Übungs-Blatt 6 Klassische Wahrscheinlichkeit in

Übungs-Blatt 6
Klassische Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen
Master KI/PI Höhere und Angewandte Mathematik/Stochastik 1
Prof. Dr. B. Grabowski
Wir betrachten einen Laplace-Versuch (Glücksspiel) V mit der Grundmenge . Dann gilt
| A|
für beliebige Ereignisse A : P( A) 
.
||
Diese Wahrscheinlichkeit nennt man klassische Wahrscheinlichkeit.
Aufgabe 1)
Ein zufälliger Versuch V mit endlicher Grundmenge ={ 1 ,  2 ,...,  k } und
gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen { i } , d.h. für die gilt:
P({ i })  q, i  1,..., k , heißt Laplace-Versuch oder Glücksspiel.
Beweisen Sie unter Verwendung der axiomatischen Definition der Wahrscheinlichkeit P,
dass
a) q = 1/k
| A|
b) für beliebige Ereignisse A gilt: P( A) 
||
Aufgabe 2)
Wir betrachten den Laplace-Versuch V= „Werfen zweier Würfel“.
| A|
Berechnen Sie unter Verwendung der Formel P( A) 
aus Aufgabe 5 die
||
Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a) A = „Werfen zweier Sechsen“
b) A = „Die Summe der Augenzahl ist gleich 8 oder 10“
Hinweis: Stellen Sie zunächst ein elementares Versuchsergebnis als geordnetes Paar dar:
  (W 1, W 2), Wi  {1,2,3,4,5,6} . Überlegen Sie sich dann, wie  und A aussehen, bzw.
wie groß |  | und |A| sind.
1
Übungs-Blatt 6
Klassische Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen
Master KI/PI Höhere und Angewandte Mathematik/Stochastik 1
Prof. Dr. B. Grabowski
Lösen Sie nun die folgenden Aufgaben zur klassischen Wahrscheinlichkeit unter Verwendung
der beiden kombinatorischen Aussagen:
1) Es gibt genau n! verschiedenen Anordnungen von n Objekten auf n Plätze.
n
n!
2) Es gibt genau   
verschiedene k-elementigen Teilmengen einer
 k  k!(n  k )!
n-elementigen Menge.
Aufgabe 3) (Code knacken)
Ein 5 – stelliger Zahlencode besteht aus den Ziffern 0,1,...,9. Berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit dafür, den Code auf Anhieb zu erraten, wenn Sie folgende
Zusatzinformationen besitzen:
a) keine weiteren Zusatzinfos
b) Alle Ziffern des Codes unterscheiden sich voneinander!
c) Der Code enthält 2 mal die Ziffer 1, 2 mal die Ziffer 3 und 1 mal die 9!
d) Der Code enthält 2 mal die Ziffer 1 und 3 mal die 9!
e) Der Code besteht nur aus den Ziffern 1 und 9 und alle beiden Ziffern kommen vor!
Aufgabe 4) (Kniffel)
Sei V der zufällige Versuch „Würfeln mit 5 gleichmäßigen Würfeln (Kniffel)“.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a) Alle 5 Augenzahlen sind verschieden voneinander!
b) Pasch, d.h. 5 gleiche Zahlen, sind gewürfelt worden!
c) 2 Dreien und 3 Vieren werden gewürfelt!
d) Lange Straße, d.h. die Augenzahlen 2,3,4,5,6 sind gewürfelt worden!
e) Mindestens zwei Sechsen sind gewürfelt worden.
f) 2 gleiche Augenzahlen I {1,2,3,4,5,6} und 3 gleiche Augenzahlen J{1,2,3,4,5,6}
mit IJ sind gewürfelt worden.
Aufgabe 5) (Poker)
Aus einem zufällig gemischten Kartenstapel mit 52 Karten ( 4 Farben zu je 13 Karten:
2,3,....,B,D,K,As) werden drei Karten an einen Spieler gegeben.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a) Es sind 3 Buben
b) Es ist ein Bube und 2 Asse
c) Es sind keine Buben und keine Asse
Aufgabe 6)
Aus 11 Buchstaben „m“, „i“, „i“, „i“, „i“, „s“, „s“, „s“,„s“, „p“„p“ wird zufällig der Reihe
nach jeweils einer ausgewählt und zu einem Wort angelegt. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Wort „mississippi“ entsteht?
2