Einstiegsvoraussetzungen für das 1. Semester Angewandte

Einstiegsvoraussetzungen für das 1. Semester
Angewandte Mathematik AM
1. Grundlegende Begriffe und Rechenregeln
Summen sind Terme, deren Ergebnis durch eine Addition entsteht (bei einer Subtraktion: Differenz). Die durch das
Additionszeichen getrennten Glieder einer Summe sind die Summanden.
Bsp. 2a2 + 5ab
Produkte nennt man Terme, deren Wert durch eine Multiplikation bestimmt wird (bei einer Division: Quotient).
Die miteinander multiplizierten Glieder heißen Faktoren.
Bsp. (3 + x) ∙ √2
Vorzeichenregel 1: Ein "Plus“ vor einer Klammer ändert beim Weglassen der Klammer nichts an den Vorzeichen,
durch ein "Minus“ entsteht die Gegenzahl.
Klammerregel 1: Die Addition einer Zahl ist gleichbedeutend mit dem Subtrahieren der Gegenzahl. Dadurch können
Differenzen als Summen geschrieben werden und wir müssen nicht zwischen den beiden unterscheiden.
Bsp. 2 + (-3) = 2 – 3 = -1
2 – (-3) = 2 + 3 = 5
Vorzeichenregel 2: Das Ergebnis einer Multiplikation/Division von zwei Zahlen mit dem gleichen Vorzeichen ist
immer positiv, bei unterschiedlichen Vorzeichen stets negativ.
Bsp. 3 ∙ 2 = -3 ∙(-2) = 6
3 ∙ (-2) = -3 ∙ 2 = -6
Produkt-Null-Satz: Eine Multiplikation ist nur dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist.
Bemerkung: Eine Division durch null ist nicht erlaubt.
Bsp. a ∙ b = 0 ⟺ a = 0 oder b = 0
Vertauschen von Summanden/Faktoren in Summen/Produkten ändert nichts am Ergebnis (Addieren und
Multiplizieren sind kommutativ). Für Subtraktionen/Divisionen trifft dies jedoch nicht zu!
Bsp. 2 + 5 = 5 + 2 = 7
2 ∙ (-5) = -5 ∙ 2 = -10
2 – 5 = -3
aber
5–2=3
Klammerregel 2: Bei Additionen/Multiplikationen darf man Summanden/Faktoren beliebig zusammenfassen
(beide Operationen sind assoziativ).
Bsp. 3 + (5 + 7) = (3 + 5) + 7 = 15
-5 ∙ (2 ∙ 7) = (-5 ∙2) ∙ 7 = -70
Übereinkunft: Da Subtraktion und Division nicht assoziativ sind, muss man, wenn mehrere gleichartige
Rechenoperationen hintereinander auftreten, diese von links nach rechts abarbeiten.
Bsp. 7 – (5 – 3) ≠(7 – 5) – 3
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7 – 5 – 3 = 2 – 3 = -1
24 : 4 : 2 = 6 : 2 = 3
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Punkt- vor Strichrechnung: Multiplizieren / Dividieren hat stets Vorrang vor Addieren / Subtrahieren, außer es
legen Klammern eine andere Reihenfolge fest.
Bsp. 3 ∙ 2 + 7 = 6 + 7 = 13
3 ∙(2 + 7) = 3 ∙ 9 = 27
Klammerregel 3 (Distributivgesetz): Wird eine Summe mit einer Zahl multipliziert, so ist jeder Summand mit dieser
zu multiplizieren.
Bsp. 5 ∙ (x – 3) = (x – 3) ∙ 5 = 5x – 15
(6x – 4) : 2 = 3x – 2
Achtung: Bei der Division durch eine Zahl gilt Gleiches, nicht jedoch beim Dividieren einer Zahl durch eine Summe!
Bsp. 4 : (x – 2) ≠ 4 : x - 2
Bei der Multiplikation von zwei Summen gilt die Regel: Multipliziere jeden Summanden einer Summe mit jedem
der anderen.
Bsp. (2 – x)∙(3 + y) = 6 – 3x + 2y - x∙y
Binomische Formeln:
Die beiden folgenden Produkte muss man jederzeit können:
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Bsp. (3x − y)2 = (3x)2 − 2 ∙ 3x ∙ y + y 2 = 9x 2 − 6xy + y 2
Herausheben: Enthält jeder Summand einer Summe den gleichen Faktor, so lässt sich diese Summe durch
Umkehrung der Klammerregel 3 in ein vollständiges Produkt umwandeln.
