zur Berechnung - ETH E

Research Collection
Doctoral Thesis
Ueber eine Formel von Frobenius zur Berechnung der
Charaktere endlicher Gruppen
Author(s):
Prokop, Wilfried
Publication Date:
1948
Permanent Link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-000103816
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Über eine Formel
zur
von
Frobenius
Berechnung
der Charaktere endlicher
Gruppen
Von der
EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE
IN
zur
Erlangung
ZÜRICH
der Würde eines Doktors der Mathematik
genehmigte
PROMOTIONSARBEIT
vorgelegt
von
WILFRIED PROKOP
von
Referent:
Zürich
Herr Prof. Dr. E. Stiefel
Korreferent: Herr Prof. Dr. H.
Hopf
1948
BUCHDRUCKEREI
PROKOP & CO., ZÜRICH
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MEINEN ELTEEN
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Einleitung
Aus der klassischen
endliche
Gruppe
nur
besitzt, und
teren
Darstellungstheorie
eine endliche Anzahl
ebenso viele wie
zwar
ist
bekannt, daß eine
von
einfachen Charak¬
Ähnlichkeitsklassen. Die
indem
einfachen Charaktere können bestimmt werden,
reguläre Darstellung
sämtliche
der
irreduzibeln
Gruppe ausreduziert, denn
Darstellungen und damit
Das Verfahren ist
Charaktere.
Durchführung
tere, die allerdings
nen
Man
1.
von
folgenden
von
tivem
Weg
und für
allgemeine
die
Methode.
zwei:
Untergruppen
von
zu
berechnen.
Frobenius
zwischen Charakteren der
(I)1).
so
einfachen
Bestimmung der einfachen Charak¬
stärkeren Voraussetzungen ausgehen, nen¬
Hilfsmittel tritt dabei ein
gruppen auf
erhält
die
zur
versucht, die Charaktere der Gruppe
Charakteren
hang
sehr mühsam,
der Ausreduktion besteht keine
Von andern Ansätzen
wir die
aber
man
die
man
Gruppe
Die Absicht bei diesem
die Charaktere aller endlichen
aus
Als
angegebener
bekannten
wesentliches
Zusammen¬
und solchen der Unter¬
Vorgehen ist, auf induk¬
Gruppen zu bestimmen.
Gruppe kann als Untergruppe einer symmetri¬
schen Gruppe aufgefaßt werden. Jeder einfache Charakter einer
endlichen Gruppe ist also (i. a. zusammengesetzter) Charakter
einer symmetrischen Gruppe. Daraus ergibt sich das Problem,
unter den Charakteren einer symmetrischen Gruppe diejenigen zu
Jede endliche
2.
finden, die einfache Charaktere einer bestimmten Untergruppe
Untersuchungen in dieser Richtung hat Lütlewood durchge¬
(II). Wie man die dabei benötigten Charaktere der symme¬
trischen Gruppen berechnen kann, hat Frobenius angegeben (III).
sind.
führt
l)
am
Römische Zahlen in Klammern beziehen sich auf das Literaturverzeichnis
Schluß der Arbeit.
5
Besonderes Interesse fand die zuerst genannte Methode, die wir
von Frobenius nennen. Ihre Durchführung
ge¬
kurz die Methode
schieht in zwei Schritten
Erster
der
Schritt
Berechnung der verallgemeinerten Charaktere
desjenigen Moduls, der von den Charakteren
:
Gruppe, d. h.
Gruppe erzeugt
der
Zweiter
:
Schritt
:
wird.
Bestimmung
der
einfachen
Charaktere
als
Basiselemente dieses Moduls.
Mit Hilfe der Formel
der im
Untergruppen
ten
ein Kriterium
von
Frobenius erhält
enthalten ist und sich ihm
gesuchten
mehr oder
besitzen,
zu
weniger
je
man
einen
Modul,
nach den verwende¬
nähert. Es ist erwünscht,
das entscheidet, ob die beiden Moduln
zusammenfallen oder nicht, bevor ein eventuell zweckloser Ver¬
such
Die
zur Durchführung des zweiten Schrittes unternommen wird.
Herleitung eines solchen Kriteriums ist ein Gegenstand dieser
Arbeit.
In
neueren
Arbeiten hat Brauer
vielen endlichen
Gruppen
echte
den können, daß die Methode
raktere
(IV, V) gezeigt, daß in
Untergruppen so ausgewählt
von
sehr
wer¬
Frobenius den Modul aller Cha¬
Da die
liefert2).
Fragestellung von Brauer aber nicht genau
liefert
sein
unsrige ist,
Auswahlprinzip unter Umständen mehr
Untergruppen als zur Berechnung des Moduls der Charaktere
nötig wären. Das Kriterium, das wir angeben werden, kann dazu
beitragen, die Anzahl der für unsern Zweck notwendigen Unter¬
die
gruppen
zu
Anwendung
reduzieren. Es ist in
§ 2, Nr.
1 formuliert.
Zu seiner
muß ein Determinantenteiler einer
gewissen Matrix
speziellen Fällen genügt die Berechnung
einer Determinante (Spezialfall § 2, Nr. 2).
Wie sich zeigen wird, sind bei unsern Überlegungen Sylowgruppen von besonderer Wichtigkeit. Diese spielen überhaupt in der
Darstellungstheorie der endlichen Gruppen eine ähnliche Rolle wie
berechnet
2)
werden ;
Der Satz
gilt für
in
alle endlichen
die nicht zyklisch, keine p- Gruppe
zyklischen und einer p- Gruppe sind. Die
benützt, sind gewisse direkte Produkte der eben ge¬
Gruppen,
und auch nicht direktes Produkt einer
Untergruppen,
nannten Art.
6
die Brauer
Untergruppen in der Theorie der ge¬
Gruppen. Bekanntlich kann man die Berech¬
Charaktere einer solchen mit Hilfe jener maximalen
die maximalen abelsohen
schlossenen Lie'schen
nung
der
abelschen
Untergruppen explizit
durchführen.
(Vgl.
die Arbeiten
VI, VII.)
geben wir in § 1 die Herleitung der
geeigneter Form, die Grundidee der
Methode und erste Folgerungen über ihre Anwendbarkeit. § 2
bringt ein allgemeines Kriterium zur Entscheidung der Frage, ob
sich die einfachen Charaktere einer Gruppe aus gewissen gegebenen
In der
Formel
vorliegenden
von
Charakteren
dung
Frobenius
in
ganzzahlig-linear
auf die in
welchen
Arbeit
Beitrag
§
kombinieren lassen, und die Anwen¬
1 beschriebene Methode. In
zur
Bestimmung
Methode dann noch liefert,
wenn
§
3 wird
untersucht,
des Moduls aller Charaktere die
dieser Modul nicht mit dem
erhaltenen zusammenfällt.
aus
§
gewählten Untergruppen
Zusammenstellung der Resultate.
Die Anregung zur Untersuchung dieser Fragen erhielt ich von
Herrn Prof. Dr. E. Stiefel. Für sie und für sein weiteres reges
Interesse an der Bearbeitung der Probleme spreche ich ihm meinen
den
4 ent¬
hält eine kurze
besten Dank
aus.
7
§
Die
1.
Grundlagen
1. Die Formel
der Methode
Frobenius
von
Wir leiten diese Formel hier in der für
zweckmäßigen
uns
Form
nochmals ab.
Es sei G eine endliche
zahl k. Ihre Klassen
Unterscheidung
Die
(x
von
unbekannten
Gruppe mit der Ordnung g und der Klassen¬
1, 2,..., k) seien bekannt und zur
Ca («
=
Klassen
Ferner sei
H1
eine
von
k±.
Untergruppe
nannt
—
Jede
von
G
werden
G mit der
Ihre einfachen Charaktere
sowie ihre Klassen Dß
a.
Untergruppen (x-Klassen genannt.
einfachen Charaktere
mit
%x
1, 2,..., k) bezeichnet.
=
der Klassenzahl
i.
von
(ß
1, 2,..., &, )
=
Ordnung ht
a>"3) ( v
—
=
1,
2
und
,...,
kx)
kurz i/-Klassen ge¬
seien bekannt.
Darstellung
reduzibel sein
von G erzeugt nun eine solche von
H1, die
wird, auch wenn die Darstellung von G irreduzi-
bel ist. Jeder einfache Charakter
auf
H1
H1.
Ist also
genommen
x
—
ein
(i.
ein Element
a.
von
G ist daher
—
als Funktion
zusammengesetzter) Charakter
von
Hlt
so
bestehen
Gleichungen
von
der
Form
**(*)
=
ix «>'(*)
t=2\2,""k)
^x
v=l
e
al)
(i)
>
worin die Koeffizienten
die
nur
von
Da wir
werden,
es
x
avx reelle nicht-negative ganze Zahlen sind,
abhangen, nicht aber von x.
häufig mit reellen ganzen Zahlen zu tun haben
und
noch
v
setzen wir fest
immer solche Zahlen.
:
Kleine lateinische Buchstaben bedeuten
Griechische kleine Lettern stehen
gesehen
Verwendung
notwendig reell-ganzzahlig sind.
von
3)
8
ihrer
Der Grund für die
als Indizes
Hochstellung
—
—
ab¬
für Zahlen, die nicht
der Indizes wird später
angegeben.
Da die Funktionen
finden sich unter den
x
gehören,
nur
kx
\
Gleichungen in
(1),
die
verschiedene. Bedeuten
zu
einem bestimmten
%x(Dß),
cov
Werte der betreffenden Funktionen auf der #-Klasse
die verschiedenen
sind, be¬
und mv #-Klassenfunktionen
%K
Gleichungen
von
(1) gegeben
^=î>>"<^>
(Dß)
Dß,
durch
so
die
sind
:
£:!J;::::2>.
(1,)
Gleichungen werden wir später zurückgreifen.
Mit Frobenius gehen wir nun in (1) zu den konjugiert komplexen
Werten über, multiplizieren jede Gleichung mit dem Wert ^{x)
eines beliebigen einfachen Charakters von Ht und addieren dann
Auf diese
die erhaltenen
Gleichungen
ieHi
v
Da nach den
=
l
bei festem
V/*
xtHi
»^/j
v
=
=
Ca eine beliebige G-Klasse.
obigen Gleichungen mit %x(Ga) und
Wir
=
Kl)
•
hx hat,
wäh¬
:
—
'i
«-l)
^
•
multiplizieren jede
der
«
t
(Ca)
Xx
=
\-Zax%x (Ca)
x=i
x=i
(oc
•'
addieren dann bei festem
k
S œHx) E lx (*)
xeHl
den Wert
sich
vr
Nun sei
:
•
t-l'22""k\
K-<
xeUi
und ^
fi
verschwindet, ergibt
Ï^JÏ)«nx)
x> ^>-
—
erster Art für die u>v die
Orthogonalitätsrelationen
innere Summe der rechten Seite für
rend sie für
und /i
x
1, 2,..., k
;
/i
=
1, 2,..., kj)
.
Bedeutet ca die Anzahl der Elemente der (r-Klasse Ga, so hat
nach den Orthogonalitätsrelationen zweiter Art für die %x die
innere Summe der linken Seite für xeCa den Wert gjca, wäh¬
rend sie sonst verschwindet. Es
Tl-.
S
»"(*)
=
ergibt
£afi*„(Cj
sich daher
:
t-l'l'""?)
9
Die rechte Seite
zeigt, daß wir
auf diese Weise
kx
Charaktere
Je
r
von
G
z<%*
=
erhalten, deren Werte
f(Q=yV'
berechnet werden.
Verwertung
2.
c«= 1,2,...,^)
(3)
nach den
Z
Gleichungen
!a==!'9'""M
m^x)
ist die Formel
der Formel
von
(2)
von
(3)
Frobenius.
Frobenius
Im
folgenden verstehen wir unter einem Charakter von G eine
beliebige ganzzahlige Linearkombination der einfachen Charaktere
von G, in der also auch
negative Koeffizienten auftreten dürfen.
der
(In
Darstellungstheorie werden diese Funktionen gewöhnlich
verallgemeinerte Charaktere genannt.) Die Menge aller Charaktere
von
G ist dann der
erzeugt
Mit
Modul,
der
Hilfe
Charakteren
von
von
(3)
lassen
sich
(o
=
Charaktere
1, 2,..., s)
von
nun
Mx.
aus
Er ist
so zu
G den Modul
zu
&-gliedrig.
bekannten
Untergruppen Charaktere von
Grundidee der Methode ist die,
Ha
den einfachen Charakteren
von
wird. Wir bezeichnen ihn mit
einfachen
G berechnen und die
versuchen, echte Untergruppen
finden, daß die
Mx erzeugen.
ihnen gewonnenen
aus
Bei
Verwendung mehrerer Untergruppen gebrauchen wir fol¬
gende Bezeichnungen : Die Ordnungen seien hx, h2,..., hs, die
Klassenzahlen klt k2,..., lcs. Die einfachen Charaktere <ov und
die .H-Klassen D$ werden fortlaufend durchnumeriert, so daß sie
•also in Hl die Nummern 1,2,...,^, in
H2 die Nummern kx + 1,
&! + 2,. ..,&! + k2 usw. tragen. Dabei ist zu beachten, daß eine
#-Klasse zwar
als Komplex von G betrachtet
mehrmals
auftreten kann, daß aber die Numerierung darauf keine Rücksicht
nimmt. So kommt etwa die Klasse der Gruppen-Eins s-mal
vor,
aber jedesmal mit einer andern Nummer. Diese besondere Art der
Numerierung wird durch die hochgestellten Indizes betont. Wir
—
—
bereichnen ferner noch di» Summe
Klassenzahlen mit
10
v.
k^ + k2 +
•
•
•
+ ks
aller H-
obigen Numerierung bedeute nun w" (Dß) nur
dann den Wert von w" auf dem Komplex Dß, wenn Dß seiner
Nummer nach zur gleichen Untergruppe gehört wie wv; sonst sei
Im Sinne der
cov(Dß)
=
0
Analog
.
dann:
(1*) gilt
zu
5HJ:::::i).
^i<"^
Ferner lassen sich
Charaktere
aus
den
G berechnen
von
n
co" nach Frobenius
Funktionen
und
[vergl. (2)
^
(3)]
n
:
k
<^
r{Ca)
wobei
=
=
--1-.
n>o
Ca
•
{p= 1,2,...,»)
Za£Xx
{fl=1'l"'"l]
a*{x)
E
(2a)
;
(<X
xeBa(\Ca
Ha diejenige Untergruppe ist,
=
1, 2,.
.
.,
welcher
von
(3a)
k)
w^
,
einfacher
Charakter ist.
Die
Menge
aller
ganzzahligen
Linearkombinationen der
raktere <pp bildet einen Teilmodul
untersuchen, wie die
damit
3.
M9
mit
Mx
Mv
Mx,
von
und
es
ist
n
Cha¬
nun zu
Untergruppen Ha gewählt werden müssen,
zusammenfällt.
Notwendige Bedingungen für die Untergruppen Ha
Mx ist, daß Mv fe-gliedrig sei. Nun zeigt
Notwendig für Mg,
0
Charakter
daß
q>^ auf denjenigen ff-Klassen den Wert
jeder
(3a),
Gibt
haben.
Durchschnitt
leeren
hat, die mit der Untergruppe Ha
der Untergruppen H0 gemein¬
es also eine G-Klasse, die mit keiner
=
same
Elemente besitzt,
haben auf dieser Ö-Klasse sämtliche
so
Charaktere y^ den Wert 0. Dann ist aber
gliedrig. Wir erhalten daher :
Erste
Auswahlbedingung
:
G-Klasse in mindestens einer
wenn
gleich
höchstens
(k—1)-
Mx sein kann, muß jede
der Untergruppe Ha vertreten sein (d. h.
Damit
mit ihr nicht-leeren Durchschnitt
Wir erhalten
M9
M9
=
haben).
noch eine zweite
wir ausnützen, daß im Falle
Mv
=
notwendige Bedingung,
Mx
der Eins-Charakter
11
Xi(%)
1
=
von
G eine
tere y?- sein muß.
Element
von
G)
eine
Darstellungen)
von
ganzzahlige Linearkombination
Speziell
muß dann die Zahl
ganzzahlige
%x{e)
=
der Charak¬
(e
1
=
Eins-
Linearkombination der (als Grade
ganzen Zahlen
cpf1 (e)
sein, die nach (3 a) die
Werte
^(e)
=
'
TT
°*(e)
haben. Da auch die Zahlen
und die Zahlen
der
g/ha
größte gemeinsame
Q*=i,2,...,n)
(»^{e)
als Indizes
als Grade
von
Darstellungen
Untergruppen
ganz sind, muß
Teiler der letztern 1 sein. Wir erhalten also :
von
Zweite
Auswahlbedingung : Damit Mv
Mx sein kann, muß der
größte gemeinsame Teiler der Indizes der Untergruppen Ha den
=
Wert 1 haben.
Die
Auswahlbedingungen sind,
reichend. Dies läßt sich etwa
der
Vierergruppe
mit der
weisen. Es ist hier
gruppen
zu
zwar
wählen,
wie
zu
erwarten
ist, nicht hin¬
Beispiel des direkten Produktes
zyklischen Gruppe der Ordnung 3 nach¬
am
auf verschiedene Weise
die die beiden
möglich, Unter¬
Auswahlbedingungen
erfüllen.
Die
Anwendung des Kriteriums, das wir angeben werden, zeigt
aber, daß nie Mv mit Mx zusammenfällt.
4. Erste
Folgerungen
Die beiden
über die
über die
Tragweite
Auswahlbedingungen
Tragweite
Auswahlbedingung
der Methode
erlauben bereits
der Methode. Wir
fragen
immer erfüllen lasse. Wählt
6r-Klasse ein Element und bildet dann die
erzeugten zyklischen Untergruppen,
stens einer dieser
Untergruppen
genau dann alle
echt,
hält, d. h.
G nicht
erste
wenn
Natürlich ist
gruppen
gebunden.
umfassenderen
immer
nicht
Im
von
an
in G
aus
erste
jeder
jede Cr-Klasse
in minde¬
Untergruppen
Ordnung
sind
g ent¬
ist. In diesem Fall kann also die
erfüllt
die
allgemeinen
Untergruppen
Schlüsse
diesen Elementen
G keine Elemente der
wird der Modul
man
ist
man
vertreten. Die
zyklisch
Auswahlbedingung
Gruppen dagegen
12
wenn
so
einige
etwa, ob sich die
Mv
werden.
Bei
höchstens
zyklischen
(k—l)-gliedrig.
obige Auswahlart der
wird
man
arbeiten können.
mit
Unter¬
weniger,
aber
Auswahlbedingung zeigt zuerst einmal, daß bei Ver¬
einzigen Untergruppe Mv nie mit Mx zusammen¬
dann ist der größte gemeinsame Teiler der Indizes der
Die zweite
einer
wendung
fällt. Denn
Untergruppe,
Index dieser einen echten
nur
Mx
dann mit
identisch werden,
wenn
gruppen verwendet werden.
Ferner kann man aus der zweiten
daß auch in p- Gruppen die
also
^ 1.
M9
kann also
mindestens zwei Unter¬
Auswahlbedingung folgern,
nicht so gewählt werden
Untergruppen
Mx wird. Denn in diesem Fall ist der Index
Untergruppe eine Potenz ^ 1 von p, also auch der
jeder
größte gemeinsame Teiler solcher Indizes. Daher kann zwar M9
&-gliedrig werden, wird aber nie mit Mx zusammenfallen.
Andererseits läßt sich in einer endlichen Gruppe, die keine
immer erfüllen. Es
p- Gruppe ist, die zweite Auswahlbedingung
zwei
mindestens
Fall
nämlich
existieren in diesem
Sylowgruppen,
die zu ungleichen Primfaktoren der Ordnung g von G gehören, also
können, daß
M9
=
echten
teilerfremde Indizes haben. Nimmt
man
diese beiden unter die
Auswahlbedingung erfüllt.
Untergruppen Ha auf,
daher
Die Sylowgruppen von G sind
bevorzugte Kandidaten für
die auszuwählenden Untergruppen. Allerdings genügen sie allein
i. a. der ersten Auswahlbedingung nicht, wie etwa das Beispiel der
symmetrischen Gruppe von 5 Objekten zeigt. Diese enthält Ele¬
mente der Ordnung 6, deren Klasse also in keiner Sylowgruppe
vertreten sein kann. Es wird sich dagegen später noch zeigen, daß
die Sylowgruppen auch vom rein praktischen Standpunkt aus
(Einfachheit der Rechnungen) günstige Eigenschaften haben.
so
ist die zweite
Zusammenfassend halten wir fest
:
zyklischen und bei p-Oruppen ist es nicht möglich,
die Untergruppen Ha so zu wählen, daß M^
Mx wird. Bei allen
andern Gruppen lassen sich wenigstens die beiden (notwendigen)
Auswahlbedingungen erfüllen.
Satz 1:
Bei
=
folgenden Schluß über
die Summe n aller iï-Klassenzahlen ka
jede #-Klasse in genau
einer G-Klasse liegt und ferner die Klasse der Gruppen-Eins in
Zu
späterer Verwendung
ziehen wir noch
:
allen
s
Da
Untergruppen auftritt, muß, sobald
die erste Auswahl13
bedingung
gen
&3 + k2 +
•
•
•
ks
+
=
also beide
Auswahlbedingungen, so
abhängige
erzeugten Moduls Mv.
man
>
k +
erhält
Charaktere <pp und daher linear
§
n
s
1
—
sein. We¬
dann
n^ k. Ist auch die zweite Auswahlbedin¬
folgt
erfüllt, so ist sogar s 2g 2 und daher n>k. Berücksichtigt
s
gung
erfüllt ist,
1
2;
mehr als k
man
Elemente des
von
ihnen
Kriterien für die Identität des
2.
von
beliebigen Charakteren
G erzeugten Moduls
von
mit dem Modul aller Charaktere
Da diese Kriterien mit der Formel
Zusammenhang
tem
Frobenius nicht in direk¬
von
stehen, formulieren wir sie auch
unabhängig
davon.
1. Ein
allgemeines Kriterium
Es seien
k
yrf4
=
E K
(n=\,2,...,m;
Xx
6£ reell-ganzzahlig)
(4)
«=1
m
beliebige
Mx sei
Charaktere
mit
von
My
von
0. Der
rium für das Zusammenfallen
ist natürlich
m
von
ihnen
erzeugte Teilmodul
fragen nach einem Krite¬
My mit Mx. Notwendig dafür
von
bezeichnet, und
wir
>k.
Wir führen als Hilfsmittel den Modul
Vektoren mit
vektoren der Matrix
t
t
"1
"2
,
B
erzeugten Teilmodul VB
Mx zusammen,
gilt nun der
und den
•
b2 b2
"k
b2
k
=
.
.6
ein. Offensichtlich fällt
wenn
VB
den Zeilen¬
von
t,
•
&bf.
mit
V aller &-dimensionalen
ganzzahligen Komponenten
=V
My
genau dann
ist.
Es
Hilfssatz
My
hat.
14
=
:
Mx),
VB
ist dann und
wenn
nur
dann mit V identisch
die Matrix B modulo
jeder
(und damit
Bang k
Primzahl den
Beweis
:
Die
Notwendigkeit
der
dann ist der
Rang
als k. In diesem Fall
nicht
so
zu
B modulo einer
von
VB gehört.
ist die Dimension
gibt
es
VB
VB liegt.
Primteiler p
fache
von
Rang
gewissen
VB ^
V
ist,
Primzahl kleiner
von e
/
e
VB enthalten,
in
Rang
der Matrix B
Vielfache,
das kleinste
Rechnet man'nun die
/,
Komponenten modulo einem
sämtliche in VB enthaltenen Viel¬
werden
so
mod. p dem Nullvektor
von e
daß der
Wenn
und damit auch der
kleiner als k. Im andern Fall sei etwa
das in
:
nämlich einen Grundvektor e, der
Ist auch kein Vielfaches
von
ist trivial. Daß sie
Bedingung
hinreichend ist, beweisen wir in der Form
kongruent.
Das bedeutet
aber,
der Matrix B mod. p kleiner als k ist. Damit ist der
Hilfssatz bewiesen. Es ist noch
sich auch
gegebene Bedingung
bemerken, daß die
zu
formulieren läßt
in ihm
an¬
Der
größte ge¬
k-reihigen Unterdeterminanten von B, d. h. der
k-te Determinantenteiler von ß, muß 1 sein.
Da sich diese Bedingung auf die Matrix B bezieht, ist sie un¬
so
:
meinsame Teiler aller
brauchbar,
wenn
folgt
wir sie wie
die %x unbekannt sind. Für diesen Fall formen
Wir bilden die „normierten Hermiteschen
um :
skalaren Produkte"
(yj^,yjv)
=
~
ff
und setzen hier
E Cay*1 (G*)yv(Ca)
(ii,v= 1,2,.
.
.,m)
a=l
(4)
ein. Es
ergibt
-
X
=
X=l
l
if
sich
:
Zc*X*(GJXi(c<x)
a=l
(ß,v= 1,2,...,m)
.
Wegen der Orthogonalitätsrelationen erster
eckige Klammer den Wert 1, wenn A
die
=
sonst verschwindet. Somit vereinfacht sich die
Art für die %K hat
k
ist, während sie
obige Gleichung
zu :
h
W,'r)= ZU*K
(fi,v=l,2,...,m)
.
X=l
15
Die Zahlen auf den rechten Seiten dieser
BB', die
Elemente der Matrix
schen Matrix" der Funktionen
und
also
gleich
Gleichungen
sind die
der „normierten Gram¬
yi1 ist. Sie ist quadratisch, m-reihig
symmetrisch.
Nun sind die
&-reihigen Hauptminoren
der Matrix
Quadrate der k-reihigen Unterdeterminanten
von
BB'
B. Ihr
die
größter
Teiler ist daher genau dann 1, wenn der k-te Deter¬
minantenteiler von B diesen Wert hat. Da BB' symmetrisch ist,
gemeinsamer
stimmt ferner der
größte gemeinsame
Teiler ihrer
&-reihigen Haupt
minoren mit ihrem k-ten Determinantenteiler überein. Daher
gibt
sich
:
1
oder keiner hat diesen Wert.
Wie wir weiter oben
gesehen haben,
ob der k-te Determinantenteiler
so
daß
nun
werden
also
an
Stelle
Kriterium 1
wenn
:
Gruppe G
einfache
von
von
kommt
Sind
nun
B auch die Matrix
festhalten
von
G
k,
nur
darauf an,
%x
nicht,
BB' untersucht
berechnen läßt.
:
yi1, ip2,..., yjm
mit der Klassenzahl
Charakter
es
B den Wert 1 hat oder
kann, die sich ohne Kenntnis der
Daher können wir
lichen
er¬
Entweder sind die h-ten Determinantenteiler der Matrizen
BB' beide
B und
-
beliebige
so
Charaktere der end¬
ist dann und
nur
dann
ganzzahlige Linearkombination
jeder
der
ip^,
der k-te Determinantenteiler der normierten Gramschen Matrix
der yjP den Wert 1 hat.
Ob dieser Determinantenteiler 1 ist oder
durch
Umformung
nicht, kann entweder
der Matrix auf
Elementarteilergestalt entschie¬
Berechnung des größten gemein¬
k-reihigen Hauptminoren.
den werden oder durch direkte
samen
Teilers der
2. Ein Kriterium für einen
Im Falle
daß unter den Charakteren
abhängige befinden und
My den gleichen Rang
Kriterium angeben.
16
Spezialfall
rp1, y>2,..., y>m
diese eine Basis
hat
wie
Mx),
von
läßt
M,;j
sich
sich k
bilden
(so
un¬
daß
ein einfacheres
Wir denken
ersten
uns
die
Charaktere
gegebenen
eine Basis bilden. Mit
(p=l,2,...,k)
schen, &-reihigen
det(%x),
dettyp),
seien dann
(yt1), (%„)
ip1, f2,..
