Mathematische Formeln
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Richard Mohr
Mathematische Formeln
für das Studium
an Fachhochschulen
6
Wichtige Bezeichnungen
Mathematische Zeichen und Symbole
=
gleich
{a, b, c}
Menge mit Elementen
≠
ungleich
∈
Element von
<
kleiner als
/∈
nicht Element von
>
größer als
⊂
. . . Teilmenge von . . .
≪
viel kleiner als
∩
Durchschnitt von Mengen
≫
viel größer als
∪
Vereinigung von Mengen
C
≤
kleiner oder gleich
A
Komplementärmenge
≥
größer oder gleich
∅
leere Menge
≡
identisch gleich
N
Menge der natürlichen Zahlen
≈
ungefähr gleich
Q
Menge der rationalen Zahlen
∼
proportional, ähnlich
R
Menge der reellen Zahlen
∥
parallel
C
Menge der komplexen Zahlen
⊥
senkrecht
(a, b)
geordnetes Paar
∧
logisches Und
AB
Strecke AB
∨
logisches Oder
[a, b] oder [a; b]
abgeschlossenes Intervall
⇒
aus . . . folgt . . .
(a, b) oder (a; b)
offenes Intervall
⇔
. . . äquivalent zu . . .
Δx
Differenz zweier x-Werte
lim
Grenzwert
Differenzial lim
...
und so weiter
∞
unendlich
i oder j
imaginäre Einheit
n!
n Fakultät
dx
dy
dx
f ′ (x)
∂f
∂x
∇
∑ xi
Summe aller xi
∫ . . . dx
Δx→0
Differenzialquotient
erste Ableitung von f (x)
partielle Ableitung von f nach x
Nabla-Operator
unbestimmtes Integral
b
∏ xi
Produkt aller xi
∫ . . . dx
bestimmtes Integral von a bis b
a
π = 3.1415927 . . .
Kreiszahl
e = 2.7182818 . . .
Eulersche Zahl
Griechische Buchstaben
α
A
Alpha
η
H
Eta
ν
N
Ny
τ
T
Tau
β
B
Beta
θ, ϑ
Θ
Theta
ξ
Ξ
Xi
v
Υ
Ypsilon
γ
Γ
Gamma
ι
I
Jota
o
O
Omikron
ϕ, φ
Φ
Phi
δ
Δ
Delta
κ
K
Kappa
π
Π
Pi
χ
X
Chi
m, ε
ζ
E
Z
Epsilon
Zeta
λ
μ
Λ
M
Lambda
My
ρ, Y
σ
P
Σ
Rho
Sigma
ψ
ω
Ψ
Ω
Psi
Omega
7
Inhaltsverzeichnis
1 Mengen, Logik, Zahlenmengen
1.1 Mengen, Logik . . . . . . . . . . .
1.2 Zahlenmengen . . . . . . . . . . .
1.3 Algebra . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
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9
. 9
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. 12
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2 Finanzmathematik
3 Komplexe Zahlen
3.1 Grundrechenoperationen . .
3.2 Nullstellen . . . . . . . . . .
3.3 Harmonische Schwingungen
3.4 Funktionen . . . . . . . . . .
16
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20
20
24
25
27
4 Gleichungen
29
4.1 Algebraische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Transzendente Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Lineare Gleichungssysteme
32
6 Vektorrechnung
35
6.1 Grundrechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2 Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.3 Lineare Abhängigkeit von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7 Analytische Geometrie
40
7.1 Darstellung von Gerade und Ebene im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.2 Grundaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8 Matrizen
8.1 Begriffe und Bezeichnungen . . . . . . . .
8.2 Grundrechenoperationen . . . . . . . . . .
8.3 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Eigenwerte, Eigenvektoren . . . . . . . . .
8.5 Mehrstufige Prozesse . . . . . . . . . . . .
8.6 Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . .
8.7 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
8.8 Ausgleichsrechnung . . . . . . . . . . . . .
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45
45
47
49
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53
54
54
55
8
Inhaltsverzeichnis
9 Funktionen und ihre Graphen
57
10 Analysis
10.1 Folgen und Reihen . . . . . . . . .
10.2 Ableitungen . . . . . . . . . . . . .
10.3 Integralrechnung . . . . . . . . . . .
10.4 Funktionen von mehreren Variablen
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72
72
76
85
96
11 Ebene Geometrie
11.1 Dreiecke . . . . . . . . . . .
11.2 Vierecke . . . . . . . . . . .
11.3 Kreise . . . . . . . . . . . . .
11.4 Kongruenz und Ähnlichkeit .
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105
107
108
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12 Kegelschnitte
111
13 Kurven in Parameterdarstellung
113
14 Räumliche Geometrie
117
15 Gewöhnliche Differenzial- und Differenzengleichungen
15.1 Differenzialgleichung erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Differenzen- und Differenzialgleichungen höherer Ordnung . . . . . .
15.2.1 Lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
15.2.2 Systeme linearer Differenzialgleichungen erster Ordnung mit
stanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.3 Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten
. . .
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kon. . .
. . .
120
. 120
. 126
. 126
. 130
. 132
16 Fourierreihen
17 Integraltransformationen
17.1 Sprung- und Impulsfunktionen
17.2 Faltungsintegral . . . . . . . .
17.3 Fouriertransformation . . . . .
17.4 Laplacetransformation . . . .
17.5 z-Transformation . . . . . . .
Sachwortverzeichnis
135
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143
145
146
149
155
159
9
1 Mengen, Logik, Zahlenmengen
1.1 Mengen, Logik
Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen
Objekten der Anschauung oder des Denkens zu einem Ganzen (Cantor).