Bsp. 4x 3 − 16x 2 + 8x = 4x ∙ (x 2 − 4x + 2)
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2. Bereich: Zahlen und Maße
2.1. Zahlenmengen
ℕ .....Menge der natürlichen Zahlen
ℕ∗ = {1,2,3,4 … . }
ℕ = {0,1,2,3,4 … . }
ℕ𝑔 = {2,4,6 … . }
ℕ𝑢 = {1,3,5 … . }
Primzahl: natürliche Zahl größer gleich 2, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.
ℙ = {2,3,5,7,11,13,17, … … . }
ℤ.....Menge der ganzen Zahlen
ℤ = {… . , −3, −2, −1,0,1,2,3 … . . }
ℚ.....Menge der rationalen Zahlen (= Zahlen, die als Bruch darstellbar sind)
ℝ.....Menge der reellen Zahlen
Rationale und irrationale Zahlen bilden die reellen Zahlen. Irrationale Zahlen sind unendliche nichtperiodische
Dezimalzahlen (nicht als Bruch darstellbar). zB.
ℝ+ …….Menge aller positiven reellen Zahlen
2, , e (Eulersche Zahl)
ℝ− …….Menge aller negativen reellen Zahlen
Vorzeichen und Betrag: Reelle Zahlen haben ein Vorzeichen und einen Betrag (die Mächtigkeit der Zahl). Um den
Betrag anzugeben, setzt man die Zahl zwischen senkrechte Striche. Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen
unterscheiden, bezeichnet man als Gegenzahlen.
Bsp. +2 = 2 Betrag |+2| = 2 aber |-2| = 2
2.2. Primfaktorenzerlegung
Jede natürliche Zahl ist entweder selbst eine Primzahl oder als Produkt von Primzahlen darstellbar.
Das kleinstes gemeinsame Vielfache (kgV) ist jene kleinste Zahl, die die gegebenen Zahlen als Teiler enthält.
Den größten gemeinsamen Teiler (ggT) erhält man, indem man die gemeinsamen Primfaktoren so oft anschreibt,
wie sie in beiden Zerlegungen vorkommen und multipliziert sie.
Bsp. Berechnen Sie das kgV (24, 252) und ggT(24,252).
Primfaktorenzerlegung:
24 2
252 2
12 2
126 2
6 2
63 3
3 3
21 3
1
24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3
252 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 7
7 7
1
Merke: 1) Bei der Primfaktorenzerlegung immer durch die kleinste Primzahl dividieren.
2) Für die Berechnung des kgV sind immer die höchsten Potenzen aller vorkommenden Primfaktoren zu
verwenden.
kgV (24, 252) =23 ∙32·7 = 504
ggT(24,252) = 2∙2∙3 = 12
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Übungsbeispiele:
1. ggT (84, 140, 252) = ?
Lösung: 28
2. kgV (36, 54, 112) = ?
Lösung: 3024
3. Ein Raum mit der Länge a = 4,4m und Breite b = 3,2m soll mit quadratischen Platten verschnittfrei ausgelegt
werden. Was ist die größtmögliche Seitenlänge der Platten?
Lösung: 40cm = 4dm
2.3. Bruchrechnen
Addieren/Subtrahieren von Bruchzahlen erfordert denselben Nenner(!): Bei gleich bleibendem Nenner sind nur
die Zähler zu addieren bzw. subtrahieren.
Bsp. 2  3  8  9  17
3 4 12 12 12
Die Bestimmung des kgV vereinfacht die Berechnung!
Multiplikation eines Bruchs: Bei einer Zahl wird nur der Zähler, bei einem Bruch werden jeweils die Zähler und die
Nenner miteinander multipliziert.
Bsp. 6  4  2  4  8
9
3 3
2 4 8
 
3 5 15
Division eines Bruchs durch eine Zahl: Ist der Zähler ein ganzzahliges Vielfaches der Zahl, so dividiert man nur ihn
durch diese. Andernfalls ist der Nenner mit der Zahl zu multiplizieren.
Wird durch einen Bruch dividiert, so erfolgt eine Multiplikation mit dessen Kehrwert (Zähler und Nenner tauschen
die Plätze).
