quadratischer Zahlenkörper

UNIVERSITÄT IN RIGA
UNIVERSITĀTERĪGA
WISSENSCHAFTLICHE
ZINĀTNISKIE
ABHANDLUNGEN
RAKSTI
UNIVERSITĀTES
NEUE FOLGE DER ACTA UNIVERSITATIS LATVIENSIS
LATVIJAS
KLASSE DER
MATEMĀTIKAS UN
DER
MATHEMATISCHEN ABTEILUNG
FAKULTÄT FÜR
UND
RAKSTU
DABAS
TURPINĀJUMS
ZINĀTŅU
FAKULTĀTES MATEMĀTIKAS
MATHEMATIK
NODALAS^SĒRIJA
NATURWISSENSCHAFTEN
1.
BAND
SĒJUMS
Nr. 2
E. FOGELS
Zur Arithmetik
quadratischer
Zahlenkörper
RIGA_
LATVJU
GRĀMATA
1943
Zur
Arithmetik
quadratischer Zahlenkörper
E.
von
Fogels.
Einleitung.
Problems.
allgemeinen
x
bestimmte
Menge
eine
Funktion,
dem
Mittelwert
x
Artikel
vorliegenden
Im
Es
ganzer Zahlen
die für alle
der Funktion
in
eines
a
der
a
ich
des
Zahl,
folgenden
eine
definiert
ist.
Es
durch
und
gegebenen Körpers
Menge
der
Fall
einen
positive
eine
x
/(a)
wird nach
Menge für unbegrenzt wachsendes
gefragt.
Der
als
per
Wert
gesuchte
auch
Ich
der
von
betrachte
hängt im
rationalen
mit
(von
auf
der
eine
speziell
Ich
in
normal;
6
ganzen
überschreiten.
der
Funktion
Mit
anderen
oder auch
Dieses
mir
der
Menge
aller
—
In
,
/(a)
fast
für
zu
dem Kör-
d. h.
*■
—
5
Zahl
Beispielsweise
falls
andernfalls
a
sie
abgesehen)
ist, und
zerlegbar
sind alle Primzahlen
normal
Zahlen
deren
Fällen
wird
unbegrenzt
A/a
bewiesen,
normalen
Körpers
schon seit
gelungen.
sowie
Normen
wachsendem
der
Zahlen des
ermitteln
normal, falls
a
Faktoren
Körpers
fl
die Dichte
alle
des
ļo
natürlichen
mit
die Zahlen
die Funktion
Ergebnis kenne ich
nicht
—
ganze
Primzahlen
Zahlen a,
beiden
Worten,
von
dagegen eine anormale Zahl.
ist
f
Menge
eine
entgegengesetzten Falle.
Problem löse ich
die
}/"
+ b
a
=
nenne
JW
und
Körper K {)/~—5),
den
der Faktoren und assoziierten
Weise
einzige
Körpers
Das
b.
Reihenfolge
anormal im
des
a,
sowohl
allgemeinen
Menge ab.
a
ist
behandle
sei
K
x
auch
die
daß
der
1939.
—
x
die
nicht
Mittelwert
Null
gegen
Zahlen ist
(\/~
für
Zahl
strebt.
gleich Null
5) sind anormal.
Ob
es
aber
neu
ist,
E.
24
Zum
Beweis
denen alles
Inhalt
dieser
bekannt,
in
den
ist
derselbe auf
auf
den
mir
von
die
nicht
die
idealen
Kummerschen
3
Paragraphen
Paragraphen
wo
Hinweis
benutze ich
Nötige
Fogels
und 4
mir
neu;
Weise
gleiche
beschrittenen
Zahlen,
ist
aber
keine
habe ich
Weg
Der
Quelle
wäre.
entwickelt
von
wird.
ausgeführt-
Einen
bei Mordeil
(5)
gefunden.
Die
Methode läßt sich
wenigstens
auf
Formen
jedem
in
unendlich
diejenigen,
Genus
vielen
eine
quadratische
die
wo
Körper
entsprechenden
Klasse
einzige
kommt
Körpern
quadratischen
auf andere
eine
jedoch
übertragen,
quadratischen
1
besitzen
In
.
Komplikation
reellen
wegen
der
Einheiten hinzu.
Bezeichnungen.
Unter
der
Zahl.
Ausdruck
Überall,
bole
sie
tive
Zahlen
ganze
jugiert-komplexe
wird
verstehen
Körper
bezeichnen
ganze
stets
Als
aa= a
2
Körper K{V
Körpers,
Norm
-f-
den
5b 2
A/a
werden
rationale
und auch
Zahlen,
p,
—
5).
bedeutet die
a
der
Zahl
<x
=
ß, y, &
a,
zu
a
kon-
a-\-by^—s
bezeichnet.
die lateinischen Buchstaben
wo
gebraucht
wir
dieses
nichts
g,
mit
r
nicht
als
Funktionensym-
anderes bemerkt
und
bedeuten
ist,
ohne Indizes
seien
posi-
wobei stets
Primzahlen,
(mod 20).
Produkt
Das
haltenen
p
verstehen
wir
Produkte
R= l.
wird
ist
in
{a, b)
Ist
1
B.
zu
10 teilerfremden
falls
bezeichnet;
die
Zahl
enthaltenen
.
.
.
q\>
bezeichnet den
z.
einer
J
1.
m
durch
und R
Q
g bzw.
r\
Zahl
kein p
sind
m
1
entsprechend
möglicherweise
ent-
teilbar
ist
Q
ist,
die
=
1,
.
.
.'r{y.
.
.
b
u
c
x
.
.
.> 1)
PQR.
oc =a
S.
17,
also
m=p?
=
m
in
P
unter P
aller
Es
aller
mit
13,
19
+
b
y~
—
größten gemeinsamen
5,
so
setzen
Dickson-Bodewig
(1)
S.
wir
84.
{a, b)
Teiler der Zahlen
=
T(<x).
a,
b.
Zur Arithmetik quadratischer
d\a ist
c,
e
d
(n)
u
ļ~j
die
.
.
ist
x2 +
§
sind
das
Jacobische
die
5y
Hilfssatz
eigentlich (d.
bzw.
mod
r
5
2
In
wiesen
Teiler
positiven
der Zahl
n.
Symbol.
aller
der
Darstellungen
1.
Ist
h.
mit
Ist
der Theorie
aus
teilerfremden
2
5_y
=
Da
nur
dann
der
Theorie
0
Zahl
durch
n
bestehen,
1
die
oder
ist,
ist
so
ist
so
kann
so
und
25,
Formen.
die Form
darstellbar,
4
r\x
wenn
binären
quadratischen
A 2 durch
y)
x,
mod
=—
der
der
Quadratzahl
eine
x2 +
teilbar.
2
x
A
2
-f- 5y
—
PQ.
und y durch
x
dieselbe
Kongruenz
r\y.
Formen
quadratischen
2
wird
be-
der
Hilfssatz
2.
Die
Anzahl der
n
durch
10.
.
Beweis.
2
Anzahl
a.
der Zahl
der
25
2
Hilfssätze
l.
d teilt
Teiler
positive
bezeichnet die Anzahl
F{n) sei
Form
für
Bezeichnung
.
Zahlenkörper
x2 +
die Form
+
5y
=
2
2
a
ist
5
m
der Zahl
Darstellungen
b
=
b
5
2
a
PQR
gleich
<-')*(f)}2f^)
d\m
Da
'/!
lm\
\
1
für
ist,
so
folgen
Hilfssatz
ist
hieraus
3.
Es
die Anzahl der
2
Vgl.
z.
B.
die weiteren
sei
a=
11,
m—l, 9,
ly)=i-i>. »-3,
0
oder
Primfaktoren
Dickson-Bodewig
1,
13,
S.
.
.
i7<
Hilfssätze.
n
=
der Zahl
(1)
19
mod 2 °)
/,
zwei
■
81.
n
2a Q und
eine
F(n) >0. Dann
gerade Zahl.
26
E.
Hilfssatz
4.