Beispiel: Menge M = {a, b, c} . Sprechweise: a ist ein Element von M ( a ∈ M ).
Die leere Menge enthält kein Element. Schreibweise: {} oder ∅.
Ereignis
Menge
A oder B
A ∪ B = {x ∣ x ∈ A oder x ∈ B}
(Vereinigung)
Graphik
B
A
Ω
A und B
A ∩ B = {x ∣ x ∈ A und x ∈ B}
(Durchschnitt)
A
B
Ω
A aber nicht B
nicht A
aus A folgt B
A und B unvereinbar
A ∖ B = {x ∣ x ∈ A und x /∈ B}
(Differenz)
A
Ω
AC = Ω ∖ A = {x ∣ x ∈ Ω und x ∈/ A}
(Komplementärmenge)
A
Ω
A⊂B ∶ x∈A ⇒ x∈B
Jedes Element von A ist auch in B.
(A ist Teilmenge von B)
A∩B =∅
(A und B disjunkt)
B
A
B
Ω
B
A
Ω
In der Aussagenlogik werden an Stelle der Symbole ∩ , ∪ , ⊂ , AC häufig die Bezeichnungen ∧ , ∨ , ⇒ , ¬A benutzt.
10
1 Mengen, Logik, Zahlenmengen
Beispiel: {a, b, s} ∪ {b, f, g} = {a, b, f, g, s}, {a, b, s} ∩ {b, f, g} = {b}, {b} ⊂ {a, b, s}
Produktmenge (kartesisches Produkt):
Die Produktmenge A × B (sprich: A Kreuz B) zweier Mengen A und B enthält als
Elemente alle geordneten Paare (a, b) mit a ∈ A und b ∈ B :
A × B = {(a, b)∣a ∈ A und b ∈ B}
An = {(a1 , a2 , . . . , an )∣ai ∈ A} heißt Menge der n-Tupel mit Elementen aus A.
Beispiel: A = R, B = N: Zahlenfolgen ak
R2 = {(x, y)∣x, y ∈ R} Anschauungsebene
R3 = {(x, y, z)∣x, y, z ∈ R} Anschauungsraum
Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn )∣xi ∈ R} n-dimensionaler Raum
Eine endliche Menge A mit n Elementen besitzt 2n mögliche Teilmengen (einschließlich
∅ und A).
1.2 Zahlenmengen
Natürliche Zahlen N
N = {1, 2, 3, . . .} bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen.
N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich Null.
Ganze Zahlen Z
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen.
Rationale Zahlen Q (Bruchzahlen, Brüche)
a
Q = { ∣ a ∈ Z und b ∈ N} bezeichnet die Menge der rationalen Zahlen.
b
Rationale Zahlen lassen sich als abbrechende oder periodische Dezimalzahlen darstellen,
da bei der Division ganzer Zahlen nur endlich viele Reste möglich sind.
Reelle Zahlen R
Neben den rationalen Zahlen enthält die Menge
der reellen Zahlen auch Werte, √
die über Grenzprozesse definiert werden (z. B. 2, e , π). Diese
Zahlen lassen sich nicht als abbrechende oder periodische Dezimalbrüche darstellen. Jeder Punkt auf
der Zahlengeraden kann einer reellen Zahl zugeordnet werden und umgekehrt.
Reelle Zahlen sind als unendliche Dezimalbrüche
darstellbar.
Reelle Zahlen können als Teilmenge der komplexen
Zahlen C (vgl. Abschnitt 3) aufgefasst werden.
C
R
Q
Z
N
1.2
Zahlenmengen
11
Zahlengerade
Jede reelle Zahl entspricht einem Punkt auf der Zahlengeraden und umgekehrt.
Es gilt a < b genau dann, wenn der zugehörige Punkt a links von b liegt: z. B. −1 < −0.4 .
Entsprechend a > b, a ≤ b, a ≥ b .
3
4
-0.4
-2
-1
0
√
2
1
√
e = 2.71828 . . . , π = 3.14159 . . . , 2 = 1.41421 . . .
e
π
✲
2
3
4
Intervalle (zusammenhängende Bereiche auf der Zahlengeraden)
Beschränkte Intervalle
Unbeschränkte Intervalle
abgeschlossenes Intervall:
[a, b] = {x ∈ R ∣ a ≤ x ≤ b}
[a, ∞) = {x ∈ R ∣ x ≥ a}
offenes Intervall:
(a, b) = {x ∈ R ∣ a < x < b}
(a, ∞) = {x ∈ R ∣ x > a}
linksseitig halboffenes Interv.:
(a, b] = {x ∈ R ∣ a < x ≤ b} (−∞, a] = {x ∈ R ∣ x ≤ a}
rechtsseitig halboffenes Interv.: [a, b) = {x ∈ R ∣ a ≤ x < b} (−∞, a) = {x ∈ R ∣ x < a}
Spezialfälle: R+0 = [0, ∞) , R+ = (0, ∞)
Betrag einer reellen Zahl
Für den Betrag einer reellen Zahl gilt:
(komplexer Fall Seite 22)
∣a∣
⎧
a, falls a > 0
⎪
⎪
⎪
= ⎨ 0, falls a = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −a, falls a < 0
√
=
a2
✲
-a
a
0
Punkte, die Zahlen mit demselben Betrag
entsprechen, sind auf der Zahlengeraden
gleich weit vom Nullpunkt entfernt.
