Die Laplace Verteilung und Verallgemeinerungen sowie

Die Laplace Verteilung und
Verallgemeinerungen sowie Anwendungen
im Finanzbereich
Robert Bajons
Wintersemester 2015/16
Inhaltsverzeichnis
1 Vorwort
2
2 Die symmetrische Laplace Verteilung
2.1 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Darstellungsmöglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
5
3 Die asymmetrische Laplace-Verteilung
3.1 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Darstellungsmöglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
10
4 Anwendungen im Finanzbereich
4.1 Daten von Zinsraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Wechselkursraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Unterbewertete Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
13
15
17
5 Zusammenfassung
19
Literaturverzeichnis
20
1
Kapitel 1
Vorwort
Wie der Titel dieser Arbeit schon ankündigt, handelt diese Seminararbeit ausschließlich
von der Laplace-Verteilung. Ich habe als Vorlage dafür das Buch ”The Laplace distribution and generalisations”von S. Kotz, T.J. Kozubowski und K. Podgorski verwendet und
benüntze daher auch größtenteils die in diesem Werk gebräuchliche Notation.
Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit ist es, ein Grundwissen über die Laplace-Verteilung,
die im Allgemeinen nicht allzu bekannt ist, zu vermitteln. Ich habe versucht die wichtigsten Eigenschaften zusammenzufassen und hoffe, dass Sie, liebe Leser, einen guten
Eindruck von dieser Verteilung bekommen. Wichtig dabei war es mir auch einen Bezug
zur Finanzmathematik herzustellen bzw. zu zeigen in welcher Form man die LaplaceVerteilung andwenden könnte.
Natürlich ist es nicht möglich, die gesamten Eigenschaften, Anwendungsmöglichkeiten
und interessaten Fakten in dieser Arbeit unterzubringen, denn das würde Ihren Rahmen
sprengen. Ich hoffe jedoch, dass es mir gelungen ist, dem Leser eine Übersicht über das
Thema gegeben zu haben und möchte auf auf das verwendete Buch verweisen, sollte man
noch mehr darüber erfahren wollen.
2
Kapitel 2
Die symmetrische Laplace Verteilung
2.1
Definition und Eigenschaften
Definition 2.1.1 Die klassische Laplace Verteilung1 ist gegeben durch die Dichtefunktion
1 |x−θ|
f (x, θ, s) = e− s , −∞ < x < ∞
(2.1)
2s
wobei θ ∈ (−∞, ∞) und s > 0 der Lage- bzw. der Skalenparemeter sind.
Abb. 2.1: Die Dichtefunktion der Laplace Verteilung mit unterschiedlichen Werten s.
1
Benannt nach Pierre-Simon Laplace(1749-1827)
3
Nach dieser Definition folgt für die entsprechende Verteilungsfunktion zu der Dichte
(2.1):
(
1 − |x−θ|
e s
if x ≤ θ,
2
F (x, θ, s) =
(2.2)
|x−θ|
1 − 12 e− s if x ≥ θ
In manchen Fällen ist oftmals auch günstiger eine Umparametrisierung der Laplace
Dichtefunktion zu betrachten. Dafür betrachten wir
Definition 2.1.2 Eine Funktion mit der Dichte
1 − √2|x−θ|
σ
,
g(x, θ, σ) = √ e
2σ
−∞ < x < ∞
(2.3)
nennt man Laplace Verteilung.
Nun kann man sich auch die Standardisierungen dieser beiden Definitionen der LaplaceVerteilung betrachten und kommt somit auf die Formen:
1
f (x, 0, 1) = e−|x| ,
2
−∞ < x < ∞,
(2.4)
bzw.
√
1
g(x, 0, 1) = √ e− 2|x| ,
−∞ < x < ∞
(2.5)
2
Im weiteren Verlauf werden wir die klassische Laplace CL(θ, s) und die klassische
standard Laplace CL(0, 1) Verteilung als die durch (2.1) bzw (2.4) gegebenen Fälle anschauen, die durch (2.3) bzw (2.5) gegebenen Fälle bezeichnen wir als Laplace L(θ, s)
bzw standard Laplace L(0, 1) Verteilung.
