo oo
ooo oo
ooo oo
ooo oo
ooo oo
25
35
Der Satz des Pythagoras
... Das heißt:
a2
a2 + b2 = c2
c
In Worten:
In einem rechtwinkligen Dreieck
ist die Summe der Quadrate
über den Katheten inhaltsgleich
dem Quadrat über der
Hypothenuse.
also auch ...
2
b
c2 - b2 = a2
und ...
2
c
c2 - a2 = b2
36
Der Satz des Pythagoras
Überlegung des Pythagoras 6
Wenn man durch Quadrieren den Flächeninhalt
eines Quadrates berechnen kann, dann kann man
durch Wurzelziehen aus dem Flächeninhalt die
Länge einer Seite errechnen.
Quadrieren:
3·3=9
Wurzelzeichen:
Wurzelziehen:
9=3
Sprich: Wurzel aus 9 ist 3.
37
Der Satz des Pythagoras
Voraussetzungen für die Anwendung
Was brauchen wir?
Merke:
Ein rechtwinkliges Dreieck.
Dies benennen wir so:
Hypotenuse
Kathete
90°
Die Hypotenuse ist die
längste Seite, sie liegt
dem rechten Winkel
gegenüber.
Die kürzeren Katheten
sind Schenkel des
rechten Winkels.
Kathete
38
Der Satz des Pythagoras
Rechnerische Anwendung
Aufgabe:
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm
lang. Wie lang ist die Hypotenuse?
1. Schritt: Skizze zeichnen
Hypotenuse
Kathete
Kathete
rechter Winkel
39
Der Satz des Pythagoras
Rechnerische Anwendung
Aufgabe:
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm
lang. Wie lang ist die Hypotenuse?
2. Schritt: Maße angeben
Hypotenuse
Kathete
c = ??? cm
a = 5 cm
Kathete b = 12 cm
40
Der Satz des Pythagoras
Rechnerische Anwendung
Aufgabe:
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm
lang. Wie lang ist die Hypotenuse?
3. Schritt: In Formel einsetzen
Hypotenuse
Kathete
a2 + b2 = c2
52 + 122 = c2
c = ??? cm
a = 5 cm
Kathete b = 12 cm
41
Der Satz des Pythagoras
Rechnerische Anwendung
Aufgabe:
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm
lang. Wie lang ist die Hypotenuse?
4. Schritt: Ausrechnen
Hypotenuse
Kathete
c = ??? cm
a = 5 cm
a2 + b2 = c2
52 + 122 = c2
5·5 + 12·12 = c2
25 + 144 = c2
169 = c2
Kathete b = 12 cm
42
Der Satz des Pythagoras
Rechnerische Anwendung
Aufgabe:
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm
lang. Wie lang ist die Hypotenuse?
5. Schritt: Wurzelziehen
Hypotenuse
Kathete
c = ??? cm
a = 5 cm
a2 + b2 = c2
52 + 122 = c2
5·5 + 12·12 = c2
25 + 144 = c2
169 = c2
Kathete b = 12 cm
13 = c
43
Der Satz des Pythagoras
Rechnerische Anwendung
Aufgabe:
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm
lang. Wie lang ist die Hypotenuse?
6. Schritt: Ergebnis feststellen
Hypotenuse
Kathete
c = ??? cm
a = 5 cm
a2 + b2 = c2
52 + 122 = c2
5·5 + 12·12 = c2
25 + 144 = c2
169 = c2
Kathete b = 12 cm
Antwort: Die Hypotenuse ist 13 cm lang.
13 = c
Das war´s.
Es folgen die Lernziele.
44