Untitled - Die Onleihe

Inhalt
Pythagoras zum ersten … (Aufgaben 1 – 5)
6
Nicht nur Zähne haben Wurzeln … (Aufgaben 6 – 10)
8
Diese Aufgaben strahlen dich an … (Aufgaben 11 – 15)
10
Hier reichen doch die Grundrechenarten … (Aufgaben 16 – 20)
12
Binomisch ist nicht komisch … (Aufgaben 21 – 25)
14
Die Lösung liegt auf dem Weg … (Aufgaben 26 – 30)
16
Hier ist mit allem zu rechnen … (Aufgaben 31 – 35)
18
Von Kegeln und anderen Körpern … (Aufgaben 36 – 40)
20
Exponenten, Basen und Logarithmen … (Aufgaben 41 – 45)
22
Geld regiert die Welt … (Aufgaben 46 – 50)
24
Pythagoras zum zweiten … (Aufgaben 51 – 55)
26
Nicht alle Quadrate haben Ecken … (Aufgaben 56 – 60)
28
Nichts für Denkfaule … (Aufgaben 61 – 65)30
Zur Abwechslung wieder Geometrie … (Aufgaben 66 – 70)32
Wahrscheinlich muss man hier nur gut kombinieren … (Aufgaben 71 – 75)34
Hier sind die Zahlen ganz und die Einfälle schnell… (Aufgaben 76 – 80)36
Manchmal treten Gleichungen zu mehreren auf … (Aufgaben 81 – 85)38
Trigonometrie vergessen wir nie … (Aufgaben 86 – 90)
40
Ob gleich oder ungleich – Hauptsache lösbar … (Aufgaben 91 – 95)
42
Am Schluss noch ein Kessel Buntes … (Aufgaben 96 – 100)
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Lösungen
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Pythagoras zum ersten …
Aufgabe 1
H
G
M
E
c
F
D
Es sei ABCDEFGH ein Quader, dessen
Kante AB die Länge a = 4 cm und dessen
Kante AE die Länge c = 3 cm hat. M ist
der Mittelpunkt der Kante EH. Ferner ist
das Dreieck MBC rechtwinklig.
C
x
A
B
a
Welche Länge x hat die Kante BC?
Aufgabe 2
D
C
E
M
A
a
Gegeben sei ein Quadrat ABCD mit der
Seitenlänge a. M ist der Mittelpunkt der
Seite AD. Von B ist das Lot auf die Verbin­
dungsstrecke MC gefällt; der Fußpunkt
dieses Lotes wird mit E bezeichnet.
B
Welchen Flächeninhalt hat das markierte Viereck ABEM?
Aufgabe 3
Q
Die Abbildung stellt drei kongruente Qua­
drate mit der Seitenlänge a = 1 cm dar.
Die Länge der Strecke PQ beträgt 0,5 cm.
P
Wie groß ist der kleinstmögliche Radius r einer Kreisscheibe, die alle drei
markierten Quadratflächen vollständig bedeckt?
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Aufgabe 4
Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt die beiden Katheten a = 9 cm und b = 43 a.
Das Dreieck wird um die kleinere Kathete gedreht. Dabei entsteht ein Dreh­
körper D1.
Das Dreieck wird um die größere Kathete gedreht. Dabei entsteht ein Dreh­
körper D2.
Das Dreieck wird um die Hypotenuse gedreht. Dabei entsteht ein Drehkörper D3.
a) Welche Länge besitzt die Hypotenuse dieses rechtwinkligen Dreiecks?
b) Berechne die Oberfläche O1 und das Volumen V1 von D1 als Vielfaches von p.
c) Berechne die Oberfläche O2 und das Volumen V2 von D2 als Vielfaches von p.
d) Berechne die Oberfläche O3 und das Volumen V3 von D3 als Vielfaches von p.
e) Gib das Verhältnis O1 : O2 : O3 in kleinsten natürlichen Zahlen an.
f) Gib das Verhältnis V1 : V2 : V3 in kleinsten natürlichen Zahlen an.
Aufgabe 5
Thomas schießt 7-mal auf eine kreisförmige Zielscheibe mit dem Durchmesser
2 m. Sarah staunt nicht nur, dass jeder seiner Pfeile getroffen hat, sondern stellt
nach einer gründlichen Betrachtung der Zielscheibe fest: „Alle Pfeilspitzen haben
voneinander einen Abstand von mehr als 1 m.“
Thomas schaut ebenfalls nach und bestreitet die Aussage von Sarah.
