¨Ubungsaufgaben Mathematik 1 für BA Physik/Meteorologie
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Übungsaufgaben Mathematik 1 für BA Physik/Meteorologie Aufgabenserie III Abgabe am 7.11.13 vor Beginn der Vorlesung 1. Betrachtet werde eine Menge M1 positiver reeller Zahlen sowie die Menge der nichtleere 1 Kehrwerte M2 = x ∈ M1 . Man beweise, dass unter der Voraussetzung der Bex schränktheit von M1 stets 1 inf M2 = sup M1 gilt. Man beweise ferner unter einer geeigneten zusätzlichen Voraussetzung die Beziehung sup M2 = 1 . inf M1 2. (Zwei Aufgaben) Lösen Sie in R die folgenden Ungleichungen und schreiben Sie die Lösungsmenge jeweils als Intervall oder als Vereinigung von Intervallen: a) |x2 − 2 x − 5| > 2. b) |x2 − 2| ≥ |2x − 1| 3. Führen Sie die Polynomdivision (x4 − 6x2 + 7x − 6) : (x2 − x + 1) durch und bestimmen Sie die reelle Produktdarstellung des Polynoms (x4 − 6x2 + 7x − 6). Für welche reellen Zahlen x nimmt das Polynom x4 − 6x2 + 7x − 6 nichtnegative Werte an? Geben Sie die Lösungsmenge als Intervall oder Vereinigung von Intervallen an. Bemerkung: Die reelle Produktdarstellung besteht aus reellen Faktoren höchstens zweiten Grades, wobei Faktoren zweiten Grades keine reellen Nullstellen haben. 4. (Zwei Aufgaben) Bestimmen Sie jeweils die reelle und die komplexe Produktdarstellung des Polynoms: a) p(x) = x4 − 3x2 + 1, b) p(x) = x6 − 1 . Bemerkung: Die komplexe Produktdarstellung besteht aus Faktoren ersten Grades (die man auch Linearfaktoren nennen kann), die jeweils einer komplexen Nullstelle des Polynoms entsprechen. Dabei gelten auch reelle Nullstellen als komplexe Nullstellen, so dass eine komplexe Produktdarstellung durchaus auch reell sein kann. √ √ √ 5* √ (Fakultativ) Beweisen Sie, dass für positive reelle Zahlen a, b stets a · b = a · b und √ pa a : b = b gelten. √ √ 6* (Fakultativ) Beweisen Sie, dass für reelle Zahlen x1 , x2 aus 0 ≤ x1 < x2 stets x1 < x2 folgt. Bemerkung: Dies ist eine weitere Rechenregel für Ungleichungen. Aus der letzten Ungleichung kann man wegen der Nichtnegativität der Wurzeln durch quadrieren wieder x1 < x2 folgern. Wendet man also auf beide Seiten einer Ungleichung zwischen nichtnegativen reellen Zahlen die Wurzelfunktion an, so erhält man eine äquivalente Ungleichung. Ebenso überzeugt man sich davon, dass man durch quadrieren beider Seiten einer Ungleichung zwischen nichtnegativen reellen Zahlen eine äquivalente Ungleichung erhält. Die Aussage dieser Aufgabe ist die strenge Monotonie der Wurzelfunktion.