Bsp. 4 : 2  2
5
5
3
3
:2 
5
10
4 2 4 3 6
:   
5 3 5 2 5
Doppelbrüche geben das Ergebnis einer Bruchdivision wieder und können daher entsprechend der obigen Regel
vereinfacht werden. Eine eigene Vorgangsweise ist also absolut unnötig!
Bsp.
4
7
8
3
4 8 4 3 3
 :   
7 3 7 8 14
Übungsbeispiele:
1. Wandeln Sie in eine Dezimalzahl um: a)
3
16
b)
1
3
c)
5
27
d)
7
22
Lösung: 0,1875; 0, 3̇; 0, 185; 0,318
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2. Schreiben Sie als Bruch an: a) 0,2
b) 0,01
c) 0,25
1
1
1 11
Lösung: 5 , 100 , 4 , 25
d) 0,44
3. Vereinfachen Sie zu einem durchgekürzten Bruch:
6
9
3
3 4
a) 15 : (10 − 20) =
7
7
3
26
4 11
d) (10 − 3 : (10 − 45)) : 13 =
Lösungen: 𝑎)
8
15
3 21
7
1
3
14
c) 4 − (2 − 5) : 25 =
b) 8 ∙ 7 + 5 : 10 =
13
8
7
e) 9 : 27 + 27 : (9 − 12) =
3
; 𝑏) 2 ; 𝑐) − 4 ; 𝑑)
7
10
; 𝑒)
8
3
4. Lösen Sie die Doppelbrüche und vereinfachen Sie durch Kürzen:
a)
3
5
2−
14
2
=
b) 9 ∙ 6 −
5
12
4
14
=
c)
2 4
−
3 7
8
9
24
+ 21 =
Lösungen: a)
1
10
1
; b) − 8 ; c)
5
4
2.4. Prozentrechnung
1% =
1
100
= 0,01
p% von G =
p
100
1 Promille =
1
1000
= 0,001
1 ppm =
1
1 000 000
= 0,000 001
∙ G ……… G heißt Grundwert
Übungsbeispiele: Verschiedene Aufgaben zur Prozentrechnung
a) In den USA wird in Restaurants ein Trinkgeld von 15 % erwartet. Wie hoch ist das Trinkgeld, wenn die Rechnung
auf 24 $ lautet?
b) Auf einen Rechnungsbetrag von € 2.400 wird ein Preisnachlass von 5 % gewährt. Ermitteln Sie den ermäßigten
Rechnungsbetrag.
c) Ein Autohändler hat beim Verkauf eines Autos € 1.920, das sind 8 % des Verkaufspreises, verdient. Ermitteln Sie
den Verkaufspreis.
d) Der Preis eines Fahrrades steigt um 12 % gegenüber dem alten Verkaufspreis von € 412,5. Wie lautet der neue
Verkaufspreis.
e) Eine Rechnung ist auf € 450 inklusive Mehrwertsteuer (20%) ausgestellt. Berechnen Sie die Mehrwertsteuer.
f) Der Preis eines technischen Gerätes wurde von € 200 um 20 % gesenkt. Bald darauf wurde der Preis jedoch wieder
um 5 % erhöht. Begründen Sie, dass die Preissenkung gegenüber dem ursprünglichen Preis nicht 20 % - 5 % = 15 %
beträgt.
Lösungen: a) $3,6;
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b) €2280;
c) €24000;
d) €462;
e) €75;
f) Preissenkung um 16%
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2.5. Überschlagsrechnungen
Überschlagsrechnungen dienen zur Abschätzung der Größenordnung von Berechnungsresultaten, um z. B. die
Berechnung mit dem Taschenrechner kontrollieren zu können. Dazu rundet man die beteiligten Zahlen auf eine
geltende Ziffer und führt damit im Kopf die Rechnung durch.
Abgesehen von den Nullen, die zur richtigen Kommasetzung nötig sind, heißen die Ziffern einer Zahl geltend.
Bei technischen Berechnungen reichen in der Regel drei bis vier geltende Ziffern.
