Prof. Dr. Holger Dette Musterlösungen Wintersemester 2009/2010

Prof. Dr. Holger Dette
Dr. Melanie Birke
Musterlösungen
Wahrscheinlichkeitstheorie I
Wintersemester 2009/2010
Blatt 9
Aufgabe 1:
Es seien X1 , X2 , . . . unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen.
(4 Punkte)
(a) Es sei E[|X1 |] < ∞ Man zeige, dass n1 min1≤k≤n |Xk | stochastisch gegen 0 konvergiert und folgere
daraus, dass auch fast sichere Konvergenz gegen 0 gilt.
(b) Es gilt E[|X1 |k ] < ∞ genau dann wenn
1
X
n1/k n
fast sicher gegen 0 konvergiert.
Lösung:(a) Wir betrachten für ε > 0
1
E[min1≤k≤n |Xk |]
E[|X1 |]
P
min |Xk | > ε ≤
≤
−→ 0.
n 1≤k≤n
nε
nε n→∞
Also gilt die stochastische Konvergenz. Für die fast sichere Konvergenz beachte, dass n1 min1≤k≤n |Xk |
monoton fallend ist und daher supj≥n n1 min1≤k≤j |Xk | = n1 min1≤k≤n |Xk |. Damit folgt für alle ε > 0
1
1
min |Xk | > ε = P
min |Xk | > ε −→ 0
P sup
n→∞
n 1≤k≤n
j≥n n 1≤k≤j
und daher mit 8.2,(2) die Behauptung. (b) ⇒“ Ähnlich wie in Blatt 7, Aufgabe 2 erhalten wir für alle
”
ε > 0 die Abschätzung
∞
∞
X
X
1
1
1
1 k
k
P
|X
|
>
ε
=
P
|X
|
>
n
≤
E
|X
|
= k E |Xn |k < ∞.
n
n
n
k
k
1/k
ε
ε
ε
n
n=1
n=1
1
und wegen Blatt 8, Aufgabe 3(b) folgt die fast sichere Konvergenz von n1/k
Xn gegen 0. ⇐“ In Blatt
”
8, Aufgabe 3 (b) gilt auch die Umkehrung. Man zeigt dies ebenfalls mit dem Lemma von Borel-Cantelli.
1
Konvergiert also n1/k |Xn | fast sicher gegen 0, so gilt auch
∞>
∞
X
n=1
P
1
|Xn | > ε ≥ k E[|X1 |k ].
ε
n1/k
1
Aufgabe 2:
(4 Punkte)
1
1. Gegeben sei der Wahrscheinlichkeitsraum ([0, 1], B|[0,1]
, λ|[0,1] ) und die Folgen (kn ) und νn seien
definiert durch n = kn + 2νn . Weiter sei
1 falls ω ∈ [kn 2−νn , (kn + 1)2−νn ]
Xn (ω) =
0 sonst
Man zeige, dass (Xn )n∈IN stochastisch aber icht fast sicher gegen 0 konvergiert.
2. Es seien Y1 , Y2 , . . . unabhängig identisch verteilt mit E[X1 ] = 0 und E[X12 ] = 1. Weiter gelte
Pn
i=1 Yi
Xn =
.
(n log log n)1/2
Man zeige, dass (Xn )n∈IN im quadratischen Mittel aber nicht fast sicher gegen 0 konvergiert.
Lösung: 1. Wir zeigen zunächst die stochastische Konvergenz: Dazu sei ε > 0.
P(|Xn − 0| > ε)
=
P(|Xn | > ε) = P(Xn = 1) = λ([kn 2−νn , (kn + 1)2−νn ]) = 2−νn .
P
Wählen wir νn nun so, dass 2νn ≤ n maximal ist, dann ist (νn )n∈IN monoton wachsend und Xn → 0. Es
gilt aber supk≥n Xk = 1 auf ganz [0, 1], daher ist P(| supk≥n Xk | > ε) = P(supk≥n Xk = 1) = 1 und Xn
konvergiert somit nicht fast sicher gegen 0.
2. Es ist

2 


n
n
X
X
1
1
1


E 
Yj   =
V
−→ 0.
Yj  =
E[|Xn − 0|2 ] = E[Xn2 ] =
n log log n
n
log
log
n
log
log
n n→∞
j=1
j=1
L2
Also gilt Xn → 0. Mit dem Satz vom iterierten Logarithmus erhalten wir
1
lim sup √ Xn
n→∞
2
1
lim inf √ Xn
n→∞
2
=
1 ⇔ lim sup Xn =
√
2
n→∞
=
√
−1 ⇔ lim inf Xn = − 2
n→∞
P-fast sicher. Es folgt also limn→∞ P(supk≥n |Xk | > ε) > 0 und Xn konvergiert daher nicht fast sicher
gegen 0.
Aufgabe 3:
(4 Punkte)
1. Es sei (Xn )n∈IN eine Folge reellwertiger Zufallsvariablen und g : IR0+ → IR0+ eine monoton wachsende
Funktion mit
g(x)
lim
= ∞ und sup E[g(|Xn |)] < ∞.
x→∞ x
n∈IN
Man zeige, dass (Xn )n∈IN gleichgradig integrierbar ist.
P
2. Es sei (Xn )n∈IN eine Folge reellwertiger Zufallsvariablen mit Xn → X. Weiter existiere eine integrierbare Majorante 0 ≤ Y ∈ L1 mit |Xn | ≤ Y fast sicher für alle n ∈ IN . Man zeige, dass dann Xn
im Mittel gegen X konvergiert.
Lösung: 1. Wir müssen zeigen limc→∞ supn∈IN E[|Xn |I{|Xn | > c}] = 0 bzw. für alle ε > 0 existiert ein c0
mit supn∈IN E[|Xn |I{|Xn | > c}] < ε für alle c > c0 . Wegen limx→∞ g(x)/x = ∞ existiert ein c1 , so dass
g(x) ≥ x für alle x ≥ c1 . Wegen supn∈IN E[g(|Xn |)] < ∞ und der Monotonie von g existiert für alle ε > 0
ein c2 mit supn∈IN E[g(|Xn |)I|Xn |>c ] < ε für alle c ≥ c2 . Wir erhalten damit für c ≥ c0 = max{c1 , c2 }
sup E[|Xn |I{|Xn | > c}] ≤ sup E[g(|Xn |)I{|Xn | > c}] < ε
n∈IN
n∈IN
und daher die gleichgradige Integrierbarkeit.
2. Um von stochastischer auf L1 -Konvergenz schließen zu können brauchen wir die gleichgradige Integrierbarkeit von (Xn ). Die erhält man wie folgt. Da |Xn | ≤ Y fast sicher, gilt auch |Xn |I{|Xn | > c} ≤
Y I{Y > c} fast sicher und da Y integrierbar ist folgt daraus
lim sup E[|Xn |I{|Xn | > c}] ≤ lim E[Y I{Y > c}] = 0.
c→∞ n∈IN
c→∞
Aufgabe 4:
Es sei λ ∈ IR und (Xn )n∈IN eine Folge von Zufallsvariablen mit
P(Xn = nλ ) = P(Xn = −nλ ) =
(4 Punkte)
1
.
2
Man gebe eine Bedingung für λ an, so dass (Xn )n∈IN das starke Gesetz der großen Zahlen erfüllt. Man
gebe auch eine weitere Bedingung für λ an, so dass (Xn )n∈IN weder das starke noch das schwache Gesetz
der großen Zahlen erfüllt.
Lösung: Wir werden zeigen, dass für λ < 1/2 das starke Gesetz der großen Zahlen gilt und für λ ≥ 1
weder das starke noch das schwache Gesetz der großen Zahlen gilt.
Zunächst jedoch zu der Unabhängigkeit von (Xn )n∈IN : Es gibt für alle k ∈ IN 2k Möglichkeiten (x1 , . . . , xk ) ∈
{±1λ } × . . . × {±k λ } zu wählen, also
P(X1 = x1 , . . . , Xk = xk ) =
k
Y
1
=
P(Xj = xj ).
2k
j=1
2
2λ
Weiter gilt E[Xn ] = 1/2nλ + 1/2(−nλ ) = 0 und V(Xn ) = E[XP
< ∞. Nach dem Kolmogorovn] = n
∞
Kriterium ist das starke Gesetz der großen Zahlen erfüllt, falls n=1 n12 V(Xn ) < ∞. Wir erhalten hier
∞
∞
X
X
1
1
V(X
)
=
.
n
2
2−2λ
n
n
n=1
n=1
Die Reihe konvergiert genau dann wenn λ < 12 .
Wir nehmen nun an, dass das schwache Gesetzt der großen Zahlen gilt für eine Folge (Xn )n∈ IN . Dann
Pn
Pn−1
P
1
gilt auch n1 Xn −→ 0 (beachte dazu n1 Xn = n1 i=1 Xi − n−1
i=1 Xi und die Rechenregeln für
n n−1
stochastische Konvergenz). Für die spezielle Folge hier gilt aber n1 |Xn | = nλ−1 was nicht gegen 0 geht für
λ ≥ 1. Also kann in diesem Fall das schwache und somit erst recht das starke Gesetz der großen Zahlen
nicht gelten.