Man kann leicht einsehen, dass die Laplace-Verteilung symmetrisch um den Parameter
θ ist, bzw. für ein reelle x folgt dann:
f (θ − x, θ, s) = f (θ + x, θ, s)
und F (θ − x, θ, s) = 1 − F (θ + x, θ, s)
(2.6)
Der Lageparameter ist dann infolgedessen auch gleich dem Erwartungswert, dem Median
und dem Modalwert.
Für die weiteren Abschnitte des Kapitels sei X ein klassische standard laplace-verteilte
Zufallsvariable, also X ∼ CL(0, 1) und Y eine klassische laplace-verteilte Zufallsvariable,
d
also Y ∼ CL(θ, s), für welche ja gilt Y = sX + θ .
2.1.3 Charakteristische und Momenterzeugende Funktionen.
Die Charakteristische Funktion von X ist:
Z ∞
1
itX
ψX (t) = E[e ] =
eitx e−|x| dx = (1 + t2 )−1
2
−∞
bzw. für Y gilt dann:
ψY (t) = E[eit(sX+θ) ] = eitθ ψX (st) =
4
eitθ
1 + s2 t2
−∞<t<∞
−∞<t<∞
(2.7)
(2.8)
Für die Momenterteugende Funktion von X gilt:
Z ∞
1
tX
etx e−|x| dx = (1 − t2 )−1
MX (t) = E[e ] =
2
−∞
bzw. für Y dementsprechend:
MY (t) = etθ MX (st) =
etθ
1 − s2 t2
−1<t<1
−1<x<1
(2.9)
(2.10)
2.1.4 weitere Eigenschaften.
Wie schon etwähnt gilt für den Erwartungswert von Y und die Varianz dann:
und V ar(Y ) = 2s2
E[Y ] = θ,
(2.11)
Da wir eine symmetrische Verteilung betrachten gilt für die Schiefe
γ1 =
E(X − E(X))3
=0
E((X − E(X))2 )3/2
(2.12)
E(X − E(X))4
−3=3
V ar(X)2
(2.13)
und für den Exzess ergibt sich:
γ2 =
2.2
Darstellungsmöglichkeiten
Um einen besseren Einblick über die Laplace-Verteilung zu bekommen, betrachten wir in
diesem Kapitel ein par Zusammenänge und Beziehungen zu besser bekannten Verteilungen. Dazu betrachten wir wieder eine klassische standard laplace-verteilte Zufallsvariable
X bzw. Y = sX + θ sei dann wieder die entsprechende nicht-standardisierte laplace
Zufallsvariable.
2.2.1 Beziehung zur Normalverteilung
Satz 2.2.2 Eine standard laplace-verteilte ZV X kann man wie folgt darstellen:
√
d
X = 2W ∗ Z
(2.14)
wobei Z eine standard normalverteilte Zufallsvariable ist und W eine zu Z unabhängige
standard exponentialverteilte Zufallsvariable.
