Vorträge

Proseminar Matrixgruppen
WiSe 2012/13, Mo 1214 Uhr, Raum 309
{werner,haebich}@math.uni-frankfurt.de
Prof. A. Werner, Dr. M. Häbich
Vorträge
Unsere Hauptquelle [Ta] betrachtet Matrixgruppen nicht nur über den reellen und komplexen Zahlen, sondern auch
über dem sogenannten Quaternionen-Schiefkörper
H. Wir hingegen wollen nur reelle und komplexe Matrixgruppen
betrachten; dies ist bei der Ausarbeitung der Vorträge zu berücksichtigen.
zu beweisen, auch wenn in der Quelle kein Beweis angegeben ist!
1. Reelle Matrixgruppen (Peter Neubert)
29. 10.
GLn (C) auf [Ta], S. 17; [Ta] S. 2327 und Proposition 2.8 auf S. 302; Kapitel 3.1 (Skalarprodukte auf R und C, Orthonormalbasen, Cauchy-Schwarz-Ungleichung) ggf. etwas kürzen
Matrixgruppen sind Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe GLn . Ähnlich wie wir C als R-Vektorraum
2
n
2n
mit R und allgemeiner C mit R
identizieren können, können wir GLn (C) als Untergruppe von GL2n (R)
Denitionen von
GLn (R)
Grundsätzlich sind alle Aussagen
und
auassen. Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum erlaubt es uns, Längen und Winkel zu messen
und somit Geometrie zu betreiben.
2.
Die orthogonale Gruppe O(n) und die spezielle orthogonale Gruppe SO(n) (Mark Speetzen) 5. 11.
[Ta] Kapitel 3.2 (orthogonale Gruppe), Kapitel 3.3 (spezielle orthogonale Gruppe), Kapitel 3.4 (niederdimensionale orthogonale Gruppen), Kapitel 3.5 (Isometrien)
Die orthogonalen Matrizen beschreiben gerade diejenigen linearen Abbildungen, die Längen und Winkel erhalten, etwa Drehungen und Spiegelungen. Die Menge alle orthogonalen Matrizen ist auch eine Untergruppe
GLn (R). Diejenigen orthogonalen Matrizen mit Determinante
ähnliche Theorie erhält man über den komplexen Zahlen.
von
3.
1 bilden wiederum eine Untergruppe. Eine
Niederdimensionale orthogonale Gruppen; Isometrien und Symmetrien
[Ta] Kapitel 3.6 (Isometrien von
Isometrien von
Rn
Rn ),
12. 11.
Kapitel 3.7 (Symmetrien)
sind (nicht notwendig lineare) Abbildungen, die Längen erhalten. Verblüenderweise sind
Isometrien, die den Ursprung fest lassen, tatsächlich bereits linear und werden dann durch orthogonale Matrizen beschrieben. Auÿerdem untersuchen wir, wie sich nicht-lineare Isometrien durch einen Trick ebenfalls
durch Matrizen darstellen lassen. Endliche Untergruppen von
O(n)
beschreiben Symmetrien von geometri-
schen Objekten, insbesondere der platonischen Körper.
4.
Grundbegrie der Topologie
19. 11.
[Ta] Kapitel 4.1 (Topologie), Kapitel 4.2 (Stetigkeit), Exercises 4.7 und 4.10
Zur Untersuchung von Matrixgruppen als geometrische Objekte benötigen wir einige Grundbegrie aus der
Topologie, die wir hier einführen.
5.
Weitere Begrie der Topologie, Matrixgruppen
26. 11.
[Ta] Kapitel 4.3 (Wegzusammenhang), Kapitel 4.4 (Kompaktheit), Kapitel 4.5 (Matrixgruppen), Exercises 4.8, 4.14 und 4.20
Wir führen zwei wichtige Eigenschaften topologischer Räume ein und untersuchen Matrixgruppen auf diese.
6.
Tangentialräume und Lie-Algebren (Norman Sutatyo)
3. 12.
[Ta] Kapitel 5.1 ab S. 67 (Tangentialräume und die Lie-Algebra einer Matrixgruppe); Kapitel 5.2 bis S. 71
unten (Beispiele)
Der Tangentialraum ist ein Vektorraum, der ein geometrisches Objekt wie eine Matrixgruppe in einem Punkt
linear annähert. Im Falle von Matrixgruppen trägt der Tangentialraum am neutralen Element, die sogenannte
Lie-Algebra, eine verblüende Menge an Informationen über die Gruppe.
7.