\det{r)\
aller Charaktere
von
über,
andern Basen
fk
resp.
Xi> X2>-
daß
|
(5). Nach (5) gilt
\D\
=
D
•
•>
Xk
sind,
\det(Xx)\
man
folgende
(6)
•
M,p im Modul M
in Mip resp. Mx zu
von
nämlich
dies durch
geschieht
dann
:
der Index
|
0 sei. Geht
so
.,
Beträgen
zwischen absoluten
behaupten wir,
diejenigen quadrati¬
deren Determinanten und D bedeute die
Determinante der Koeffizienten in
Nun
(5)
,
bezeichnet, deren Zeilen die Je Funk¬
Matrizen
tionswerte der Charaktere
Gleichung
numeriert, daß die
h.
k, d.
r=Z%Xx
mit
so
ganzzahlige unimoduProportionalitäts¬
lare Transformationen der ipp resp. der %x. Der
faktor zwischen den
Beträgen
der Determinanten der
neuen
Basen
\D\. Nach einem bekannten Satz
Moduln4) gibt es aber in Mx eine Basis mit der
hat also noch immer den Wert
aus
der Theorie der
eine
Eigenschaft, daß gewisse ganzzahlige Vielfache ihrer Elemente
Basen
beiden
diesen
über,
Basis von M^ bilden. Geht man nun zu
ihrer Determinanten¬
so ist klar, daß der Proportionalitätsfaktor
beträge der Index von M^ in M% ist.
Denn
Gleichung (6) ermöglicht nun, diesen Index zu berechnen.
ausrechnen
der
Kenntnis
ohne
sich
läßt
%x
die Zahl | det(%p>1) |
und für | det(xx) | gelingt dies ebenfalls. Bedeutet nämlich (xxY
die Transponierte von (xx), so gilt :
I det(Xx) |2
det(XxY det(Xx)
=
Die Elemente der Matrix
Z
=
det(Xx)'
(XxY'(Xx)
xACa)-'x~JPß)
(*,£
det(x~x)
sm(i
=
=
da
[(Xxï'(xZ)]
aDer
1, 2,...,k)
,
X=l
*) Vgl.
etwa:
v.
d. Waerden, Moderne
Algebra,
2.
Teil, § 106.
17
verschwinden also nach den
für die %x,
wenn
«
Wir erhalten daher
7^ ß ist
Damit läßt sich
ergibt
sich
Satz 2:
x
ß
=
(Xx) I
aus
+
=
r
C}C2...
(6) der Index
von
«
My
in
Mx berechnen
Gruppe
G habe die
.
Ordnung
ihnen erzeugten Teilmoduls
det
Korollar. Kriterium 2
(ff1)
:
y)1,^,.
,y>k
zahlig linear kombinieren,
.
Anwendung
In
§
1
:
M^
c
Aus den linear
gezeigt,
Mx
G,
so
ist der
die Zahl
unabhängigen
Charakteren
einfachen Charaktere
ganz¬
wenn
:
\
-
=
1
.
dieser Kriterien auf die Methode
haben wir
von
gK
lassen sich genau dann alle
det{yp)
3.
Y-
g, die Klassen¬
ck Elemente enthalten. Sind
.,
unabhängige Charaktere
.
und
:
Die endliche
von
g/ca.
|/_£_
zahl k und ihre Klassen mögen
c,, c2,.
dann y)1, f2,..., %pk linear
Index des
zweiter Art
haben sie den Wert
:
du
es
Orthogonalitätsrelationen
; für
wie
man aus
von
Frobenius
einfachen Charakteren
von
Untergruppen Charaktere von G berechnen kann. Kriterium 1 gibt
nun die Möglichkeit, zu
entscheiden, ob sich alle einfachen Charak¬
tere
von
G
aus
den berechneten
lassen oder nicht.
ganzzahlig
linear kombinieren
Für die verwendeten
Untergruppen Hlt H2,..., Hs haben wir
notwendige Bedingung gefunden, daß jede (r-Klasse in
mindestens einer der Untergruppen
Ha vertreten sein muß. Diese
Bedingung ist nicht hinreichend dafür, daß der Modul Mv, den
diese Untergruppen liefern, mit dem Modul
Mx aller Charaktere
als erste
zusammenfällt. Wir werden aber
später beweisen, daß,
18
wenn
diese
wird.
Bedingung erfüllt ist, der Modul Mv &-gliedrig
Basis
unter den berechneten Charakteren q>^ eine
riums 2
werden. Die
gefällt
Beantwortung der Frage, ob eine solche
Zusammenhänge erleichtert, die
Basis vorhanden sei, wird durch
§ 3 angeben werden.
Anwendung von Kriterium
wir in
Zur
solches
zum
Mç befindet,
auch mit Hilfe des einfachem Krite¬
Entscheidung
kann also die
von
Wenn sich
Kriterium 2, resp.
1
zum
geben wir ein Beispiel ; ein
folgt später in anderem
Satz 2,
Zusammenhang.
Beispiel :
Die
symmetrische Gruppe S4
Wenn wir die
Klassen
von
C1
=
C2
=
C3
=
C4
=
C5
=
St
(e),
Objekte
von
mit 1,
4
Objekten (Oktaedergruppe)
2, 3,
4
bezeichnen,
mit ihren Elementzahlen
1 Element
so
sind die
:
,
Klasse des Elementes
Klasse des Elementes
Klasse des Elementes
Klasse des Elementes
(1234),
6 Elemente
,
(12) (34),
3 Elemente
,
(12),
6 Elemente
,
(123),
8 Elemente
.
Untergruppen Ha auswählen. Wir
erste Auswahlbedingung erfüllen.
prüfen, ob Sylowgruppen
23
3. Die Sylowgruppen sind Grup¬
Die Ordnung von St ist 24
des Quadrates und der zykli¬
vom Typus der Diedergruppe
Zuerst müssen wir
nun
die
die
•
=
pen
schen
der
Gruppe
Ordnung
3.
Wir wählen etwa
folgende
zwei
:
H,:
{e; (1234), (4321); (13)(24); (12)(34), (14)(23); (13), (24)},
H2:
{e; (123); (132)}.
Man stellt leicht
Strichpunkte trennen dabei die i?-Klassen.
fest, daß jede Ö-Klasse in einer der beiden Untergruppen
da die
ist. Auch die zweite Auswahlbedingung ist erfüllt,
Die
vertreten
Indizes 3
dieser Unter¬
und 8 teilerfremd sind. Die einfachen Charaktere
gruppen sind
:
19
Klasse
:
Elemente
X»1
z»2
7>3
£>*
X»5
e
(1234)
(4321)
(13)(24)
(12)(34)
(14)(23)
(13)
(24)
:
CO1
1
1
1
1
m2
1
1
1
-1
CO3
1
1
l
1
CO4
1
L
-1
1
a>5
2
2
0
0
Klasse
Ferner stellt
£
—
1
0
:
Elemente
Dabei bedeutet
—
—
D«
V
Ds
e
(123)
(132)
1
1
:
CO6
1
W1
1
£
£2
CO8
1
£2
S
eine
man
primitive
fest
Einheitswurzel.
3.
Dl
=
3
D2
3
Ds
=
Z>6
,
,
,
C3
D*
3
,
Damit erhalten wir nach Frobenius die Charaktere
:
—
:
Cx
C2
G3
Klasse
1
—
Ci
G2
^3
1
6
3
:
^4
Cs
6
8
1
0
Anzahl der
Elemente
20
:
V1
3
1
3
(pz
3
1
-1
(p3
3
1
3
Ç54
3
1
Ç95
6
0
(p6
8
0
0
0
2
<P7
8
0
0
0
-1
cps
8
0
0
0
-1
—
—
1
0
1
0
-1
1
0
-2
0
0
—
—
1
1
Die normierte Gramsche Matrix dieser Funktionen ist
Die
Rechnung zeigt,
f2
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
2
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2
4
2
2
1
1
1
1
2
2
3
3
L1
1
1
1
2
2
3
3>
0
0
1
O
1
daß ihr k-ter Determinantenteiler 1 ist,
also der
von
dul
aller Charaktere zusammenfällt.
Mz
:
den Charakteren <pv-
Modul
erzeugte
Das Einfachheitskriterium erlaubt
hier, leicht
Mv
aus
so
daß
mit dem Mo¬
den Charakte¬
(pf1 die einfachen Charaktere %x zu finden. Es lautet bekannt¬
lich : Der Charakter cp von 0 ist genau dann einfach, wenn
ren
X
-
9
und
99(e)
>0
Benützt
Klasse
Xi
=
Xi=
X3
dies,
so
+ <P*
91 + <f
9J2 + 993 + 99*
—
B.
9?2
1
1
1
2
—991 + 998
3
1
1
3
—
—
1
—
—
1
—
—
1
c4
C5
1
1
1
1
0
-1
1
0
1
0
der Methode
Frobenius
Mv
1
0
Paragraphen
die Moduln
c3
2
~
^
von
c2
1
—
<f
In diesem
wenn
z.
<PB
9?8
Verfeinerungen
Methode
man
c1
Xo=
3.
erhält
:
=
l
=
ist.
man
Xi=
§
cacp(Ca)^(Cäj
<x=i
wird untersucht,
zur
und
welchen
Beitrag die
liefert,
noch
Charakterenbestimmung
M% nicht zusammenfallen.