Bsp. a) Die gerundeten Zahlen 3,401; 42,87; 107,3 und 8237 haben vier geltende Ziffern.
b) Die gerundeten Zahlen 114; 4,08; 0,829 und 0,0203 haben drei geltende Ziffern.
c) 3,12 + 27,78 + 4,28 ≈ 3 + 30 + 4 = 37
d) 0,27 ∙ 63 ≈ 0,3 ∙ 60 = 18
e) 0,062 : 0,00348 = 62 : 3,48 ≈ 60 : 3 = 20
Übungsbeispiele:
17,43 ∙ 0,653 ≈
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174,3 : 0,414 ≈
(73,11)2 ≈
4,133 ∙ 11 + 3397 : 81,3 ≈
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2.6. Potenzen und Gleitkommadarstellung
an = a ∙ a ∙ a ∙ … … … … … ∙ a
a−n =
1
an
a....Basis, n......Exponent (Hochzahl)
Potenzen mit negativem Exponenten können als Brüche geschrieben werden und
umgekehrt.
a) Rechnen mit Potenzen
Damit die Regeln für das Rechnen mit Potenzen möglichst einfach zu formulieren sind, erweitert man den
Potenzbegriff noch ein wenig:
hoch eins: Jede Zahl hoch eins ist sie selbst. a1 = a
hoch null: Jede Zahl hoch null ergibt eins. a0 = 1
Addition /Subtraktion: Nur Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponent können addiert bzw. subtrahiert
werden.
Multiplikation: zwei Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert.
allgemein:
an ∙ am = an+m
Bsp. 23 ∙ 25 = 23+5 = 28
Division: zwei Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert.
allgemein:
an
am
25
= an−m
Bsp. 23 = 25−3 = 22
23
25
1
= 23−5 = 2−2 = 22
Potenz eines Produkt: Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor des Produktes potenziert.
allgemein:
(a ∙ b)n = an ∙ bn
Bsp. (2 ∙ 3)4 = 24 ∙ 34
Potenz eines Bruches: Ein Bruch wird potenziert, indem man Zähler und Nenner potenziert
allgemein:
a n
2 4
an
( ) = n
b
b
24
Bsp. (3) = 34
Potenz einer Potenz: eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
allgemein:
(an )m = an∙m
Bsp. (𝑎2 )5 = 𝑎2∙5 = 𝑎10
Übungsbeispiele:
Vereinfachen Sie die Potenzen so weit wie möglich:
c) a2 ∙ a3 =
a) 2-4 =
b) (-3)4 =
g) (3x − 2)2 =
h) (4a + 3b)(4a − 3b) =
k) (6a2 )3 ∙ (3a)2
l)
1
Lösungen: a) 16
i) a2
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b) 81
2a3 ∙12a2
(2a2 )2
c) a5
d) a5 : a2 =
e) (3a)2 a =
f) (a4 )3 =
i) √a4 =
j) a3 ∙ a5 : a2 − a4 =
=
d) a3
j) a6 – a4 = a4(a2 – 1)
e) 9a3
f) a12
k) 1944a8
l) 6a
g) 9x2 – 12x + 4;
h) 16a2 – 9b2
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b) Zehnerpotenzen: um sehr große oder kleine Zahlen zweckmäßig darstellen zu können.
Exponent n
10n
Basis 10
Die Hochzahl gibt an, wie viele Nullen vor bzw. nach dem Einser stehen.
Bsp. 104 = 10000 102 = 100
10-2 = 0,01
10-4 = 0,0001
c) Gleitkommadarstellung
Jede positive Zahl kann als Produkt einer Zahl m (Mantisse) zwischen 1 und 10 (1  m < 10) und einer Zehnerpotenz
geschrieben werden, die die Größenordnung der Zahl angibt. Diese Schreibweise nennt man normalisierte
Gleitkommadarstellung.
Bsp. 123456 = 1,23456  105 (normalisierte Darstellung)
Die Anzahl der Stellen, um die das Komma verschoben wurde, ist der Exponent der Potenz.
Übungsbeispiele:
1. Schreiben Sie folgende Zahlen in der Gleitkommadarstellung:
a) 2400
b) 389 000
c) 87,7
d) 0,473
e) 0,000 005 9
Lösung: 2,4 ∙ 103 ; 3,89 ∙ 105 ; 8,77 ∙ 101 ; 4,73 ∙ 10−1 ; 5,9 ∙ 10−6
2. Umwanden von Gleitkommazahlen: Bestimmen Sie x.
a) 9431,5 = 94,315  10x
b) 0,7043 = 70,43  10x
c) 9327 = x  103
d) 0,0009124 = x  10–6
e) 37214  10-7 = x  10-3
f) 4817  1033 = x  1038
g) 0,027  102 = x  10-2
Lösung: 2; -2; 9,327; 912,4; 3,7214; 0,04817; 270
3. Rechnen mit Gleichkommazahlen ohne Taschenrechner; das Ergebnis ist wieder als Gleitkommazahl anzugeben:
a) 3 ∙ 104 ∙ 5 ∙ 10−7 =
b) 13 ∙ 10−5 − 6 ∙ 10−5 =
c) 2,4 ∙ 107 : (6 ∙ 103 ) =
d) 2,3 ∙ 10−4 + 0,44 ∙ 10−3 =
e) 33 ∙ 10−12 : (11 ∙ 10−5 ) =
f) 33 ∙ 10−12 : 11 ∙ 10−5 =
h) (3 ∙ 104 )2 =
i) (2 ∙ 103 )−2 =
Lösung: a) 15⋅10−3
b) 7⋅10−5
c) 0,4⋅104
d) 6,7⋅10−4 e) 3⋅10−7 f) 3⋅10−17
h) 9⋅108
i) 0,25⋅10−6
4. Bedeutung von negativen Hochzahlen:
10-2 =
10-3 =
1
Lösungen: 100 ;
1
1000
;
3
10
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3∙10-1 =
1
; − 100 ;
-10-2 =
1 - 10-2 =
99
100
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2.7. Maßzahlen zwischen verschiedenen Einheiten umrechnen
Alle physikalischen Größen sind im Internationalen Einheitensystem (SI) festgelegt. Man unterscheidet zwischen 7
Grundgrößen und Größen, die aus den Grundgrößen abgeleitet sind, den abgeleiteten Größen.
Die Grundeinheiten sind:
Grundgröße
Formelzeichen
Grundeinheit
Abkürzung
Abkürzung
Länge
l
Meter
m
Zeit
t
Sekunde
s
Masse
m
Kilogramm
kg
Stromstärke
I
Ampere
A
Temperatur
T
Kelvin
K
Stoffmenge
N
Mol
mol
Lichtstärke
l
Candela
cd
In den Naturwissenschaften werden mit den festgelegten Einheiten (z.B. der Längeneinheit Meter) sowohl sehr
große Entfernungen (in der Astronomie) als auch kleine Distanzen (in der Atomphysik) angegeben. Um unbequeme
Zahlenwerte zu vermeiden, hat man Vorsilben geschaffen, mit denen Vielfache und Teile der SI – Einheiten
ausgedrückt werden können.
Übungsbeispiele:
Wandeln Sie um:
a) 4,32 km in m
b) 0,14 µm in cm
e) 0,83 dm3 in ml
f) 0,0034 t in kg
i) 1 km/h in m/s
3
j) 1 kg/m in g/cm
3
c) 0,0043 m2 in cm2
d) 3,28 ∙ 105 mm2 in dm2
g) 0,034 dag in mg
h) 0,00072 g in µg
2
k) 1 N/mm in N/m
2
l) 1 kW/m2 in W/cm2
Lösung: a) 4,32∙103 m; b) 1,4∙10-5 cm; c) 43 (cm)2; d) 32,8 (dm)2; e) 830 ml; f) 3,4 kg; g) 340 mg; h) 720 µg;
i) ≈0,278 m/s; j) 10-3 g/(cm)3; k) 106 N/m2; l) 0,1 W/(cm)2.
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2. Bereich: Algebra und Geometrie
2.1. Rechnen mit Termen
Definition: Eine Zahl, eine Variable oder deren Verknüpfung mit Rechenzeichen heißt Term. Variablen sind Zeichen,
die stellvertretend für Zahlen oder Größen stehen, die in einem bestimmten Ausmaß frei wählbar sind.
Zahlen, die in einem Term als Faktoren bei einer Variablen stehen, heißen Koeffizienten.
Bezeichnungen
Konstante:
fixe Zahl
Koeffizient: Zahl, die als Faktor vor einer Variablen steht
Variable:
2x + a - 5
Platzhalter für eine nicht bekannte Größe
Parameter: fix vorgegebene, beliebige Zahlenwerte
Übungsbeispiele:
Vereinfachen Sie folgende Terme:
a) (3 - x)(x + 2)=
b) 5 - (2x - 4)3=
Lösungen: a) -x2 + x + 6
b) -6x + 17
c) (3x + 4)5x - 7=
c) 15x2 + 20x - 7
2.2. Gleichungen
In jeder Wissenschaft werden Zusammenhänge und Gesetzmäßigkeiten durch Gleichungen beschrieben.