Beweis Eine standard exponentialverteilte ZV W hat die Dichte fW (w) = e−w , w > 0
und eine Momenterzeugende Funktion MW (t) = (1 − t)−1 , t < 1. Die standard normal2
verteilte ZV Z hat eine Dichte der Form fZ (z) = √12π e−z /2 , −∞ < z < ∞ und die
2 /2
Chartakteristische Funktion φZ (t) = e−t
√
it( 2W Z)
E[e
√
= E[e−t
2
2W /2
, −∞ < t < ∞
√
] = E[E[eit(
2W
] = E[e−t
2W Z)
√
] | W ] = E[φz (t 2W )]
] = MW (−t2 ) = (1 + t2 )−1 = ψX (t)
5
2.2.3 Beziehung zur Exponentialverteilung
Wenn man die charakteristische Funktion einer laplace-verteilten Zufallsvariable betrachtet kommt man durch Faktoriesieren auf die Form
1
1
1
=
2
1+t
1 − it 1 + it
Da der erste Quotient die charakteristische Funktion einer standardexponentialverteilten
Zufallsvariable W und der zweite dementsprechend genau die von -W ist, folgt folgender
Satz ganz leicht:
Satz 2.2.4 Eine klassische standard laplace-verteilte Zufallsvariable X is darstellbar als
d
X = W1 − W2
(2.15)
mit unabhängig und identisch standard exponentialverteilten Zufallsvariablen W1 und W2
Aus dieser Darstellung und der Tatsache, dass eine standard exponentialverteilte Zufallsvariable W sich darstellen lässt als W = −log(U ), wobei U in diesem Fall eine auf
[0,1] uniform verteilte Zufallsvariable ist, kann man X auch in der Form
d
X = log
U1
U2
angeben, mit zwei wie oben angegeben Zufallsvariablen U1 , U2 .
Eine weitere Möglichkeit der Darstellung erhaltet man wenn man die charakteristische
Funktion der Laplace-Verteilung etwas anders aufteilt:
1
1 1
1 1
=
+
2
1+t
2 1 − it 2 1 + it
(2.16)
Dann erhält man folgendes Resultat
Satz 2.2.5 Die klassische standard laplace-verteilte ZV X kann man als
d
X = IW
(2.17)
anschreiben. Dabei sei I eine Zufallsvariable, die mit Wahrscheinlichkeit 1/2 die Werte
±1 und W so wie bisher.
2.2.6 Beziehung zur Pareto-Verteilung
Eine standard exponentialverteilte Zufallsvariable kann man auch anhand einer Pareto
ZV repräsentieren, sie hat nämlich die Form:
d
W = logP
dabei ist P eine Typ I Pareto Variable mit dichte f (x) =
6
1
,x
x2
≥ 1.
Wenn man sich wieder die Laplace Verteilung anschaut, dann kommt man zu folgendem Ergebnis
Satz 2.2.7 Eine klassische standard laplace-verteilte ZV X lässt folgende die Darstellung
zu:
P1
d
(2.18)
X = log
P2
mit zwei wie oben angegebenen Pareto-verteilten Zufallsvariablen P1 , P2
7
Kapitel 3
Die asymmetrische
Laplace-Verteilung
3.1
Definition und Eigenschaften
Definition 3.1.1 Eine Zufallsvariable Y hat eine asymmetrische Laplace-Verteilung wenn
es Parameter θ, µ ∈ R und σ ≥ 0 gibt, sodass man die charakteristische Funktion von Y
anschreiben kann als
eitθ
ψ(t) =
(3.1)
1 + 12 σ 2 t2 − iµt
Als Schreibweise verwenden wir dabei Y ∼ AL(θ, µ, σ).
Eine andere, auch oft gebräuchlich Version der charakteristischen Funktion, ist die
Darstellung in der Form
ψ(t) = eiθt (
1
1
eitθ
)(
)
=
σκ
1 + i√
t 1 − i √σ2κ t
1 + 12 σ 2 t2 − i √σ2 ( κ1 − κ)t
2
wobei σ > 0 und κ > 0 sich in der Form
p
√
2σ 2 + µ2 − µ
2σ
p
√
κ=
=
2σ
µ + 2σ 2 + µ2
(3.2)
(3.3)
aus µ und σ zusammensetzt mit
σ 1
µ = √ ( − κ)
2 κ
(3.4)
Um nun einen Einblick über die Dichte und die Verteilung einer asymmetrischen
Laplace-Zufallsvariable zu bekommen betrachten wir erstmal folgenden wichtige Charakterisierung:
8
Satz 3.1.2 Mit der Parametrisierung aus (3.2) kann man eine ZV Y ∼ AL(θ, µ, σ)
folgendermaßen anschreiben:
d
Y = θ + Y1 − Y2
(3.5)
Dabei sind Y1 und Y2 zwei unabhänginge exponential-verteilte Zufallsvariablen mit Erσκ
wartungswert √σ2κ bzw. √
. Das ist aber auch equivalent zu
2
σ 1
d
Y = θ + √ ( W1 − κW2 )
2 κ
(3.6)
mit zwei i.i.d standard exponentialverteilten Zufallsvariablen W1 , W2 .
