Vorlesung 10

10.Vorlesung EP WS2008/9
I. Mechanik
6. Hydro- und Aerodynamik
a) Kontinuitäts- und Bernoulli-Gleichung
b) Viskosität
Fortsetzung: Hagen-Poisenille
7. Schwingungen
Versuche:
Pendel mit zwei Längen
Sandpendel ohne/mit Dämpfung
erzwungene Schwingung mit
ω < ω0, ω = ω0, ω > ω0 („Texastower“)
Glas zersingen
„Tacoma Bridge“ Film
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Strömung nach Hagen-Poiseuille
Strömt ein viskoses Fluid durch ein Rohr (Ader), so
bildet sich eine parabolische Geschwindigkeitsverteilung aus u(r) ~ (R-r)2
d.h. Strömungswiderstand RS = (8ηL/πR4)
Der gesamte Volumenstrom ist
•proportional zur Druckdifferenz
•umgekehrt proportional zur Viskosität
•und umgekehrt proportional zur Rohrlänge
•proportional zur vierten Potenz des Radius
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Folgen der R4 Abhängigkeit des Volumenstroms
Bei Verengung des Rohrs entweder starke Stromreduzierung oder
zur Kompensation starke Druckerhöhung notwendig ...
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Blutkreislauf
•Blutkreislauf ist parallel angelegt, Lunge und Körper aber in Serie
•Gesamtquerschnittsfläche der
Kapillaren ist ca. 1000-fach
größer als in der Aorta, also
die Geschwindigkeit
entsprechen kleiner
Druck
Gesamt-Querschnitt
•Druckabfall erfolgt in den
Kapillaren mit kleinem Radius
mittlere Geschwindigkeit
Arterien
Kapillaren
Venen
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•Druckabfall erfolgt in den Kapillaren mit kleinem Radius
•um Hagen Poiseuille zu entschärfen, reduziert sich die
Viskosität des Bluts in den Kapillaren (Fahraeus-Lindquist Effekt)
Arterien, Venen
Kapillaren
Ordnung der roten
Blutkörperchen reduziert
Strömungswiderstand
~
dv
dz
= Druck
Rote Blutkörperchen in einer
Glaskapillare von 10 µm Durchmesser
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Bemerkung zum Blutkreislauf beim Menschen
Typische Drucke im Blutkreislauf:
im Lungenkreislauf p = 10 bis 20 Torr
im Körperkreislauf p = 70 bis 140 Torr
Blutvolumen gepumpt: ca. 5 Liter/Minute
Aortadurchmesser ca. 2,5 cm. Gesamtquerschnitt der verzweigten Blutgefäße (Kapillaren) entspricht dem Tausendfachen des Querschnitts in
der Aorta. Deshalb ist die Geschwindigkeit in den Kapillaren ein Tausendstel
der Geschwindigkeit in der Aorta (Kontinuitätsgleichung). Die Geschwindigkeit in den Kapillaren ist 0,3 mm/sek. Kleiner Radius in den Kapillaren ergibt
sehr hohen Widerstand, d.h. der Druckabfall erfolgt im Wesentlichen in den
dünnen Blutgefäßen.
Blutverteilung im Körper kann über die Radiusänderung der Adern gesteuert
werden.
Beim gesunden Körper ist die Blutströmung im allgemeinen laminar (Ausnahme Herzklappen). Beim kranken Körper werden durch Ablagerungen an
den Blutgefäßen turbulente Strömungen auftreten, die hörbar werden. Im
Körperkreislauf variiert der Blutdruck zwischen der Systole (Kontraktion des
Herzens) mit ca. 140 Torr und der Diastole mit 80 Torr (Rückbewegung im
Herzen). Die Aorta ist elastisch und gleicht Druckschwankungen, die von der
Pumpe Herz erzeugt werden, aus.
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Blutdruckmessung
•Druck in einer großen Arterie ist etwa gleich dem in der Aorta
•Abdrücken des Blutflusses mit Manschette bis kein Puls mehr spürbar
•Druckablassen bis Turbulenzgeräusche hörbar (systolischer Druck)
•Ablassen bis Turbulenzgeräusche verschwinden, das Blut zirkuliert jetzt
laminar (diastolischer Druck)
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Viskositätsmessung
Kugelfallviskosimeter:
Stokes’sche Reibung bremst ~ η r v
Schwerkraft (-Auftrieb) beschleunigt ~ ρ r3
Konstante Sinkgeschwindigkeit, wenn
beide Kräfte sich kompensieren, ist
proportional zum Quadrat des Radius
h
Medizin: Messung der Blutsenkung (Sinkgeschwindigkeit der im
Blutplasma suspendierten roten Blutkörperchen), durch
Agglomeration bei Infektionen reduziert
alternative Meßmethoden: Kapillarviskosimeter (s. nächste Seite),
Rotationsviskosimeter
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7. Schwingungen
Schwingungen
Schwingung: räumlich und zeitlich wiederkehrender (=periodischer) Vorgang
Zu besprechen:
•ungedämpfte freie Schwingung
•gedämpfte freie Schwingung
•erzwungene gedämpfte Schwingung
Ungedämpfte freie Schwingungen
Beispiel Federpendel
(a) in Ruhe
(b) gespannt: Auslenkung x
Rückstellkraft der Feder
a)
b)
FR = −Dx
(c) losgelassen
c)
Bewegung erfolgt nach den bekannten Gesetzen:
M a = −Dx
(2. Newtonsches Axiom)
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Hier werden wir mal differenzieren:
a=
dv
dt
;
dx
d 2x
v=
ergibt a = 2
dt
dt
(mit unseren Differenzen ∆ könnten wir auch schreiben:
a=
∆v
;
∆t
 ∆x 
∆ 
∆x
 ∆t 
v=
ergibt a =
∆t
∆t
Mit diesen Ableitungen erhalten wir aus dem 2. Newtonschen Axiom
eine neue Gleichung:
(*)
d 2x
M 2 + Dx = 0
dt
ist eine Differentialgleichung. Die Lösung muß eine Funktion x(t) sein,
deren 2. Ableitung proportional zur Funktion selber ist.
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Lösungsansatz: (**)
x( t ) = A0 cos(ω 0 t + ϕ 0 )
(Sinusfunktion wäre auch möglich.)
„harmonische Schwingung“
x(t) ≡ momentane Auslenkung
A0 = maximale Auslenkung = maximale Amplitude
φ(t): = ω0t + φ0=Phase der Schwingung, wobei Anfangsphase φ0
beliebig.
dϕ
= ω0
dt
= Kreisfrequenz
ω0 1
→ f0 =
=
2π T
ist Frequenz der Schwingung.
T ist die Periode der Schwingung
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Setzen wir (**) in (*) ein und verwenden, dass
d(sin(ω 0 t)
= ω 0 cos(ω 0 t)
dt
ist, so erhalten wir:
-Mω02 cos(ω0t + ϕ0) + D cos(ω0t + ϕ0) = 0.
ω0 =
d(cos(ω 0 t)
= −ω 0 sin(ω 0 t) und
dt
Daraus folgt:
D
M
Maximalamplitude A0 ist beliebig und hängt nur von der Anfangsbedingung
ab. Graphische Darstellung der Lösung:
x(t) =A0 cos(ωt + φ0)
= A0 cos(φ(t))
Wenn die Kraft auf einen Körper proportional zur Auslenkung aus
der Ruhelage ist, vollführt er eine harmonische Schwingung.
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Anderes Beispiel: Schwerependel
Idealfall „mathematisches Pendel“: Punktmasse m, Faden masselos
(sonst: „physikalisches Pendel“)
Die Schwerkraft FG= mg wird zerlegt in F´ (wird durch
Fadenspannung FFaden kompensiert) und Ftangential =
=sin α·mg ