Maple - Universität Stuttgart

Mathematik am Computer
2. Vorlesung: Maple, Teil II
Heiko Schulz
Universität Stuttgart
20. November 2008
Übersicht
1
Organisatorisches
Heiko Schulz (Universität Stuttgart)
Mathematik am Computer
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2 / 44
Übersicht
1
Organisatorisches
2
Programmablaufsteuerung
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2 / 44
Übersicht
1
Organisatorisches
2
Programmablaufsteuerung
3
Grenzwerte und Folgen
Heiko Schulz (Universität Stuttgart)
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2 / 44
Übersicht
1
Organisatorisches
2
Programmablaufsteuerung
3
Grenzwerte und Folgen
4
Komplexe Zahlen
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2 / 44
Übersicht
1
Organisatorisches
2
Programmablaufsteuerung
3
Grenzwerte und Folgen
4
Komplexe Zahlen
5
Zusatzpakete zu Maple
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2 / 44
Übersicht
1
Organisatorisches
2
Programmablaufsteuerung
3
Grenzwerte und Folgen
4
Komplexe Zahlen
5
Zusatzpakete zu Maple
6
Lineare Algebra und Geometrie mit Maple
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2 / 44
Übersicht
1
Organisatorisches
2
Programmablaufsteuerung
3
Grenzwerte und Folgen
4
Komplexe Zahlen
5
Zusatzpakete zu Maple
6
Lineare Algebra und Geometrie mit Maple
7
Ausblick
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Organisatorisches
Organisatorisches
Wechsel Lehramt → Bachelor oder Parallelstudium: Infos vom
Studiendekan.
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Organisatorisches
Organisatorisches
Wechsel Lehramt → Bachelor oder Parallelstudium: Infos vom
Studiendekan.
Die aktuellen Übungslisten sind im Internet zu finden.
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Organisatorisches
Organisatorisches
Wechsel Lehramt → Bachelor oder Parallelstudium: Infos vom
Studiendekan.
Die aktuellen Übungslisten sind im Internet zu finden.
Teilnehmerzahlen:
Zur Zeit sind 90 Studierende (Bachelor) angemeldet.
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Organisatorisches
Organisatorisches
Wechsel Lehramt → Bachelor oder Parallelstudium: Infos vom
Studiendekan.
Die aktuellen Übungslisten sind im Internet zu finden.
Teilnehmerzahlen:
Zur Zeit sind 90 Studierende (Bachelor) angemeldet.
Beim ersten Übungstermin (31.10.) gab es 84 Teilnehmer.
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Organisatorisches
Organisatorisches
Wechsel Lehramt → Bachelor oder Parallelstudium: Infos vom
Studiendekan.
Die aktuellen Übungslisten sind im Internet zu finden.
Teilnehmerzahlen:
Zur Zeit sind 90 Studierende (Bachelor) angemeldet.
Beim ersten Übungstermin (31.10.) gab es 84 Teilnehmer.
Beim zweiten Übungstermin (13.11.) gab es 81 Teilnehmer.
Scheinkriterium: Anwesenheit!
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Bedingte Anweisungen
Eine bedingte Anweisung bewirkt, dass ein Befehl oder eine Gruppe
von Befehlen nur unter einer bestimmten Bedingung (oder auch
mehreren) durchgeführt wird.
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Bedingte Anweisungen
Eine bedingte Anweisung bewirkt, dass ein Befehl oder eine Gruppe
von Befehlen nur unter einer bestimmten Bedingung (oder auch
mehreren) durchgeführt wird.
Syntax:
if bedingung 1 then
Befehle;
elif Bedingung 2 then
andere Befehle;
else
noch andere Befehle;
fi;
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Bedingte Anweisungen
Eine bedingte Anweisung bewirkt, dass ein Befehl oder eine Gruppe
von Befehlen nur unter einer bestimmten Bedingung (oder auch
mehreren) durchgeführt wird.
Syntax:
if bedingung 1 then
Befehle;
elif Bedingung 2 then
andere Befehle;
else
noch andere Befehle;
fi;
Statt fi kann man auch end if schreiben.
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Bedingte Anweisungen
Dies kann zu verschiedenen Programmstrukturen führen und für
verschiedene Zwecke benutzt werden, z.B.
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Bedingte Anweisungen
Dies kann zu verschiedenen Programmstrukturen führen und für
verschiedene Zwecke benutzt werden, z.B.
a) Fallunterscheidung für eine
einzelne Anweisung:
befehl 1;
befehl 2;
if (bedingung) then
befehl 3a;
else
befehl 3b;
fi;
befehl 4;
...
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Bedingte Anweisungen
Dies kann zu verschiedenen Programmstrukturen führen und für
verschiedene Zwecke benutzt werden, z.B.
a) Fallunterscheidung für eine
einzelne Anweisung:
befehl 1;
befehl 2;
if (bedingung) then
befehl 3a;
else
befehl 3b;
fi;
befehl 4;
...
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b) Verzweigungen, das gesamte
Programm betreffend:
befehl 1;
if (bedingung) then
befehl 2a;
befehl 3a;
...
else
befehl 2b;
befehl 3b;
...
fi;
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Bedingte Anweisungen
Beispiel 1:
Primzahltest
p:=3;
if isprime(p) then
print(’p ist Primzahl’)
else
print(’p ist keine Primzahl’)
fi;
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Bedingte Anweisungen
Beispiel 2:
Vorzeichentest
x:=4;
if (x>0) then
print(’x ist positiv’)
elif (x=0) then
print(’x ist Null’)
else
print (’x ist negativ’)
fi;
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Schleifen
Es gibt drei verschiedene Arten von Schleifen:
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Schleifen
Es gibt drei verschiedene Arten von Schleifen:
1
die „Zählschleife“,
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Schleifen
Es gibt drei verschiedene Arten von Schleifen:
1
die „Zählschleife“,
2
die abweisende Schleife,
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Schleifen
Es gibt drei verschiedene Arten von Schleifen:
1
die „Zählschleife“,
2
die abweisende Schleife,
3
die nicht abweisende Schleife.
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Schleifen
Es gibt drei verschiedene Arten von Schleifen:
1
die „Zählschleife“,
2
die abweisende Schleife,
3
die nicht abweisende Schleife.
Die „Zählschleife:“
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Schleifen
Es gibt drei verschiedene Arten von Schleifen:
1
die „Zählschleife“,
2
die abweisende Schleife,
3
die nicht abweisende Schleife.
Die „Zählschleife:“
for variable from anfang to ende [ by schritt ] do
Befehle;
end do;
Statt end do kann man auch od schreiben.
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Schleifen
Beispiele:
1
Produkt aller geraden Zahlen von 2 bis 10:
prod:=1;
for i from 2 to 10 by 2 do
prod:=prod*i;
end do;
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Schleifen
Beispiele:
1
Produkt aller geraden Zahlen von 2 bis 10:
prod:=1;
for i from 2 to 10 by 2 do
prod:=prod*i;
end do;
2
Ausgabe aller Primzahlen zwischen 1 und 100:
for i from 1 to 100 do
if (isprime(i)) then
print(i)
end if
end do;
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Schleifen
Es gibt drei verschiedene Arten von Schleifen:
1
die „Zählschleife“,
2
die abweisende Schleife,
3
die nicht abweisende Schleife.
Abweisende Schleife:
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Schleifen
Es gibt drei verschiedene Arten von Schleifen:
1
die „Zählschleife“,
2
die abweisende Schleife,
3
die nicht abweisende Schleife.
Abweisende Schleife:
while bedingung do
Befehle;
end do;
„Abweisend“, weil sie nie durchgeführt wird, falls bedingung sofort
nicht erfüllt ist.
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Schleifen
Es gibt drei verschiedene Arten von Schleifen:
1
die „Zählschleife“,
2
die abweisende Schleife,
3
die nicht abweisende Schleife.
Nicht abweisende Schleife:
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Schleifen
Es gibt drei verschiedene Arten von Schleifen:
1
die „Zählschleife“,
2
die abweisende Schleife,
3
die nicht abweisende Schleife.
Nicht abweisende Schleife:
do
Befehle;
if(bedingung) then
break;
end if;
end do;
führt die Schleife aus, bis die bedingung erfüllt ist.
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Schleifen
Beispiele:
1
Abweisende Schleife, die niemals ausgeführt wird:
x:=1;
while x<0.5 do
x:=x+1;
end do;
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Schleifen
Beispiele:
1
Abweisende Schleife, die niemals ausgeführt wird:
x:=1;
while x<0.5 do
x:=x+1;
end do;
2
Nicht abweisende Schleife:
x:=1;
do
x:=x+1;
if(x<0.5) then
break;
end if;
end do;
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12 / 44
Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Listen, Mengen und
Vektoren
Motivation:
Durchlaufen komplizierter Gebilde als die natürlichen Zahlen,
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Listen, Mengen und
Vektoren
Motivation:
Durchlaufen komplizierter Gebilde als die natürlichen Zahlen,
Definition von Verzweigungsbedingungen mittels Mengen.
1
Mengen:
menge:={element_1,element_2,...,element_n};
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Listen, Mengen und
Vektoren
Motivation:
Durchlaufen komplizierter Gebilde als die natürlichen Zahlen,
Definition von Verzweigungsbedingungen mittels Mengen.
1
Mengen:
menge:={element_1,element_2,...,element_n};
2
(geordnete) Listen:
liste:=[element_1,element_2,...,element_n];
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Listen, Mengen und
Vektoren
Motivation:
Durchlaufen komplizierter Gebilde als die natürlichen Zahlen,
Definition von Verzweigungsbedingungen mittels Mengen.
1
Mengen:
menge:={element_1,element_2,...,element_n};
2
(geordnete) Listen:
liste:=[element_1,element_2,...,element_n];
3
Vektoren:
vektor:=<element_1,element_2,...,element_n>;
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Listen, Mengen und
Vektoren
Beispiele:
1
Listen werden entsprechend der Reihenfolge durchlaufen:
liste:=[2,5,1,-1];
for i in liste do
i^2;
end do;
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Listen, Mengen und
Vektoren
Beispiele:
1
2
Listen werden entsprechend der Reihenfolge durchlaufen:
liste:=[2,5,1,-1];
for i in liste do
i^2;
end do;
Mit dem in kann die Mengenzugehörigkeit überprüft werden:
menge1:={’hans’,’im’,’glueck’};
menge2:={’hans’,’wurst’};
for wort in menge2 do
if(wort in menge1) then
print(wort);
end if;
end do;
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Programmablaufsteuerung
Einschub: Mehrzeilige Eingaben
Problem: Nach Enter erwartet Maple einen abgeschlossenen
Code-Bereich,
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Programmablaufsteuerung
Einschub: Mehrzeilige Eingaben
Problem: Nach Enter erwartet Maple einen abgeschlossenen
Code-Bereich,d.h. z.B. die Eingabe von
for i from 1 to 10
<ENTER>
ergibt eine Fehlermeldung. Auch mit der Maus kommt man oft nicht in
eine tiefere Zeile.
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15 / 44
Programmablaufsteuerung
Einschub: Mehrzeilige Eingaben
Problem: Nach Enter erwartet Maple einen abgeschlossenen
Code-Bereich,d.h. z.B. die Eingabe von
for i from 1 to 10
<ENTER>
ergibt eine Fehlermeldung. Auch mit der Maus kommt man oft nicht in
eine tiefere Zeile.
Auswege:
<SHIFT><ENTER> springt in die nächste Zeile, ohne den
Code-Block abzuschließen. Erst wenn der Block fertig
geschrieben ist, <ENTER> drücken.
Heiko Schulz (Universität Stuttgart)
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15 / 44
Programmablaufsteuerung
Einschub: Mehrzeilige Eingaben
Problem: Nach Enter erwartet Maple einen abgeschlossenen
Code-Bereich,d.h. z.B. die Eingabe von
for i from 1 to 10
<ENTER>
ergibt eine Fehlermeldung. Auch mit der Maus kommt man oft nicht in
eine tiefere Zeile.
Auswege:
<SHIFT><ENTER> springt in die nächste Zeile, ohne den
Code-Block abzuschließen. Erst wenn der Block fertig
geschrieben ist, <ENTER> drücken.
Vorschreiben der Befehle in einem seperaten Editor, einlesen via
File -> Open... oder mit dem Maple-Befehl read.