Noch mehr Lie-Algebren (Jennifer Dobbs)
[Ta] Kapitel 5.2 ab S. 72 oben (Beispiel
sln ),
10. 12.
Kapitel 5.3 (Vektorfelder), Kapitel 5.4 (Lie-Algebra der ortho-
gonalen Gruppe)
Wir berechnen einige Beispiele für Lie-Algebren.
8.
e
hoch Matrix (Nagihan Cetin)
17. 12.
[Ta] Kapitel 6.2 (Reihen von Matrizen, Matrixexponentiation), Kapitel 6.3 (der beste Pfad in einer Matrixgruppe)
Die übliche Denition der Exponentialfunktion über ihre Potenzreihe lässt sich auch auf Matrizen anwenden!
Mit diesem Hilfsmittel können wir gewisse natürliche Pfade in Matrixgruppen untersuchen.
9.
Eigenschaften der Exponentialfunktion (Schiela Abassi)
[Ta] Kapitel 6.4 zzgl. S. 93 und 94 oben (Theorem 7.1:
exp
14. 1.
ist lokaler Isomorphismus); Exercises 6.4, 6.7
und 6.9 Wir untersuchen Eigenschaften der Exponentialfunktion. Ein zentraler Satz, der in den nächsten
beiden Vorträgen bewiesen wird, besagt, dass die Exponentialfunktion in einer hinreichend kleinen Umgebung
um die Null ein Isomorphismus ist!
Proseminar Matrixgruppen
WiSe 2012/13, Mo 1214 Uhr, Raum 309
{werner,haebich}@math.uni-frankfurt.de
Prof. A. Werner, Dr. M. Häbich
10.
Matrixgruppen als Mannigfaltigkeiten
21. 1.
[Ta] Kapitel 7.1 ab S. 94 (analytischer Hintergrund) und Kapitel 7.2 (Teil 1 des Beweises von Theorem 7.1)
Dieser Vortrag beinhaltet den ersten Teil des oben vorgestellten Satzes, wofür zunächst die Grundlagen aus
der Analysis geschaen werden.
11.
Mannigfaltigkeiten
28. 1.
[Ta] Kapitel 7.3 (Teil 2 des Beweises von Theorem 7.1) und Kapitel 7.4 (Mannigfaltigkeiten)
In diesem Vortrag schlieÿen wir den Beweis des Satzes ab und führen den Begri der Mannigfaltigkeit ein,
der ein dierenzierteres Studium von Matrixgruppen als geometrische Objekte erlaubt, als uns dies allein mit
den Methoden der Topologie möglich ist.
12.
Mehr über Mannigfaltigkeiten
4. 2.
[Ta] Kapitel 7.5; S. 387 in [Sp]
Wir setzen unser Studium von Mannigfaltigkeiten fort und zeigen, dass jeder stetige Homomorphismus von
Matrixgruppen sogar dierenzierbar ist.
13.
Die Lie-Klammer
11. 2.
[Ta] Kapitel 8.1
Bislang haben wir Lie-Algebren nur als Vektorräume betrachtet. Da die Dimension die einzige Invariante
eines Vektorraums ist, sind die Lie-Algebren von Matrixgruppen derselben Dimension stets als Vektorräume
isomorph. Die Lie-Klammer ist eine Verknüpfung auf der Lie-Algebra, welche auch Informationen über die
Gruppenstruktur enthält.
14.
Die adjungierte Darstellung
Zusatztermin?
[Ta] Kapitel 8.2 und Kapitel 8.3
Eine Gruppe operiert durch Konjugation auf natürliche Weise auf sich selbst. Dies liefert auch eine Operation
der Gruppe auf ihrer Lie-Algebra und somit einen Homomorphismus in eine
15.
Globale Schlussfolgerungen
GLn .
Zusatztermin?
[Ta] Kapitel 8.4 und Kapitel 8.5
Zunächst untersuchen wir die adjungierte Darstellung für kompakte Matrixgruppen. Anschlieÿend zeigen wir,
wie aus der Lie-Algebra einer Matrixgruppe nicht nur lokale Informationen, sondern auch globale Informationen über die Gruppe zurückgewonnen werden können.
Literatur
[Ba]
Andrew Baker: Matrix Groups, Springer (2006)
[Sp]
Michael Spivak: A Comprehensive Introduction to Dierential Geometry I, Publish or Perish (2005)
[Ta]
Kristopher Tapp: Matrix Groups for Undergraduates, American Mathematical Society (2005)
Quelle: Wikipedia, Benutzer Jgmoxness; Lizenz: CC-BY-SA 3.0