Ist
Q
dabei
Aus
1,
=
n
so
b
2a 5
=
muss
n
Fogels
PQR, F(n) > 0 folgt R= RĻ
gerade sein; gesetzt
a
=
2
a
=
ungerade sein; gesetzt
a
2a
'5
2 a',
b
PRI,
ist
F(n)
Ist
dagegen Q
=
2d(P).
=
so muss a
g,
n
(2)
=
2a' +
1,
22a'+ l bb PqR,
=
ist
F{n)
§ 2.
Für
y=x
definiert.
und y=
-f y ]/~—5
Setzen
x
Hilfssätze
ist
(3)
über einfache
die
Funktion
Zahlen.
T
durch
7*(y)
=
(*>
y)
wir
-\-yp^ —5
—
a
=
ß
=
aß,
x
a
1
r
J
r
a
2y
5
—
,
K +
so
a
=
=a
y
das
Ad{P).
=
folgt
1b
—Sa
1b
-\~
I
2
den
aus
2
b
2b
a
Gleichungen
2
1
1
Ergebnis
(5)
7Xaß)>7»r(ß).
Die
Einige
ganzen Zahlen
Bedingungen,
Multiplikation
mit
a
unter
T(<x)
denen
1
=
sich
werden
reproduzieren,
die
in
einfache
wir
nennen
einfachen
den
Zahlen.
Zahlen
folgenden
durch
Hilfssätzen
gegeben.
Hilfssatz
fachen
5.
Zahlen
ist auch
die
Normen
r
a
=
al
das Produkt
Beweis.
die
Sind
Setzen
-\-a2 }/
=
A
—5, B=b x +
und
b
2
A/ß
]/~—5
—
B
der
ein-
teilerfremd,
so
aß einfach.
r
wir
a§
=
x-\-y\/ —s,
so
bestehen
nebst
(4)
Gleichungen
%x + 5
—a2 x +
(x, y)\bI A
woraus
und also
folgt.
ist,
Na
so
In
auch
gleicher
folgt
a
a
,
2y
x
y
=
=
b
x
A,
2
A,
b
(x, y)\b 2 A
(x, y)\A
Weise beweist
hieraus
(x, y)
==
1.
man
auch
(x,y)\B.
Da
(A, B)
=
1
27
Zur Arithmetik quadratischer Zahlenkörper
Bemerkung
Zahlen a,
Formel
zur
teilerfremd,
ß
r(aß)
wo
lt
den
Bj_
der
ganzen
r(a)r(ß).
=
Zum Beweise benutzen wir die
a
Sind die Normen
(5).
ist
so
Darstellung
des
Voraussetzungen
=
a
7'(a)a l
Satzes
vorigen
ß
,
=
7'(ß)ß 1
und
genügen,
,
die
Gleichung
r(aß)
Hilfssatz
fremd,
so
Es
Beweis.
2
=
(a
—
fremd.
Ist
6.
sind auch
die
=
r(a)r(ß)r(a 1 ß 1^
Norm
der
sei
a=
5b'2 ) +
—5.
ist
Infolgedessen
auch
die
Dann
2
und
A/(a )
4
a
Zahl
=
zu
a
10 teiler-
Zahlen.
einfache
+
a
einfach
Zahl
einfachen
Ä
a
die Potenzen
ist
die
(A/a)
einfach.
2
Zahl
10
zu
Das
a 2
==
teiler-
Induktions-
2"
verfahren beweist
Wir
setzen
bestimmen
nebst
Um
n,
daß
dann,
Satz
Hilfssatz
gleich
b>o,
und
deren
Norm
Sind
7.
a>o
ist
Potenz
2n >k
2"
auch
einfache
a
ist.
nicht
<x.
Die
keine
a
k
Zahlen sind.
einfach
ist, und
Gleichung
einfache
über einfache Zahlen
Zahl
zu
sein
beweisen,
kann.
benö-
drei Hilfssätze.
folgende
Norm
Potenzen
daß die
für die
einen weiteren
tigen wir
alle
voraus,
Zahl
zeigt
(5)
nun,
nun
eine
daß
ist
a
a
lt
und
2
ß 15 ß2
..
,
ausserdem
(a,
alle
ap (a )
,
ganzen Zahlen,
alle
~
b) —l,
sind
so
diejenigen
alle
deren
der Norm
ganzen
Zahlen,
gleich ab ist, unter den Produkten
a
*
(Ä=l,
ß,
2,.
W=l, 2,.
.
.
,
..
,
F(a)
F(b)
•
(6)
enthalten.
Beweis.
aß
=
aß
Bedeuten a,
vorausgesetzt,
a';
ß,
l-n
wo
£==
Norm
und
gleich
len sein.
1
Yj
Zahlen
=
Wegen (7)
ist.
Deswegen
Ķ=
s
setzen
x
+
5
2
Zahlen
ß' beliebige
besteht
so
die
=
des
ß/ und wird
Gleichung
(7)
Körpers
müssen
rļ
Ä,
h
K
(|A—5)
sind,
deren
l, r\ konjugiert-komplexe Zah-
wir
ļA— 5,
a
—s
1
—s
2
]/ —5,
E.
28
wo
&
lt
rationale
2
s
geschrieben,
auch
der Zahl
Zahlen sind.
die
müssen
so
b
sein,
a
Da
=
(#,
1
=
Unter
alle
die
genügt
alle
s2
ab.
Norm
sind
(6)
Nach
Norm
eben
unter den
8.
k
enthalten;
~
—
ß'
fe
2
+px
,
•
k
P
•
2
~
..
,
durchläuft
y
a,
als
=
gibt
ab
also
—
ß.
verschiedene, und
im
es
(wegen
daher
aß folgt
ganzen ebenso-
ist.
gegebenen Norm
Satze
k
Potenz
n
g
deren
a
g
zu
ist.
Hilfssätze.
zwei
Norm
Zahlen
Primzahl
einer.
die weiteren
bestimmen,
zu
diejenigen
k
gleich p
ist, sind
(f ür ungerades
T
2
±p
~
hier
2 y
die
+p
,
vier
k)
.
2 (für
Zahlen
gerades k)
+y,
±y,
deren
Norm
ist.
Alle Zahlen
der durch
gleich
Hilfssatze
6
ist
haben die Norm pk
,
Zahl F(p k )
bestimmten
(1)
auch
es
(8)
leicht
=2(k -f 1).
daß
sehen,
zu
und
je
zwei
der
ihre Anzahl
Nach
dem
Zahlen
(8)
sind.
verschieden
die
Weise beweist
gleiche
Hilfssatz
9.
Ist
ft
y
,
A/y
g
konjugierten
der Norm
2k
q
Hilfssatz
=
f-\
nebst ihren
t
2
q
den
stellen
so
die Zahlen
,
2
q
man
f~
2
k
,
...,
und assoziierten
k
q
(9)
q
Zahlen alle ganzen Zahlen
dar.
10.
Es
seien
a
und
Zahlen,
ß einfache
Quadrate sind:
Na.
=
A
2,
Dann ist
=
F(a)F(b)
gleich
durch
aß
a,
aber
(1)
der
gleich
2
,
Beweis.
Auf
=
Alle ganzen Zahlen,
p*{
,
±y
ist
Brüche
Zahl
Zahlen
k
gleich p
der
Zahlen,
ganze
Aus
bewiesenen
ik-\
r
52
also
der
von
Zahlen bestimmen wir
Hilfssatz
sl}
sein.
ß oder a'
=
deren
0
=
ganzen Zahlen
deren
kennen,
Diese
Norm
nach dem
es
reduzierte
ß?
"'
müssen
so
ß'
a,
Zahlen,
ganze
Um
als
Teiler
„_
den Produkten
haben
viele
ist,
=
diese
sowohl
_
Nr] =1) Sļ —± 1,
a'
Werden
Nenner
wegen
F
NĶ
Fogels
T(aß)
ein rationales
A/ß^ß
Quadrat.
2
.
deren
Normen
Zur
Beweis.
