FK04 Mathematik II: ¨Ubungsblatt 1 Lösungen

FK04 Mathematik II: Übungsblatt 1 Lösungen
Verständnisfragen:
1. Welche Schreibweisen von komplexen Zahlen unterscheidet man?
• Arithmetisch: z = x + jy, x, y ∈ R
• Goniometrisch: z = r (sin(ϕ) + j cos(ϕ)), r, ϕ ∈ R
• Eulersch: z = r · ejϕ , r, ϕ ∈ R
• Geometrisch: (x; y), x, y ∈ R
2. Wie erklärt man über die Inversion einer komplexen Zahl die Division zweier komplexer Zahlen?
z1 , z2 ∈ C z1 : z2 = z1 ·
1
z2
3. Wie lautet jeweils das Ergebnis der Addition, Multiplikation und Division der folgenden zwei Elemente
der Gaußschen Zahlenebene
(x1 ; x2 ) (a1 ; a2 ) ?
•
(x1 ; x2 ) + (a1 ; a2 ) = (x1 + a1 ; x2 + a2 )
•
(x1 ; x2 ) · (a1 ; a2 ) = (x1 · a1 − x2 · a2 ; x1 · a2 + x2 · a1 )
•
µ
(x1 ; x2 ) : (a1 ; a2 ) =
x1 · a1 + x2 · a2 −x1 · a2 + x2 · a1
;
a21 + a22
a21 + a22
¶
4. Wie wirkt sich die Konjugation einer komplexen Zahl auf deren grafische Darstellung in der Gaußschen
Zahlenebenen aus?
Die Konjugation bewirkt eine Spiegelung an der reellen Achse.
5. Was folgt aus der Bedingung z = z für die komplexe Zahl z?
z=z ⇔ z∈R
6. Wie ist ein komplexes Polynom definiert?
p(z) =
n
X
ak z k
ak ∈ C , k = 0, . . . , n
k=0
7. In welche Faktoren kann ein reelles Polynom via Polynomdivision höchstens zerlegt werden?
Ein reelles Polynom kann über R höchstens in quadratische Faktoren und/oder in Linrearfaktoren
zerlegt werden.
8. Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra?
Jedes nichtkonstante komplexe Polynom hat eine Nullstelle in C.
9. Was gilt, wenn z eine komplexe Nullstelle eines reellen Polynoms q ist?
Dann ist auch z eine Nullstelle desselben Polynoms.
1
10. Sei ein reelles Polynom q vom Grad n gegeben. Was können Sie dann über die Anzahl der reellen
Nullstellen dieses Polynoms aussagen?
• n gerade: Das Polynom kann 0 bis n reelle Nullstellen besitzen.
• n ungerade: Das Polynom besitzt mindestens eine reelle Nullstelle.
11. Wie lautet der Realteil der komplexen e-Funktion?
Re(ez ) = ex cos(y)
12. Was wäre eine Eigenschaft, welche zwar die reelle e-Funktion besitzt, nicht aber die komplexe eFunktion?
Die reelle e-Funktion ist injektiv. Die komplexe e-Funktion ist es nicht.
13. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der komplexen Sinus- und der komplexen Sinushyperbolikusfunktion?
sinh(jz) = j · sin(z)
14. Was wäre eine komplexwertige Funktion, welche eine Drehstreckung des Arguments bewirken würde?
f (z) = a · z
a∈C\R
15. Welche Funktion stellt eine Projektion einer komplexen Zahl auf die imaginäre Achse dar?
f (z) = j · Im[z]
2
Aufgaben:
1. Erstellen Sie die Terme zwei verschiedener reeller Polynome vierten Grades mit den Nullstellen
x0 = 1 ; x1 = 3 ; x3 = 2 + 3j
z.B.
q1 (x) = x4 − 8x3 + 32x2 − 64x + 39 , q2 (x) = 2 · (x4 − 8x3 + 32x2 − 64x + 39)
2. Berechnen Sie den Term der Überlagerungsschwingung der folgenden Schwingungen gleicher Frequenz
µ
¶
³
√
5
π´
y1 = 3 · sin 2 · t +
y2 = 2 · sin 2 · t +
7
3
y = y1 + y2 = A · sin(2t + ϕ)
h
i
√
π
5
= Im 3 · ej (2·t+ 7 ) + 2 · ej (2·t+ 3 )
´
i
h³
√
5
π
= Im 3 · ej ( 7 ) + 2 · ej ( 3 ) ej(2·t)
·µ½
µ ¶
½
µ ¶
¸
³ π ´¾
³ π ´¾¶
√
√
5
5
j(2·t)
= Im
3 cos
+ 2 cos
+ j · 3 sin
+ 2 sin
e
7
3
7
3
h
i
≈ Im (2.9738 + j · 3.1900) ej(2·t)
i
h¡
¢
≈ Im 4.3611 · ej·0.8205 ej(2·t)
= 4.3611 · sin (2t + 0.8205)
3. Bestimmen Sie die Zerlegung in Linearfaktoren der folgenden Polynome über C
(a) Auf einer babylonischen Keilschrifttafel, deren einer Teil in London (BM 85200) und deren anderer
Teil in Berlin (VAT 6599) liegt, sind unter anderem die folgenden kubischen Gleichungen vermerkt:
z 3 + z 2 = 252
und z 3 + 7z 2 = 8
Ã
!Ã
!
√
√
−7 − j 119
−7 + j 119
z−
z + z − 252 = (z − 6) z −
2
2
³
´
³
√
√ ´
z 3 + 7z 2 − 8 = (z − 1) z − (−4 − 2 2) z − (−4 + 2 2)
3
2
(b)
x6 + 3x4 = 20
√ ´³
√ ´
x + 3x − 20 =
x− 2 x+ 2

