Grundwissen Jahrgangsstufe 6 - Gymnasiums Ernestinum Coburg

Grundwissen Jahrgangsstufe 6
GM 6.1 Brüche
Brüche:
Zerlegt man ein Ganzes z.B. in 5 gleich große Teile und fasst dann 3 dieser Teile zusammen, so erhält
man 35 des Ganzen.
3
5
Im Bruch
ist 5 der Nenner und 3 der Zähler.
Stammbrüche haben den Zähler 1, z.B.
1 ,1 ,1
2 3 4
.
Bei echten Brüchen ist der Zähler kleiner als der Nenner, z.B.
2, 7 , 1
3 11 14
.
Bei unechten Brüchen ist der Zähler mindestens so groß wie der Nenner. Unechte Brüche kann man
= 2 43 , 27
= 3 38 . Gemischte Zahlen sind eine kürzere
auch als gemischte Zahlen schreiben, z.B. 32 = 1 12 , 11
4
8
Schreibweise für eine Summe, so ist z.B. 3 38 = 3 +
3
8
.
Vertauscht man bei einem Bruch Zähler und Nenner, so erhält man den Kehrbruch.
2
3
Kehrbruch von
3
2
ist der
.
Kürzen eines Bruchs:
Sind Zähler und Nenner eines Bruchs durch die gleiche natürliche Zahl teilbar, kann man den Bruch
kürzen. Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch die gleiche natürliche Zahl dividiert.
8
12
=
75
135
2⋅4
3⋅4
=
2
3
Der Bruch wurde mit 4 gekürzt.
15
27
=
5
9
Der Bruch wurde zunächst mit 5, dann mit 3 gekürzt.
=
Haben Zähler und Nenner eines Bruchs keinen von 1 verschiedenen Teiler gemeinsam, dann ist der
Bruch vollständig gekürzt. Man sagt, er ist in Grundform.
Erweitern eines Bruchs:
Ein Bruch wird erweitert, indem man Zähler und Nenner mit der gleichen (natürlichen) Zahl
multipliziert. Diese Zahl heißt Erweiterungsfaktor.
2
5
=
2 ⋅7
5 ⋅7
=
14
35
Der Bruch wurde mit 7 erweitert.
3
7
=
3 ⋅5
7 ⋅5
=
15
35
Der Bruch wurde mit 5 erweitert.
Die Brüche
14
35
und
15
35
haben den gleichen Nenner. Sie sind gleichnamig.
9
GM 6.2 Dezimalschreibweise
Dezimalschreibweise:
Brüche, deren Nenner Stufenzahlen (10, 100, 1000, ...) sind, können direkt in Dezimalschreibweise
angegeben werden.
3
= 0,3
Null Komma drei.
10
53
1 100
= 1,53
Eins Komma fünf drei.
21 = 3,021
3 1000
Drei Komma null zwei eins.
Die Stellen nach dem Komma heißen Dezimalen. Sie werden als Zehntel, Hunderstel, Tausendstel usw.
bezeichnet.
Umwandeln von Dezimalschreibweise in Bruchschreibweise:
Beim Umwandeln der Dezimalschreibweise in die Bruchschreibweise wird der Dezimalteil zum Zähler
des Bruchs. Der Nenner ist diejenige Stufenzahl, die so viele Nullen besitzt, wie der Dezimalteil Stellen
hat.
13
2,13 = 2 100
Der Dezimalteil ist 13. Er wird zum Zähler. Da er 2 Stellen hat,
27
4,027 = 4 1000
ist der Nenner 100.
Der Dezimalteil ist 027. Der Zähler ist somit 27. Der Dezimalteil
hat 3 Stellen. Der Nenner des Bruchs ist also 1000.
Umwandeln von Bruchschreibweise in Dezimalschreibweise:
Jeder Bruch, dessen Nenner eine Stufenzahl ist oder durch Kürzen und/oder Erweitern zu einer
Stufenzahl gemacht werden kann, kann in endlicher Dezimalschreibweise dargestellt werden.
53
1 100
= 1,53
Der Nenner ist bereits eine Stufenzahl.
5
8
625
= 1000
= 0,625
4 = 2 16 = 2,16
2 12
= 2 25
75
100
Erweitern mit 125 liefert den Nenner 1000.
Erst mit 3 kürzen, dann mit 4 erweitern liefert den Nenner 100.
Man gelangt auch zur Dezimalschreibweise, indem man eine Division ausführt. Beim Überschreiten
des Kommas im Dividenden muss man im Quotientenwert ein Komma setzen.
2 14
= 2,56
25
Rechne 14,00 : 25 = 0,56
140
- 125
150
-150
0
Bei Brüchen, deren Nenner nicht zu einer Stufenzahl erweitert werden kann, liefert die Division
einen unendlichen, periodischen Dezimalbruch.
1
1 =?
3
Rechne 1 : 3 = 0,33....
Man schreibt: 3 = 0, 3
10
-9
10
...
5
12
=?
(Null Komma Periode 3)
Rechne 5 : 12 = 0,4166...
50
- 48
20
- 12
80
- 72
80
...
10
5
Man schreibt: 12 = 0,416
(Null Komma vier eins
Periode 6)
GM 6.3 Rationale Zahlen
Menge der rationalen Zahlen:
Alle positiven und alle negativen Brüche und die Zahl 0 bilden zusammen die Menge ℚ der rationalen
Zahlen. Jede rationale Zahl ist also als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellbar. Insbesondere ist jede
ganze Zahl eine rationale Zahl.
Rationale Zahlen kann man in Bruchschreibweise und in Dezimalschreibweise darstellen.
Beispiele:
Zehntel:
1
10
= 0,1
2
10
= 0,2
3
10
Fünftel:
1
5
= 0,2
2
5
= 0,4
3
5
Viertel:
1
4
Achtel:
1
8
20stel:
1
20
= 0,25
= 0,125
= 0,05
2
4
=
1
2
= 0,3
= 0,6
3
4
= 0,5
3
8
= 0,375
5
8
3
20
= 0,15
7
20
4
10
4
5
= 0,4
5
10
= 0,5
6
10
= 0,6
7
10
= 0,7
8
10
= 0,8
9
10
= 0,9
= 0,8
= 0,75
= 0,625
= 0,35
7
8
9
20
= 0,875
= 0,45
11
20
= 0,55
13
20
= 0,65
17
20
= 0,85
19
20
= 0,95
Einige periodische Dezimalbrüche kommen häufiger vor. Diese sollte man kennen und zum Rechnen in
Bruchschreibweise umformen. Zahlen in periodischer Darstellung eignen sich nicht zum Rechnen!
0, 3 = 13 0, 6 = 32
0,1 =
0,16 =
1
9
1
6
Runden:
Für das Runden einer Zahl ist nur die Ziffer von Bedeutung, die der Stelle, auf die gerundet werden
soll, unmittelbar folgt.
Bei den Ziffern 0, 1, 2, 3 und 4 rundet man ab.
Runde auf Zehntel:
17,348 ≈ 17,3
Der Zehntelstelle folgt eine 4. Es wird
abgerundet.
Runde auf Tausendstel:
1,9513 ≈ 1,951
Der Tausendstelstelle folgt eine 3. Es wird
abgerundet.
Bei den Ziffern 5, 6, 7, 8 und 9 rundet man auf.
Runde auf Hundertstel:
17,348 ≈ 17,35
Der Hunderstelstelle folgt eine 8. Es wird
aufgerundet.
Runde auf Zehntel:
1,9513 ≈ 2,0
Der Zehntelstelle folgt eine 5. Es wird
aufgerundet.
Größenvergleich:
Brüche vergleicht man meistens, indem man sie gleichnamig macht und dann ihre Zähler
vergleicht.
8
9
4 = 8 ; 3 = 9 ;
4 < 3
< 42
; Also ist 21
21
42
14
42
42
14
Beim Größenvergleich von Dezimalzahlen vergleicht man stellenweise von links nach rechts. Die
erste Ziffer, in der sich die beiden Zahlen unterscheiden, zeigt, welche Zahl die größere ist.
3,25 < 3,31
Die Zahlen unterscheiden sich erst auf der Zehntelstelle.
Die Zahlen unterscheiden sich erst auf der Tausendstelstelle.
6,98544 < 6,98655
Beim Vergleich zweier rationaler Zahlen, von denen eine in Bruchschreibweise und die andere in
Dezimalschreibweise gegeben sind, muss man in der Regel eine der beiden in die andere
Schreibweise umwandeln.
16
4 = 6 12 ; 6 2 = 6 10 ;
2 :
2 < 6,16
6,16 = 6 100
= 6 25
Also ist 6 15
Vergleiche 6,16 und 6 15
75
15
75
Vergleiche 1 13 und 1,32:
1 13 = 1, 3 = 1,333... ; Also ist 1,32 < 1 13 .
11
GM 6.4 Absolute und relative Anteile
Relativer Anteil/Bruchteil:
Teilt man ein Ganzes in 5 gleich große Teile und fasst dann 3 dieser
Teile zusammen, so erhält man 35 des Ganzen (vgl. Abbildung). Man
bezeichnet
3
5
als den Bruchteil bzw. relativen Anteil.
Relative Anteile kann man in Bruchschreibweise, in
schreibweise und in Prozentschreibweise angeben.
3
= 0,6 = 60 %
5
Dezimal-
Relative Anteile treten häufig beim Rechnen mit Größen auf.
3
von 50 € = 30 €
5
Hier ist 50 € das Ganze,
3
5
der relative Anteil und 30 € der absolute Anteil des Ganzen.
Berechnung des relativen Anteils:
Zur Berechnung des relativen Anteils dividiert man den absoluten Anteil durch das Ganze.
Welcher (relative) Anteil sind 27 kg an 60 kg?
27 kg
60 kg
=
27
60
Wie viel Prozent sind 54 Schüler von 150 Schülern?
=
9
20
54
150
=
= 0,45 = 45%
9
25
36
= 100
= 36%
Berechnung des absoluten Anteils einer Größe:
Man berechnet den absoluten Anteil nz einer Größe, indem man die Größe zunächst durch n dividiert
und den Wert dieses Quotienten mit z multipliziert.
3
16 % von 175 € =
von 28 € = (28 € : 7) ⋅ 3 = 4 € ⋅ 3 = 12 €
7
relativer
Anteil
:7
⋅3
Oder:
3
7
1
1
1
7
4€
3
7
von 28 € =
absoluter
Anteil
28 €
12 €
3
7
⋅ 28 € =
3
7
⋅ 28
€=
1
:7
:100
⋅3
⋅ 16
3⋅4
1 ⋅1
€ = 12€
16
100
von 175 € =
4
25
von 175 € = 28 €
relativer
Anteil
100%
absoluter
Anteil
175 €
1%
1,75 €
16 %
28 €
:100
⋅ 16
Oder: 16 % von 175 € = 0,16 ⋅ 175 € = 28 €
Berechnung des Ganzen:
Ist der absolute Anteil nz einer Größe bekannt, so berechnet man das Ganze, indem man den absoluten
Anteil durch z dividiert und den Wert dieses Quotienten mit n multipliziert.
5
15 % einer Fläche sind 72 m².
einer Länge sind 10 km.
8
relativer
Anteil
:5
⋅8
5
8
absoluter
Anteil
10 km
1
8
2 km
8
8
16 km
Die (ganze) Länge beträgt 16 km.
:5
:3
⋅8
⋅ 20
relativer
Anteil
15%
absoluter
Anteil
72 m²
5%
24 m²
100%
480 m²
:3
⋅ 20
Die (ganze) Fläche hat den Flächeninhalt 480 m².