21
1.
des Charakterenraumes
Einführung
folgenden Untersuchungen setzen wir voraus, daß die
erste Auswahlbedingung erfüllt sei, d. h. daß jede Cr-Klasse in
mindestens einer der verwendeten Untergruppen Ha vertreten sei.
Wir werden zeigen, daß in diesem Fall der Modul Mv immer i-gliedrig ist, und seinen Index im Modul Mx berechnen. Das letztere
wäre bereits durch Verschärfung der Überlegungen, die zum Krite¬
rium 1 führten, möglich. Wir haben darauf verzichtet, weil der
Weg, den wir jetzt einschlagen, uns gleichzeitig noch gestatten
wird, einen dritten Modul M'm anzugeben, der Mx enthält, und
zwar so, daß die Indizes von Mv in Mx und von Mx in M'w gleich
Für die
sind.
Wir
Ha
gehen
den einfachen Charakteren
zu
zurück und bilden die
co"
der
quadratischen ßCT-reihigen
Untergruppen
Matrizen Qa,
in deren Zeilen die Funktionswerte der einfachen Charaktere der
stehen.
Untergruppe Ha
Q1
etwa hat also die Form
/wHD1)
_/
o
^(D1)
V«»*1^1)
œ1(D2)
œ2(D2)
co1^*1) \
œ2(Dkl) \
o)fcl(Z>2)
a>ki{Dki)J
Aus diesen Matrizen bilden wir eine
trix
Q,
mern
indem wir die Matrizen
längs
der
:
Qa
Hauptdiagonalen als
quadratische %-reihige Ma¬
Reihenfolge ihrer Num¬
in der
Kästchen aneinanderreihen
und dann die leeren Stellen mit Nullen füllen.
Dann
spannen
(1,0,...,0),
wir
durch
die
n
(w-dimensionalen)
(0, 1, 0,..., 0),.. .,(0,..., 0, 1)
einen w-dimensiona-
len Raum auf und fassen die in der v-ten Zeile
Zahlen als
Komponenten
eines Vektors
Null oder dann Werte des Charakters
der einfachen Charaktere
die Vektoren
22
von
Q stehenden
auf. Sie sind entweder
cov. Aus der
Unabhängigkeit
jeder Untergruppe Ha folgt, daß auch
unabhängig sind. Auch sie bilden also eine
eingeführten Raumes, den wir aus diesem Grunde
Charakterenraum nennen, der zu den Untergruppen Ha gehört.
w
Basis des eben
den
linear
mv
Vektoren
Weil
die
des Vektors
Komponenten
Werte eines einfachen Charakters einer
hat
Zax%*
=
oder
einzigen Untergruppe sind,
Nr. 2, der Vektor
gemäß (la), § 1,
%
Null
entweder
mv
(x= 1,2,...,£)
(7)
v=l
als
die Werte
Komponenten
Werte
%x{Ch).
%x
(Dß)
ist aber
von
gleich
jede
Anderseits tritt
mal als Wert einer
%x auf den H -Klassen. Jeder dieser
einer der Zahlen
Komponente
setzung jede G-Klasse
von
Weise ist
jedem
zugeordnet,
und
von
~%x
.,
den Wert
Nach dieser Vorschrift werden
%x
ver¬
umgekehrt.
n
Auf diese
G ein Vektor %x des
vermöge der Vorschrift :
von
zwar
Wenn die H-Klasse Dß in der G-Klasse
ß-te Komponente
(C2),..
%x können also alle
von
einfachen Charakter %x
Charakterenraumes
%x
Untergruppe Ha
in mindestens einer
%x berechnet werden und
von
(Cj),
auf, weil nach Voraus¬
%x
treten ist. Aus den k Funktionswerten
Komponenten
%x
dieser Zahlen auch mindestens ein¬
Ca
enthalten ist,
so
hat die
(Ca).
allen Charakteren
nun
von
G
Da die
Zuordnung
zugeordnet.
eineindeutig und additionstreu ist, ergibt sich so eine (einstufig)
isomorphe Abbildung des Moduls Mx aller Charaktere von G auf
die Menge aller ganzzahligen Linearkombinationen der Vektoren
Vektoren des Charakterenraumes
%x, die wir deren
Gitter
Fx
der Charaktere
hängigkeit
unabhängig.
rx
nennen.
%x
der linearen Unab¬
Wegen
sind auch die Vektoren %x linear
ist also ^-dimensional und daher hat die Matrix
A
der Koeffizienten
von
(7) den Rang k.
Das Bild des Moduls
erzeugt wird,
ist in dieser
Mv
c
Mx,
der
Abbildung Mv
von
->
den Charakteren
Fx
ein Gitter
rv
c
g?^
rx,
23
(2a), § 1, Nr. 2,
das wegen
den
aus
Linearkombina¬
ganzzahligen
tionen der Vektoren
V'l=Za%tx
besteht. In
wie
es
ist. I.
hier
a.
Nr. 4 haben wir
§ 1,
vorausgesetzt ist
bilden daher die
gegen kann
man
aus
n
—
die erste
Der
zu
Sinn
n
5: k
ist,
wenn
Auswahlbedingung
von
Transponierte A'
die
(8)
ist und daher auch den
(7)
daß
Vektoren q>v keine Basis
Es erscheint vielleicht zunächst
Moduln
gezeigt,
—
erfüllt
rv.
Da¬
(8) schließen, daß rv ^-dimensional ist, weil
die Matrix der Koeffizienten in
A in
(8)
(f*=l,2,...,n)
Rang
der Matrix
k hat.
unnatürlich,
von
den
i-gliedrigen
überzugehen.
Zusammenhang
Gittern in einem w-dimensionalen Raum
dieses
Schrittes
liegt darin,
zwischen den Vektoren <p p und
m
"
daß
der
übersichtlicher ist als
derjenige
zwischen den Funktionen <p^ und w". Während der letztere durch
die
Gleichungen (3a), § 1,
Einsetzen
von
(7)
in
(8)
Nr. 2,
gegeben wird,
<pP=Za£ZavMo}''
K=\
erhält
die viel übersichtlichem
man
durch
Gleichungen
{fi=l,2,...,n)
,
V=l
respektive
yi*
=
S ( Z < o*)
mv
Die Matrix der Koeffizienten ist
2.
Berechnung des Indexes
von
Mv
{n
=
1,2,...,»)
(9)
.
A'-A.
in
Mx
Wir führen noch das w-dimensionale Gitter
rw ein,
das
aus
allen
ganzzahligen Linearkombinationen der Vektoren wv besteht und
nach (7) und (8) die &-dimensionalen Gitter rx und rv enthält.
Wegen rv c rx liegen die beiden in der gleichen &-dimensionalen
Ebene des Charakterenraumes, die aus rw ein Teilgitter r^ heraus¬
schneidet.
24
Überlegungen
Den weiteren
stellen wir zwei Hilfssätze
voran :
Fx c 7"^ haben alle die Di¬
mension k. Faßt man sie als additive Gruppen auf, so sind die
Indizes von rv in Fx, von rx in 7"^ und von rv in 7^ endliche
Zahlen, die die Anzahlen von Restklassen angeben. Da nun alle
Restklassen von F^ nach rx in je so viele Restklassen von 7"^
nach Fv zerfallen, wie der Index von 7^, in rx angibt, folgt :
Hilfssatz 1
Der Index
und
von
Fx
in
F^
F^.
von
in
Hilfssatz 2
rv
Die drei Gitter
:
7^
ist das Produkt der Indizes
->•
->
:
c
rv
in
rx
unabhängige Vektoren
natürlich größer als d,
seien d linear
a1,a2,.. .,ad
irgendeines Raumes, dessen Dimension
sonst aber beliebig ist. Das von ihnen aufgespannte
Gitter wird ya
->
->
b1,b1,.. .,bt
genannt.
von
seien t Vektoren
%=ZbtSas
aus
ya
(r=l,2,...,t)
:
.
8=1
Die Maximalzahl
der
Rang
r.
Die
unabhängigen
unter
ihnen, d. h.
der Matrix
B
sei
linear
von
Es ist also
Menge
aller
r
bnK
bw
^22
"id
btlbtî
btd
"21
=
^ d,
r
^ t,
ganzzahligen
d
aber
jg
t.
Linearkombinationen der Vektoren
->
bt
ist ein r-dimensionales
Teilgitter
r-dimensionalen Gitterebene
y'a
von
yb
von
ya, die
ya.
aus
Es
liegt in einer
Teilgitter
diesem ein
herausschneidet.
Nach einem bereits einmal zitierten Satz
Moduln endlichen
so, daß
Ranges gibt
gewisse ganzzahlige
es nun
aus
der Theorie der
in ya eine Basis
a[, a'z,..., a'd
a[,
a'd
Vielfache
e1
e2 a2,..., ed
eine
Basis von yb bilden. Dabei sind die Faktoren es die Elementarteiler
der Matrix B, unter denen genau r nicht verschwinden. Die zu
25
diesen
Gitter
gehörenden Vektoren a8' spannen
y'a auf und es gilt daher :
Der Index
y'a
yb in
von
dann das oben definierte
ist das Produkt aller
von
0 verschiedenen
Elementarteiler der Matrix B, d. h. deren r-ter Determinantenteiler.
Nun zitieren wir
systeme
Nr. 1 dieses
aus
Paragraphen
die
Gleichungs¬
n
Xx
Z<*v
=
(x=l,2,...,k)
,
(fl=l,2,...,n)
,
(7)
V=l
k
^=2X?*
(8)
x=i
h
"
->
->
(/*
<P*=Z{Ea%avx)o>*
=
1,2,...,»)
(9)
.
Jedes beschreibt eine Situation, wie sie dem Hilfssatz 2
zugrunde
liegt.
Die Vektoren w" etwa spannen das Gitter
tvgl- (7)]
%k
erzeugen darin das
Teilgitter Tx,
Teilgitter F^
und
r^
die Vektoren
und die
bestimmte Gitterebene trägt das
rx
rm auf,
c
von
ra.
sind ^-dimensional. Nach dem Hilfssatz 2
Der Index
der Matrix
von
A
=
rx in 7^
(a£ ).
ist
gleich
diesem
Die Gitter
folgt
also
:
dem k-ten Determinantenteiler
Die Vektoren iH spannen
rx auf, in dem durch die Vektoren q> /*
Teilgitter r9 erzeugt wird. Es hat die gleiche Dimen¬
sion k wie rx (vgl. Nr. 1 dieses Paragraphen). Die von ihm be¬
stimmte Gitterebene von rx enthält also das ganze Gitter rz.
[vgl. (8)]
das
Ferner ist die Matrix der Koeffizienten
A'
von
folgt
von
(8) die Transponierte
A, hat also die gleichen Determinantenteiler wie A. Damit
nach Hilfssatz 2
Der Index
von
:
in
T^
rx
ist
gleich groß
wie
derjenige
von
rx
Endlich erzeugen die Vektoren 9?^ [vgl. (9)] im Gitter
Teilgitter T9. Dessen Gitterebene enthält das Teilgitter
da die Matrix
Der Index
der Matrix
26
von
von
(9) A'
rv
A'-A.
in
•
i"^
A
ist, gilt nach Hilfssatz
ist
2
in
rœ
i^
r^.
das
und
:
gleich dem k-ten Determinantenteiler
Nun ist dieser letzte Index aber nach dem Hilfssatz 1 das Produkt
derjenigen
fassen können
Satz 3:
gleich
der
rv
von
in
und
Fx
rx
von
in
r'm,
daß wir
so
zusammen¬
:
T^ in rx und von rx in r^ sind beide
(positiven) Quadratwurzel aus dem k-ten Determinanten¬
Die Indizes
von
teiler der Matrix A'-A.
Von den in diesem Satz erwähnten Indizes interessiert
läufig
nur
später auch
noch
§ 2, Nr.
gezeigt
1
Vl=ZKXx
Wenn
Charaktere
m
(4)
(/<-l,2,...,m)
ist die Matrix BB'
schen Matrix" der ^\
Vergleicht
gleich
man nun
die Koeffizientenmatrix A' ist,
Matrix
:
sind und B die Matrix der Koeffizienten dieses
systems ist, dann
wo
vor¬
ausgenützt.
Nun hatten wir in
gegeben
uns
der erste ; seine Gleichheit mit dem zweiten wird aber
so
der
(4)
sieht
Gleichungs¬
„normierten Gram-
mit
(2a), § 1, Nr. 2,
man
sofort, daß die
A'-A die normierte Gramsche Matrix der Charaktere cpi*
ist, d. h. die Matrix mit den Elementen
l
_
*
Weiter ist nach Nr. 1
dem Gitter
das
rx isomorph
Teilgitter r9.
rx,
so
daß wir
Hauptsatz :
Gruppe
Paragraphen
und dem Teilmodul
Da dieses die Dimension k
und ferner ist der Index
in
dieses
von
Die echten
Mx
Mv entspricht
mit
dabei
hat, ist Mv fc-gliedrig
Mx gleich demjenigen
folgern können :
Mv
Satz 3
aus
der Modul
in
von
JT9
Untergruppen II1, H2,..., Hs der endlichen
so ausgewählt, daß jede G-Klasse
G mit der Klassenzihl k seien
in mindestens einer
Frobenius
aus
den
von
ihnen vertreten ist. Berechnet
einfachen
Charakteren dieser
man
dann nach
Untergruppen die
(p1, q>2,..., <pn von G, so ist der Modul M9, den sie er¬
Index im Modul Mx aller Charaktere von
zeugen, k-gliedrig, und sein
G ist gleich der (positiven) Quadratwurzel aus dem k-ten Determinan¬
Charaktere
tenteiler der normierten Gramschen Matrix der Charaktere <j^.
27
Der
Hauptsatz schließt das Resultat ein, das wir durch Anwen¬
dung
allgemeinen Kriteriums 1 auf die Methode von Frobenius
erhielten : Mv ist genau dann mit Mx identisch, wenn der k-te De¬
des
terminantenteiler der normierten Gramschen Matrix der Charak¬
tere
q>P den Wert
1 hat.
Dazu sei noch bemerkt
Ha
gruppen
Mv
Mx
kann
:
eine
noch
In
§ 1, Nr.
zweite
eintreten,
3 hatten wir für die Unter¬
Auswahlbedingung gefunden
der
:
größte gemeinsame
Herleitung des Haupt¬
satzes haben wir aber nicht vorausgesetzt, daß diese Bedingung er¬
füllt sei. Der Hauptsatz ist von ihr unabhängig.
=
der Indizes der
nur
Ha
Wir haben im
c
rz
c
r^
M'^
vorigen Abschnitt
die drei &-dimensionalen Gitter
des Charakterenraumes betrachtet. Das erste wird
den Vektoren 9?^
erzeugt, das
dritte das in der durch die
%x
terenraumes
aufgespannten
liegende Teilgitter
der
Vektoren
^H.
von
zweite ist das Gitter der %K und das
Ebene E des Charak¬
des Gitters
Die Vektoren dieser Ebene bilden die
nationen
Teiler
den Wert 1 hat. Für die
3. Konstruktion des Moduls
rv
wenn
Ordnet
rw der Vektoren co ".
Menge aller Linearkombi¬
man
jedem
von
ihnen
die
Linearkombination der Charaktere %x mit den gleichen Koeffi¬
zienten zu, so erhält man daher die Menge aller Linearkombina¬
tionen
der einfachen
Charaktere
von
0, d. h. die Menge aller
(isomorphe) Abbildung ist einfach eine
eingeführten isomorphen Abbildung von
Cr-Klassenfunktionen. Diese
Erweiterung der früher
rx auf Mx. Speziell wird dabei das &-dimensionale Gitter r^ auf
einen &-gliedrigen Modul M'm von Ö-Klassenfunktionen abgebildet,
der Mx enthält. Weil nun nach Satz 3 die Indizes von
r9 in rx
und von Fx in i"^ gleich sind, gilt diese Gleichheit auch für die
Indizes von Mv in Mx und von Mx in M'^.
Wir geben noch an, wie man das zur Konstruktion von M'œ be¬
nötigte Gitter J^ erhalten kann. Die Komponenten jedes Vektors
der Ebene E sind Funktionswerte der ihm
funktion,
28
und deshalb sind die
ß^te
zugeordneten ö-Klassen-
und die
ß2-te Komponente
gleich, wenn die i/-Klassen Dß1 und D& in der gleichen G-Klasse
k Gleichungen, die
liegen. Das bedeutet das Bestehen von n
und
hinreichend
dafür
daß
der
Vektor
sind,
notwendig
—
"
->
des Charakterenraumes in E
G und der
liege.
Da die
bekannt sind, kann
Ha
stellen und erhält
n
—
Je
man
Klasseneinteilungen von
diese Bedingungen auf¬
Gleichungen
n
ZXynv=0
worin die Zahlen
nicht
ganzzahlig
Gleichungen
(j= 1,2,...,n- k)
AJ gewisse
zu
sein
Werte
brauchen).
der Ebene E in
bezug
von
Die
^
cov
(10)
,
oder 0 sind
Gleichungen (10)
auf die Vektoren
mv
(also
sind die
als Basis
des Charakterenraumes5 ).
Nun ist das Gitter
ganzzahligen
Andererseits
man
r^ Teilgitter
des Gitters
Linearkombinationen
liegt i~^
der
rw,
Vektoren
in E. Man erhält daher dieses
alle Vektoren
das
tu"
allen
aus
besteht.
Gitter,
wenn
n
Z>"
ü>v
v=l
bildet, deren Komponenten pv (bezüglich der Mv) reell-ganzzahlig
sind und die
der Ebene
Gleichungen (10)
E, d.
h.
n
Z%pv=Q
erfüllen.
(7
=
1,2,...,»-*)
(11)
v=1
4. Die Hilfsrelationen
Auch die Vektoren
%K
=
ZavKmv
(x=l,2,...,i)
v=l
5) Beim Aufstellen der Gleichungen (10) zeigt sich, daß die Verwendung von
Sylowgruppen gewisse Vorteile bietet. Denn es ergeben sich ja um so weniger Be¬
dingungen, je seltener es vorkommt, daß zwei Untergruppen in der gleichen OKlasse vertreten sind. Zwei Sylowgruppen mit teilerfremden Ordnungen sind aber
nur in der G-Klasse des Eins-Elementes gleichzeitig vertreten, so daß ihre Verwen¬
dung die Chance bietet, mit möglichst wenig Nebenbedingungen auszukommen.
29
[(7), § 3, Nr. 1] gehören
den
stehen deshalb zwischen den
ziehungen
Gitter
zum
daher ebenfalls
müssen
r^.
