Analysis III Zusammenfassung - informatik.uni

Charaktere endlicher abelscher
Gruppen
Katrin Harries
9. August 2006
Seminar Kombinatorik und Zahlentheorie
Inhaltsverzeichnis
1 Charaktere endlicher abelscher Gruppen
1.1 Dualität . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Definition . . . . . . . . . . .
1.1.2 Satz . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Bemerkung . . . . . . . . . .
1.1.4 Satz . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Bemerkung . . . . . . . . . .
1.1.6 Satz . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Orthogonalitätsrelationen . . . . . .
1.2.1 Satz . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Korollar . . . . . . . . . . . .
1.3 Modulare Charaktere . . . . . . . . .
1.3.1 Satz . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Literaturangaben . . . . . . . . . . .
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1 Charaktere endlicher abelscher Gruppen
Sei G eine endliche abelsche Gruppe (G, ·)
1.1 Dualität
1.1.1 Definition
Ein Charakter von G ist definiert als ein Homomorphismus von G in die multiplikative
Gruppe C∗ = C\{0} der Komplexen Zahlen.
Die Charaktere von G bilden die Gruppe Hom(G,C∗ )=:Ĝ. Dies wird auch als Dual von
G bezeichnet.
Ein Charakter hat die Eigenschaft χ(a)χ(b) = χ(ab), da χ ein Homomorphismus ist.
Beispiel
Sei G zyklisch (von einem Element erzeugt) mit Ordnung n und Erzeuger s. Falls
χ : G → C∗ ein Charakter von G, so erfüllt das Element w = χ(s) die Gleichung
wn = 1, denn da G zyklisch und von endlicher Ordnung ist, existiert ein n ∈ N, so
dass sn = e (das neutrale Element der Gruppe bezüglich der Multiplikation). Daraus
ergibt sich dann χ(sn ) = χ(s)n = χ(e) = 1 und da χ ein Gruppenhomomorphismus
folgt sofort wn = 1. Die Längen sind die n-ten Einheitswurzeln. Ein solches w definiert
durch sn 7→ wa a ∈ Z einen Charakter von G. Somit ist die Abbildung χ 7→ χ(s) ein
Isomorphismus von Ĝ auf die Gruppe µn der n-ten Einheitswurzeln. Also ist dann Ĝ
zyklisch von der Ordnung n.
Beispiel für einen Charater
Legendre Charakter:
Sei G(p) eine multiplikative Gruppe von (Z/pZ)∗ p prim 6= 2
Dann ist G(p) zyklisch der Ordnung p − 1, es existiert ein eindeutiger Charakter der
Ordnung 2.
Der Legendre Charakter
x
x 7→
p
Exkurs: Legendre Symbol
Sei p Primzahl 6= 2 und sei x ∈ G(p)
So ist das Legendre Symbol definiert als:
x
:= x(p−1)/2 = ±1
p
Es gilt:
x
0
falls x = 0
:= 0
Außerdem ist die Charktereigenschaft erfüllt:
x
y
x·y
·
=
p
p
p
Dies lässt sich leicht über die Definition ausrechnen x(p−1)/2 · y (p−1)/2 = (x · y)(p−1)/2
Weitere
Eigenschaften des Legendre Symbols:
1
• p =1
• xp = (−i)ε(x)
• p2 = (−i)ω(x)
Beweise
siehe Serre
Das Quadratische Reziprozitäts Gesetz
Es gilt:
l
p
=
(−1)ε(l)ε(p)
p
l
für l, p 6= 2 verschiedene Primzahlen
Beiweis
siehe Serre
Definition von ε(n) und ω(n)
ε und ω sind jetzt und auch später immer wie folgt definiert:
n−1
(
ε(n) :=
2
n2 − 1
(
ω(n) :=
8
(
mod 2) =
0, falls n = +1( mod 4)
1, falls n = −1( mod 4)
(
mod 2) =
0, falls n = ±1( mod 8)
1, falls n = ±5( mod 8)
1.1.2 Satz
Sei H eine Untergruppe von G
Jeder Charakter von H lässt sich zu einem Charakter von G fortsetzen.
Beweis
Induktion über den Index (G : H) von H in G
Falls (G : H) = 1 so ist man schon fertig, denn dann ist G = H und man braucht nichts
mehr fortzusetzen.
Sei x ∈ G, x ∈
/ H, sei n > 0 die kleinste positive Zahl, so dass xn ∈ H. Diese Bedingung
ist spätestens mit xn = e erfüllt, denn e ist auf jeden Fall in H, da H Untergruppe ist.
Sei nun χ ein Charakter von H und sei t = χ(xn )
Da C∗ eine teilbare Gruppe ist, kann man w ∈ C∗ wählen, so dass wn = t.