∣a − b∣ = Abstand zwischen a und b
∣a − b∣
v © Z
a
∣x ± y∣ ≤ ∣x∣ + ∣y∣
„Dreiecksungleichung“
∣x ± y∣ ≥ ∣ ∣x∣ − ∣y∣ ∣
Rechenregeln: ∣x ⋅ y∣ = ∣x∣ ⋅ ∣y∣;
∣− a∣
∣a∣
v © Z v © Z
∣xα ∣ = ∣x∣α ;
x
∣x∣
∣ ∣=
, y≠0
y
∣y∣
b
✲
12
1 Mengen, Logik, Zahlenmengen
1.3 Algebra
Rechengesetze
allgemein
Kommutativgesetz
Spezialfall +, ⋅, ∶ in R
a⊗b= b⊗a
a + b = b + a;
a⋅b = b⋅a
Assoziativgesetz
a ⊗ (b ⊗ c) = (a ⊗ b) ⊗ c
a + (b + c) = (a + b) + c
a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c
Distributivgesetz
a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c)
(a + b) ⋅ c = (a ⋅ c) + (b ⋅ c)
(a + b) ∶ c = (a ∶ c) + (b ∶ c)
Hierarchie: Punktrechnung vor Strichrechnung, Potenzen vor Punktrechnung, Klammern
haben Vorrang
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Bei Mengen gelten beide Distributivgesetze:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Regel von De Morgan:
Symbole
n
Summenzeichen
Produktzeichen
Fakultät
1
Näherung
C
(A ∩ B) = (AC ∪ B C )
C
(A ∪ B) = (AC ∩ B C )
∑ ai = a1 + a2 + . . . + an−1 + an
i=1
n
∏ qi = q1 ⋅ q2 ⋅ . . . ⋅ qn−1 ⋅ qn
i=1
n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ . . . ⋅ (n − 1) ⋅ n sowie 0! = 1
n n √
(Stirlingsche Formel)
n! ≈ ( ) ⋅ 2πn
e
√
1
ln(n!) ≈ (n + ) ⋅ ln n − n + ln 2π
2
Binomialkoeffizient
n
n ⋅ (n − 1) ⋅ . . . ⋅ (n − k + 2) ⋅ (n − k + 1)
n!
=
( )=
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ . . . ⋅ (k − 1) ⋅ k
k!(n − k)!
k
n
n
n
n
wobei ( ) = 1, ( ) = 1 und ( ) = (
) = n;
0
n
1
n−1
n
n
n
n
∑ ( ) = 2n , ∑ (−1)k ( ) = 0 , n ≥ 1;
k
k
k=0
k=0
Binomische Formeln
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
1
n
n
Symmetrie: ( ) = (
)
k
n−k
n
n
n+1
( )+(
)=(
) (Pascalsches Dreieck)
k
k+1
k+1
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b) ⋅ (a − b) = a2 − b2
Verallgemeinerung der Fakultät für x ∈ R: Gamma-Funktion Γ(x), wobei Γ(n) = (n − 1)!
1.3
Algebra
13
Pascalsches Dreieck
n=1
1
n=2
1
n=3
1
1
n
n
(a + b)n = ∑ ( )ak ⋅ bn−k
k=0 k
(a + b)1 = a + b
1
2
3
Binomischer Lehrsatz
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
1
3
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
1
n=4
1
4
6
4
1
⋮
1
⋮
⋮
⋮
⋮
1
Jede innere Zahl der jeweils nächsten
Zeile erhält man als Summe der beiden
schräg darüber stehenden Zahlen.
n
n
n+1
( )+(
)=(
)
k
k+1
k+1
(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
⋮
=
⋮
Die Koeffizienten sind die Zahlen in der
entsprechenden Zeile des Pascalschen Dreiecks; dabei ist die Summe nach abnehmenden Potenzen von a geordnet.
Mehrgliedrige Ausdrücke
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2 b + a2 c + b2 a + b2 c + c2 a + c2 b) + 6abc
an − bn = (a − b) ⋅ (an−1 + an−2 b + an−3 b2 + . . . + a2 bn−3 + abn−2 + bn−1 )
Proportionalität, umgekehrte Proportionalität
Die Zuordnung zwischen zwei Größen x und y nennt man Proportionalität, wenn dem 2-,
3-, . . ., k-Fachen der einen Größe das 2-, 3-, . . ., k-Fache der anderen Größe entspricht.
Für zueinander proportionale Größen x, y gilt:
y
y = k ⋅ x bzw.
= k mit der konstanten Zahl k, dem Proportionalitätsfaktor.
x
Die Zuordnung zwischen zwei Größen x und y nennt man eine umgekehrte Proportionalität, wenn dem 2-, 3-, . . ., k-Fachen der einen Größe das 21 -, 13 -, . . ., k1 -Fache der anderen
Größe entspricht. Für zueinander umgekehrt proportionale Größen x, y gilt:
1
bzw. y ⋅ x = k mit einer konstanten Zahl k .
y=k⋅
x
Ungleichungen
Umformungen
für <, ≤, >, ≥
exemplarisch
für <:
Beispiel:
a<b
⇐⇒
a<b
⇐⇒ a ⋅ c < b ⋅ c für c > 0
a<b<0
a<b
⇐⇒ a ⋅ c > b ⋅ c für c < 0
0<a<b
1
1
< ; x ≠ −1
x+1
3
L = (−∞, −1) ∪ (2, ∞)
a±c < b±c
Fall x > −1
Fall x < −1
1
1
<
x+1
3
1
1
<
x+1
3
0<a<b
1
1
>
>0
a
b
1
1
⇐⇒ 0 >
>
a
b
b⇒ 0 < a2 < b2
⇐⇒
⇒
3<x+1
↝ 2<x
⇒
3>x+1
↝ 2 > −1 > x
14
1 Mengen, Logik, Zahlenmengen
1.4 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
Potenzen
an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ . . . ⋅ a
t ; 0
n Faktoren
a ∈ R heißt Basis oder Grundzahl,
n ∈ N Exponent oder Hochzahl.