Zwei Terme, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind, nennt man Gleichung.
Bsp. 1  x  8
x 2  25
Tritt zum Gleichheitszeichen oder an dessen Stelle eine Kleiner- oder Größerbeziehung, so liegt eine Ungleichung
vor.
Bsp. 1  x  8
x 2  25
Praktische Fragestellungen lassen sich oft durch Gleichungen ausdrücken und dann systematisch lösen.
Bei einer Gleichung mit einer Variablen enthält wenigstens eine der beiden Seiten diese Variable. Sie wird oft mit x
bezeichnet. In Anwendungsaufgaben wird häufig eine auf die Art der Variable hinweisende Bezeichnung gewählt.
Eine Gleichung lösen heißt, jenen Wert für die Variable zu suchen, der die Gleichung erfüllt.
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Die Lösung einer Gleichung bleibt gleich, wenn man
a) beide Seiten vertauscht,
b) auf beiden Seiten dieselbe Zahl oder Variable addiert oder subtrahiert,
c) beide Seiten mit derselben Zahl (≠ 0) multipliziert oder durch sie dividiert.
Diese Umformungen heißen Äquivalenzumformungen.
Bsp. Lösen Sie für s ∈ ℕ:
s
2
s
2
s
2
+5= s−1
|+1
+5+1 = s−1+1
+6=s
|∙2
s
( + 6) ∙ 2 = s ∙ 2
2
s + 12 = 2s
|- s
s + 12 − s = 2s − s
12 = s
|Seiten vertauschen möglich
s = 12
Übungsbeispiele:
Lösen Sie folgende Gleichungen nach der auftretenden Variablen:
a) s + 2(1 − 3s) = 2 − s
b) 1 − (d + 1) = 2 − 3d
c) 0,1 ∙ (c + 3) = 0,02 + 0,3 ∙ c
Lösungen: a) s = 0;
b) d = 1;
d) 2(1 − 4x) = −(1 + 2x)
c) c = 7/5;
d) x = 1/2;
2.3. Formelumformungen
Formeln nennt man (Un)Gleichungen, die neben Zahlen und Gleichungsvariablen noch weitere Variablen enthalten,
die so genannten Parameter (Formvariablen). Diese sind Platzhalter für bereits festgelegte aber noch nicht
eingesetzte Werte.
Tipps zum Lösen einer Gleichung und für Formelumformungen:
1. Klammern auflösen
2. Gleichung bruchfrei machen (1 und 2 kann eventuell vertauscht werden)
3. Alle Terme, die die gesuchte Variable enthalten, auf eine Seite bringen (i.a. auf die linke Seite), alle anderen
Terme auf die andere Seite.
4. Gesuchte Variable herausheben.
5. Durch den Faktor (Klammerausdruck), der bei der gesuchten Variable steht, dividieren.
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Bsp. Stellen Sie die Formel für die Steighöhe h eines Körpers mit Anfangsgeschwindigkeit v0 nach t Sekunden Flugzeit
nach v0 um und dokumentieren Sie die Lösungsschritte:
1
ℎ = 𝑣0 𝑡 − 𝑔𝑡 2
2
Lösung:
1
ℎ = 𝑣0 𝑡 − 2 𝑔𝑡 2
| ∙2
2ℎ = 2𝑣0 𝑡 − 𝑔𝑡 2
| +g∙t2
2ℎ + 𝑔 ∙ 𝑡 2 = 2𝑣0 𝑡
2𝑣0 𝑡 = 2ℎ + 𝑔𝑡
𝑣𝑜 =
2
| Seiten vertauschen
|: (2t)
2ℎ+𝑔𝑡 2
2𝑡
Übungsbeispiele:
Berechnen Sie die gesuchten Variablen:
a) 2a − b = 3(a + b) − c
a=?
Lösung: a = c − 4b
b) a ∙ b = a + b
b=?
Lösung: b = a−1
a
2.4. Verhältnisse und Proportionen, Schlussrechnungen
Eine Gleichung der Gestalt a : b = c : d (a,b,c,d ≠ 0) nennt man Verhältnisgleichung oder Proportion.