s
√
−5 − j 15

· x−
2

s
√
−5 − j 15

· x+
2
6
4
³
3


√
 x − −5 + j 15 
2


s
√
 x + −5 + j 15 
2
s
(c) Aus dem tractatus de equationum recognitione“ von F. Viete, von ca. 1615, stammt die folgende
”
Gleichung
8x − x3 = 7
Ã
√ !
√ !Ã
−1
−
29
−1
+
29
x−
8x − x3 − 7 = (x − 1) x −
2
2
(d)
6x4 − 61x3 + 171x2 = 27 + 17x
µ
¶µ
¶
√ ´³
√ ´
1
1 ³
4
3
2
6x − 61x + 171x − 27 − 17x = 6 · x −
x−
x − (5 + j 2) x − (5 − j 2)
3
2
(e)
P (z) = z 3 − 1
Ã
√ !Ã
√ !
−1
+
j
3
3
−1
−
j
z 3 − 1 = (z − 1) z −
z−
2
2
4. Bestimmen Sie den Realteil g(z) und den Imaginärteil h(z) der folgenden Funktionen (x + jy = z ∈ C)
(a)
⇒
Re(f (z)) =
f (z) =
1
z
z+z
2 · zz
Im(f (z)) =
−z + z
2j · zz
(b)
f1 (z) =
⇒ f1 (z)
sin(z)
cos(z) − j · sin(z)
sin(z) · ejz
¢
¢
1 ¡ jz
1 ¡ j2z
=
e − e−jz ejz =
e −1
2j
2j
¡
¢
1 j2x−2y
=
e
−1
mit z = x + jy
2j
µ
¶ 1
z+z
−2· z−z
2j
⇒ Re(f1 (z)) = sin 2 ·
e
2
2
µ
µ
¶¶ 1
z+z
−2· z−z
2j
Im(f1 (z)) =
1 − cos 2 ·
·e
2
2
=
(c)
⇒
f2 (z) = z 3
µ
¶
µ
¶µ
¶
µ
¶ µ
¶ µ
¶
z+z 3
z+z
z−z 2
z+z 2 z−z
z−z 3
Re(f2 (z)) =
−3
Im(f2 (z)) = 3
−
2
2
2j
2
2j
2j
4