Wurzeln
Für a ∈ R, a ≥ 0 und n ∈ N, n ≥ 2 definiert man:
√
a ist diejenige positive Zahl b, für die gilt: b2
√
n
a ist diejenige positive Zahl b, für die gilt: bn
Für n = 2 schreibt man statt
√
2
a=
Vereinbarung: a0 = 1
=
=
a.
a.
√
√
a . Es gilt n 0 = 0 für n ≥ 2 .
Zusammenhang zwischen Wurzeln und Potenzen
Im Folgenden seien a, m, n, p, q so gewählt, dass die Ausdrücke links und rechts der
Gleichheitszeichen existieren.
√
√
√ m
1
m
m
n
n
a = an ;
am = a n ; ( n a) = a n .
Rechnen mit Wurzeln
Beim Rechnen mit Wurzeln ist häufig die Schreibweise mit gebrochenen Exponenten hilfreich.
√
√
n
√
√
√
√
√ √
a
a
n m
n
n
n
Weiter gilt: n a ⋅ b = a ⋅ b ;
=
a = n⋅m a .
;
√
b
n
b
√
√ √
9 ⋅ t2
9 ⋅ t2
3
Beispiel:
= √
= ⋅ ∣t∣
16
4
16
Multiplizieren und Dividieren von Potenzen
bei gleicher Basis:
bei gleichem Exponenten:
ap ⋅ aq
=
ap+q
ap ⋅ b p
=
(a ⋅ b)p
a
aq
=
ap−q
=
(
(an )
=
an⋅m
ap
bp
p
m
Beispiel:
15 ⋅ 4m + 4m
16 ⋅ 4m
16
=
=
=4
m+1
m+1
4
4
4
a p
)
b
1.4
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
15
Potenzen und Logarithmen
Die Hochzahl x in der Gleichung ax = b heißt Logarithmus von b zur Basis a.
Dabei ist a, b > 0; a ≠ 1.
Schreibweise: x = loga (b)
Die Gleichungen ax = b und x = loga (b) sind äquivalent.
Es gilt: loga (1) = 0, loga (a) = 1 .
Rechnen mit Logarithmen
Unter der Voraussetzung u, v, a > 0, a ≠ 1, p ∈ R gilt:
√
loga (u ⋅ v) = loga (u) + loga (v)
loga ( n u) =
u
loga ( ) =
v
loga (up ) =
aloga (u)
loga (u) − loga (v)
1
loga (u)
n
= u
loga (au ) = u
p ⋅ loga (u)
Natürlicher Logarithmus
n
Der Logarithmus zur Basis a = e mit e = lim (1 + n1 ) = 2, 718 . . . heißt natürlicher
n→∞
Logarithmus. (Vgl. auch Seite 66 ff.)
Schreibweise:
loge (b) = ln(b)
1
Entsprechend gilt: ln(1) = 0, ln(e) = 1, ln ( ) = −1
e
√
1
ln(u ⋅ v) = ln(u) + ln(v)
ln ( n u) =
ln(u)
n
u
ln ( ) = ln(u) − ln(v)
eln(u) = u
v
ln (up ) = p ⋅ ln(u)
ln (eu ) = u
√
1
5
Beispiel: ln (a3 ) − ln ( a) + ln(b) = 3 ⋅ ln(a) − ln(a) + ln(b) = ln(a) − ln(b)
2
2
√
5⎞
√
⎛
a
= ln ( a5 ) − ln(b) = ln
⎝ b ⎠
Spezielle Logarithmen
Zehnerlogarithmus: lg(b) = log10 (b) ;
Zweierlogarithmus1 : ld(b) = log2 (b)
Zusammenhang zwischen natürlichen Logarithmen und Logarithmen zur Basis a :
loga (u) =
ln(u)
;
ln(a)
lg(u) =
ln(u)
;
ln(10)
Beispiel: lg(10000) = log10 (104 ) = 4 ;
1
andere Bezeichnung: lb(b) = log2 (b)
ld(u) =
ln(u)
ln(2)
ld(64) = log2 (26 ) = 6
16
2 Finanzmathematik
Verzinsung eines Kapitals mit Zinseszins
K0 = Anfangskapital (Barwert)
p
q = 1+
Kn = Kapital nach n Jahren
100
n = Laufzeit in Jahren
p % = Zinssatz
Errechnung des Zinssatzes aus Laufzeit,
Anfangs- und Endkapital
Errechnung der Laufzeit aus Zinssatz,
Anfangs- und Endkapital
Kn = q n ⋅ K0
Kn = q ⋅ Kn−1
√
Kn
− 1)
p = 100 ( n
K0
log Kn − log K0
log q
n=
Unterjährige Verzinsung
m = Anzahl der Zinsperioden im Jahr
p
n = Jahre
= relativer Periodenzinssatz
m
n ⋅ m = Anzahl Zinsperioden in n Jahren
Kn = K0 (1 +
m⋅n
p
)
100m
Beispiel: Anfangskapital K0 = 1 000 e; Zinssatz p = 4 % ; Laufzeit n = 5
4 5
) = 1216.65 e
Bei jährlicher Verzinsung ergibt sich: K5 = 1000 ⋅ (1 + 100
Bei vierteljährlicher Verzinsung ergibt sich: K̃5 = 1000 ⋅ (1 +
Effektiver Jahreszins
p % = nominaler Zinssatz im Jahr
m
5⋅4
4
)
4⋅100
= 1220.19 e
p∗ = [(1 +
= Anzahl der Zinsperioden im Jahr
m
p
) − 1] 100
100m
Beispiel: p = 9 % nominal bei monatlicher Zinsgutschrift, also m = 12:
12
9
) − 1] 100 ≈ 9, 38 % effektiv
p∗ = [(1 + 100⋅12
Darlehen mit konstanter Tilgung („Ratentilgung“)
Rückzahlung einer Schuld mit festem Tilgungssatz und zusätzlich anfallenden Zinsen
Tilgungsplan
Zeit
Beginn
Darlehenshöhe: S
nach 1 Jahr
Zinssatz: p %
Laufzeit: N Jahre
S
Tilgungsrate:
N
nach 2 Jahren
⋮
nach N Jahren
Insgesamt gezahlte Zinsen: Z = S ⋅