In einer Proportion ist das Produkt der Außenglieder gleich dem Produkt der Innenglieder:
a:b=c:d ↔a∙d=b∙c
Man erhält die Glieder der einen Seite einer Proportion, wenn man die Glieder der anderen Seite mit einem
bestimmten Faktor k ≠ 0, dem sogenannten Proportionalistätsfaktor, multipliziert.
a : b = c : d ↔ a = k ∙ c und b = k ∙ d
a heißt direkt proportional zu c und b heißt direkt proportional zu d.
k
Besteht zwischen zwei Größen a und c der Zusammenhang a = c , so heißt a indirekt proportional zu c.
In Textaufgaben kommt es öfters vor, dass zwei Größen direkt oder indirekt proportional sind. Diese löst man durch
eine Schlussrechnung.
Übungsbeispiele:
1. Die Gemeinden A, B, C und D erhielten wegen erlittener Wetterschäden einen Gesamtbetrag von € 120 000
ausbezahlt, der im Verhältnis 2:3:4:6 aufgeteilt ist. Berechnen Sie die einzelnen Teilbeträge.
2. Ein elektrischer Strom mit I = 1 A scheidet aus einer Silbernitratlösung pro Sekunde 1,118 mg Ag aus. Wie viel
Silber wird in 4 min ausgeschieden, wenn I = 6,3 A beträgt?
Lösungen: 1. 16000€, 24000€, 32000€, 48000€,
2. direktes Verhältnis: 7,0434mg/Sekunde entspricht
1,69g pro 4 Minuten;
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2.5. Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
a) Substitutionsverfahren (substituieren = einsetzen, ersetzen)
І : 4x + 7y = 1
ІІ: 3x + y = 5  y = 5 - 3x (Substitutionsgleichung)
І : 4x + 7(5 - 3x) = 1
4x + 35 - 21x = 1
-17x = -34
x=2
x einsetzen in die Substitutionsgleichung: y = 5 – 6 = -1
Lösung: Punkt mit den Koordinaten (2/-1)
1. Schritt: Eine der beiden Gleichungen umformen auf x = ... oder y =....
2. Schritt: Die Variable aus Schritt 1 in die verbleibende Gleichung einsetzen. Damit bleibt eine Gleichung mit einer
Variablen übrig. Diese lösen.
3. Schritt: berechnete Variable in die Substitutionsgleichung einsetzen.
b) Additionsverfahren
І:
3x + 2y = 5
|5
ІІ:
4x - 5y = -1 |2
15x + 10y = 25
Gleichungen addieren
8x – 10y = -2
23x = 23
x=1
І:
31 + 2y = 5
x=1 in Gleichung I einsetzen und y ausrechnen
2y = 2
y=1
Lösung: Punkt mit den Koordinaten (1/1)
1. Schritt: Gleichungen so erweitern, dass die Koeffizienten bei einer Variable übereinstimmen.
2. Schritt: Durch Addition oder Subtraktion der beiden Gleichungen entsteht eine Gleichung in einer Variablen,
diese lösen.
3. Schritt: Die berechnete Variable in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen und die noch fehlende
Variable berechnen.
Übungsbeispiel
Lösen Sie folgendes Gleichungssystem:
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x  3y  7
4x  5y  23
Lösung: (-2/-3)
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2.6. Elementare Geometrie und Trigonometrie
a) grundlegende Begriffe der Geometrie
Halbgerade (Strahl): einseitig begrenztes Geradenstück
Strecke: zweiseitig begrenztes Geradenstück
rechtwinkeliges Koordinatensystem (kartesisches Koordinatensystem, wenn die Einheiten auf beiden Achsen
gleich sind)
y-Achse (Ordinatenachse)
2. Quadrant
1. Quadrant
x-Achse (Abszissenachse)
3. Quadrant
4. Quadrant
Winkel: Zwei Halbgeraden (Schenkel, Strahlen) mit gemeinsamen Anfangspunkt S (Scheitel) bestimmen einen
Winkel.
Winkelmessung: Gradmaß
0° <  < 90°
spitzer Winkel
 = 90°
rechter Winkel
90° <  < 180°
stumpfer Winkel
α
S
Zwei Winkel, die sich auf 90° ergänzen, heißen komplementäre Winkel, die sich auf 180° ergänzen, heißen
supplementäre Winkel.
b) wichtige Dreiecke und Vierecke, Winkelsumme
rechtwinkeliges, gleichschenkeliges, gleichseitiges, stumpfwinkeliges Dreieck, Rechteck, Quadrat, Parallelogramm,
Raute (Rhombus), Trapez, Deltoid
c) Pythagoräischer Lehrsatz, Höhensatz, Kathetensatz, Ähnlichkeit, Flächeninhalt, Um- und Inkreis, Höhen und
Schwerlinien, Inhalt- und Umfangsformel eines Kreises
Sätze im rechtwinkeligen Dreieck:
Satz des Pythagoras: c 2 = a2 + b2
Im rechtwinkeligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse.