Hilfssatz
einer
1
5.
Sind
g— p
Zahlen
ß auf Grund
dargestellt,
y
ß einen Faktor y *,
und
dann den bis
wo
y
/?
jedem
rational ist
der
und
Primzahl
2 (&
Wird
und
ist.
g
2
bestimmt
a
eine
),
Faktor
±V
Nach
7—9
nach
dem
werden,
Vi
Yļ
=
±y,
der
und
Hilfssatz
Produkt
Ny
Faktor
=
ist.
p
diejenigen
erhält
so
>
fl
.
G2
Gestalt
bleibt
y',
G
wo
so
ideale
]/~
—
1
dem
Hilfssatz
die
/dea/ assoziiert
Jede ganze
Zahl
=
V
x
der
der Zahl
(A, B)
Faktoren
übrigen
den
man
Satz
wiederholt
y
hinzuge-
Primteiler der Zahl
durch
wiederholte
über ideale Zahlen.
A
=
(10)
auf
Körper
den
ideale Einheit.
(12)
genannt.
Körperzahl
+y
]/
—
a
=
a-\- b
(x, y)
e(a,
x
und
x
j/"
—
1
werden
—
b)
2
5 ist
zugleich
eine ideale
5 mit
—
r
N(x -\-y\
]/"
5b2
—5)
=
(A/a)
y
2
=
2ab.
und
,
und
=
eine
genannt.
ay—2bx
ist
x=}Ax
Quadratwurzel
Die Zahlen
,
ist
(11)
eindeutig
2
es
2
bestimmte
x=a
Denn
9
Zahl, die den Bedingungen
bezug
in
ist
ganz
einer Potenz
gleich
nach
(einfachen)
T(a)=ed
Zahl
aß
Faktor
2,
genügt,
2ß
y
5.
Na.
die
der
>
ß
deren Norm
Ergebnis
Hilfssätze
ganze
wird
dem
ist
±T»
von
als
einen
g— p
=
höchsten Potenzen
§ 3.
Ist
Falle
für alle Primteiler
noch
des Hilfssatzes
Anwendung
Yi~
falls
Dasselbe
danach
l
=
höchsten Potenzen
bestehen.
g
=
die durch die
fügt,
A 2B
dieser
derselbe Schluß
werden
fl
-
y
ist
im
y' eine einfache Zahl,
g
im Falle
auch
,
aufgehen.
Hilfssätze
falls
y
/7
Fall
die
g
=±y oder ±y
yx
2
2a
In
a
(«+»), falls
2&
.
7'(aß)
b
a
g
das Vorzeichen bestimmten
auf
2
'
B
der
enthält
so
2
enthält
bzw.
ist
so
seien
g.
=
und
a
teilerfremd,
A
in
29
quadratischer Zahlenkörper
(A, B)>1
die
g,
oder g
Werden
A, B
Falle
Im
Primzahl
ist
Arithmetik
=
10 b s
zufolge
(12)
der
Gleichungen
30
E.
Das
ideale
Zahlen
sind.
Diese
letzteren
Hilfssatz
11.
Beweis.
ist
A/(aß)
Um
Das
Die
auch
A/ß
die
£
Bedingung
a
10
ist
die
=
A
(11)
T(a)a u
=
Zahlen
ist
sind
daher
Bedingung
Auf Grund
Einheit
ed2
Afß
ß
r(ß)ß lt
(10),
Bedingung
82.B2
die
=
Na
denn
.
Zahl
A\
—
1
c
=
idealen
für
Da
2.
die Zahl
Ķ
nachzuprüfen,
i
Ns t —B\
be-
Nach
ist.
nun
1.
\
Es
und
zuerst
A/ai^rr/ļ
T{a)
2
=
ist
so
in
zerlegbar.
Faktoren
nicht
Damit
absoluten
den
|č|=|
zugleich
und
setzungen
|e|
=
führt
d
| otļ |=
uns
—
eine
tu
d
1
=
den
zu
der
\/~e
1
1, und
zu
zu
.
nun
in
nächstes
—
T{a)
Ziel,
unterscheiden
1
=
a
ist.
=
lf wo
die idealen Faktoren
\f
ist,
müssen
haben.
es
T(a)
a
der idealen
(von
unser
oder
sind
Wegen
nur
untersuchen.
zwei
T{a)
>
die Fälle
Die
erste
diesen
von
1
ist
=
dieser
aber
=
Voraus-
idealen Primzahlen
]/~2,
denen die letzte
ic
ist
dem Zweck
> 1
Da
Zahl
.
Es
Zu
T{a)
Primzahl
Betrag
|
(13)
kann.
,
%
wir
ideale Faktoren
ed2 >1.
die
dl,
nennen
bestimmen.
zu
je nachdem in (13)
Fälle,
sei
werden
zerlegt
l
£ erfüllt.
ļAā
=
nicht
tc
e
=
Hilfssatzes
falls
Primzahlen
T(ß)
,
des letzten
abgesehen)
zwei
von
ist
T(a)T(V)T(aM
=
tc
1
ļ/~a, ]/~Ķ
Zahlen
der
=
für
und
T(a 1 $l)
=
(11)
eine ideale Primzahl,
—
idealen
2,
T(a)
=
gibt
Körpers
ideale Zahlen.
/~aß genügt
=
und Na
T(as)
wir
des
außerdem
und
alle
Zahlen
Darstellung
dem Hilfssatze
so
der
Es
beweisen.
keine
eigentlich
Produkt
Zahl
.
ß x einfache
x,
nicht
die
1),
—
wir
nennen
•
a
]/
natürlich
Zahl.
Na.
=
nutzen wir die
wo
sich
(beispielsweise
wieder eine ideale
es
läßt
Umgekehrte
Fogels
/~5,
Körperzahl
(14)
}/~
—
5
assoziiert
ist.
Zur Arithmetik quadratischer Zahlenkörper
Ist
legbar,
so
Wäre
2
eine
'
im Falle
d
durch
einfache
nügt;
d
eine
die
Zahl
soll
tc
also
2
x2 +
die
a,
Voraussetzung
von
Form
wäre dann
tc
bares
der zweiten
muß
und
5y
zusammengesetzt
d eine
Primzahl
2.
A/a
V
=
aus
ideale und
Es
sei
2
(PQ)
.
T(a)
der
Zahl
8, 9
P oder q
wo
A/y
die
Bedingung (10)
==
im
sein;
außer
zweiten
und
(14)
Falle
(15)
(Ny
.
1)
=
ļAa
Die
2 oder
Für
.
tc
unzer-
Primzahl
sein.
gäbe
so
Na
ein
es
d
=
ge-
unzerleg-
Zahlen
(15)
folglich
so
=
die
dem
(nach
Potenzen
der
gelangt
Hilfssatz
auch
man
also
möglichst kleine Zahl
1
=
]/ y*
muß
2
q
tc
1)
einfachen Zahlen
haben
wäre,
noch
j/~a
unzerlegbaren
und k eine
erfüllt
\
cl
x
,
dargestellt,
tc
2
\
darstellbar,
=d
r
durch
a
Die
tc.
=
&u
sein.
und
1
=
Wird die Zahl
den Hilfssätzen
Zerlegung
eigentlich
=
=
auch rationale Primzahlen.
zugleich
nun
r
(| e\
verschiedene
Bedingung
der
iz
sind also
2
5
31
einer
zu
die
Gestalt
,
im
ersten
Falle
Damit
(Ny=p) k= 2
schon k—\.
) genügt
ist.
Es
gibt also
idealen Primzahlen
tc=/7 (Ny=q 2 )
(16)
und
tc
In
beiden Fällen
von
denen
Diese
y
y
einfache
(Nf=p)
Zahlen
(17)
(also
gewiß
nicht
rationale),
jede vier Werte (± y> ±y) annehmen kann.
Überlegungen
Hilfssatz
Körper)
sind
=
ist
12.
Jede
beweisen den
eigentlich
ideal assoziiert
zu
ideale Primzahl
(in
bezug auf den
einer der Zahlen
r/T,
wo
y eine
§4.