p N +1
⋅
100
2
Schuld
S
Zinsen
0
S
N
S
S −2
N
⋮
S
S −N
=0
N
p
100
S
p
(S − )
N 100
⋮
S
p
(S − (N − 1) )
N 100
S−
S
159
Sachwortverzeichnis
Abbildung
kreistreu, 28
winkeltreu, 28
Ableitung, 76, 77, 79
der Umkehrfunktion, 79
höhere, 78
implizite, 79
Kettenregel, 79
Linearität, 79
logarithmische Ableitung, 79
partielle, 98, 99
Produktregel, 79
Quotientenregel, 79
Richtungs-, 100
verallgemeinerte, 144, 147
Vorzeichenwechsel, 83, 84
Absolutglied, 32
Abszisse, 57
Abtastung, 155
Achsenspiegelung, 109
Additionstheoreme, 69
Ähnlichkeitsdifferenzialgleichung, 125
Änderungsrate
lokale, 77
mittlere, 77
relative, 81
Äquivalenzumformungen, 32
algebraische Gleichungen, 29
allgemeine Kosinusfunktion, 71
allgemeine Sinusfunktion, 71
alternierende Reihe, 73
Amplitude, 25, 71
Amplitudenmodulation, 147
Amplitudenspektrum, 136, 137, 139
Anfangswertproblem, 122
Angebotsfunktion, 94, 95
Archimedische Spirale, 114
Areakosinus Hyperbolicus, 66
Areasinus Hyperbolicus, 66
Argument, 20
Assoziativgesetz, 12
Asymptote, 63
Ausgleichspolynom, 55
Ausgleichsrechnung, 55
Bahngeschwindigkeit, 113, 114
Barwert, 16, 18
Basisvektoren, 36
Bedarfsmatrix, 53
Bernoulli-de l’Hospital, 80
bestimmtes Integral, 85
Betrag, 11, 20, 36
Betragsspektrum, 136
Binomialkoeffizient, 12, 13
Binomische Formel, 12
Binomischer Lehrsatz, 13
biquadratische Gleichungen, 29
Bogenlänge, 93, 113, 114
Bogenmaß, 68
Brennpunkt, 111, 112
charakteristische Gleichung, 52
charakteristisches Polynom, 52, 127, 130,
134
Cramersche Regel, 54
Darlehen, siehe Tilgungsplan
Definitionsbereich, 57, 60
Deltafunktion, 143
δ-Funktion, 143
Determinante, 49–51
Dreiecksmatrix, 51
Entwicklungssatz, 50
Diagonalmatrix, 46
Differenzengleichung, 120, 156, 157
linear mit konstanten Koeffizienten,
132
homogen, 133
inhomogen, 134
Ordnung der, 120
Differenzenoperator, 132
Vor-, Rückwärtsdifferenz, 156
Differenzenquotient, 77
Vorwärts-, 132
Differenzial, 79, 80
totales, 101
160
Differenzialgleichung, 120
Anfangswertproblem, 122
erster Ordnung, 120, 125
Ähnlichkeit, 125
exakt, 125
linear homogen, 121
linear inhomogen, 121
separierbar, 120
Substitution, 125
Trennung der Variablen, 120
Eulerverfahren, 123
Fundamentallösung, 127
höherer Ordnung, 126
komplexer Ansatz, 129
linear mit konstanten Koeffizienten, 126–128
lineares homogenes System, 130
lineares inhomogenes System, 132
Heunverfahren, 123
Laplacetransformation, 150, 151
numerische Lösung, 123
Ordnung der, 120
Richtungsfeld, 124
Runge-Kutta-Verfahren, 123
Störfunktion, 128
Variation der Konstanten, 122
Differenzialgleichungssystem
asymptotisch stabiles, 131
charakteristisches Polynom, 130
Eigenwert, 130
Eigenwertgleichung, 130
konstante Koeffizienten, 130
Laplacetransformation, 151
lineares, 130
stabiles, 131
Differenzialquotient, 77
Differenzierbarkeit, 78
Dirac-Distribution, 143
Diracsche Deltafunktion, 143
Distributivgesetz, 12
Drehung, 46, 47, 109
Dreieck, 105
Flächeninhalt, 105
gleichseitiges, 107
Höhe, 105
Inkreis, 106
Sachwortverzeichnis
rechtwinkliges, 106
Schwerpunkt, 105
Umkreis, 106
Dreiecksmatrix, 51
Dreiecksungleichung, 11, 22
Ebene, 40, 41
Normalenform, 41
Tangential-, 99
effektiver Jahreszins, 16
Eigenvektor, 52, 53, 132
Orthogonalität, 52
Eigenwert, 52, 53, 130–132
charakteristische Gleichung, 52
Eigenwertgleichung, 52, 130
Einheitsimpuls, 143
Einheitsmatrix, 46
Einheitssprungfunktion, 143
Einheitsvektor, 36
Elastizität, 81
partielle, 102
Eliminationsmethode, 103
Eliminationsverfahren, 32
Ellipse, 111
Brennpunkt, 111
Exzentrität, 111
Gärtnerkonstruktion, 111
Halbachsen, 111
Endwert, 17
Entwicklungssatz, 50
Epizykloide, 115
erweiterte Matrix, 32, 34
Euler-Formel, 21
Eulersche Zahl, 73, 74
Eulerverfahren, 123
Exponentialform, 21