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Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Eigene Unterprogramme
Eine Funktion (Routine oder Unterprogramm) wird als Variable name
behandelt und wie folgt definiert:
name:=proc(Liste von Parametern)
Deklaration lokaler Variablen;
Deklaration globaler Variablen;
Folge von Befehlen;
RETURN(variable);
end;
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16 / 44
Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Eigene Unterprogramme
Eine Funktion (Routine oder Unterprogramm) wird als Variable name
behandelt und wie folgt definiert:
name:=proc(Liste von Parametern)
Deklaration lokaler Variablen;
Deklaration globaler Variablen;
Folge von Befehlen;
RETURN(variable);
end;
Bemerkungen
Wird auf RETURN verzichtet, wird die Ausgabe des letzten Befehls
als Ergebnis (Returnwert) angesehen.
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16 / 44
Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Eigene Unterprogramme
Eine Funktion (Routine oder Unterprogramm) wird als Variable name
behandelt und wie folgt definiert:
name:=proc(Liste von Parametern)
Deklaration lokaler Variablen;
Deklaration globaler Variablen;
Folge von Befehlen;
RETURN(variable);
end;
Bemerkungen
Wird auf RETURN verzichtet, wird die Ausgabe des letzten Befehls
als Ergebnis (Returnwert) angesehen.
Eine Veränderung der Parameter innerhalb des Unterprogramms
ist nicht möglich.
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16 / 44
Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Eigene Unterprogramme
Lokale und globale Variablen:
Lokale Variablen: Gültigkeit ist auf dieses Unterprogramm
beschränkt.
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17 / 44
Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Eigene Unterprogramme
Lokale und globale Variablen:
Lokale Variablen: Gültigkeit ist auf dieses Unterprogramm
beschränkt.
Globale Variablen: Können innerhalb der Funktion mit Wirkung
nach außen verändert werden.
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17 / 44
Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Eigene Unterprogramme
Lokale und globale Variablen:
Lokale Variablen: Gültigkeit ist auf dieses Unterprogramm
beschränkt.
Globale Variablen: Können innerhalb der Funktion mit Wirkung
nach außen verändert werden.
Beispiel: Betrag eines Vektor aus R3 .
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17 / 44
Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Eigene Unterprogramme
Lokale und globale Variablen:
Lokale Variablen: Gültigkeit ist auf dieses Unterprogramm
beschränkt.
Globale Variablen: Können innerhalb der Funktion mit Wirkung
nach außen verändert werden.
Beispiel: Betrag eines Vektor aus R3 .
betrag3:=proc(x1,x2,x3)
local ergebnis;
ergebnis:=sqrt(x1^2+x2^2+x3^2);
RETURN(ergebnis);
end;
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17 / 44
Programmablaufsteuerung
Einfaches Programmieren: Eigene Unterprogramme
Lokale und globale Variablen:
Lokale Variablen: Gültigkeit ist auf dieses Unterprogramm
beschränkt.
Globale Variablen: Können innerhalb der Funktion mit Wirkung
nach außen verändert werden.
Beispiel: Betrag eines Vektor aus R3 .
betrag3:=proc(x1,x2,x3)
local ergebnis;
ergebnis:=sqrt(x1^2+x2^2+x3^2);
RETURN(ergebnis);
end;
Aufruf: z.B. betrag3(1,1,0);
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17 / 44
Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Zur Bestimmung von Grenzwerten gibt es den Befehl limit:
limit - calculate limit
Calling Sequences
limit(f, x=a, dir)
Parameters
f
- algebraic expression
x
- name
a
- algebraic expression; limit point,
possibly infinity, or -infinity
dir - (optional) symbol; direction chosen from:
left, right, real, or complex
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18 / 44
Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Beispiele:
Grenzwert von sin(x)/x für x → 0 (via L’Hospital):
cos(x)
sin(x)
= lim
= 1
x
1
x→0
x→0
lim
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19 / 44
Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Beispiele:
Grenzwert von sin(x)/x für x → 0 (via L’Hospital):
cos(x)
sin(x)
= lim
= 1
x
1
x→0
x→0
lim
Maple: limit(sin(x)/x,x=0);
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19 / 44
Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Beispiele:
Grenzwert von sin(x)/x für x → 0 (via L’Hospital):
cos(x)
sin(x)
= lim
= 1
x
1
x→0
x→0
lim
Maple: limit(sin(x)/x,x=0);
Grenzwert von ex für x → ∞:
lim ex = ∞
x→0
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19 / 44
Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Beispiele:
Grenzwert von sin(x)/x für x → 0 (via L’Hospital):
cos(x)
sin(x)
= lim
= 1
x
1
x→0
x→0
lim
Maple: limit(sin(x)/x,x=0);
Grenzwert von ex für x → ∞:
lim ex = ∞
x→0
Maple: limit(exp(x),x=infinity);
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19 / 44
Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Ableitung von |x| im Punkt x = 0:
1,0
0,9
abs(x):
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
K
1,0
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K
0,5
0
0,5
1,0
x
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20 / 44
Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Ableitung von |x| im Punkt x = 0:
1,0
diff(abs(x),x):
0,5
K
1,0
K
0
0,5
0,5
1,0
x
K
0,5
K
1,0
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21 / 44
Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Grenzwert in x = 0: lim (|x|)0 ist nicht definiert. Maple:
x→0
limit(diff(abs(x),x),x=0);
ergibt den Wert undefined .
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22 / 44
Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Grenzwert in x = 0: lim (|x|)0 ist nicht definiert. Maple:
x→0
limit(diff(abs(x),x),x=0);
ergibt den Wert undefined .
Linksseitiger Grenzwert: lim (|x|)0 = −1. Maple:
x→−0
limit(diff(abs(x),x),x=0,left);
ergibt den Wert −1.
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22 / 44
Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Grenzwert in x = 0: lim (|x|)0 ist nicht definiert. Maple:
x→0
limit(diff(abs(x),x),x=0);
ergibt den Wert undefined .
Linksseitiger Grenzwert: lim (|x|)0 = −1. Maple:
x→−0
limit(diff(abs(x),x),x=0,left);
ergibt den Wert −1.
Rechtsseitiger Grenzwert: lim (|x|)0 = 1. Maple:
x→+0
limit(diff(abs(x),x),x=0,right);
ergibt den Wert 1.
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22 / 44
Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Es lassen sich auch Grenzwerte von Folgen an , n = 1, 2, ... berechnen.
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23 / 44
Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Es lassen sich auch Grenzwerte von Folgen an , n = 1, 2, ... berechnen.