Der
2
einfache Zahl mit A/y =q
Fundamentalsatz
Satz
lautet:
Primzahlen
ist
assoziierten
Faktoren
Die
zu
dem
(von
Die
der
bekannten
ist
der Arithmetik
Zerlegung jeder
der
Reihenfolge
abgesehen)
Hauptschwierigkeit
Hilfssatz
der idealen
Zahlen.
idealen
Zahl
Faktoren
und
in
den
ideale
ideal
eindeutig.
besteht
aus
(18)
in
der
dem
Beweise
des
Analogons
Theorie der rationalen
Zahlen:
32
Ist
E.
Produkt ab
das
der
einer
der
durch
Faktoren
eine
durch
Fundamentalsatz auf
Hilfssatz
dieser
für Primzahlen
Hilfssatz
Primzahl
g teilbar.
die
oder Ķ
K
Fogels
des
und
3
Es
Ist
wie
Für
.
auch
zugleich
Körpers.
13.
diesem
gleiche Weise,
geschieht
nicht
teilbar,
g
Aus
den
wenigstens
Analogon
es
im
folgt dann
Fall der
Körper
Körper
nicht
der
gilt
Fundamentalsatz
der
gilt jedoch
das Produkt
ist
so
der idealen Zahlen
ļ/~a j/~ß
durch
die Primzahl
teilbar,
tc
ist
so
ein
wenigstens
Faktor
durch
tc
teilbar.
Die
Zahl
Teilbarkeit
ist
x
die der
durch
Gleichung
Beweis.
der idealen
die
x
Die
Zahl
=
x
x
x
x
x
a 2
-1-
Formen
möglichen
ļA2, j/%
wo
falls
eine
es
definiert:
ideale
Zahl
x
sind
nach
§
der Zahl
j/~-^5
+ b
r,
und b
I
g
0 ist.
=1=
~\
2
falls
tc
=
5
falls
%
=
r
2
falls
2
p
tc
3
,
Diesen
Fällen
entsprechend
Tc
]^b
r
=
2
bzw.
andernfalls.
q
,
Ist
eine
der
unmittelbar.
Zahlen
Denn
,
—
V
es
besteht,
—
—
_/
a
7
7(a),
durch g
(ß)
wenn
/
a
i
Vg• \
_|te
/
"a
für
.
ļ
r
a
beweisen.
Bemerkung
Denn
aus
genügt,
der
x
tc
wird
und
für
eine
—y 2
ļ/^5,
,
r
für
tc
=
1/"2, ļAS,
ideale Zahl
teilbar.
der Faktoren
Da
Vgl.
g=
dazu
z.
gesetzt
E.
.
(19)
2
/-
Landau
und
(2)
S.
folgt die Gleichung
ist)
Ns=g
Linken,
zur
2, 5 oder
B.
rzu
Voraussetzung
A/a
Einer
j/~
Gleichung
ļAa".ļAp"=TCļA§
(wo }fh
Satz
andernfalls.
den Satz
um
der
folgt
so
gesetzt
die
genügt,
\
Diese
teilbar,
g<x1
=
x
einer idealen Zahl
Bedingungen
3
gibt,
wir
setzen
den
Die
2
genügt.
2
5b2 =p2 oder q2
Zahlen wird wie üblich
teilbar,
2
.
A/8.
sagen wir
A/a
=
5—22.
2
A/a, ist
ist,
so
dann durch
muß
nach
dem
Zur Arithmetik quadratischer
Hilfssatz
1
dann
betrachten
Wir
auch
(11)
und
folgt
wiesenen
T(cc) durch g teilbar
T—
2
=
daß
ed
+
T{§)
,
=
die Zahlen
Setzen
a
wir
x
=
J
1
el
ry x
folgen
so
Be-
dieses
T(ß)
zu
=a
2
5b2
durch /?2
r(ß)
gleichbedeutend
=
p
teilbar
mit
2,
ist.
der
Wegen
Bedingung,
teilerfremd sind.
p
(19)
y —5, ß
X=
die
noch
T(a)
ist
d\
T(a),
in
dem
ļ/y,
T(x)= 1, A/y
j
—
Aus
den Fall
nun
daß weder
vorausgesetzt,
7(a)
sein.
7c|a.
Tī
a
33
Zahlenkörper
1x
x
=
—
2
x2+
5y t y2
r
y2 ]A— 5,
V—
x
h
1y2
,
=
+
u
x
+ v\/ —s,
2yx
(20)
,
Beziehungen
X—
au
Y=
av
sbv-
—
t
-\- bu,
woraus
-bX+aY
=
aK + 5bY
Die erste
=
0
(mod
Dann
gruenz
(a
2
2)
p
wird
der
Formeln
-1-
5b
b
mit
2)yt y2
(21) wird
0
(mod
p
v,
K
]
u.
p
als
nun
und
bX
Kongruenz
die Werte
multipliziert
=
2
2
=
und darin
geschrieben
noch
p
das
2) addiert.
(20)
für
aY=
X, V gesetzt.
Ergebnis
So
—
gelangt
zu
der
man
Kon-
zu
der
Formel
(aVi
Unser
auf
nächstes
linken
Seite
setzen
wir
der
Zweck
—
bxj (ay2
Ziel
das
bx
)
2
==
0
beweisen,
zu
der letzten
Formel
p
ay-L
(mod p 2).
daß
(22)
ein Klammerausdruck
durch p
Entgegengesetzte
durch
Klammerausdruck
ist
—
2 teilbar ist.
Dann
voraus.
Zu
ist
dem
jeder
teilbar, also auch
—
bx
=
x
0
(mod p)
oder
ay x
Durch
a
y\
bx
x
erhalten wir
Quadrieren
2
==
2 abx y
1
1
—
+
(mod
p).
hieraus die
b2
x\
=
0
Kongruenzen
(mod
p
2)
(23)
und
2
b
URZR.
Mat.
I
x\
2
—
a
y\
=
0
(mod p).
3
E.
34
Aus
der
letzteren
Fogels
2
folgt, wegen
—
+
b*(xl
y\
a
2
bb
=
y\ (mod p),
(mod p)
oder
x\ + hy\
Wegen
mod p
2
+ §y\ =A ist
x2
=
b2
—
Wird
diese
zu
(a
—
5 b2
y\
—
5b2 )y2
0
=
2abx y
1
1
—
m
der
letzten
Kongruenz
(mod p 2).
entsteht
so
(24)
gilt dann auch die Kongruenz
Zugleich
addiert,
(23)
2
x\
(mod p).
gestattet,
es
2 statt mod pzu setzen.
0
=
die
0
Kongruenz
2
(mod/? )
oder
2
yl
Weiter
p
Es
| T(u),
2.
p\y x
einer
ist
also
früheren
y±
zu
(ay 1
=
—
=
und
1
zwei
}
=
0
(mod p 2).
(25)
je nachdem y 1 durch p teil-
Fälle,
2
2y 1
2
—
5b
2abx
—
1
2
5b
(a -f
y1
dann
Voraussetzung
=(a
a
ist
(24)
2
2)
=
auch
)y 1 (mod
0
zugleich
widerspricht.
Wegen
=
und
p\x x
2 a 2y
x
(25)
p
ist
dann
2),
—
(a
2
—
5b
2) y x
=.
(mod p 2)
zugleich
ay x
Damit
teilbar ist.
ist
2abx
teilerfremd.
p
1
a
—
Wegen
.
2abx
2
)y 1
teilbar ist.
sei
was
Es
5b
—
unterscheiden wir
bar oder nicht
1.
2
{(a
(26)
ist
wahr
a(ax l +
es
Man
=—
bx
±
==
daß ein
bewiesen,
kann
0
(mod p 2).
5 b
(26)
Klammerausdruck
daß
vorraussetzen,
und daraus
Vi)
—
dieses:
der
in
Es
gibt also
ganze
2x
x
+
x
saby
-f 5by 1
Zahlen
ax
—
1
=
sb(ay 1
Gesetzt
==
k,
=
0
—
bxj
=
(mod p 2).
l, die den Gleichungen
2
-\-5by 1 =p k
1
bx
r
genügen.
durch p
ist.