Exponentialfunktion, 66
Exponentialgleichungen, 30
Extrema, 81, 82
Eliminationsmethode, 103
Lagrange-Methode, 104
mit Nebenbedingungen, 103
ohne Nebenbedingungen, 102
Fakultät, 12
Falkschema, 48
Faltung zweier Folgen, 155
Sachwortverzeichnis
Faltungsintegral, 145
Fehler
absoluter, 80
relativer, 81, 102
Fehlerquadrate, 55
Fehlerrechnung, 101, 102
FFT-Algorithmus, 138
Folge, 72
arithmetische, 73
Beschränktheit, 72
explizite, 72
geometrische, 73
Grenzwert, 72, 73
Konvergenz, 72
Monotonie, 72
rekursive, 72
Fourierintegral, 146
Fourierkoeffizienten, 135
reell und komplex, 136
ungerade bzw. gerade Funktion, 136
Fourierreihe, 135, 141
Amplitudenspektrum, 136
Betragsspektrum, 136
Gleichanteil, 136
Grundschwingung, 136
komplexe, 136
Oberschwingung, 136
Phasenspektrum, 136
Tabelle, 141, 142
Fouriertransformation, 146
Frequenzbereich, 146
Korrespondenzen, 148
Rechenregeln, 146, 147
Zeitbereich, 146
Frequenz, 70, 71
Kreis-, 71
Frequenzbereich, 146
Fundamentallösung, 127
Fundamentallösungsvektoren, 130
Fundamentalsatz der Algebra, 24, 25
Funktion
Areakosinus Hyperbolicus, 66
Areasinus Hyperbolicus, 66
Exponential-, 66
Gamma-, 12
ganzrationale, 62
161
gebrochenrationale, 63
Graph einer, 57
Grenzwert, 76
harmonische, 71
Kosinus Hyperbolicus, 66
Kosinus-, 67, 69, 71
Kotangens-, 67, 70
linksseitiger Grenzwert, 76
Logarithmus-, 66, 67
Potenz-, 63
rechtsseitiger Grenzwert, 76
reelle, 57
Sinus Hyperbolicus, 66
Sinus-, 67, 69, 71
Strecken einer, 59
Tangens-, 67, 70
Umkehr-, 60
Verketten von, 60
Verschieben einer, 59
von mehreren Variablen, 96
Wurzel-, 66
Funktionenschar, 58
Funktionsbegriff, 57
Funktionsgleichung, 57
Funktionsterm, 57
Gammafunktion Γ(x), 12
ganze Zahlen, 10
Gauß-Algorithmus, 32
Gaußsche Zahlenebene, 20
geometrische Reihe, 155
Gerade im R2 , 61, 62
Punkt-Steigungsform, 61
Zweipunkteform, 61
Gerade im R3 , 40, 41
windschiefe, 44
Gesamtumsatz, 94
Gibbssches Phänomen, 135
Gleichanteil, 136
Gleichung
biquadratische, 29
Exponentialgleichung-, 30
Logarithmus-, 30
quadratische, 24, 25, 29
trigonometrische, 31
Wurzel-, 30
162
Goldener Schnitt, 110
Gradient, 100
Gradmaß, 68
Grenzwert
Folge, 72
Funktion, 76
linksseitiger, 76
rechtsseitiger, 76
Grenzwertsätze, 72
Grundlösung, 121
Grundschwingung, 136
harmonische Schwingung, 25, 71
Addition, 26
Zeiger, 25
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, 86
Heavisidefunktion, 143
Heunverfahren, 123
Höhenlinien, 96, 97
Hyperbel, 111, 112
Brennpunkt, 112
Exzentrität, 112
Halbachsen, 112
Hyperbelfunktionen, 66, 79
Hypotenuse, 67
Hypozykloide, 116
imaginäre Einheit, 20
Imaginärteil, 20
implizites Differenzieren, 79
Impulsantwort, 153, 157
Integral, 85, 86
arithmetischer Mittelwert, 94
bestimmtes, 85
Eigenschaften, 86
numerische Berechnung, 91
partielle Integration, 89
Produktregel, 89
quadratischer Mittelwert, 94
Rechenregeln, 89
Substitutionsregel, 89
unbestimmtes, 85
uneigentliches, 90
Integrand, 85
Integrationsgrenze, 85
Integrationsvariable, 85
Sachwortverzeichnis
Interpolation; trigonometrische, 138
Intervalle, 11
inverse Matrix, 49
Investitionsrechnung, 19
Barwert, 19
Endwert, 19
Isoquanten, 96, 97
Kardanwinkel, 47
kartesische Form, 20
Kartesisches Blatt, 116
kartesisches Koordinatensystem, 57
Kathete, 67
Kegel, 118
Netz eines, 118
Kegelschnitte, 111
Keplersche Fassregel, 91
Kettenregel, 79
verallgemeinerte, 100
Koeffizientenmatrix, 32, 34
Koeffizientenvergleich, 64, 65
Kommutativgesetz, 12
Komplementärmenge, 9
komplexe Funktionen, 27
ganze lineare Funktion, 28
gebrochen lineare Funktion, 28
komplexe Zahlen, 10, 20
Addition, 21
Argument, 20
Betrag, 20, 22
Division, 21
Exponentialform, 21
ganze lineare Funktion, 28
gebrochen lineare Funktion, 28
Gleichheit, 21
Imaginärteil, 20