Beispiele:
lim
n→∞
√
n
n = 1, Maple:
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23 / 44
Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Es lassen sich auch Grenzwerte von Folgen an , n = 1, 2, ... berechnen.
Beispiele:
lim
n→∞
√
n
n = 1, Maple:
limit(n^(1/n),n=infinity);
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23 / 44
Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Es lassen sich auch Grenzwerte von Folgen an , n = 1, 2, ... berechnen.
Beispiele:
lim
√
n
n→∞
n = 1, Maple:
limit(n^(1/n),n=infinity);
lim nn
n→∞ a
= 0 für a > 1, Maple:
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23 / 44
Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Es lassen sich auch Grenzwerte von Folgen an , n = 1, 2, ... berechnen.
Beispiele:
lim
√
n
n→∞
n = 1, Maple:
limit(n^(1/n),n=infinity);
lim nn
n→∞ a
= 0 für a > 1, Maple:
assume(a>1);
limit(n/(a^n),n=infinity);
Heiko Schulz (Universität Stuttgart)
Mathematik am Computer
20. November 2008
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Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Es lassen sich auch Grenzwerte von Folgen an , n = 1, 2, ... berechnen.
Beispiele:
lim
√
n
n→∞
n = 1, Maple:
limit(n^(1/n),n=infinity);
lim nn
n→∞ a
= 0 für a > 1, Maple:
assume(a>1);
limit(n/(a^n),n=infinity);
Mit assume weist man einer Variable eine Eigenschaft zu, diese kann
man mit about abfragen.
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Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Es lassen sich auch Grenzwerte von Folgen an , n = 1, 2, ... berechnen.
Beispiele:
lim
√
n
n→∞
n = 1, Maple:
limit(n^(1/n),n=infinity);
lim nn
n→∞ a
= 0 für a > 1, Maple:
assume(a>1);
limit(n/(a^n),n=infinity);
Mit assume weist man einer Variable eine Eigenschaft zu, diese kann
man mit about abfragen.
Mit a:=’a’ oder unassign(’a’) verliert a alle gesetzten
Eigenschaften wieder.
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Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Komplizierter: Rekursiv definierte Folgen. Es sei a1 gegeben und
an+1 = g(an ), n = 1, 2, ...
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Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Komplizierter: Rekursiv definierte Folgen. Es sei a1 gegeben und
an+1 = g(an ), n = 1, 2, ...
Beispiel:
1
(an + 2), n = 1, 2, ...
2
mit a1 = q beliebig. Es gilt für beliebiges q:
an+1 =
lim an = 2.
n→∞
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Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Komplizierter: Rekursiv definierte Folgen. Es sei a1 gegeben und
an+1 = g(an ), n = 1, 2, ...
Beispiel:
1
(an + 2), n = 1, 2, ...
2
mit a1 = q beliebig. Es gilt für beliebiges q:
an+1 =
lim an = 2.
n→∞
Realisierung in Maple?
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Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Man kann an als rekursive Funktion definieren:
a:=proc(n,q)
if n=1 then
q;
else
simplify(1/2*(a(n-1,q)+2));
end if;
end;
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Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Man kann an als rekursive Funktion definieren:
a:=proc(n,q)
if n=1 then
q;
else
simplify(1/2*(a(n-1,q)+2));
end if;
end;
und verwenden
a(10,q); a(100,q); evalf(a(1000,q));
aber
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Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Man kann an als rekursive Funktion definieren:
a:=proc(n,q)
if n=1 then
q;
else
simplify(1/2*(a(n-1,q)+2));
end if;
end;
und verwenden
a(10,q); a(100,q); evalf(a(1000,q));
aber
limit(a(n,q),n=infinity);
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Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
schlägt mit too many levels of recursion fehl!
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Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
schlägt mit too many levels of recursion fehl!
Erklärung: Der Zweig n=1 wird nie erreicht, wenn man nicht mit
einem konkreten n startet.
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Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
schlägt mit too many levels of recursion fehl!
Erklärung: Der Zweig n=1 wird nie erreicht, wenn man nicht mit
einem konkreten n startet.
Ausweg: rsolve, ein vielseitig anwendbarer Befehl zum Auflösen
rekursiver Abhängigkeiten, dann Awendung des limit-Befehls.
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Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
schlägt mit too many levels of recursion fehl!
Erklärung: Der Zweig n=1 wird nie erreicht, wenn man nicht mit
einem konkreten n startet.
Ausweg: rsolve, ein vielseitig anwendbarer Befehl zum Auflösen
rekursiver Abhängigkeiten, dann Awendung des limit-Befehls.
Anwendung am Beispiel an+1 =
1
2
(an + 2):
rsolve({a(n+1)=1/2*(a(n)+2),a(1)=q}, a);
limit(%,n=infinity);
liefert die gewünschte 2.
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Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Weiteres Beispiel:
an+1 = 1 +
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1
, n = 1, 2, ...
an
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Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Weiteres Beispiel:
an+1 = 1 +
1
, n = 1, 2, ...
an
Definition als rekursive Funktion:
a:=proc(n,startwert)
local ergebnis;
if(n=1) then
ergebnis:=evalf(1+1/startwert);
else
ergebnis:=evalf(1+1/a(n-1,startwert));
fi;
RETURN(ergebnis);
end;
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Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Problem: Auch rsolve versagt.
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Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Problem: Auch rsolve versagt.
Ausweg: Einführen einer neuen Folge qn mit an = qn+1 /qn .
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Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Problem: Auch rsolve versagt.
Ausweg: Einführen einer neuen Folge qn mit an = qn+1 /qn .
Mathematischer Hintergrund: Die „Grenzgleichung“
1
a
ist äquivalent zu der quadratischen Gleichung
a = 1+
a2 − a − 1 = 0,
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Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Problem: Auch rsolve versagt.
Ausweg: Einführen einer neuen Folge qn mit an = qn+1 /qn .
Mathematischer Hintergrund: Die „Grenzgleichung“
1
a
ist äquivalent zu der quadratischen Gleichung
a = 1+
a2 − a − 1 = 0,
mit den Lösungen
a1,2 =
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1 1√
±
5.
2 2
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Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Problem: Auch rsolve versagt.
Ausweg: Einführen einer neuen Folge qn mit an = qn+1 /qn .
Mathematischer Hintergrund: Die „Grenzgleichung“
1
a
ist äquivalent zu der quadratischen Gleichung
a = 1+
a2 − a − 1 = 0,
mit den Lösungen
a1,2 =
1 1√
±
5.