2
Dann
folgt
d.h.
ax
(22)
erste
k+ /
2
-f- ay 1 =p l
5,
ist
wegen
0
(mod p 2),
Zur Arithmetik quadratischer
(a + b ļ/"_ 5) (k -f /
ax
=
S)
+ 5by l
1
ak
—
5b
+ ay1
1
2p
+ aVļ) -[-
a(—
sbl+{al + -bk)
bx
—
a
p
,
=
35
Zahlenkörper
+
+
2
5by x)
,
V
J2
Ö
—
oder
==
7%
(28)
a
auch
=
Es
bleibt
idealen
Zahl
noch
nur
In
genügt.
der Tat
ist
man
j/~a x
(A\
der Formel
aus
—
sbl
den
erstens
A/a
Zweitens sieht
.
daß
zeigen,
zu
tc
=
!ak -f- al=y
einer
(28)
2
und deren
(27)
x
Bedingungen
nach
Umgestaltung
x
bk
1
,
daß sowohl
2
2
C*i» yi)\p k> (*i> yi)\p i
als
auch
(k, l)\x x
Anders
(k,
,
L)\y x.
geschrieben:
2
(Ä,
Da
so
folgt
nach
der
Voraussetzung
(ä, /).
(x l} Vi)
T(a)
—
zu
/?
teilerfremd
ist,
hieraus
(K /)l(*i, j>i)|(£, i)
oder
r( ai )|r(a)|r(ai ).
Das
letztere
Damit
y
a
ist
also
Der
setzung,
Es
ist
ist
aber
bewiesen,
durch
tc
mit
daß
in
2
die
p
bleibt also
durch
auch
=
T(a)
gleichbedeutend.
den
Bedingungen
auf
die Primzahl p
(10), (11)
genügt;
teilbar.
Beweis benutzt
daß
T(ax )
ļ/ a x
bezug
Form
im Falle
der
x2+
5_y
2
eigentlich
idealen Primzahl
nur
die Voraus-
darstellbar
tc=l/~y, Ny
sei.
2
=
q
bestehen.
3*
36
E.
§ 5.
Wir
bestimmen
unzerlegbaren
folgenden
Hilfssatz
14.
Die
Da
des
eigentlich
dem
Anzahl der
eine
Zweck
idealen
Arithmetik
beweisen
wir
zuerst
idealen Faktoren
eigentlich
Potenz
gerade
sei
ist,
deren
die
die
einer
es
einer
gestattet,
uns
Faktorenzerlegung
idealen
eigentlich
auf
uns
die
nur
solche
ersten
Zahl
Zahlen
Potenzen
idealer Primzahlen enthält:
Nach
dem
]/~
-f- y
a— x
—
5= %
mit
Multiplizieren
hieraus die
folgt
Zu
Körpers.
gerade Zahl.
Körpers
beschränken,
zu
der
Standpunkt
vom
des
Hilfssätze.
Beweis.
eine Zahl
nun
ist eine
a
Zahlen
unzerlegbaren
Körperzahlen.
zwei
Körperzahl
a
Die
Fogels
den
tc
2
.
%k
...
Faktoren
konjugiert-komplexen
Gleichung
x* +
sy*
=
g,g*
...
(29)
gu,
wo
f 2
für tc/
=
j/~2
_
gl
Damit
satz
3
die
oder
idealen
zu
15.
eine
gerade
Jedes Produkt,
Primzahlen
Beweis.
denen
Für
2
jedes
acht
jede
eine
sind Produkte
(18)
Paar
qt
q2
,
ist
nach
es
dem
Daß diese
wäre.
der
zeigt
Hilfs-
Bedin-
folgende
gerade Anzahl der eigententweder
gibt
4
16 Produkte
Zahl
eine
Körperzahl
Zahlen
Primzahlen
g
gibt
es
nach
a.
=
5y
2
,
-\- y\/ —5
x
des
Körpers
tc
so
bestimmt.
der idealen Primfaktoren
I
verschiedene
tc2
der
=x2+
==l/~Yl»
TC
{Nrx =qĻ
ziierter
ist
q\.
=■
Darstellungen
TC
Es
könne,
Zahl
das eine
enthält,
qx q2
Diese
Nr
einer solchen ideal assoziiert.
dem Hilfssatze
von
1/7,
bestehen
(99)
daß k
=
tc;
gewissen Sinne auch hinreichend ist,
Hilfssatz
lich
Gleichung
notwendig,
gung im
~\qi
für
tc
entstehen.
verbinden.
2
=
Nr2
=
qļ).
und ebensoviele
l
Diese
Da
jedes
lassen
Paar
sich
2
,
daß im
in 8 Paare
höchstens
eine
ganzen
ideal
asso-
Körperzahl
Zur
enthält
und
Paare
jedem
entweder
durch
eine
Zahl
Zahl
und 4
2,
1)
Überlegung zeigt,
2)
Zum
die
gibt
so
Produkt
in
es
also
ist
unterscheidet
es
daß
dasselbe
16.
sind Zahlen
Folge
Alle
(
hieraus
sind
sich
a
von
auch
Ergebnis
im
Körpers
gestattet sie
verschiedene
Hilfssätze
Zahlen
r,
sind
Körpers
sowie
(A/y=/?),
y
gleicher oder
2, ļAy (A/y
der
=
vieldeutigen
Primzahlen
verschiedene
5
des
ermitteln.
zu
idealen
asso-
2
q
ver-
).
normale Zahlen.
den Grund
K.(V—5)
eigentlich
auf
über
seiner
der
ist
j/~—5,
nebst
x
Körpers.
idealer Primzahlen y
Körper
die
des
%
8 verschiedene Produkte
das ideal-assoziierte ) zweier
imstande
nun
im
wir
ganzen
unzerlegbaren
cv.
eigentlich
benutzen
dann im
idealen Primzahlen
§ 6.
zerlegung
gibt
diesen
von
das Produkt
Wir
Beweise
Es
unmittelbare
schiedener
für
enthalten,
Jedes
oder
Körpers,
37
1.
—
ļ/~—2.
Hilfssatz
es
Zahlen
dieser
Körperzahl.
des
a
ļ/~
gleiche
bleibt.
Eine
des
8
quadratischer Zahlenkörper
der Faktoren
ziierten
tc
Paare
genau
eine
bestehen
TCj
8
den Faktor
Eine
Falle
alle
Arithmetik
Arten
Primfaktorenzerlegungen
zu
im
Primfaktoren-
Enthält
in
eine
solcher
paaren,
so
So
Körper.
Zahl
die
Anzahl,
hat
gibt
auch
es
a
a
s
B.
z.
die Zahl
A
a
die zwei
a
=
verschiedenen
(j/T
(]/T)2 (ļ/ 2+/:^s) 2
=
Zerlegungen
ļA2)(ļ/~2
]A
-f
+
ļ/"=s)
=2
(2 +
jA-5)
und
a
=
(]A
=
+ 2 ļ/^5)
Hilfssatz
und
(y"2 ļA
17.
hinreichend,
2
(ļ/~2
+
=
Damit
-
(ļ/ —4
die Zahl
dass entweder
—
a
]/~2
+1/
2ļA^s) 2
normal
=
ist,
=
—(1
ist
—
ļ/^5) 2
.
es
notwendig
38
E.
die
I.
(bis
auf
faktorenzerlegung
Fogels
assoziierte
der
Zahl
Faktoren
höchstens
a
ideale
bestimmte)
eine
Zahl
einzige
Prim-
(18)
(in
gerader Potenz) oder
11.
verschiedene Zahlen
zwei
nur
a
(18), und zwar eine
ihnen
von
in erster Potenz enthält.
Beweis.