kartesische Form, 20
konjugiert komplexe, 23
Multiplikation, 21
Nullstellen, 24
Ortskurven, 27
Polarkoordinaten, 22
Polarkoordinaten-Form, 20
Realteil, 20
trigonometrische Form, 20
Wurzeln, 24
Sachwortverzeichnis
Kongruenzabbildung, 109
Achsenspiegelung, 109
Drehung, 109
Punktspiegelung, 109
Translation, 109
konjugiert komplexe Zahl, 23
Konsumentenrente, 94, 95
Konturlinien, 96
Konvergenz
Folge, 72
Potenzreihe, 74
Reihe, 73
Taylorreihe, 74
uneigentliches Integral, 90
Konvergenzradius, 74
Korrespondenzsymbol, 146, 149, 155
Kosinus, 67, 69, 71, 75
amplitudenmodulierter, 147
Kosinus Hyperbolicus, 66, 79
Kosinus-Fourier-Transformierte, 146
Kosinussatz, 107
Kotangens, 67, 70
Krümmung, 84
Kreis, 108, 111
Flächeninhalt, 108
Umfang, 108
Kreisabschnitt, 108
Kreisausschnitt, 108
Kreisfrequenz, 25, 71, 146
kreistreue Abbildung, 28
Kreiszylinder, 117
Kreuzprodukt, 37
Krümmung, 82–84, 113–116
Krümmungskeisradius, 113
Kugel, 92, 119
Kugelabschnitt, 119
Kurven zweiter Ordnung, 111
Kurven; in Parameterform, 113
Lagrange-Methode, 104
Laplacetransformation, 149
Anfangswertproblem für Differenzialgleichungen, 150, 151
Endwertsätze, 150
Korrespondenzen, 153, 154
periodischer Funktionen, 149
163
Rechenregeln, 150
Übertragungsfunktion, 152
Impulsantwort, 153
Parallelschaltung, 153
Rückführung, 153
Reihenschaltung, 153
Sprungantwort, 153
Laufzeit, 16
Leitlinie, 112
lineare Abbildung, 45
lineare Abhängigkeit, 39
lineare Funktion, 61
lineare Gleichungssysteme, 32, 34, 54
Absolutglied, 32
erweiterte Matrix, 32, 34
homogene, 33
inhomogene, 33
Koeffizientenmatrix, 32, 34
überbestimmte, 54
Linearfaktor, 30, 64
Linearität, 79
Linienspektrum, 136
Logarithmen, 15
natürliche, 15
Zehner-, 15
Zweier-, 15
logarithmische Ableitung, 79
Logarithmusfunktion, 67
Logarithmusgleichungen, 30
Logik, 9
Lotfußpunkt, 43
Mac Laurinsche Reihe, 74
Mantelfläche, 93
Marktpreis, 94, 95
Matrix, 32, 45
s-Multiplikation, 47
Addition, 47
Diagonal-, 46
Dreh-, 46
Eigenvektor, 52
Eigenwert, 52
Einheits-, 46
inverse, 49
Produkt, 48
quadratische, 45
164
Rang einer, 46
Rechenregeln, 48
Spiegelungs-, 46
symmetrische, 45, 52
transponierte, 45, 54
Vandermondesche, 55
Matrizenmultiplikation, 48
Maximum, 81–84, 102, 103
Mengen, 9
Differenz, 9
disjunkte, 9
Durchschnitt, 9
Komplementärmenge, 9
Teilmenge, 9
Vereinigung, 9
Minimum, 81–84, 102, 103
Mittelwert
arithmetischer, 94
quadratischer, 94
Mittelwertsatz der Differenzialrechnung,
78
Monotonie, 58
Nabla ∇, 100
Nachfragefunktion, 94, 95
natürliche Zahlen, 10
natürlicher Logarithmus, 15
Newtonverfahren, 81
Niveaulinien, 96
Normalengleichung, 55
Normalenvektor, 41
Nullfolge, 72
Nullphasenwinkel, 71
Nullstelle, 30, 62
konjugiert komplexe, 24
mehrfache, 24, 64
Nullvektor, 35
Oberschwingung, 136
Obersumme, 85
Ordinate, 57
Orthogonaltrajektorien, 124
Ortskurven, 27
Parabel, 62, 112
Brennpunkt, 112
Leitlinie, 112
Sachwortverzeichnis
Paraboloid, 92, 103
Parallelogramm, 107
Parallelogrammfläche, 37, 107
Parallelschaltung, 153
Parsevalsche Formel, 147
Partialbruchzerlegung, 63, 64
Partialsumme, 72
partielle Ableitung, 98, 99
partielle Integration, 89
Pascalsches Dreieck, 13
Periodizität, 70
Phasenspektrum, 136, 138, 139
Polarkoordinaten, 114
Polynom, 24, 62
charakteristisches, 52, 127, 130, 133
Nullstellen, 62
quadratisches, 62
trigonometrisches, 135
Polynomdivision, 30
Potenzen, 14, 15
Potenzfunktion, 63
Potenzreihen, 74
Konvergenzkriterien, 74
Prisma, 117
Produktregel, 79
Produktzeichen ∏, 12
Produzentenrente, 94, 95
Proportionalität, 13
umgekehrte, 13
Punktraum, 40
Punktspiegelung, 109
Pyramide, 118
Netz einer, 118
Quader, 117
Netz eines, 117
Quadrant, 57
quadratische Gleichungen, 24, 25, 29
konjugiert komplexe Lösung, 24
quadratische Matrix, 45