Sei H´ eine weitere Untergruppe von G, erzeugt von H und x. Jedes Element h’ von H’
lässt sich dann schreiben als h0 = hxa , a ∈ Z, h ∈ H
Setze nun χ0 (h0 ) = χ(h)wa .
Damit stimmen χ0 und χ in den Elementen der Untergruppe überein.
Diese Zahl ist unabhängig von der Zerlegung h0 = hxa und χ0 : H 0 → C∗ ist ein Charakter von H 0 .
Da (G : H 0 ) < (G : H) folgt induktiv, χ0 lässt sich zu einem Charakter von G fortsetzen.
Man nimmt quasi zu jeder weiteren Untergruppe H 00 immer wieder ein Element x ∈ G,
x∈
/ H 0 dazu, bis man H 00 zu ganz G fortgesetzt hat.
1.1.3 Bemerkung
Die Einschränkung ρ(χ) := χ | H definiert einen Homomorphismus ρ : Ĝ → Ĥ
Nach Satz 1.1.2 ist ρ surjektiv.
Weiterhin ist der Kern von ρ die Menge der Charaktere in Ĝ, die trivial auf H sind.
[
Damit ist der Kern von ρ gleich G/H.
Ĝ
Ĥ ist isomorph zu \
nach dem Isomorphiesatz.
(G/H)
Insgesamt erhält man eine exakte Sequenz (d.h. das Bild eines Homomorphismus ist
Kern des nächsten):
[ → Ĝ → Ĥ → {1}
{1} → G/H
1.1.4 Satz
Die Gruppe Ĝ ist eine endliche abelsche Gruppe der gleichen Ordnung wie G.
Beweis
Induktion über die Ordnung n von G
n = 1 ist trivial, denn dann besteht die Gruppe G nur noch aus dem Neutralen Element
e und dieses wird von χ ∈ Ĝ auf 1 abgebildet, also dem Neutralen Element in der multiplikativen Gruppe. Daraus folgt sofort, die Ordnungen sind gleich.
Für n ≥ 2 wähle eine nicht-triviale zyklische Untergruppe H von G. Nach der obigen
[
Bemerkung gilt, dass die Ordnung von Ĝ das Produkt der Ornungen von Ĥ und G/H
ist,
\
ordĜ = ordĤ · ord(G/H).
[
Aber die Ordnung von H (bzw. G/H ) ist gleich der Ordnung ihres Duals Ĥ (bzw. G/H),
nach Induktionsannahme.
Damit erhält man insgesamt
[ = ordH · ordG/H = ordG
ordĜ = ordĤ · ordG/H
1.1.5 Bemerkung
Es lässt sich zeigen:
Ĝ ist isomorph zu G.
Dazu zerlegt man G in ein Produkt zyklischer Gruppen.
Falls x ∈ G, so ist die Funktion x̂ : χ 7→ χ(x) ein Charakter von Ĝ, denn es gilt
x̂(χ · ψ) = χ · ψ(x) = χ(x) · ψ(x) = x̂(χ) · x̂(ψ)
ˆ
: G → Ĝ sei die durch x 7→ x̂ definierte Abbildung und ist ein Homomorphismus.
1.1.6 Satz
ˆ
Der Homomorphismus ist ein Isomorphismus von G in sein Bidual Ĝ.
Beweis
ˆ
Da G und Ĝ nach Satz 1.1.4 die gleiche Ordnung haben, genügt es zu zeigen, dass injektiv ist. Denn da die Ordnung endlich ist, sind surektiv, injektiv und bijektiv gleich.
Es gilt:
ist injektiv ⇔ Kern() = {1}
Es genügt also zu zeigen, falls x 6= 1, x ∈ G, existiert ein Charakter χ, so dass χ(x) 6= 1.
Sei nun H die zyklische Untergruppe von G, die von x erzeugt wird. Offensichtlich existiert ein Charakter χ von H, so dass χ(x) 6= 1. Das heißt, es gibt mindestens zwei
Elemente, e wird auf 1 abgebildet und x wird nicht auf 1 abgebildet.
Mit Satz 1.1.2 wird χ zum Charakter von G fortgesetzt, welches genau das Gewünschte
leistet.
1.2 Orthogonalitätsrelationen
1.2.1 Satz
Sei n = Card(G) und sei χ ∈ Ĝ
Dann gilt:
(
X
χ(x) =
x∈G
n, falls χ = 1
0, falls χ 6= 1
Beweis
Die erste Gleichung ist trivial, denn falls χ = 1 summiert man wegen Card(G) = n
n-mal über die 1.
Also folgt:
X
1=n
x∈G
Für die zweite Gleichung wähle y ∈ G, so dass χ(y) 6= 1.
Daraus folgt:
X
X
X
χ(y) ·
χ(x) =
χ(y · x) =
χ(x)
x∈G
denn y bewirkt für
Umstellen ergibt:
P
x∈G
x∈G
x∈G
χ(x) nichts weiter, als eine Permutation der n Elemente.
(χ(y) − 1)
X
x∈G
χ(x) = 0
Da aber χ(y) 6= 1 gewählt war, folgt daraus, dass
X
χ(x) = 0
x∈G
sein muss.
Also gilt auch die zweite Gleichung.
1.2.2 Korollar
Sei n = Card(G) und x ∈ G
Dann gilt:
(
X
χ(x) =
χ∈Ĝ
n, falls x = 1
0, falls x 6= 1
Dies ergibt ich sofort aus Satz 1.2.1 angewendet auf die Duale der Gruppe Ĝ, denn x̂ = 1
genau dann, wenn x = 1 und χ(x) = x̂(χ).
Bemerkung
Die obigen Ergebnisse sind Spezialfälle der Orthogonalitätsrelationen der Charaktertheorie endlicher Gruppen (nicht notwedigerweise abelscher).
1.3 Modulare Charaktere
Sei m ≥ 1
G(m) := (Z/mZ)∗ definiert die multiplikative Gruppe der invertierbaren Elemente (Einheiten) des Rings Z/mZ(= Zm ). Dies ist eine abelsche Gruppe der Ordung φ(m), wobei
φ(m) die Eulersche-φ-Funktion von m, die die Anzahl der zu m teilerfremden Zahlen
≤ m angibt.
Ein Element χ des Duals von G(m) wird Charakter modulo m genannt.
Dies kann als Funktion angesehen werden, die auf der Menge der Zahlen definiert ist, die
prim zu m sind (also{k ∈ Z|(k, m) = 1}), mit Werten in C∗ , so dass χ(a) · χ(b) = χ(a · b)
gilt, also die Charakterbedingung erfüllt ist.
Man kann diese Funktion leicht auf ganz Z erweitern, imdem man χ(a) = 0 setzt, falls
a nicht prim zu m, (also {k ∈ Z|(k, m) 6= 1}).
Beispiele
1.) m = 4 die Gruppe G(4) hat zwei Elemente, 1 und 3
Es gibt einen trivialen Charakter, der auf die Identität abbildet (x 7→ 1).
Und es gibt einen nicht-trivialen Charakter, welcher definiert ist als:
x 7→ (−1)ε(x)
ε(x) ist wie im obigen Beispiel definiert.
2.) m = 8 die Gruppe G(8) hat vier Elemente, 1, 3, 5 und 7
Es gibt natürlich wieder einen trivialen Charakter, x 7→ 1, x ∈ G.
Und es gibt drei nicht-triviale Charaktere
x 7→ (−1)ε(x)
x 7→ (−1)ω(x)
x 7→ (−1)ε(x)+ω(x)
ε und ω sind definiert, wie im obigen Beispiel.
3.) siehe obiges Bespiel: Legendre Charakter
1.3.1 Satz
Sei a 6= 0 quadratfrei und sei m = 4|a|
Dann existiert ein eindeutiger Charakter χa modulo m, so dass χa (p) = ap für alle
Primzahlen p, die m nicht teilen, also für alle (p, m) = 1.
Es gilt χ2a = 1 und χa 6= 1, falls a 6= 1.
Beweis
Die Eindeutigkeit von χa ist klar, denn alle Zahlen a, die prim zu m sind, lassen sich
in Primfaktoren
l1 · ... · lk zerlegen, die prim zu m sind. Nach Definition des Legendre
Symbol ist xp = ±1 für x ∈ G(m), x 6= 0.
Daraus ergibt sich dann auch χ2a = (±1)2 = 1 für jede einzelne Primzahl.
Und damit ist dann für ganz a:
χ2a = 1k = 1.
Zu zeigen bleibt die Existenz von χa :
Sei a = l1 · ... · lk mit li , i ∈ N verschiedene Primzahlen ungleich 2.
Setze
x
x
ε(x)·ω(a)
χa (x) = (−1)
···
l1
lk
Falls p Primzahl ungleich 2, l1 , ..., lk , liefert das Quadratische-Reziprozitäts-Gesetz:
l1
lk
a
χa (p) =
···
=
p
p
p
und χa hat die benötigte Eigentschaft.
In der Tat erhält man χa 6= 1, wenn wir x so wählen, dass lx1 = −1 und
x = 1 ( mod 4l2 · · · lk ), so istχa (x) = −1
Falls a negativ, also -b (oder 2b oder -2b) mit b = l1 · · · lk , dann nutze χa und erhalte χb durch (−1)ε(x) oder (−1)ω(x) oder (−1)ε(x)+ω(x) und mit dem gleichen Argument
wie oben folgt χa ∈
/ 1, falls a ∈
/ 1.
1.4 Literaturangaben
Serre, Jean-Pierre; A Course in Arithmetic; Springer-Verlag, New York 1973.
Bosch, Siegfried; Algebra; Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2004.