Beweis Die charakteristische Funktion einer mit Parameter λ exponentialverteilten ZV
λ
. Betrachtet man nun die Formel (3.2) und beachtet
ist gegeben durch φX (t) = λ−it
man die Tatsache, dass für die charakteristische Funktion einer Zufallsvariablen Y =
X1 + X2 + b gilt φY (t) = φX1 (t)φX2 (t)eitb , dann sieht man sofort:
1
1
)(
)
σκ
1 + i √2 t 1 − i √σ2κ t
{z
}
| {z } |
ψ(t) = eiθt (
C.F.von:−Y1
C.F.von:Y2
√
√
mit Y1 ∼ Exp(σκ/ 2) und Y2 ∼ Exp(σ/ 2κ) womit (3.5) klar ist. (3.6) sieht man
schnell für standardexponentialverteilte Wi , i = 1, 2
Mit Hilfe von Satz 3.1.2 kann man dann auch eine passende Dichte- bzw. Verteilungsfunktion für eine asymmetrisch Laplace-verteilte ZV Y angeben.
Definition 3.1.3 Die Dichtefunktion von Y hat folgenden Form:
(
√
√
2 κ
exp(− √σ2κ |x − θ|),
x≥θ
fθ,κ,σ (x) =
2
σ 1 + κ2
x<θ
exp(− σκ |x − θ|),
und die Verteilungsfunktion stellt sich dar als:
(
√
2κ
1
1 − 1+κ
x≥θ
2 exp(− σ |x − θ|),
√
Fθ,κ,σ (x) =
2
κ
exp(− σκ2 |x − θ|), x < θ
1+κ2
(3.7)
(3.8)
3.1.4 weitere Eigenschaften
Für den Erwartungswert bzw die Varianz einer asymmetrisch Laplace-verteilten zufallsvariable Y ergibt sich:
σ 1
E(Y ) = θ + √ ( − κ) = θ + µ,
2 κ
V ar(Y ) =
9
σ2 1
( − κ2 ) = µ2 + σ 2
2 κ2
(3.9)
Die mittlere Absolute Abweichung ergibt:
E(|Y − E(Y )|) =
2σ
2
e(κ −1)
2
κ(1 + κ
Und die Standardabweichung hat dann die Form:
√
p
σ 1 + κ4
V ar(Y ) = √
2κ
(3.10)
(3.11)
Dann können wir uns noch den Variationskoeffizienten anschauen, der für Y ∼ AL(θ, µ, σ)
so ausschaut:
s
p
p
V ar(Y )
1/κ2 + κ2
σ2
=
(3.12)
+
1
=
|(Y )|
µ2
1/κ − κ
Und noch weiter interessante Eigenschaften sind die Schiefe und der Exzess der asymmetrischen Laplace-Verteilung, die sich folgendermaßen äußern:
3.2
γ1 =
E(|Y − E(Y )|)3
1/κ2 + κ3
=
2
(E(|Y − E(Y )|)2 )3/2
(1/κ2 + κ2 )3/2
(3.13)
γ2 =
E(|Y − E(Y )|)4
12
−3=6−
2
2
(V ar(Y ))
(1/κ + κ2 )2
(3.14)
Darstellungsmöglichkeiten
Wie auch schon bei der symmetrischen Laplace-Verteilung wollen wir uns auch für den
asymmetrischen Fall ein par Zusammenhänge zu anderen wichtigen Verteilungen anschauen. Einen davon, nämlich die Beziehung zur Exponentialverteilung, haben wir ja schon
im ersten Abschnitt zur AL-Verteilung gesehen.