Ist
keine
der
Bedingungen
II
I,
erfüllt,
enthält
so
a
entweder
111.
die
Gestalt
lassen
Quadrate' zweier
die
(18),
sich
dann
nichtassoziierter
auf
zweierlei
Faktoren
Weise
tz
x
tc
,
Paaren
zu
2
der
binden
:
TCļ) (IC 2
TC
),
(lZ x
2
TC
2
)
TC
2
),
oder
IV.
zwei
dann
(18);
erste Potenzen
gibt
zwei
es
und ein
(TC 3
( TC I
TC
der
Quadrat
verschiedene
idealen
Primzahlen
Verbindungen
3)> (TC I
3) (TC2
TC
TC
3),
oder endlich
V.
sich
erste
Potenzen
dann auf
vier
dreierlei
(%7C 2 )(TCS
Ist
stens
des
also
weder
7C
die
Alle
Körpers.
4
.
),
(%
I
noch
der
Zerlegungen
normalen
Zahlen
diese lassen
(18);
verbinden:
Bedingung
verschiedene
zwei
nichtassoziierter Faktoren
Weise
II
TC
erfüllt,
Zahl
des
) (TC 2 7C 3).
4
in
a
Körpers
gibt
so
es
unzerlegbare
sind also
wenigZahlen
unter
I,
II
enthalten.
Der Beweis
für
die die
Zahlen
des
zeigt zugleich,
Anzahl
daß
wir
man
verschiedenen
Körpers jede beliebige
stellen
Nun
der
die
Zahlen
konstruieren kann,
Zerlegungen
in
unzerlegbare
Grenze überschreitet.
welches
Frage,
a
die
rationalen
ganzen
r
normalen
leicht
sehen,
zu
gungen
Zahlen in
von
Im
g.
n
jedes
enthält
zerlegung
ist
n
nur
dem
die
Falle eines
uneigentlich;
Oder
spricht
bezug
den
solches
Körper
einer
n
K
der
sind.
{\ —5)
zwei
folgenden
und
Es
ist
Bedin-
genügt:
Entweder
kein
daß
auf
für
eine
die
Falle
erste
11.
rationale
ungeraden
gerades
ungerade
Potenz
n
Primfaktorenzerlegung
n
sind
dann alle
liegt aber der Fall
Zahl,
eines
deren
einzigen
I
Zahl
n
Faktoren
vor.
rationale
g
der
idealen
enthält.
PrimfaktorenDieses
ent-
Zur
Arithmetik
Jede andere Zahl
dene
Primzahlen
enthält
nur
Fall
vor.
IV
ein
Damit
ist
Die
18.
entweder
dem
Falle
gleiche oder
zwei
111
g, aber noch
einziges
{]/~—5)
K
was
g,
bewiesen
Hilfssatz
Körpers
enthält
n
39
quadratischer Zahlenkörper
bzw.
V
verschieoder
entspricht,
die Primzahl
dann
2;
sie
liegt der
der
rationalen
ganzen
und
normalen
Zahlen
des
sind
b
n
2a 5 PR
=
und
(30)
n
5 b PqR
=
{a, fi>o).
Um
A(n)
bestimmt,
a-L
einen
nun
führen
=A
1 Sb PR 2
Zahlen
zuerst
in
diesem
alle
Primfaktoren
Körperzahlen
wir
bezeichne
Satz
entsprechenden
normalen
der
Nu
=
n
ein.
Paragraphen eine ganze Zahl, deren ideale
sind.
nach
Zu
(2)
F(A 1)
beliebige
zwei
es
die Anzahl
Norm
gegebener
einige Bezeichnungen
uneigentlich
gibt
der
beweisen,
zu
mit
a
=
jedem
A/a
gegebenen
x
verschiedene
2d(P)
=
ganze
a
lt
tc,
bezeichne
TCļ
assoziierte
Die
bezeichnen
wir
Hilfssatz
gen der
Zahlen,
mit
19.
verschiedene nicht-
ideale Primzahlen.
eigentlich
ganzen
ļ/~2
von
a
deren ideale Primfaktoren
2. Es
Es sei
c
alle
eigentlich sind,
gilt dann der
=
c(A 2) die Anzahl der normalen Lösun-
Gleichung
a
—
2a2
A
(31)
2.
Für
A2 = q2k
,
ist
2q
2k
k
~\ qq\
x
{k^\)
dann
0 <
Beweis.
die Zahl
17
a2
der kleinste
die
Zahl
Im
der
(a-\-b\/~
Ä.== 1,
a2
bewiesen.
=
vierwertig,
k
5)
tctc
2 -
(h -f- l
Da
—
A
Exponenten
als
tc
Falle
=
beschränken.
=
~
h= 0
liefert
=
=
<
=
l
8.
iz
und
dieselbe
-1
iz
2k
ist
gilt,
wir
vier
nach
1
uns
ist.
auf
ist
der
Hilfssatz
normal,
wenn
Betrachten wir
den
verschiedene
Abschätzung
so
dem
dann
nur
gleich 0 oder
können
(tete) (tc )*
(32)
2k
dann und
höchstens
2
2ä_l
q
2k)
h,
so
c
2k
Fall
a2
auch
Satz
für
=
im
h
tc
2ä
/
=
Falle
2k
A2—q
E.
40
Es
sei
r
=
\/ 2iz
l
iz
vier
stens
weiter
h
2?
=
2
2 *- 1
(h + l=2k —l)
verschiedene
Nun
setzen
a2
211
(31) sind dann die Zahlen
Damit
a
Hilfssatz
2
=
diesem
zu
h
X2
) (tc )*
1a2 normal
a
=
A/a
dem
2
x
1
Nach
.
dem
schon
Zah-
nichtkonjugierte
der
Lösungen
-1
was
Gleichung
denen höchstens 8
unter
,
bewiesen.
daß
Vorausgesetzt,
Nach
tz
sein,
=
höch-
.
der Satz
und danach alle
(tc
a 2 ±=
0
a2
nun
4
-
als
tc x
tc,
Die normalen
Ist
.
—
liefert
2k
1
4
sind
ist
1
(Tz l % l )
iziz
=
(also qx 4= g) voraussetzen.
verschiedene
so
2
1
-
muß hl
tc) (tc )*-
können wir
q
—
2
gq
2h
A2
(ļ/T)2 (tete) 2 *-
normal,
—
A2 =
wir
betrachteten Fall
len
/1
Fogels
n
A
=
a
2 *- 1
2
einer
2 gleich
2k
-\/"2%'
,
die Norm
ist, bestimmen wir
1A
gehörigen normalen Zahlen
n
17 ist
TCfļ/T)
,
=
i
-
der
TCTCf-
,
a.
Zahlen
1
TC
2
,
*,
(Ä>o, Ä>l)
die wir
jede einzeln betrachten.
Es
sei
und
mal,
zuerst
Im
chung
aller
die
(nach
durch
kann
F(n)
dem
<x
a.
=
ist
a,
1
2
Hilfssatz
7)
gleich
genau
n
2k
=
q
Dasselbe
stehen,
1
die
Zahl
/z
eine
aa =/z
ist
/z
die Zahlen
17
22 * -1
=
a
=
normal
2*
-1
sind.
(|A2
tc)
Zahl.
a
Glei-
gelöst
x
Gesamtzahl
Die"
Tc
2*
auch
führt
die
Zahlen
uns
Zahl
c
a 2
der
zu
normal, und
normalen
a
2 mit
gibt
Deswegen
verschiedene
Zahl
normale
es
cc
n
2
a
Zahlen,
=
2k
q
jedem
zu
2k
2
(vgl.
bleibt
auch
in
den
zwei
übrigen
wo
2
2
—/2"tc *-!,
oc^tctc
Vgl.
nor-
1
Die
n
=
n
=
2q
2k
~
1
A
1
,
bzw.
4
2 2M
=
q
den
deren
A
1
den Beweis des
2*- 1
,
Hilfssatzes
15.
k
qq\
~
1
A
1
(£>l).
.
der
gibt
Hilfs-
Norm
ist.