12
GM 6.5 Rechnen mit rationalen Zahlen
Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen:
Brüche werden addiert (subtrahiert), indem man sie gleichnamig macht, ihre Zähler addiert
(subtrahiert) und den gemeinsamen Nenner beibehält. Der Hauptnenner (kleinster gemeinsamer
Nenner) ist das kgV (kleinste gemeinsame Vielfache) der auftretenden Nenner.
3
9
7
+ 56 = 12
+ 10
= 19
= 1 12
Termwerte in gemischter Schreibweise angeben!
4
12
12
5
6
− 13 =
5
6
− 62 =
3
6
=
1
2
Termwerte vollständig kürzen!
Gemischte Zahlen werden addiert (subtrahiert), indem man jeweils sowohl die ganzen Zahlen als
auch die Brüche addiert (subtrahiert).
3 35 + 4 45 = (3 + 4 ) + ( 35 + 45 ) = 7 75 = 8 52
9
5
9
5
4 =41
6 16
− 3 16
= (6 − 2) + ( 16
− 16
) = 4 16
4
3 29 − 1 59 = 2 11
− 1 59 = 1 69 = 1 32
9
Weil
2
9
<
5
9
muss man ein Ganzes in Neuntel umwandeln!
Rationale Zahlen in Dezimalschreibweise werden stellenweise addiert (subtrahiert).
Untereinander
Nebeneinander
2, 1 6 2
+ 0, 9 5 0
45,6 – 12,738 = 45,600 – 12,738 = 32,862
+ 4, 8 8 1
7, 9 9 3
Multiplizieren rationaler Zahlen:
Brüche werden multipliziert, indem man das Produkt der Zähler durch das Produkt der Nenner
dividiert.
2 ⋅3
5 ⋅7
2
7
⋅ 35 =
4
9
⋅ 15
=
16
=
4 ⋅15
9 ⋅16
6
35
=
1⋅5
3⋅4
5
= 12
Vor dem Ausmultiplizieren des Zählers und Nenners kürzen!
Gemischte Zahlen müssen vor dem Multiplizieren in unechte Brüche umgewandelt werden.
2 12 ⋅ 3 32 = 52 ⋅ 11
= 55
= 9 16
Produktwert wieder als gemischte Zahl schreiben!
3
6
Rationale Zahlen in Dezimalschreibweise werden multipliziert, indem man zunächst den
Produktwert der Zahlen ohne Berücksichtigung der Kommas bildet. Dann erhält der Produktwert
so viele Dezimalen wie beide Faktoren zusammen besitzen.
1,6 ⋅ 0,34 = 0,544
NR. 16 ⋅ 34 = 544; Der Produktwert muss 3 Dezimalen haben.
Unterscheide Produkte und gemischte Zahlen.
2 ⋅ 32 = 43 ; 2 32 = 2 + 32
Man sieht: 2 ⋅ 32 ≠ 2 32
Dividieren rationaler Zahlen:
Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert.
1 15 : 32 = 65 : 32 = 65 ⋅ 32 = 35⋅⋅13 = 95 = 1 45
Gemischte Zahlen erst in unechte Brüche verwandeln!
Bei der Division zweier rationaler Zahlen in Dezimalschreibweise wird zuerst im Dividend und im
Divisor das Komma gleich weit verschoben und zwar so, dass der Divisor eine natürliche Zahl wird.
Dann wird wie gewöhnlich dividiert. Bei Überschreiten des Kommas im Dividend wird im
Quotientenwert ein Komma gesetzt.
5,25 : 4,2 = 52,5 : 42
Kommas um eine Stelle nach rechts verschoben
52,5 : 42 = 1,25
- 42
105
- 84
210
- 210
0
Beim Rechnen mit rationalen Zahlen gelten die selben Vorzeichenregeln, Rechenregeln und
Rechengesetze wie beim Rechnen mit ganzen Zahlen (→ GM 5.2).
13
GM 6.6 Flächeninhalte
Parallelogramm
Jedes Parallelogramm besitzt vier Seiten, von denen die gegenüberliegenden jeweils gleich lang und
parallel sind. Der Abstand zweier paralleler Seiten heißt Höhe. Jedes Parallelogramm hat also zwei
Grundlinien g1 und g2 und zwei Höhen h1 und h2.