3.2.1 Beziehung zu Normalverteilung
Auch für eine asymmetrisch Laplace-verteilte Zufallsvariable Y kann man, wie im symmetrischen Fall, einen Bezug zur Normalverteilung herstellen. Das zeigt uns folgender
Satz
Satz 3.2.2 Für eine ZV Y ∼ AL(θ, µ, σ) gilt die Darstellung
√
d
Y = θ + µW + σ W Z
wobei Z standard normalverteilt und W standard exponentialverteilt ist.
10
(3.15)
Beweis Es sei zuerst angemerkt, dass ein standard exponentialverteiltes W eine Dichtefunktion der Form f (w) = e−w besitzt und die charakteristische Funktion einer standard
1 2
normalverteilten ZV Z sich darstellen lässt als φZ (t) = e− 2 t
√
√
] = E[eitθ eitµW eitσ W Z |W ]
Z ∞
Z ∞
√
√
itθ itµw
itσ wZ −w
e e E[e
eitθ eitµw φZ (tσ w)e−w dw
=
]e dw =
0
0
Z ∞
Z ∞
1 2 2
1 2 2
itθ itµw 2 t σ w −w
itθ
e e e
e−w(1+ 2 t σ −iµt) dw
=
e dw = e
E[eit(θ+µW +σ
W Z)
0
0
eitθ
=
= ψY (t)
1 + 12 σ 2 t2 − iµt
Anhand des Zusammenhanges zu Exponentialverteilung können wir wieder Beziehungen zu anderen Verteilunge schließen die eng mit dieser verwandt sind.
3.2.3 Beziehung zur Pareto-Verteilung, zur Gleichverteilung und zur ChiQuadrat-Verteilung
Wie wir bereits wissen, gilt für eine auf dem Intevall [0,1] uniform verteilte Zufallsvariable
U das W = −log(U ) ist, wobei W standard exponentialverteil sein muss. dass führt uns
zu folgendem Ergebnis:
Satz 3.2.4 Eine asymmetrisch Laplace-verteilte ZV Y kann man auf folgende Art repräsentieren
σ
d
1/κ
(3.16)
Y = θ + √ log(U1κ /U2 )
2
U1 ,U2 seien dabei eben auf [0,1] gleichverteilt.
Auch zur Pareto-Verteilung besteht ein enger Bezug der asymmetrischen Laplace-Verteilung,
denn es gilt ja W = log(P ) für eine Pareto Zufallsvariable P und W so wie oben. Den
Zusammenhang zur AL-verteilung soll uns dieser Satz etwas näher bringen:
Satz 3.2.5 Seien P1 und P2 zwei Pareto-verteilte ZV mit Dichte f (x) = 1/x2 , x ≥ 1
dann können wir Y ∼ AL(θ, µ, σ) anschreiben als:
σ
d
1/k
Y = θ + √ log(P1 /P2k )
2
(3.17)
Als letztes wollen wir noch die Beziehung zwischen Exponentialverteilung und ChiQuadrat-Verteilung nutzen, um einen Zusammenhang zu AL-Verteilung herzustellen. Da
eine mit zwei Freiheitsgraden Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvarible H gleich einer exponentialverteilten Zufallsvariable mit Parameter λ = 1/2 ist, können wir folgenden Satzt
formulieren:
11
Satz 3.2.6 Eine asymmetrisch Laplace-verteilte Zufallsvariable Y hat folgende Darstellungsmöglichkeit
σ 1
d
(3.18)
Y = θ + √ ( H1 − κH2 )
2 2 κ
mit zwei Chi-Quadrat-verteilten Zufallsvariablen Hi = 2Wi , i = 1, 2 (Wi sei wie immer
standard exponentialverteilt)
Bemerkung 3.2.7 Außerdem kann man die in Satz 3.1.2 verwendete Darstellung von
Y ∼ AL(θ, µ, σ) noch auf eine andere Art ausdrücken:
σ
d
Y = θ + √ IW
2
(3.19)
wobei I eine zur standard exponentialverteilten ZV W unanbhängige Zufallvaribale ist,
die die Werte −κ und 1/κ mit Wahrscheinlichkeit κ2 /(1 + κ2 ) und 1/(1 + κ2 ) annimmt.
12
Kapitel 4
Anwendungen im Finanzbereich
Wie im Titel bereits angekündigt wollen wir uns natürlich auch anschauen, in welchen
Bereichen wir die Laplace Verteilung anwenden können. Die Anwendungsgebiete beschränken sich dabei selbstverständlich nicht nur auf den Finanzbereich, dennoch werde
ich mich in dieser Arbeit nur mit diesem befassen.
4.1
Daten von Zinsraten
Als erstes Anwendungsbeispiel der asymmetrischen Laplace-Verteilung wollen wir uns
Zinsraten auf 30-jährige Treasury Bonds, das sind amerikanische Staatsanleihen anschauen. Wie man anhand von betrachteten Daten sieht, passt deren empirische Verteilung
nicht so richtig zu einer Normalverteilung, also muss man sich einen anderen Ansatz
überlegen.
Das Buch, das ich für meine Arbeit benutzte verweist hier eben auf die Möglichkeit
die Laplace Verteilung zu verwenden, da sie die Eigenschaften der empirischen Daten,
nämlich die Spitzheit, Schiefe und auch die Tatsache, dass die Enden etwas bauchiger
sind, relativ gut approximiert.
Das dabei betrachtet Datenset besteht aus den Zinsraten am letzten Werktag des Monats, wobei wir den Zeitraum vom Februar 1977 und Dezember 1993 anschauen. Wenn
man für diese Werte jetzt die monatlichen logarithmischen Änderungen betrachtet, also Yt = log(it /it−1 ), wobei it eben so eine Zinsrate am letzten Werktag des Monats t
bezeichnet, dann kann man vermuten, dass diese Yi alle unanbhängig identisch verteilte
Beobachtungen einer asymmetrischen Laplace Verteilung sind.
Um bessere Einsicht über die Daten zu bekommen, können wir uns diese anhand von
Bildern anschauen:
13
Abb. 3.1(aus dem Buch): Oben links: Histogram der Daten von den 30-jährigen Treasury
Bonds. Oben rechts: Schätzer der Dichte im Vergleich mit den theoretischen Dichten der
Normal- (gepunktet) und der asym. Laplace-Verteilung (fest). Unten links: Beobachtete
Verteilungsfunktion im Vergleich mit der einer Normalverteilung. Unten rechts:
Beobachtete Verteilungsfunktion im Vergleich zu einer AL Verteilungsfunktion.
Anhand dieser Bilder bekommt an eine sehr guten Einblick über die Form und das Aussehen der gesammelten Daten. Das Histogramm in Abb. 3.1 weist dabei durch seine
Form schon die Dichte einer asymmetrischen Laplace-Verteilung hin, man sieht die Spitzheit um die Null, aber auch die bauchigen Enden sind gut erkennbar. Der Vergleich des
empirischen Datensets mit der Verteilungsfunktion eine AL-Verteilung bestätigt diese
Vermutung, siehe Abb 3.1 unten.
Nun wollen wir uns mittels der Maximum-Likelihood Methode die Parameter µ σ
schätzen und dann die geschätzen Werte mit den observierten zu vergleichen. Wir erhalten also folgende Werte für die Parameter:
µ̂ = −0.007178218 und σ̂ = 0.294043202
Mit diesen Schätzungen und deren beobachteten gegenstücken, die sich in folgender Form
ergeben
P
1. Stichprobenmittelwert: n1 (Yi )
P
2. Varianz der Stichprobe: n1 (Yi − Ȳ )2
P
3. mittlere Abweichung der Stichprobe: n1
|Yi − Ȳ |
14
P
P
(Yi − Ȳ )3 /( n1 (Yi − Ȳ )2 )3/2
P
P
5. Wölbung der Stichprobe: γˆ2 = n1 (Yi − Ȳ )4 /( n1 (Yi − Ȳ )2 )2 − 3
4. Schiefe der Stichprobe: γˆ1 =
1
n
können wir eine Vergleich herstellen, anhand dessen man sehr schön die Ähnlichkeit zu
einer AL-Verteilung sehen kann. Dazu betrachten wir die Tabelle: Wie man sehr schön seParameter
Erwartungs-/Mittelwert
Varianz
Mittlere Abweichung
Mittl. Abw. / Std. Abw.