Resultat
a
=
normale
(3) bestimmt.
bestimmten)
cF{A I)
~
A
ist
=
cc
(k >1)
tc
Hilfssatz
a2
ist
mit
bestimmt.
durch
19
F(A X ) verschiedene
satz
jedes
(2)
durch
nur
dem
Voraussetzung
mit
Dann
auch
(ļ/T)2 *-1
=
nach
Lösungen
Zugleich
es
a2
ß= aa
Die
ist
F(ri)
Falle
werden,
ist
zugleich
Ihre Anzahl
=2h
<x 2
Fällen
be-
Zur
Alles
=
n
beweist
zusammen
Hilfssatz
A/a
ist
Die
20.
den
Anzahl
der
2d{P)
für
4d(P)
f
cd(P){
[
andern
Hilfssätze
Einige
ist
x
eine
stanten,
In
fen
der
ist A (n)
n
alle
g
und
d
=
20.
Die
mod
d\
in
fi
s
—
qx
ho=
1
n
Sb Pq
=
s
h
2k
b
2
Pqß\
ß\
(33)
2
2
2 .5b
Pq "+iR
=
1
o<f<B).
von
den
Primzahlenverteilung.
nun
c±
,
c
geändert.
an
...
2,
Bezeichnungen
gewisser
verläuft
sind
Weiterhin
positive
Kon-
die Primzahlen
ist
/i(s), f2 (s),
wie
+ 2-* +..
5~2*
S. 24 durchlau-
von
arithmetischer
Progressionen
q= 3
(mod
20), q2
h bezeichne die Anzahl der reduzierten
a-\-it werden
+ 5- +
2a + l
für n=zbb Pqq2 a + 1 R2
Funktionen
2-s
=
für
2
=
dem betrachteten Falle
analytischen
änderlichen
mit
a
natürlichen Primzahlen.
. die Primzahlen q== 7 (mod 20).
Klassen
n
>0; c,
alle Primzahlen
r
Differenz
n
für
werden
mit
Übereinstimmung
p,
normalen
0.
=
Veränderliche
g durchläuft
für
22a 5 b PR
=
der Theorie der
aus
Bezeichnungen
reelle
n
£>0, £>1,
(a,
§ 7.
verschiedenen
gleich
A(n)=\
/W <z//č
41
Arithmetik quadratischer Zahlenkörper
+..
folgt
.
also
•
•
•
h
=
der
8.
komplexen
Ver-
definiert:
(a > 0),
=
(o > 0),
=
.
1
p (s)
=n(i +./r* +
?-
2*
+ ...)
=n
.(a > 1),
.
~"
P
P
(34)
R(s)=U (l +r* +
Qi(s)
=
n(i +
+.
2s
+ vT
.
.)"=
+ •••)
=
=
0(1 +
?2
n
ix
qi
Q 9 (5)
n
s
+ g^
4••
■
)
=
y~^(
>
j)>
t-^Fs
>
n>
9
1
0-=-i—
;
?2
1
ip
Vi
V
(a > 1),
2
E.
42
Fogels
SiM =fi(s)A(s) (P(s)f
Wird
a
> 1
die
.
'
der
Entwicklung
•
Q 9 (5) /?(*)•
Funktionen
Dirichletsche
konvergierende
R(s),
/M/li*)
-
■
K(s)
<§k (k =1,
als
2)
die für
Reihe
.
=
.
geschrieben,
Hilfssatz
21.
Abgesehen
r
n
ist
für
der
Koeffizienten
gilt
so
=
o
b
a+
Pqq\
alle andern durch
den
von
(33)
qe£
lR\,
folgende
Zahlen
(mod 20),
q1
bestimmten
ein Ö Ä (n)
wenigstens
n
von
Null verschieden.
Ist
gleich
<?)k
(n)
Der
Beweis
Wir
d
2a S
durch
des
\sk (s)
Faktors
ganze
summiert,
wird
der
X
so
so
ist
22.
es
Wird
.
für
ein
Beweis
Weise
man
für
von
eines,
man
Hilfssatzes
über
z.
bei
p,
g,
Es
wird
Hardy
von
and
Faktoren
divergieren;
Es
gezogen.
sowohl
r
im
(34)
die
Multipli-
ist
also
Falle
bei
wie
=
Ak
(x)
eine
c>o
h
\og
bei
der
\, 2
unabhängiges
~cx
die
folgen-
die Anzahl der
diejenigen
s=l.
besteht
(n)
derartigen
Zahlen 2a sl}5 l} PR <C x,
genden
x
ausführlich
findet
Zahl.
Betracht
k=
k
findet
man
B.
•
£&
ist
der einzelnen Faktoren
5.
gleich
Ak(x)
Den
in
Primzahlen
.
gesetzt,
die für
diesen Voraussetzungen
Hilfssatz
der
verschieden,
durch die Funktion
rationale
Primzahlen
P(s)
die Zahl
Unter
findet
X eine
mit
nun
Definition
auch
selbe
Null
von
Multiplikation
Beispiele
nichtkongruenten
unserer
.
PQR
XVII.
bestimmte
Funktion
zität
wird
bezeichnen
dermaßen
der
=
Ähnliche
Ch.
Wright (4)
mod
n
d(P).
erreicht.
■
b
für
(35)
x
Satzes
Landau
für
asymptotische
wir
nur
benutzen werden.
als
eine
(3) S.
andere
641—669.
Formel
eine
für
Funktion
Auf
die-
die Anzahl
Ungleichung
des fol-
Zur
Hilfssatz
durch
(a, #Z>o)
c
c
x,
2,
23.
Wird
cp(x)
die
Anzahl
bezeichnet,
Hilfssatz
Beweis
den
l
—
positive
es
2a 5b
Konstanten
24.
25.
wenn
.
g die
Durchläuft
findet
I<^a:<^jc0
wenn
x,
ein konstantes B
Hilfssatz
x
Zahlen
gibt
so
!cft^-^—
Den
der
für die
Ix,1
für
43
Arithmetik quadratischer Zahlenkörper
x>x0
natürlichen
Es
sei
bei
B.
z.
Landau
S.
(3)
eine Funktion
e
Primzahlen,
so
ist
V
.
man
(36 )
.
von
100—103.
x,
die
für alle grossen
Ungleichungen
1
c
genügt.
%
I
log-
x<s<
—
Dann ist
Z\=o{z).
Beweis.
Wegen (37) ist
y]~— log log
,
(38)
fr
x
—
log log-*;
1-8
+ O (log-1 x)
=
g
<Cg^.x
x
"
=
§ 8.
Satz
Die
eine
so
der
ist
es
über die
Anzahl
bezeichnet.
Da
y(x)
log (1
_
der
—
c) +
Anzahl
normalen
offenbar,
/
des
(log-
1
x)
=
der normalen
natürlichen
nach dem Hilfssatz
Zahlen
O
18
Hilfssatzes
0
(s);
natürlichen Zahlen.
Zahlen
jedes normale
23
sei
mit
v(x)
entweder
ist, oder die Form
Iq
hat,
daß
v{x)
=
v(x) -J-
2J <?(
X
\
'
Zum Abschätzen
der letzten
Summe setzen
wir
4_
(loglogx)V
£
=
(log x)
5
(39)
44
und
E.
wählen
des
setzungen
genug, damit
groß
x
Fogels
Hilfssatzes
erfüllt.
25
g^ x
i
Zerlegen
x
>-
dann sind
wird;
£
wir
die
Voraus-
die Summe
nun
*
e
"
g
und benutzen
5
i
(36)
mit
=X?
£-
i<
g
£
x0
(f)
,
< c^x
xl
~
B
folgt nach (37), (38)
so
x
=
2\ <
2\=
c^x
£
xl
<K
~
0
( £ *)>
£
g
s
9
x
=y
2J -<^^—X-=
t
K
l0§
1/
log log *\
\
Damit
Satz
ist
1.
durch
e
natürlichen
bestimmt,
(39)
Zahlen
v(x)
abgeschätzt
§
Es
der
9.
sei
0(ex)
.