Flächeninhalt des Parallelogramms:
A = g1 ⋅ h1 und A = g2 ⋅ h2 („Grundlinie mal zugehörige Höhe.“)
Beispiel:
AKIEW = 5 cm ⋅ 2 cm = 10 cm²
und
AKIEW = 2,5 cm ⋅ 4 cm = 10 cm²
Dreieck
Jedes Dreieck besitzt drei Seiten (Grundlinien). Man benennt sie entsprechend der gegenüberliegenden
Ecke mit einem kleinen Buchstaben. (Der Ecke A gegenüber liegt die Seite a.) Der Abstand einer Ecke
von der gegenüberliegenden Seite heißt Höhe. (Die zur Seite a gehörende Höhe wird mit ha bezeichnet.)
Flächeninhalt des Dreiecks:
1
1
1
1
⋅ b ⋅ hb und A =
⋅ c ⋅ hc („ mal Grundlinie mal zugehörige Höhe.“)
A = ⋅ a ⋅ ha und A =
2
2
2
2
Stumpfwinkliges Dreieck
hc
hb
Beispiele:
Spezialfall: Rechtwinkliges Dreieck
2 cm
A = 1 ⋅ 1,5 cm ⋅ 4 cm = 3 cm²
1,5 cm
3,6 cm
A = 1 ⋅ 3,6 cm ⋅ 2 cm = 3,6 cm²
2
4 cm
2
Trapez
Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei
gegenüberliegende Seiten parallel sind.
Diese zueinander parallelen Seiten heißen
Grundlinien. Ihr Abstand wird als Höhe
bezeichnet.
Flächeninhalt des Trapezes:
A
D
a
h
A = 1 ⋅ (a + c) ⋅ h
C
2
(„Halbe
Höhe.“)
Summe
c
der
Grundlinien
mal
B
14
GM 6.7 Körper und ihr Volumen
Grundriss, Aufriss, Seitenriss
Um eine Vorstellung von einem Körper zu
bekommen, stellt man ihn häufig aus
verschiedenen Richtungen betrachtet dar. Der
Grundriss zeigt, wie der Körper senkrecht von
oben betrachtet aussieht, der Aufriss, wie der
Körper von vorne betrachtet aussieht, und der
Seitenriss wie der Körper von rechts oder von
links betrachtet aussieht.
Beispiel: Quader
Schrägbild
In einem Schrägbild wird ein Körper so
gezeichnet, dass man ihn sich räumlich gut
vorstellen kann. Die senkrecht nach hinten
verlaufenden Kanten werden schräg und
verkürzt gezeichnet. Häufig zeichnet man sie
unter einem 45°-Winkel und in halber Länge.
Unsichtbare Kanten werden im Schrägbild
gestrichelt gezeichnet.
Beispiel: Quader
Quader und Würfel
Ein Quader ist durch seine drei Kantenlängen
(Länge l, Breite b und Höhe h) festgelegt. Er
hat das Volumen
V=l⋅b⋅h
und den Oberflächeninhalt
O = 2 ⋅ l ⋅ b + 2 ⋅ l ⋅ h + 2 ⋅ b⋅ h.
Ein Würfel ist ein besonderer Quader. Seine
drei Kantenlängen sind gleich. Ein Würfel ist
also durch seine Kantenlänge a festgelegt. Er
hat das Volumen
V = a³
und den Oberflächeninhalt
O = 6 ⋅ a².
Prisma
Ein (gerades) Prisma hat als Grund- und Deckfläche zwei deckungsgleiche Vielecke, die parallel
zueinander liegen. Die Seitenflächen eines Prismas sind Rechtecke. Alle Seitenflächen zusammen
bilden die Mantelfläche des Prismas.
Beispiele
Dreiseitiges Prisma
(„auf der Grundfläche stehend“)
Dreiseitiges Prisma
(„auf einer Seitenfläche liegend“)
15
Sechsseitiges Prisma
(„auf der Grundfläche stehend“)