Höhensatz: h2 = p ∙ q
Das Quadrat der Höhe eines rechtwinkeligen Dreiecks ist gleich dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte.
Kathetensatz:
a2 = c ∙ p
b2 = c ∙ q
Das Quadrat einer Kathete ist gleich dem Produkt aus der Hypotenuse mit dem Hypotenusenabschnitt, welcher der
Kathete anliegt.
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Unter einer Dreieckshöhe versteht man die Gerade, die durch einen Eckpunkte geht und normal auf die
gegenüberliegende Seite bzw. deren Verlängerung steht.
Die Gerade durch den Mittelpunkt einer Dreiecksseite und den gegenüberliegenden Eckpunkt heißt Schwerlinie.
Flächeninhalt von Dreiecken
a  b c  hc

2
2
rechtwinkeliges Dreieck: A 
allgemeines Dreieck: A 
Heronsche Flächenformel: A  s  (s  a )(s  b)(s  c) mit s 
im gleichseitigen Dreieck gilt: h 
a
3
2
A
a  ha
2

b  hb
2

c  hc
2
U abc

2
2
a2
 3
4
Kreisumfang: U = d = 2∙r∙
Kreisfläche: A = r2 =
d2 π
4
e) Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck
sinα 
Gegenkathete
cosα 
Ankathete
tanα 
cotα 
Hypotenuse
Hypotenuse

Gegenkathete
Ankathete
Ankathete
Gegenkathete

GK
H
AK
H


GK
AK
AK
GK
" Sinus Alpha"
" Kosinus Alpha"
" Tangens Alpha"
" Kotangens Alpha"
Übungsbeispiele:
1.
Geben Sie 𝜑 in Abhängigkeit von α und 𝛽
an. Für welchen Winkel 𝛽 gilt 𝜑 = 2𝛼?
Lösung: 𝜑 = 90° + 𝛼 − 𝛽, 𝛽 = 90° − 𝛼
2.
Ein Helm hat, von der Seite betrachte, den
skizzierten Querschnitt. Berechnen Sie den
Inhalt und den Umfang der dargestellten
Fläche.
Lösung: A ≈ 644,6 (cm)2; U = 106,4cm
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Ein Dreieck ABC wird durch eine Parallele zu a in
3.
der gezeichneten Weise geteilt.
Wie groß ist die Seite a? Ist das Dreieck
rechtwinkelig?
Lösung: a = 756,25 mm; nein
4. Von einem rechtwinkeligen Dreieck ist eine Kathete a = 6,0cm und die Hypotenuse c = 8,0cm bekannt. Berechnen
Sie die Kathete b, die Hypotenusenabschnitte p und q, die Höhe h und die Fläche A.
Lösung: b = 5,3cm; p = 4,5cm; q = 3,5cm; h = 4,0cm; A = 16(cm)2
5. Geben Sie folgende Winkelfunktionen durch ihre Seitenverhältnisse an:
sin φ =
cos δ =
tan ε =
cot ω =
cos ω =
ℎ
ℎ
𝑣
𝑣
sin ε=
Lösung: sin𝜑 = 𝑚 , cos𝛿 = 𝑚 , tan𝜀 = ℎ = cot𝜔, cos𝜔 = 𝑛
6. Aus einem Blechstück, das die Form eines gleichschenklig-rechtwinkeligen Dreiecks mit Hypotenuse c = 12,0cm
besitzt, soll eine möglichst große Kreisscheibe herausgeschnitten werden. Wie groß ist ihr Durchmesser?
Lösung: d = 4,97cm
7. Eine Straße hat 14 % Steigung. Wie groß ist der Steigungswinkel?
Lösung: 7,97°
8. Ein Wagen mit einem Gewicht von 1,60 kN steht auf einer Rampe. Berechnen Sie die Steigung der Rampe, ihren
Steigungswinkel α, die Normalkraft FN und die Hangabtriebskraft FH, wenn h = 9,2m und b = 31,4m ist.
Lösung: k = 29%, α = 16°, FN = 1,54kN; FH = 0,45kN
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