Schiefe
Wölbung
Theoretische Werte
-0.001018163
0.001733809
0.02944785
0.7072175
-0.07334177
3.003586
Empirische Werte
-0.001018163
0.001372467
0.02945773
0.7582487
-0.2274964
3.599207
Tabelle 3.1: Theoretische vs. beobachtete Daten.
hen kann, sind die Similarität der Werte außergewöhnlich, bis auf eine leichte Diskrepanz
bei der Schiefe bzw. der Wölbung.
4.2
Wechselkursraten
Eine weiter Anwendung der asymmetrischen Laplace-Verteilung findet sich beim Thema der Wechselkurse. Dabei wollen wir Wechselkursraten so betrachten, dass wir diese
als Summe einer großen Anzahl an kleinen Änderungen, die über eine zufällige Zeit νp
mit geometrischer Verteilung läuft, ansehen, d.h. sie diese Wechkursänderungen haben
die Form:
νp
X
(kleine Änderungen)
WA =
i
wobei diese kleinen Schwankungen und die zufällige Zeit sehr gut die Volatilität und
Unvorhersehbarkeit der zusammenspieleden Faktoren, die den Wechselkurs beeinflussen
können, widerspiegelt.
Wir betrachten die Wechselkursänderungen anhand zweier Beispiele. Einerseits nehmen wie den Wechselkurs von der Deutschen Mark zum US-Dollar und anderseits der
Japanische Yen zum US-Dollar. Die observierten Werte seien dabei die täglichen Raten
von 1.1.80 bist zum 12.7.90, wobei wir uns so wie bei den Zinsraten aus dem ersten Beisiel
die logarithmischen Änderungen zwischen den Tagen anschauen.
Jetzt wollen wir uns also erstmal die Histogramme anschauen, die sich aus den gesammelten Daten ergeben:
15
Abb. 3.2: links:Japanischer Yen. rechts:Deutsche Mark.
Man kann auch hier wieder deutlich die Ähnlichkeit zu asymmetrischen Laplace-Verteilung
erkennen, die Gestalt der Histogramme mit ihrer Spitze um die Null und ihren etwas bauchigeren Enden ist ja wie schon erwähnt typisch für diese.
Wenn wir uns jetzt wieder Parameter µ und σ mittel Maximum Likelihood Methode
schätzen, dann erhalten wir die Werte:
µ̂ = −0.0007558 und σ̂ = 0.00521968
für die Daten der Deutschen Mark und
µ̂ = −0.0007272 und σ̂ = 0.0049445
für den japanischen Yen.
Betrachen wir jetzt dazugehörige Quantil-Plots, dann schauen diese folgendermaßen aus:
16
Abb. 3.2: Oben links: Quantil- Plots von der Normalverteilung mit dem Japanischen
Yen. Oben rechts:Quantil-Plots von der Normalverteilung mit der Deutschen Mark.
Unten: Quantil-Plots von der asymmetrischen Laplace-Verteilung mit dem Japanischen
Yen (links) bzw mit der Deutschen Mark (links)
Man sieht, dass die Linie bei der der asymmetrischen Laplace-Verteilung wesentlich gerader verläuft als bei der Normalverteilung, also ist diese sichtlich passender für die gesammelten Daten und zwar sowohl beim japanischen Yen also auch bei der Deutschen
Mark.
4.3
Unterbewertete Daten
Als letzte Anwendungsbeispiel möchte ich gerne noch das Thema von unterbewerteten
Daten betrachten. In vielen Bereichen der Wirtschaft werden bekannte Daten analysiert
und anhand derer werden dann Thesen über bestimmte Probleme erstellt. Jetzt kann es
aber häufig vorkommen, das diese berichteten Werte die eigentlich Werte unterschätzen
bzw. kann es zur Unterbewertung von daten kommen.