Ist es möglich zu entscheiden, wer von den beiden Recht hat?
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Nicht nur Zähne haben Wurzeln …
Aufgabe 6
Die Summe
1
0 + 1
+
1
1 + 2
+
1
2 + 3
+
1
3 + 4
+…+
1
99 + 100
lässt sich einfacher schreiben.
Welchen Wert hat diese Summe?
Aufgabe 7
C
D
A
Das abgebildete Quadrat ABCD hat die Seiten­
länge a = 10 cm. Die Mitte jeder Quadratseite ist
mit den jeweils nicht benachbarten Eckpunkten
des Quadrats verbunden.
B
a
Welchen Flächeninhalt hat der so entstandene achtzackige Stern?
Aufgabe 8
Schon die Babylonier benutzten für die Bestimmung von Quadratwurzeln die
Näherungsformel
a2 + b  a +
b
2a .
Ist der so berechnete Näherungswert größer oder kleiner als der wahre Wert?
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Aufgabe 9
Um die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks mit
der Seitenlänge a sind Kreise mit dem Radius r = 2a
gezeichnet. Im Inneren des Dreiecks entsteht so
eine durch Kreisbogen begrenzte Fläche.
r
r
a
Welchen Inhalt hat diese markierte Fläche in Abhängigkeit von a?
Aufgabe 10
a
a
b
1
Ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 ist in vier flächen­
inhaltsgleiche Teile zerlegt. Dabei ist das oben links
gezeichnete Dreieck gleichschenklig mit der Schen­
kellänge a. Die beiden Vierecke links unten und
rechts oben sind kongruent.
b
1
Bestimme den Wert von b.
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Diese Aufgaben strahlen dich an …
Aufgabe 11
Ein innerer Punkt P des Dreiecks ABC ist
mit den drei Eckpunkten A, B, C verbun­
den. Die Mittelpunkte der Verbindungs­
strecken bilden die Ecken eines neuen
Drei­ecks DEF.
C
F
A
P
D
E
B
Wie verhalten sich die Flächeninhalte der Dreiecke ABC und DEF zueinander?
Aufgabe 12
Zwei 8 cm hohe Kegel mit den Grundkreisradien r1 = 12 cm und r2 = 4 cm durch­
dringen einander so, dass jeweils die Spitze des einen Kegels im Mittelpunkt der
Grundfläche des anderen Kegels liegt.
Wie groß ist der Schnittkreisradius r3 des Durchdringungskegels?
Aufgabe 13
D
C
A0
S
A3
A
A2
A1
Es sei ABCD ein gleichschenkliges Trapez,
dessen Deckseite CD dreimal so lang ist
wie die Grundseite AB. Der Schnittpunkt
der Diagonalen des Trapezes sei mit S be­
zeichnet. Ferner seien A0, A1, A2 und A3
die Flächeninhalte der Dreiecke SCD, SAB,
SBC und SDA.
B
Wie verhält sich die Summe der Flächeninhalte A1, A2 und A3
zum Flächeninhalt A0?
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Aufgabe 14
Eine quadratische Pyramide mit der Grundkante a = 24 cm und der Körperhöhe
h = 18 cm soll parallel zur Grundfläche so geschnitten werden, dass sich die
Rauminhalte des entstehenden Pyramidenstumpfes und der entstehenden Pyra­
mide wie 19 : 8 verhalten.
In welchem Abstand x von der Grundfläche aus muss der Schnitt erfolgen?
Aufgabe 15
x
Einem Quadrat mit der Seitenlänge a = 35 cm
wurde, wie in der Zeichnung ersichtlich, der Buch­
stabe „W“ einbeschrieben. Dabei ist der Flächen­
inhalt des Quadrates doppelt so groß wie der des
Buchstaben „W“.
35 cm
Berechne aus diesen Angaben die Breite x.
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Hier reichen doch
die Grundrechenarten …
Aufgabe 16
Bernd addiert vier natürliche Zahlen richtig und erhält 47. Als er diese vier Zah­
len multipliziert, erhält er 3 615.
Zeige, dass dieses Ergebnis falsch ist!
Aufgabe 17
Es sei n eine von Null verschiedene natürliche Zahl. Aus ihr wird die Zahl
z = n6 + 8n2 – 1 gebildet.
Weise nach, dass z niemals eine Primzahl sein kann.