Ihre
Komponenten a£
Bedingungen (11) genügen.
w-Tupeln (aK, ax,..., ax)
Es
be¬
die Be¬
:
n
Zl)avK
{j=l,2,...,n-k;
Ç>
=
x=
l,2,...,k)
.
v=l
sich mit
ergeben
Daraus
k
<pP=Za£
[(2a), § 1,
Nr.
2] die Gleichungen
k
n
Z
%
<PV
=
v=l
Xx
n
Z { Z
X=l
v
=
1) avx)
Xx
(j=l,2,...,n-k)
0
=
(12)
.
l
Dies sind lineare Relationen zwischen den Charakteren
ç?f*. Wegen
Unabhängigkeit der einfachen Charaktere %x erhält
man umgekehrt auch aus jeder linearen Beziehung der Charaktere
q>v- eine solche zwischen den w-Tupeln (a* ax,..., a"). Da end¬
lich die Beziehungen (12) auch für die den <pP zugeordneten Vek¬
der linearen
,
cpi1 gelten, bestehen zwischen diesen, den
w-Tupeln (ax, aH,.
aH) und, wegen (11),
toren
den
ten
.
pv (bezüglich der
a>
.,
Charakteren <pP,
den
der Vektoren des Gitters
")
i"^
Komponen¬
die
gleichen
linearen Relationen.
Wir
nennen
Aufstellen der
lich
Zusammenhänge die
Gleichungen (11), was ohne
diese
ist, erhält
man
nämlich
gleichzeitig
Hilfsrelationen. Durch
Kenntnis der Xx mög¬
alle linearen
keiten der Charaktere 9?^, und dies erleichtert die
der
Frage,
ob sich unter den
eine Basis des Moduls
deshalb
interessant,
dex des Moduls
Mv
Mv
n
Charakteren yv- resp. Vektoren ç>f*
resp. des Gitters
im Modul
§
Mx
2, Nr. 2,
für die Konstruktion des Moduls
ergibt
sich für diesen
im nächsten Abschnitt
30
rv
befinde. Das ist
weil beim Vorhandensein einer Basis der In¬
dem einfachem Satz 2,
^ 1 ist),
Abhängig¬
Entscheidung
gezeigt
statt mit dem
gefunden
M£ (falls
Spezialfall
sei.
Hauptsatz
mit
werden kann. Auch
der erwähnte Index
eine
Vereinfachung,
die
5. Vereinfachte Konstruktion des Moduls
Unter den
n
gen) Moduls
in einem
Spezialfall
Charakteren 9?^ befinde sich eine Basis des
(&-gliedri-
Es bedeutet keine
Mv.
nehmen, die Basis bestehe
Das Gitter
M'a
7"^
aus
Einschränkung,
wenn
wir
an¬
den ersten Je dieser Funktionen.
besteht nach Nr. 3 dieses
Paragraphen
aus
allen
Vektoren
n
deren
E pv
=
m
(pv reell-ganzzahlig)
"
der
Komponenten p" (bezüglich
co")
den
,
Bedingungen (11)
n
ZXvjpv
=
(?'
0
=
1,2,...,»
—
Je)
v=l
besagen, daß zwischen den Funk¬
tionen ç;** die gleichen Beziehungen bestehen. Da sich nun alle n
Charaktere 9?^ aus den ersten Je ganzzahlig linear kombinieren
lassen, gilt dasselbe für die Zahlen pv, so daß sich pk+1, pk+2,..., pn
pk ausdrücken lassen:
ganzzahlig durch p1, p2,.
genügen.
Die
Hilfsrelationen
..,
k
pv-
=
Xlv-v pV
Führen wir die Elimination
(fj,
=
durch,
k+ l,...,n)
so
nfc
h=
£ pv
(o"=
v=l
n
n—k+1
Diese Summe wird noch nach
->
=
sich
:
k
(£ lrvpv)
_^
mV
.
v=l
p1,p2,...,pk geordnet:
*
x
£
£ pv mv+
v=l
->
ergibt
.
£ pv[mv+
"
E
->
l^coi1]
.
pk+1,..., pn ganzzahlig erfolgte, die
p1,..., pk
beliebige ganze Zahlen sind, bilden die in
Klammern
stehenden
Vektoren eine Basis von rœ. Jetzt
eckigen
gehen wir zu den zugeordneten Cr-Klassenfunktionen über und er¬
Da die Elimination
Zahlen
halten
von
also
so
den Modul M'.
31
Beispiel: Die Diedergruppe Q
Sie hat die
möglich,
bedingung
die
so
des
Quadrates
Ordnung 8, ist also p-Gruppe. Es ist daher nicht
Untergruppen entsprechend der zweiten Auswahlzu wählen, daß der größte gemeinschaftliche Teiler
ihrer Indizes den Wert 1 hat. Wir werden also einen Modul
erhalten, der
nicht mit
Wir fassen Q als
Mx
Permutationsgruppe
auf. Ihre Klassen bestehen dann
C1
=
{e}
Mç
zusammenfällt.
aus
der 4
Objekte 1, 2, 3,
folgenden Elementen :
4
,
Ct= {(1234), (4321)}
,
<73={(13)(24)},
Ci= {(12) (34), (14) (23)},
Cs= {(13), (24)}.
Als
Untergruppen
wählen wir
:
Ht:
{e, (1234), (13) (24), (4321)}
(zyklische Gruppe der Ordnung 4)
H2
:
{e, (12) (34)}
H3
:
{e,(13)}, (zyklische Gruppe
,
,
(zyklische Gruppe
der
;
der
Ordnung 2);
Ordnung 2)
Sie erfassen alle (?-Klassen. Da sie abelsch sind, bildet
Elemente eine iZ-Klasse für sich.
Ihre einfachen Charaktere sind
Klasse
H,
32
£>2
D3
Z>4
(1234)
(13)(24)
(4321)
Dl
:
Elemente
:
e
ft)1
1
1
ft)2
1
i
«)3
1
ft)4
1
—
—
1
-
1
i
1
1
—
1
1
—
—
i
1
i
.
jedes ihrer
Klasse
H9:
:
Elemente
£>5
D«
e
(12)(34)
0)s
1
CO9
1
Klasse
Hs:
:
:
Elemente
:
1
1
—
£>'
Ds
e
(13)
m>
1
CÜ8
1
1
—
1
Man stellt ferner fest
c,
c2
^
Die
Berechnung
D1
Z>2
3
=
C,
£*
3
Z>3
01
3
Z>6
0,
3
D8
(13)
.
der Charaktere q>P nach Frobenius liefert
01
C2
1
2
1
2
2
(p1
2
2
2
0
0
(p2
Ç93
2
2
0
0
2
0
0
Ç>4
Ç35
2
0
2
0
0
4
0
0
2
0
9?6
4
0
0
2
0
^
4
0
0
0
Ç)8
4
0
0
0
Klasse
:
G3
c,
:
c,
Anzahl der
Elemente
:
2
Um die linearen
0
—
2
—
—
Abhängigkeiten
Vektors
Komponenten
2
zu
des
finden,
allgemei¬
_
x
des Gitters
2
-
dieser Funktionen
benützen wir die Hilfsrelationen. Die
nen
-
rw
sind in der
=
E fv
mv
Reihenfolge
ihrer Nummern
:
33
p1 +
p1 -\pi
i
p^ + p3 + ^4
p2
p3
i>4
pi _|_ p3
pi
i
p1
—
__
p1
—
—
?*5 +
j,5
—
2>6
j,6
_
P7 +
ϻ8
p7
y>8
—
—
p3 -+- ip*
(14)
>
;
,
.
Gleichungen (11), § 3, Nr. 3, die ausdrücken, daß dieser
i~^ liegt, erhalten wir, wenn wir in (13) nach¬
sehen, welche iZ-Klassen in der gleichen ö-Klasse liegen und dann
die entsprechenden Komponenten einander gleich setzen. Das lie¬
Die
Vektor im Gitter
fert etwa
:
4
_
^
;
p6
=
p1 -f- 2p2 -f p3
—
ps
=
p1 -j- 2p2 -f- p3
—
p5
(15)
,
p7
.
Nach den Hilfsrelationen bestehen die gleichen Beziehungen
zwischen den Charakteren cp^ mit den gleichen Nummern. Daher
bilden 9?1, y2, cp3, 9s5, 9s7 eine Basis von Mv. Die Matrix ihrer Funk¬
tionswerte ist
:
2
2
2
0
2
0
0
-2
0
0
-2
2
0
0
4
0
0
2
0
4
0
0
0
2
2
-
-
Nach Satz 2,
dieser
§ 2, Nr. 2, hat man den Betrag der Determinante
Matrix, der 27 ist, durch die Zahl
r Wz.
zu
.
.
ck
f
2-1-2.2
dividieren und erhält damit den Index
den Wert 2 hat.
Mç
ist daher nicht mit
von
Mx
Wir konstruieren deshalb noch den Modul
r^,
das wir erhalten,
26
=
1
Mv
in
Mx,
der also
identisch.
M'^
wir die Relationen
aus
(15)
dem Gitter
in
(14) ein¬
gehen dann gleich zu den zugeordneten G-Klassen-Funk¬
tionen über und bekommen die allgemeine Funktion
x(Ga) des
Moduls M'„. mit den Funktionswerten :
setzen. Wir
34
wenn
*(Ci)
«(C,)
«(Ca)
*(C4)
«(C8)
=
j?1 -j- 2p2 + ^3
,
=
p1
p3
,
=
p1
2p2 -\- p3
,
=
p1
=
-pi
—
—
2p2
—
2p2
—
—
—
p3 -\- 2p5
-\- 2p7
p3
.
p1, p2, p3, p5, p7 beliebige ganze Zahlen.