2 2
a1 ist das Teilungsverhältnis beim „Goldenen Schnitt“.
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Grenzwerte und Folgen
Grenzwerte mit Maple berechnen
Problem: Auch rsolve versagt.
Ausweg: Einführen einer neuen Folge qn mit an = qn+1 /qn .
Mathematischer Hintergrund: Die „Grenzgleichung“
1
a
ist äquivalent zu der quadratischen Gleichung
a = 1+
a2 − a − 1 = 0,
mit den Lösungen
a1,2 =
1 1√
±
5.
2 2
a1 ist das Teilungsverhältnis beim „Goldenen Schnitt“.
Beobachtung: Auch wenn man mit a2 startet, konvergiert die
Folge stets zu a1 !
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Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
Es sei z ∈ C:
z = x + i · y mit x, y ∈ R.
x nennt man den Realteil von z, y heißt Imaginärteil von z und für die
imaginäre Einheit i gilt
i 2 = −1.
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Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
Es sei z ∈ C:
z = x + i · y mit x, y ∈ R.
x nennt man den Realteil von z, y heißt Imaginärteil von z und für die
imaginäre Einheit i gilt
i 2 = −1.
Entsprechung in Maple:
Re - return the Real part of a complex-valued
expression
Im - return the Imaginary part of a complex-valued
expression
I - root of x^2 = -1
Maple rechnet generell im komplexen Zahlenraum.
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Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
Beispiele:
I^2;
x:=4+I; y:=1-I; x*y;
solve(z^2+z+1=0,z);
solve(z^4=1,z);
z:=1+I; abs(z);
assume(x,real); Re(x*z);
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Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
Grafische Darstellung in 2D: complexplot.
Beispiel: Darstellung von 1 + i in der komplexen Zahlenebene.
with(plots);
complexplot(1+I,x=0..2, style=point);
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Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
Grafische Darstellung in 2D: complexplot.
Beispiel: Darstellung von 1 + i in der komplexen Zahlenebene.
with(plots);
complexplot(1+I,x=0..2, style=point);
Berechnung der konjugiert komplexen Zahl: conjugate.
Beispiel:
assume(x,real,y,real);
conjugate(x+I*y);
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Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
Grafische Darstellung in 2D: complexplot.
Beispiel: Darstellung von 1 + i in der komplexen Zahlenebene.
with(plots);
complexplot(1+I,x=0..2, style=point);
Berechnung der konjugiert komplexen Zahl: conjugate.
Beispiel:
assume(x,real,y,real);
conjugate(x+I*y);
Trennung von Real- und Imaginärteil: evalc.
Beispiel:
evalc(sqrt(I^I));
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Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
Polardarstellung:
z = r · eiϕ = r · (cos(ϕ) + i · sin(ϕ))
mit dem Betrag r und dem Winkel ϕ.
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Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
Polardarstellung:
z = r · eiϕ = r · (cos(ϕ) + i · sin(ϕ))
mit dem Betrag r und dem Winkel ϕ.
Umsetzung in Maple: polar - convert to polar form.
Calling Sequence
polar(z)
polar(r, t)
Parameters
z - expression
r - expression, understood to be real
t - expression, understood to be real
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Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
Beispiele:
polar(1+2*I);
polar(x+I*y);
Re(polar(4, Pi/2));
Im(polar(4, Pi/2));
z1:=polar(4, Pi/2); z2:=polar(1, Pi/3);
z1*z2;
Re(z1*z2);
abs(z1*z2);
polar(z1*z2);
...
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Zusatzpakete zu Maple
Zusatzpakete zu Maple
Zur Erweiterung des Funktionsumfangs von Maple existieren eine
Reihe von Zusatzpaketen, die jederzeit mit
with(paketname);
geladen werden können. Es werden die hinzugefügten oder
veränderten (überschriebenen) Befehle angezeigt.
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Zusatzpakete zu Maple
Zusatzpakete zu Maple
Zur Erweiterung des Funktionsumfangs von Maple existieren eine
Reihe von Zusatzpaketen, die jederzeit mit
with(paketname);
geladen werden können. Es werden die hinzugefügten oder
veränderten (überschriebenen) Befehle angezeigt. Mit
packages();
kann angezeigt werden, welche Pakete geladen sind.
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Zusatzpakete zu Maple
Zusatzpakete zu Maple
Zur Erweiterung des Funktionsumfangs von Maple existieren eine
Reihe von Zusatzpaketen, die jederzeit mit
with(paketname);
geladen werden können. Es werden die hinzugefügten oder
veränderten (überschriebenen) Befehle angezeigt. Mit
packages();
kann angezeigt werden, welche Pakete geladen sind.Mit
unwith(paketname)
wird das Laden eines Paketes rückgängig gemacht.
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Zusatzpakete zu Maple
Zusatzpakete zu Maple
Zur Erweiterung des Funktionsumfangs von Maple existieren eine
Reihe von Zusatzpaketen, die jederzeit mit
with(paketname);
geladen werden können. Es werden die hinzugefügten oder
veränderten (überschriebenen) Befehle angezeigt. Mit
packages();
kann angezeigt werden, welche Pakete geladen sind.Mit
unwith(paketname)
wird das Laden eines Paketes rückgängig gemacht.
Im Lieferumfang von Maple (V. 11) gibt es 102 Zusatzpakete. Weitere
findet man im Internet.
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Zusatzpakete zu Maple
Zusatzpakete zu Maple
Auswahl einiger Pakete:
combinat
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Kombinatorik-Tools
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Auswahl einiger Pakete:
combinat
CurveFitting
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Kombinatorik-Tools
Appromimation von Punkten durch Polynome
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Zusatzpakete zu Maple
Auswahl einiger Pakete:
combinat
CurveFitting
DEtools, diffalg
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Kombinatorik-Tools
Appromimation von Punkten durch Polynome
Behandlung von Differentialgleichungen
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Zusatzpakete zu Maple
Auswahl einiger Pakete:
combinat
CurveFitting
DEtools, diffalg
geom3d
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Kombinatorik-Tools
Appromimation von Punkten durch Polynome
Behandlung von Differentialgleichungen
Dreidimensionale euklidische Geometrie
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Auswahl einiger Pakete:
combinat
CurveFitting
DEtools, diffalg
geom3d
geometry
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Kombinatorik-Tools
Appromimation von Punkten durch Polynome
Behandlung von Differentialgleichungen
Dreidimensionale euklidische Geometrie
Zweidimensionale euklidische Geometrie
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Auswahl einiger Pakete:
combinat
CurveFitting
DEtools, diffalg
geom3d
geometry
GraphTheory
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Kombinatorik-Tools
Appromimation von Punkten durch Polynome
Behandlung von Differentialgleichungen
Dreidimensionale euklidische Geometrie
Zweidimensionale euklidische Geometrie
Graphentheorie
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Auswahl einiger Pakete:
combinat
CurveFitting
DEtools, diffalg
geom3d
geometry
GraphTheory
group
Heiko Schulz (Universität Stuttgart)
Kombinatorik-Tools
Appromimation von Punkten durch Polynome
Behandlung von Differentialgleichungen
Dreidimensionale euklidische Geometrie
Zweidimensionale euklidische Geometrie
Graphentheorie
Gruppentheorie
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Auswahl einiger Pakete:
combinat
CurveFitting
DEtools, diffalg
geom3d
geometry
GraphTheory
group
IntegrationTools
Heiko Schulz (Universität Stuttgart)
Kombinatorik-Tools
Appromimation von Punkten durch Polynome
Behandlung von Differentialgleichungen
Dreidimensionale euklidische Geometrie
Zweidimensionale euklidische Geometrie
Graphentheorie
Gruppentheorie
Tools zur Integration von Funktionen
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Auswahl einiger Pakete:
combinat
CurveFitting
DEtools, diffalg
geom3d
geometry
GraphTheory
group
IntegrationTools
LinearAlgebra
Heiko Schulz (Universität Stuttgart)
Kombinatorik-Tools
Appromimation von Punkten durch Polynome
Behandlung von Differentialgleichungen
Dreidimensionale euklidische Geometrie
Zweidimensionale euklidische Geometrie
Graphentheorie
Gruppentheorie
Tools zur Integration von Funktionen
Tools zur Linearen Algebra
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Auswahl einiger Pakete:
combinat
CurveFitting
DEtools, diffalg
geom3d
geometry
GraphTheory
group
IntegrationTools
LinearAlgebra
Logic
Heiko Schulz (Universität Stuttgart)
Kombinatorik-Tools
Appromimation von Punkten durch Polynome
Behandlung von Differentialgleichungen
Dreidimensionale euklidische Geometrie
Zweidimensionale euklidische Geometrie
Graphentheorie
Gruppentheorie
Tools zur Integration von Funktionen
Tools zur Linearen Algebra
Aussagenlogik
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Auswahl einiger Pakete:
combinat
CurveFitting
DEtools, diffalg
geom3d
geometry
GraphTheory
group
IntegrationTools
LinearAlgebra
Logic
LREtools
Heiko Schulz (Universität Stuttgart)
Kombinatorik-Tools
Appromimation von Punkten durch Polynome
Behandlung von Differentialgleichungen
Dreidimensionale euklidische Geometrie
Zweidimensionale euklidische Geometrie
Graphentheorie
Gruppentheorie
Tools zur Integration von Funktionen
Tools zur Linearen Algebra
Aussagenlogik
Behandlung linearer rekursiver Gleichungen
Mathematik am Computer
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Auswahl einiger Pakete:
combinat
CurveFitting
DEtools, diffalg
geom3d
geometry
GraphTheory
group
IntegrationTools
LinearAlgebra
Logic
LREtools
Matlab
Heiko Schulz (Universität Stuttgart)
Kombinatorik-Tools
Appromimation von Punkten durch Polynome
Behandlung von Differentialgleichungen
Dreidimensionale euklidische Geometrie
Zweidimensionale euklidische Geometrie
Graphentheorie
Gruppentheorie
Tools zur Integration von Funktionen
Tools zur Linearen Algebra
Aussagenlogik
Behandlung linearer rekursiver Gleichungen
MATLAB-Link
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Auswahl einiger Pakete:
combinat
CurveFitting
DEtools, diffalg
geom3d
geometry
GraphTheory
group
IntegrationTools
LinearAlgebra
Logic
LREtools
Matlab
numapprox
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Kombinatorik-Tools
Appromimation von Punkten durch Polynome
Behandlung von Differentialgleichungen
Dreidimensionale euklidische Geometrie
Zweidimensionale euklidische Geometrie
Graphentheorie
Gruppentheorie
Tools zur Integration von Funktionen
Tools zur Linearen Algebra
Aussagenlogik
Behandlung linearer rekursiver Gleichungen
MATLAB-Link
Approximation von Funktionen durch Polynome
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Auswahl einiger Pakete:
combinat
CurveFitting
DEtools, diffalg
geom3d
geometry
GraphTheory
group
IntegrationTools
LinearAlgebra
Logic
LREtools
Matlab
numapprox
numtheory
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Kombinatorik-Tools
Appromimation von Punkten durch Polynome
Behandlung von Differentialgleichungen
Dreidimensionale euklidische Geometrie
Zweidimensionale euklidische Geometrie
Graphentheorie
Gruppentheorie
Tools zur Integration von Funktionen
Tools zur Linearen Algebra
Aussagenlogik
Behandlung linearer rekursiver Gleichungen
MATLAB-Link
Approximation von Funktionen durch Polynome
Zahlentheorie
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Optimization
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Optimierung
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Optimization
OrthogonalSeries
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Optimierung
Orthogonale Polynome
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Optimization
OrthogonalSeries
PDEtools
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Optimierung
Orthogonale Polynome
Lösen von Partiellen Differentialgleichungen
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Optimization
OrthogonalSeries
PDEtools
Physics
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Optimierung
Orthogonale Polynome
Lösen von Partiellen Differentialgleichungen
Behandlung von Objekten aus der Math. Physik
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Optimization
OrthogonalSeries
PDEtools
Physics
plots
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Orthogonale Polynome
Lösen von Partiellen Differentialgleichungen
Behandlung von Objekten aus der Math. Physik
Verschiedene Plot-Befehle
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Optimization
OrthogonalSeries
PDEtools
Physics
plots
powseries
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Optimierung
Orthogonale Polynome
Lösen von Partiellen Differentialgleichungen
Behandlung von Objekten aus der Math. Physik
Verschiedene Plot-Befehle
Formale Reihen
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Optimization
OrthogonalSeries
PDEtools
Physics
plots
powseries
RandomTools
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Optimierung
Orthogonale Polynome
Lösen von Partiellen Differentialgleichungen
Behandlung von Objekten aus der Math. Physik
Verschiedene Plot-Befehle
Formale Reihen
Erzeugen und Rechnen mit Zufallszahlen
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Optimization
OrthogonalSeries
PDEtools
Physics
plots
powseries
RandomTools
RootFinding
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Optimierung
Orthogonale Polynome
Lösen von Partiellen Differentialgleichungen
Behandlung von Objekten aus der Math. Physik
Verschiedene Plot-Befehle
Formale Reihen
Erzeugen und Rechnen mit Zufallszahlen
Tools zum Lösen von Gleichungen
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Optimization
OrthogonalSeries
PDEtools
Physics
plots
powseries
RandomTools
RootFinding
simplex
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Optimierung
Orthogonale Polynome
Lösen von Partiellen Differentialgleichungen
Behandlung von Objekten aus der Math. Physik
Verschiedene Plot-Befehle
Formale Reihen
Erzeugen und Rechnen mit Zufallszahlen
Tools zum Lösen von Gleichungen
Lineare Optimierungsprobleme (Simplex-Alg.)