Aufgabe 18
Max sagt: „Ich habe drei ganze Zahlen gefunden, die eine merkwürdige Eigen­
schaft haben. Bei der Addition irgendeiner dieser Zahlen zum Produkt der bei­
den anderen ergibt sich stets die Summe 2.“
Sein Bruder entgegnet: „Solche Zahlen kann es nicht geben.“
Wer hat Recht, Max oder sein Bruder?
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Aufgabe 19
Benjamin hat 60 würfelförmige, weiß angemalte
Bausteine mit einer Kantenlänge von 2 cm sowie
60 würfelförmige, rot angemalte Bausteine mit
einer Kantenlänge von 3 cm. Er baut mit diesen
Bausteinen einen zusammengesetzten würfelför­
migen Körper auf, aber nicht notwendigerweise
mit allen. Mit den roten Bausteinen baut er die
vier senkrecht stehenden Außenwände. Mit den
weißen Bausteinen ergänzt er den restlichen Wür­
felkörper so, dass kein Hohlraum mehr bleibt.
Wie viele rote und wie viele weiße Bausteine brauchte Benjamin für seinen Bau?
Aufgabe 20
Carolin sagt: „Wenn ich zu einer natürlichen Zahl das Doppelte ihrer Quersum­
me addiere, dann ist die Summe immer durch 3 teilbar.“
Ihre Schwester erwidert: „Das glaube ich nicht. Ich suche ein Gegenbeispiel.“
Hat Carolin Recht oder findet ihre Schwester ein Gegenbeispiel?
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Binomisch ist nicht komisch …
Aufgabe 21
Marco und Sascha stellen sich gegenseitig
Aufgaben. Als Sascha an der Reihe ist, fordert
er Marco auf, die alternierende Summe der
ersten einhundert Quadratzahlen
12 – 22 + 32 – 42 + 52 – … – 982 + 992 – 1002
auszurechnen. Zu seiner Überraschung ist
Marco nach wenigen Minuten fertig.
Welchen Wert hat die von Sascha angegebene Summe?
Aufgabe 22
Es sei x eine reelle Zahl. Wir betrachten die Ungleichung
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 > (x + 3)2 + (x + 4)2 + (x + 5)2.
Welche Lösungsmenge besitzt diese Ungleichung?
Aufgabe 23
Huda sagt: „Ich habe hier einen interessanten Term aufgeschrieben. Er lautet
5(x – 6) – (x – 5) + x(x – 4).
Wenn ich für x eine beliebige reelle Zahl einsetze, ergibt sich entweder keine
ganze Zahl, oder aber eine ganze Zahl, die keine Primzahl ist.“
Aylin denkt nach und antwortet dann: „Ich habe sogar eine Einsetzung gefun­
den, die eine Primzahl liefert.“
Für welche Werte von x liefert der Term eine Primzahl?
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Aufgabe 24
Von zwei Zahlen a und b ist bekannt, dass gilt:
(1)a + b = 1
(2)a2 + b2 = 2.
Auf einem der Täfelchen A, B, C, D, E steht der richtige Wert von a4 + b4.
4
8
1
3
3,5
A
B
C
D
E
Welches Täfelchen gibt den richtigen Wert an?
Aufgabe 25
Gegeben ist der Term
(a2 + b2)3 + (c2 – a2)3 – (b2 + c2)3.
Wie lässt sich dieser Term in Faktoren zerlegen?
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Die Lösung liegt auf dem Weg …
Aufgabe 26
Ein Floß hatte sich von seiner Verankerung losgerissen, was erst 6 Stunden später
bemerkt wurde. Mit einem Motorboot, das eine um durchschnittlich 9 km/h
höhere Geschwindigkeit als das Floß erreichte, wurde es nach 24 km eingeholt.
Welche durchschnittliche Geschwindigkeit hatte das Floß?
Aufgabe 27
Adorf, Behausen und Cestadt liegen in dieser Reihenfolge an einer Landstraße.
Von Behausen aus fährt ein Pferdefuhrwerk morgens um 6 Uhr mit einer Durch­
schnittsgeschwindigkeit von 10 km/h nach Cestadt. Am gleichen Tag fährt von
Adorf aus ein Radfahrer um 7 Uhr mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von
15 km/h nach Cestadt.
Die Entfernung zwischen Adorf und Behausen beträgt genau 5 km.
Der Radfahrer kommt in Cestadt 20 Minuten früher an als das Pferdefuhrwerk
a) Wie viele Kilometer sind Behausen und Cestadt voneinander entfernt?
b)Zu welcher Uhrzeit und in welcher Entfernung von Cestadt überholt der Rad­
fahrer das Pferdefuhrwerk?