M',»
aufgespannt von denjenigen 5 Funktionen, die
hieraus
man
erhält, wenn man der Reihe nach eine der Zahlen p1,
Dabei sind die Zahlen
wird daher
p2, ps, p&, p7 gleich 1,
Klasse
Gi
G2
G3
«1
1
1
1
«2
2
0
:
—
2
G,
-
—
:
G,
1
—
2
—
Ks
1
1
1
x4
0
0
0
2
0
«5
0
0
0
0
2
—
-
1
1
2
—
1
vorliegenden Beispiel läßt sich nun noch leicht eine Basis
mit der Eigenschaft angeben, daß gewisse ganzzahlige
Im
von
die andern 0 setzt. Es sind dies
M'w
Vielfache ihrer Elemente eine Basis
nämlich in M'
zur
M9
:
«3
G3
C4
c5
0
2
0
0
0
0
-2
0
1
1
1
2
2
0
2
-2
2
=
*2
+
«4
«3
==
«3
~r
«4
1
^4
=
^4
Xj
~T~
«2
2
-2
^5
==
«5
"x
T
-^^2
2
0
^
c2
ÇJ1— (ps
0
4
Ç32
Ç)3-(-Ç)* —ç?5
2
0
und in
M9
+
zur
2
«5
-«J
m3*
Ç)5*
=
=
=
=
Ç54
—
—
—
—
0
—
1
Basis
Klasse
Ç)1*
Ç)2*
man
G2
«1
«*
Geht
Ci
=
«1
bilden.
Basis
Klasse
4*
von
:
ÇJ1*-}-^2*—Ç93*—Ç54*
2
—
1
2
2
-2
2
0
1
\
G,
G,
c5
o
o
o
to
o
to
to
to
to
o
to
to
to
1
o
1
to
35
über,
so
stellt
fest
man
:
(pl*
=
Ç92*
=
x*
,
Mx zusammenfällt,
=
24
ǻ4*
=
*;
(p5*
=
<
tionen
zu
weil sonst
x* +x*
,
*
*2
(f3*
Daher sind alle Funktionen
Funktionen x*
2x*
von
M'w
modulo
kongruent.
Weil
muß also mindestens eine
M9 einer der drei
Mv c Mx nicht mit
dieser drei Funk¬
Mx gehören.
Mx mit M'^
Mehr als eine darf aber nicht in
identisch wäre,
was
Mx liegen,
nicht der Fall ist. Da
weiter für alle diese drei Funktionen das normierte Hermitesche
skalare Produkt mit sich selbst den Wert 1 hat, muß nach dem
Einfachheitskriterium
diejenige Funktion, die Charakter ist, sogar
einzige, für die das skalare Produkt
einfacher Charakter sein. Die
mit dem Eins-Charakter
^
=
den Wert 0 hat, ist x*
1
.
Diese ist
also einfacher Charakter. Daher bilden die 5 Funktionen
Klasse
eine Basis
man
Ct
:
(p1*
qpi*
0
4
2
0
x3
1
Ç)4*
Ç,5*
2
von
Mx
Xz
=
X3
=
Xi
=
X5
36
—
—
c.
—
C*4
g,
0
0
0
2
0
0
-1
1
1
1
2
-2
2
0
2
2
0
—
2
—
und mit Hilfe des Einfachheitskriteriums findet
:
Klasse
=
—
2
leicht noch
Xx
c2
:
°1
G,
o3
G,
t* -2^*+^ + ^*+^*
y^+x* ^*
+ ç>5*
<p2* + x*
1
1
1
1
1
1
1
-1
1
1
-1
x3
1
1
1
1
2
0
—
-
<p2*
1
2
—
—
0
—
G,
1
—
1
1
—
1
0
§
4.
Zusammenfassung
der Resultate
Gegeben sei eine endliche Gruppe G. Gesucht
Mx, den ihre einfachen Charaktere erzeugen.
Das
von uns
„Methode
staltet sich dann wie
folgt
von
wird der Modul
Frobenius" genannte Verfahren ge¬
:
a) Auswahl von s echten Untergruppen Hx, H.z,..., Hs,
Auswahlbedingungen genügen :
Jede ö-Klasse ist in mindestens einer der
1.
die den
Untergruppen Ha
vertreten.
Der
2.
Ha
.
größte gemeinsame Teiler
der Indizes der
Untergruppen
ist 1.
Bedingung kann dann und nur dann erfüllt werden,
zyklische, die zweite dann und nur dann, wenn G
p-Gruppe ist.
Die erste
wenn
keine
G keine
b) Berechnung der Charaktere cp1, (f,..., <pn von G aus den
(als bekannt vorausgesetzten) einfachen Charakteren der Unter¬
gruppen Ha nach der Formel (3 a) von Frobenius. Der Teilmodul
Mv c Mx, den diese Charaktere erzeugen, hat (bei nicht-zykli¬
scher Gruppe G) den gleichen Rang wie Mx.
c) Entscheidung, ob Mv
Mx
weder durch den Hauptsatz (§ 3,
sei oder nicht.
=
Basis
von
Mv
bekannt
Sätze liefern den Index
wird dieser Index
von
Mv
^1, d.h.
von
in
Sie wird ent¬
2) geliefert oder, falls
ist, durch den Satz
Charakteren yv- eine Basis
relationen
Nr.
Mx. (Ist
MV^MX.)
Mg, befindet,
2
(§2,
G eine
Ob
eine
Nr. 2). Beide
p-Gruppe,
sich
unter
so
den
kann mit den Hilfs¬
(§ 3, Nr. 4) abgeklärt werden.
M9 ^ Mx ist, so müssen im Rahmen der Methode
Untergruppen dazugenommen werden. Mit den vorhandenen
kann nur ein dritter Modul M'w gefunden werden, in welchem Mx
mit dem gleichen Index enthalten ist, wie Mv in Mx. Die Konstruk¬
tion von M'w erfolgt nach § 3, Nr. 3 oder, falls eine Basis von Mç
bekannt ist, nach dem einfachem Verfahren von § 3, Nr. 5.
d)
Wenn
neue
37
Literaturverzeichnis
(I)
O. Frobenius, Über Relationen zwischen den Charakteren einer
denen ihrer
Untergruppe. Sitzungsber.
der Berl. Akad.
Gruppe
der Wiss.
und
1898,
S. 501.
(II)
D. E. Littlewood,
Group
characters and the structure of groups. Proc. of
the London Math. Soc, Ser. II, Vol. 39.
(III)
G. Frobenius, Über die Charaktere der
der Berl. Akad. der Wiss.
(IV)
(V)
R. Brauer,
Vol. LXIX,
(VI)
H.
E.
group characters. Ann. of Math.
Applications
of induced characters. Amer. Journal of Math.,
1947, p. 709.
kontinuierlicher halbeinfacher
Gruppen.
Math. Zeit¬
1925, S. 353.
Stiefel, Kristallographische Bestimmung der Charaktere der geschlosse¬
Lie'schen Gruppen. Comm. Math. Helv., Vol. 17, 1944/45, S. 165.
nen
38
general
1947, p. 502.
Weyl, Darstellung
schrift 24,
(VII)
1900, S. 516.
R. Brauer, On Artin's i-series with
Ser. 2, Vol. 48,
1935, p. 150.
symmetrischen Gruppe. Sitzungsber.
Curriculum vitae
Ich wurde
Buchdrucker,
wo
30. Dezember
am
und der
ich auch meine
1917 als
Sohn des Josef
Prokop,
Frieda, geb. Hunziker, in Zürich geboren,
Kinderjahre
verlebte. Während 6 Jahren be¬
suchte ich die Primarschule und absolvierte anschließend das Kan¬
tonale
Realgymnasium
in Zürich.
Mathematik, speziell derjenige
den obern Klassen, weckte in
Der
von
vorzügliche
mir die Freude
schaft. So entschloß ich mich, Mathematik
matrikulierte mich, nachdem ich 1936 die
pus B bestanden
hatte,
an
der
Unterricht in
Herrn Prof. Dr. Max
zu
an
Egli
in
dieser Wissen¬
studieren und im¬
Maturitätsprüfung Ty¬
Eidgenössischen
Technischen Hoch¬
schule. Im Jahre 1941 schloß ich das Studium mit dem
Diplom
als
Mathematiker ab. Bereits im Laufe des Studiums und unmittelbar
danach hatte ich
Küsnacht und
an
Gelegenheit,
St. Gallen kürzere Vikariate
im
Frühjahr
1944
am
den Kantonalen
war
Professor für Mechanik
zu
Kantonalen Lehrerseminar in
Gymnasien
von
übernehmen. Vom Herbst 1941 bis
ich dann Assistent bei Herrn Dr.
an
der
Eidgenössischen
Ziegler,
Technischen Hoch¬
schule. Nachdem ich schon im Jahre 1944 während
am
Zürich und
einiger Wochen
Technikum des Kantons Zürich in Winterthur als Vikar be¬
schäftigt
gewesen war, kam ich 1945 als Hilfslehrer
und unterrichte
hier, seit Frühjahr
1946 als
an
diese Schule
Hauptlehrer,
in Mathe¬
matik.
W.
Prokop
39