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Optimization
OrthogonalSeries
PDEtools
Physics
plots
powseries
RandomTools
RootFinding
simplex
Statistics
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Optimierung
Orthogonale Polynome
Lösen von Partiellen Differentialgleichungen
Behandlung von Objekten aus der Math. Physik
Verschiedene Plot-Befehle
Formale Reihen
Erzeugen und Rechnen mit Zufallszahlen
Tools zum Lösen von Gleichungen
Lineare Optimierungsprobleme (Simplex-Alg.)
Statistik-Tools
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Optimization
OrthogonalSeries
PDEtools
Physics
plots
powseries
RandomTools
RootFinding
simplex
Statistics
sumtools, SumTools
Heiko Schulz (Universität Stuttgart)
Optimierung
Orthogonale Polynome
Lösen von Partiellen Differentialgleichungen
Behandlung von Objekten aus der Math. Physik
Verschiedene Plot-Befehle
Formale Reihen
Erzeugen und Rechnen mit Zufallszahlen
Tools zum Lösen von Gleichungen
Lineare Optimierungsprobleme (Simplex-Alg.)
Statistik-Tools
Berechnung von Summen
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Optimization
OrthogonalSeries
PDEtools
Physics
plots
powseries
RandomTools
RootFinding
simplex
Statistics
sumtools, SumTools
VectorCalculus
Heiko Schulz (Universität Stuttgart)
Optimierung
Orthogonale Polynome
Lösen von Partiellen Differentialgleichungen
Behandlung von Objekten aus der Math. Physik
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Formale Reihen
Erzeugen und Rechnen mit Zufallszahlen
Tools zum Lösen von Gleichungen
Lineare Optimierungsprobleme (Simplex-Alg.)
Statistik-Tools
Berechnung von Summen
Vektorrechnung
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Lineare Algebra und Geometrie mit Maple
Lineare Algebra und Geometrie mit Maple
Das Zusatzpaket VectorCalculus stellt einige Zusatzprogramme
zur Behandlung von Vektoren zur Verfügung. Eine kleine Auswahl:
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Lineare Algebra und Geometrie mit Maple
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Das Zusatzpaket VectorCalculus stellt einige Zusatzprogramme
zur Behandlung von Vektoren zur Verfügung. Eine kleine Auswahl:
Skalarprodukt zweier Vektoren ~a, ~b ∈ Rn :
~a · ~b :=
n
X
ai bi .
i=1
Dabei seien ai , bi ∈ R die Koeffizienten bzgl. der Einheitsbasis.
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Lineare Algebra und Geometrie mit Maple
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Das Zusatzpaket VectorCalculus stellt einige Zusatzprogramme
zur Behandlung von Vektoren zur Verfügung. Eine kleine Auswahl:
Skalarprodukt zweier Vektoren ~a, ~b ∈ Rn :
~a · ~b :=
n
X
ai bi .
i=1
Dabei seien ai , bi ∈ R die Koeffizienten bzgl. der Einheitsbasis.
Entsprechung in Maple: DotProduct(a, b).
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Lineare Algebra und Geometrie mit Maple
Lineare Algebra und Geometrie mit Maple
Das Zusatzpaket VectorCalculus stellt einige Zusatzprogramme
zur Behandlung von Vektoren zur Verfügung. Eine kleine Auswahl:
Skalarprodukt zweier Vektoren ~a, ~b ∈ Rn :
~a · ~b :=
n
X
ai bi .
i=1
Dabei seien ai , bi ∈ R die Koeffizienten bzgl. der Einheitsbasis.
Entsprechung in Maple: DotProduct(a, b).
Beispiel:
with(VectorCalculus);
DotProduct(<a1,a2>,<b1,b2>);
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Lineare Algebra und Geometrie mit Maple
Lineare Algebra und Geometrie mit Maple
Kreuzprodukt ~c := ~a × ~b zweier Vektoren ~a, ~b ∈ R3 :
c1 := a2 b3 − a3 b2 ,
c2 := a3 b1 − a1 b3 ,
c3 := a1 b2 − a2 b1 .
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Kreuzprodukt ~c := ~a × ~b zweier Vektoren ~a, ~b ∈ R3 :
c1 := a2 b3 − a3 b2 ,
c2 := a3 b1 − a1 b3 ,
c3 := a1 b2 − a2 b1 .
Entsprechung in Maple: CrossProduct(a, b).
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Lineare Algebra und Geometrie mit Maple
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Kreuzprodukt ~c := ~a × ~b zweier Vektoren ~a, ~b ∈ R3 :
c1 := a2 b3 − a3 b2 ,
c2 := a3 b1 − a1 b3 ,
c3 := a1 b2 − a2 b1 .
Entsprechung in Maple: CrossProduct(a, b).