Aufgabe 28
Drei Schnecken machen von einer gemeinsamen Startlinie aus einen „Wettlauf“
zu einem Ziel, das 1 Meter in gleicher Richtung entfernt ist. Sie kriechen mit
gleicher und konstanter Geschwindigkeit.
Die Schnecke A kriecht immer 5 cm vorwärts. Danach legt sie eine Pause von
jeweils 6 Sekunden ein.
Die Schnecke B kriecht immer 10 cm vorwärts. Danach macht sie jeweils 12 Se­
kunden Pause.
Die Schnecke C kriecht immer 20 cm vorwärts. Danach legt sie eine Pause von
jeweils 24 Sekunden ein.
In welcher Reihenfolge kommen die Schnecken im Ziel an?
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Aufgabe 29
Ein Mathematiker machte eine Wanderung. Zunächst ging er auf ebener Straße,
dann eine Strecke bergauf bis er wieder umkehrte und auf gleichem Wege zu­
rückging.
Er wusste, dass er insgesamt 5 Stunden unterwegs war und seine durchschnitt­
liche Geschwindigkeit auf ebener Straße 4 km/h, bergauf 3 km/h und bergab
6 km/h betragen hatte.
Nach Hause zurückgekehrt, setzte er sich an den Tisch und berechnete die Ent­
fernung von seiner Wohnung bis zum Umkehrpunkt.
Wie weit ist er gelaufen, bis er umgekehrt ist?
Aufgabe 30
Zwei Igel liefen um die Wette. Sie starteten zum gleichen Zeitpunkt, liefen auf
zwei verschiedenen, aber gleich langen Wegen und erreichten zum gleichen
Zeitpunkt das Ziel.
Der erste Igel stieß während seines Laufs auf keinerlei Hindernisse.
Der zweite Igel hingegen stieß auf zwei Schildkröten, die er nicht umgehen
konnte, sodass er seinen Lauf auf deren Panzer fortsetzte. Die Begegnungen be­
hinderten diesen Igel nicht in seinem Lauf, das heißt, er erlitt weder einen Tempo­
verlust noch einen Zeitverlust.
Die erste Schildkröte war 1 m lang und kroch dem Igel mit einer Geschwindig­
keit von 6 cm/s entgegen.
Die zweite Schildkröte war 50 cm lang und kroch mit einer Geschwindigkeit von
18 cm/s in die gleiche Richtung wie der Igel.
Welcher der beiden Igel besaß die größere Laufgeschwindigkeit?
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Hier ist mit allem zu rechnen …
Aufgabe 31
Streicht man von einer vierstelligen natürlichen Zahl a immer wieder die letzte
Ziffer, so entsteht zuerst eine dreistellige Zahl b, dann eine zweistellige Zahl c
und schließlich eine einstellige Zahl d.
Für diese Zahlen gilt a + b + c + d = 2 007.
Wie lautet die vierstellige Zahl?
Aufgabe 32
Für alle natürlichen Zahlen a und b mit a, b Þ 0 ist der Bruch
5a2 + a4
35b3 + 7b
definiert und von Null verschieden.
Beweise, dass dieser Bruch stets mit 6 gekürzt werden kann!
Aufgabe 33
Wir betrachten die Ungleichung
987 654 321 · 98 765 432 < x < 98 765 432 · 987 654 323.
Wie viele natürliche Zahlen erfüllen diese Ungleichung?
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Aufgabe 34
Auf der Tafel steht eine unvollständige Divisionsaufgabe. Jedes Sternchen ist
durch eine der Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, , , oder 9 so zu ersetzen, dass eine
richtige Rechnung entsteht. Keine der Zahlen beginnt mit einer Null.
* * * * * *
* * *
* * *
* *
* *
8 *
* * : * * * = * * * * *
*
*
* *
* *
Wie heißt die vollständige Divisionsaufgabe?
Aufgabe 35
Ein Weinbauer vererbt seinen drei Söhnen 0 leere Weinfässer, volle Weinfässer
und halbvolle Weinfässer zu gleichen Teilen. Jeder von ihnen soll gleich viel Wein
und gleich viele Fässer erhalten.
Nach dem Tod des Bauern führen die drei Söhne die Aufteilung nach dem Willen
ihres Vaters durch. Dabei stellen genau zwei der Söhne fest, dass sie nicht nur
gleich viel Wein, sondern auch gleich viele volle, halbvolle und leere Fässer erhal­
ten haben.
Zeige, dass diese Situation zwangsläufig auftreten muss.
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