)
bewiesen der
Wird
der normalen
f elogx
*
log*
e
x
=
so
kann
Körpers
des
die
Anzahl
v(x)
K (]/ —5) durch
(40)
0(ex)
werden.
über
Satz
die
Vļpc)
die
Anzahl der
Bedingung
der normalen Körperzahlen.
normalen
sich
sind nach
Hilfssätzen
von
5
b
Zahlen
Diejenigen
genügen.
deren Normen
den
Anzahl
+1
a
Pq 1 qļ
22
20, 21,
b
5
Rf,
unter
a
unter
a+l
Pq2 q\
des
Körpers,
diesen
die
Zahlen
a,
Rļ unterscheiden,
den
_A
4> (x)
—
Zahlen enthalten.
8
{A 1(x) +
Wir
A
2
(x))
benutzen
'
c5 x
4>(-*)«
c
~c
nur
für
1
6
log
8
*
4
die
x
log
8
x(x
-»
oo)
Ungleichungen
<J *<J
0
x
für x>x
0
(41)
.
Zur Arithmetik quadratischer
Da
durch
<b(x)
Zahlen
es
offenbar,
zu
jedem
mitgezählt
n=
5 b Pq 2a+X
die
sind,
Zahlenkörper
auf
gerade Bd(P)>
dieses
(log*)
sind
für alle
25 erfüllt.
Wir
genügend
zerlegen
großen
und benutzen
(40)
die
nun
\
l
x
gilt
Satz
der
nicht
x
2.
Dann
1
1
(38)
£
—
X
=o
<g<*
(a).
8
der
I#7rd
d«/r/z
s
die
überschreiten,
Anzahl
als
Hilfssatzes
.
folgt nach (37),
e
MMi
ol
(42)
normalen Zahlen
die
des
Bedingungen
—
X
aller
die
bestimmt,
des
<x
so
besteht
Körpers
für
—5),
die Anzahl
deren Normen
Abschätzung
v
Da
die
e>
g
I<—ATg <—<JC
(E logx)
also
(42)
11
Summe
mit
=
1
.
i
I<~<*£
Es
ist
so
wir
s=ÖÄ#,
so
zurückgehen,
n
daß
\
Setzen
45
1
(x)
ganzen
Anzahl
0(ex).
=
(43)
Zahlen
der
a
des
Gitterpunkte
Körpers
in
der
K
(jA —5)
Ellipse
u 2
+.
TC
J
rsv
asymptotisch
gleich
-—
x
ist,
folgt
hieraus
das
in
der
1/5
Einleitung
des
formulierte
Körpers.
Ergebnis
über die
Dichte
der normalen
Zahlen
46
E. Fogels
Anmerkung.
menden Werten
den
des
Hilfssatzes
benutzen wir
Suis)
=
Begnügen
von
s,
22
wir
reduziert
werden.
1
n
fAs)A(s)P(s)
-(i + ? ro n
oder
ö
l2 (#)
können,
=
1
und
oder
für
IT
6
Entwicklungskoeffizienten
annehmen
schwächer
etwas
Zum
1,
Beweise
abn<
2 direkt;
des Satzes
dann die Funktionen
$i 2 (*) =A(s)Ms) P(s) IT (1 +
deren
mit
uns
können die Beweise der Sätze
so
n
alle,
beides.
-±-rs =JJ
Jl
-
(/?),
des
n
Daraus
> r
-
T
©
12
(a > 1
=
--
(/z)
nur
die
Hilfssatzes
nach
folgt
18
dem
Werte 0
ist
B
oi
(«)
u
=
Hilfssatze
_JL
das
Ergebnis (40) mit
s
8
log
=
x.
i
■
_
Auf
man
die
gleiche Weise beweist
die Funktionen
2
man
(43)
mit
s
=
log
4
x,
wc
(s )>
=fi(s)A(s) (P(s)fß(s)U(l + ?r)
$4(*)=/i(*)/ 2 (s) (P (s)f R(s)
II
1),
?al
9i
#2
(1 + q~s) H
(a >1)
benutzt.
LITERATUR.
1.
Dickson-Bodewig, Einführung
2.
E. Landau, Vorlesungen
3.
E.
4.
G. H.
5.
L. J. Mord eil, Three Lectures
Landau, Handbuch
Hardy
über
der
Lehre
and E. M. Wr i
Der Fakultät vorgelegt
den
30.
ght,
on
Dez.
in
die
Zahlentheorie
(1931).
Zahlentheorie 111. (1927).
von
der
Verteilung
An Introduction
Fermat's
1941.
to
der
Primzahlen 1., 11.
(1909).
the Theory of Numbers (1938).
last Theorem
(1921.
French edition 1929).
Pētījums
aritmētiku
par
kvadrātiskā
laukā.
skaitļu
Kopsavilkums.
Šinī
saukti
darbā
un
formulu
tas
ir
mazāks
skaitļa
tā
visi
gandrīz
§
minēts
n
visu
lauka
X
1.
gadījumā.
analogu
c
dots
(\f—5) skaitļi
teorijā
ir
x
ar
lauka
par
vārdiem
(42),
teorēma
anormūli.
rezultāts
pazīstams
formā
dots
c
formulu
ar
tiek
a
vienno-
(§ 8) pie-
kur
rezultātu
Citiem
gadījumā.
F{ri)
skaitļi
teorēma
0(ex),
ir
tagad
formu
skaitu
veselie
pirmreizinātājos
skaitļu
norma
kvadrātisko
attēlojumu
sadalāmi
pretējā
iepriekšējā
kura
(ļ/ZTš),
(§ 9) pierāda
kuru
a,
kā
X
laukā
dabisko
teorēma
skaitļiem
izteic, ka
1.
2.
(39).
veselajiem
un
tie
anormāliem
par
laukā normālo
ka
rāda,
apskatīts
normāliem, ja
par
zīmīgi,
lauks
2 -ļ- 5_y
2
(2.
par
lemma)
un
secinājumi.
2.
§
definēta
b
a,
kāršu
skaitli.
racionāls
3.
pilda
nav
§
kvadrāts,
definē
lauka skaitlis.
4.
(11);
12.
lemma
lemma)
skaitļi,
lauka
sauc
izteic
=
visus
oc
īsti
ka
normas
veselo
skaitli
ideālu
ideālos
kas
T(a),
sauc
izteic,
kuru
īsti
par
1,
ir
vien-
par
T(as)
ir
kvadrāti.
a,
skaitli,
kas
ja
pirmskaitļus
iztas
ar
ideālie
ka
skaitļi
ir
sadalāmi
pirm-
viennozīmīgi.
§ (16.
lemma) apskata
6.
§ (17.
lemma)
skaitlis
a
ir
a
dod
lauka
nesadalāmos
nepieciešamo
normāls.
20.
skaitļus.
skaitļu
7.
ar
T{a)
(18).
racionālos
tāta
(10),
5.
mālo
ļ/~ā
skaitli
ja
(10.
ir vienkārši
§ pierāda pamatteorēmu,
reizinātājos
lauka
dalītājs;
rezultāts
ja a, ß
ideālo
a=.a-f- b\f—5 funkcija
skaitļa
kopīgais
Galvenais
nosacījumus
formulu
■
veselā
lielākais
skaitļu
18.
lemma
un
lemma
noteic
skaitļus.
pietiekošo
dod
dotai
nosacījumu, kad
lauka
normai
visus
n
normālos
atbilstošo
nor-
skaitu.
§ apskata
lemmas
par
(22. lemmas) pierādījumu,
Landavs.
1941. g.
30.
dcc.
pirmskaitļu
kas
izlieto
sadalījumu.
Galvenā
rezul-
komplekso integrēšanu, devis
AFV Nr.
11/00854. Eksemplāru
žamais Hlc 45
fabrikas.
kg,
67 X 95
lespiests
spiestuvē
un
skaits 1100.
cm,
brošēts
no
Papīrs iespie-
Jaunciema
papTra
Latvijas vērtspapīru
1943. g. Nr. 24673. V 88.