Beispiel:
with(VectorCalculus);
a:=<3,2,-1>; b:=<1,0,-2>;
CrossProduct(a,b);
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Lineare Algebra und Geometrie mit Maple
Lineare Algebra und Geometrie mit Maple
Anwendung: Überprüfen von Vektor-Eigenschaften im R3 , z.B. dass
das Kreuzprodukt zweier Vektoren senkrecht auf diesen steht:
(~a × ~b) · ~a = (~a × ~b) · ~b = 0 :
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Lineare Algebra und Geometrie mit Maple
Anwendung: Überprüfen von Vektor-Eigenschaften im R3 , z.B. dass
das Kreuzprodukt zweier Vektoren senkrecht auf diesen steht:
(~a × ~b) · ~a = (~a × ~b) · ~b = 0 :
Nachrechnen mit Maple:
with(VectorCalculus);
a := <a1,a2,a3>; b := <b1,b2,b3>;
axb:=CrossProduct(a,b);
DotProduct(axb,a);
simplify(%);
DotProduct(axb,b);
simplify(%);
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Lineare Algebra und Geometrie mit Maple
Norm („Betrag“) eines Vektors ~a der Dimension n:
v
u n
uX
p
||~a||p := t
|ai |p
i=1
für p < ∞
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Norm („Betrag“) eines Vektors ~a der Dimension n:
v
u n
uX
p
||~a||p := t
|ai |p
i=1
für p < ∞ bzw.
||~a||∞ :=
max |ai |
p=1,...,n
Entsprechung in Maple: Norm(a, p).
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Norm („Betrag“) eines Vektors ~a der Dimension n:
v
u n
uX
p
||~a||p := t
|ai |p
i=1
für p < ∞ bzw.
||~a||∞ :=
max |ai |
p=1,...,n
Entsprechung in Maple: Norm(a, p).
Beispiele:
Euklidischer Abstand (p = 2): Norm(<1,0,1>,2)
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Lineare Algebra und Geometrie mit Maple
Norm („Betrag“) eines Vektors ~a der Dimension n:
v
u n
uX
p
||~a||p := t
|ai |p
i=1
für p < ∞ bzw.
||~a||∞ :=
max |ai |
p=1,...,n
Entsprechung in Maple: Norm(a, p).
Beispiele:
Euklidischer Abstand (p = 2): Norm(<1,0,1>,2)
Maximum-Norm (p = ∞): Norm(<-3,0,1,2>,infinity);
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Das Zusatzpaket LinearAlgebra stellt weitere Zusatzprogramme
zur Behandlung von Vektoren und Matrizen zur Verfügung. Eine kleine
Auswahl:
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Das Zusatzpaket LinearAlgebra stellt weitere Zusatzprogramme
zur Behandlung von Vektoren und Matrizen zur Verfügung. Eine kleine
Auswahl:
Bestimmen des Winkels zwischen 2 Vektoren: VectorAngle,
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Das Zusatzpaket LinearAlgebra stellt weitere Zusatzprogramme
zur Behandlung von Vektoren und Matrizen zur Verfügung. Eine kleine
Auswahl:
Bestimmen des Winkels zwischen 2 Vektoren: VectorAngle,
Lösen linearer Gleichungssysteme: LinearSolve,
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Lineare Algebra und Geometrie mit Maple
Das Zusatzpaket LinearAlgebra stellt weitere Zusatzprogramme
zur Behandlung von Vektoren und Matrizen zur Verfügung. Eine kleine
Auswahl:
Bestimmen des Winkels zwischen 2 Vektoren: VectorAngle,
Lösen linearer Gleichungssysteme: LinearSolve,
... viele weitere Befehle zum Rechnen mit Matrizen und Vektoren
(Multiplikation, Invertierung, verschiedene Lösungsverfahren für
lineare Gleichungssysteme, Determinante einer Matrix,
Eigenwerte und Eigenvektoren,...).
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Lineare Algebra und Geometrie mit Maple
Lineare Algebra und Geometrie mit Maple
Anwendungsbeispiel: Basistransformation im R2 . Gegeben sei ein
Vektor ~a in der Einheitsbasisdarstellung:
0
1
~a = a1~e1 + a2~e2 , ~e1 =
~
, e2 =
,
0
1
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Anwendungsbeispiel: Basistransformation im R2 . Gegeben sei ein
Vektor ~a in der Einheitsbasisdarstellung:
0
1
~a = a1~e1 + a2~e2 , ~e1 =
~
, e2 =
,
0
1
Weiter seien 2 linear unabhängige Vektoren ~v1 , ~v2 ∈ R2 gegeben, die
also ebenfalls eine Basis im Vektorraum R2 bilden.
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Lineare Algebra und Geometrie mit Maple
Anwendungsbeispiel: Basistransformation im R2 . Gegeben sei ein
Vektor ~a in der Einheitsbasisdarstellung:
0
1
~a = a1~e1 + a2~e2 , ~e1 =
~
, e2 =
,
0
1
Weiter seien 2 linear unabhängige Vektoren ~v1 , ~v2 ∈ R2 gegeben, die
also ebenfalls eine Basis im Vektorraum R2 bilden.
Gesucht: Koeffizienten b1 , b2 von ~a in der neuen Basis, so dass also
~a = b1~v1 + b2~v2 .
gilt.
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Lineare Algebra und Geometrie mit Maple
Dies entspricht der Lösung eines linearen Gleichungssystems.
V~b = ~a
mit einer Matrix V = (~v1 , ~v2 ).
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Lineare Algebra und Geometrie mit Maple
Dies entspricht der Lösung eines linearen Gleichungssystems.
V~b = ~a
mit einer Matrix V = (~v1 , ~v2 ).
Realisierung in Maple:
with(LinearAlgebra);
a:=<a1,a2>;
v1:=<1,1>;
v2:=<0,1>;
V:=<v1|v2>;
LinearSolve(V,a);
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Ausblick
Ausblick
Ausblick auf die nächste Vorlesung am 04.12.2008:
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Ausblick
Ausblick
Ausblick auf die nächste Vorlesung am 04.12.2008:
Arbeiten mit der Entwicklungsumgebung Matlab,
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Ausblick
Ausblick
Ausblick auf die nächste Vorlesung am 04.12.2008:
Arbeiten mit der Entwicklungsumgebung Matlab,
Programmieren mit Matlab,
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Ausblick
Ausblick
Ausblick auf die nächste Vorlesung am 04.12.2008:
Arbeiten mit der Entwicklungsumgebung Matlab,
Programmieren mit Matlab,
Eigene Funktionen, „m-files“,
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Ausblick
Ausblick auf die nächste Vorlesung am 04.12.2008:
Arbeiten mit der Entwicklungsumgebung Matlab,
Programmieren mit Matlab,
Eigene Funktionen, „m-files“,
...
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