Betrachtet man nun eine Zufallsvariable Y∗ die Pareto-verteilt sei mit Dichte
γ m γ+1
( )
y∗ ≥ m
m y∗
p1 (y∗ ) =
0
0 < y∗ < m
So eine Verteilung benutzt man sehr gerne zum modellieren vieler verschiedener Phänomene, darunter fallen Migration, Einkommen, Werter von Firmen und Städten, usw.
Dabei kann es jetzt also vorkommen, dass wir einen Fehler durch unterbewertete Daten
17
erhalten. Um diesem entgegenzuwirken betrachten man Y∗ als eine nicht beobachtbare
Variable, die in Zusammenhang mit einer beobachtbaren Variable Y durch die Gleichung
Y = Y∗ − U
steht, wobei U ein positiver unterbewerter Fehler ist. Durch dieses Y wollen wir nun
Rückschlüsse über die Verteilung von Y∗ schließen. Man muss also die Dichtefunktion
von Y in eine eine Beziehung zu den Parameter γ und m von Y∗ bringen. Es is hilfreich
vorrauszusetzten, dass für
U
W∗ =
Y∗
also den Proportion des unterbewerteten Teils von Y∗ unabhängig von eben diesem ist,
mi einer Dichte der Form
p2 (w∗ ) = λ(1 − w∗ )λ−1 ,
0 ≤ w∗ ≤ 1,
λ>0
Das führt uns zu einer Dichte von Y gegeben als
m γ+1
γ λ
y≥m
(y) ,
g(y) =
y λ−1
m λ + γ (m) , 0 < y < m
Betrachtet man diese Dichte nun etwas genauer, so kann man einen Zusammenhang zur
Laplace-Verteilung erkennen. Setzt man nämlich X = log(Y ) und und bezeichnet
r
r
1
γ
, κ=
, θ = log(m)
σ=
λγ
λ
dann erhält man als dichte für X:
1
1
h(x) =
−1
σκ +κ
(
|x−θ|
e−κ σ
1 |x−θ|
eκ σ
x≥θ
x<θ
was dann natürlich genau einer Dichte von einer asymmetrischen Laplace-Verteilung mit
Parametern θ, σ, κ entspricht.
18
Kapitel 5
Zusammenfassung
Um diese Seminararbeit abzuschließen möchte ich nochmal kurz zusammenfassen, was
alles vorgekommen ist.
In Bezug auf die Laplace-Verteilung wurde das Augemerk darauf gelegt, die wichtigsten
Charakteristiken herauszufiltern und anzugeben. Neben der grundelegenden Eigenschaften sollte auch, zum besseren Verständnis, der Zusammenhang zu den bekannstesten
Verteilungen hergestellt werden. Dadurch erhält man, wie ich finde, einen sehr guten
Einblick über die Struktur der Verteilung und man kann sich hoffentlich etwas mehr unter ihr vorstellen.
Alles in allem ist die Laplace-Verteilung eine sehr vielfältigen und nützliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, durch die Beispiele sollte ein kleiner Einblick diesbezüglich gegeben
worden sein. Natürlich ist das nur ein kleiner Teil des Anwendungsbereiches, so findet
die Laplace verteilung auch einige Anwendung in anderen Bereichen wie zum Beispiel in
den Ingenieurswissenschaften, der Kommunikationstechnik aber natürlich auch in vielen
wirtschaftlichen Felder. Auch in der Finanzmathematik gibt noch andere Gebiete, so kann
man die Laplace-Verteilung auch zum Bepreisen von diversen Option verwenden etc.
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Literaturverzeichnis
• Kotz, Samuel; Kozubowski, Tomasz J.; Podgorski, Krzysztof : The Laplace Distribution and Generalizations: A Revisit with Applications to Communications,
Econimics, Engeneering, and Finance; Birkhäuser 2001
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