Quotientenkriterium, 73
Quotientenregel, 79
Rang, 34, 46
Ratentilgung, 16
rationale Zahlen, 10
Raute, 107
Sachwortverzeichnis
Realteil, 20
Rechengesetze, 12
Assoziativgesetz, 12
Distributivgesetz, 12
Kommutativgesetz, 12
Rechte-Hand-Regel, 36
reelle Zahlen, 10, 11
Regel von Bernoulli-de l’Hospital, 80
Reihe, 72
arithmetische, 73
geometrische, 73
Konvergenzkriterien, 73
Potenzreihe, 74
Quotientenkriterium, 73
Taylorreihe, 74
Wurzelkriterium, 73
Reihenschaltung, 153
rekursive Folge, 72
relativer Fehler, 102
Rentenrechnung, 17
Barwert, 18
Endwert, 17
Resonanz, 128, 134
Richtungsableitung, 100
Richtungsfeld, 124
Rotationskörper
Mantelfläche, 93
Volumen, 92, 93
Runge-Kutta-Verfahren, 123
s-Multiplikation, 36
Sarrus-Regel, 50
Sattelpunkt, 82
Satz des Pythagoras, 106
Satz von Fourier, 135
Satz von Thales, 109
Schachbrettregel, 50, 51
Schiefe Körper, 119
Schnittgerade, 42
Schnittkurven, 97
Schnittmenge, 9
Schnittpunkte zweier Graphen, 84
Schnittwinkel, 41, 42, 84
Schraubenlinie, 116
Schwerpunkt, 93, 105
Schwingungsdauer, 25, 70, 71
165
Segment, 108
Sehnensatz, 109
Sekantensatz, 109
Sektor, 108
separierbare Differenzialgleichung, 120
σ-Funktion, 143
Signumfunktion, 143
Simpsonformel, 91, 92
Sinus, 67, 69, 71
Sinus Hyperbolicus, 66, 79
Sinus-Fourier-Transformierte, 146
Sinussatz, 107
Skalarprodukt, 36, 37
Spatprodukt, 38
Spektraldarstellung, 136
Spiegelung, 46
Sprungantwort, 153, 158
stabil, 131, 157
asymptotisch stabil, 131
Stammfunktion, 85, 87, 88
stationäre Punkte, 102
Stetigkeit, 76, 78
Stirlingsche Formel, 12
Störansätze, 134
Störfunktion, 128
Strahlensätze, 110
Summenzeichen ∑, 12
Superpositionsprinzip, 128, 134
Symmetrie, 58, 59
zum Koordinatenursprung, 59
zur y-Achse, 59
Tangens, 67, 70
Tangente, 77
Tangentenvektor, 113, 114
Tangentialebene, 99
Taylorpolynom, 74
Taylorreihen, 74
Konvergenzbereich, 75
Teilmenge, 9
Teilsumme, 72
Tilgungsplan
konstante Annuität, 17
konstante Jahresraten, 17
konstante Tilgung, 16
Torus, 119
166
totales Differenzial, 101
Transformation
Fourier-, 146
Laplace-, 149
z-, 155
Translation, 109
transponierte Matrix, 45
Trapez, 107
Trapezregel, 91
Trennung der Variablen, 120
trigonometrische Formeln, 68
trigonometrische Gleichungen, 31
trigonometrisches Polynom, 135
triviale Lösung, 33
Trochide, 115
überbestimmte lineare Gleichungssysteme, 54
Übergangsmatrix, 53
stationärer Zustand, 53
Übertragungsfunktion, 152, 157
Umkehrfunktion, 60, 67
unbestimmtes Integral, 85
uneigentliches Integral, 90
Ungleichung, 13
Dreiecks-, 11, 22
Untersumme, 85
Ursprungsgerade, 62
Vandermondesche Matrix, 55
Vektorprodukt, 37
Vektorraum, 40
Vektorrechnung, 35
Addition, 35, 36
Betrag, 36
Einheitsvektor, 36
Gleichheit, 36
Kreuzprodukt, 37
Länge, 36
Rechte-Hand-Regel, 36
s-Multiplikation, 35, 36
Skalarprodukt, 36, 37
Spatprodukt, 38
Subtraktion, 35
Vektorprodukt, 37
verallgemeinerte Ableitung, 144, 147
Vereinigungsmenge, 9
Sachwortverzeichnis
Verzinsung, 16
effektiver Jahreszins, 16
Zinseszins, 16
Viereck, 107
Parallelogramm, 107
Raute, 107
Trapez, 107
Volumen von Rotationskörpern, 92, 93
Würfel, 117
Wachstumsrate, 81
Wendepunkt, 82–84
Wertebereich, 57, 60
winkeltreue Abbildung, 28
Wurzelfunktion, 66
Wurzelgleichungen, 30
Wurzelkriterium, 73
Wurzeln, 14, 24
Zahlengerade, 11
Zahlenmengen, 10
C, 10
N, 10
Q, 10
R, 10, 11
R+ , 11
R+0 , 11
Z, 10
Zehnerlogarithmus, 15
Zeiger, 25
Zeitbereich, 146, 155
zeitdiskrete Systeme, 157
Zinseszins, 16
Zinssatz, 16
z-Transformation, 155
Differenzengleichungen, 156, 157
Impulsantwort, 157
Korrespondenzen, 158
Rechenregeln, 156
Sprungantwort, 158
Stabilität, 157
Übertragungsfunktion, 157
zeitdiskrete Systeme, 157
Zweierlogarithmus, 15
Zykloide, 115
Zylinder, 117
Netz eines, 117
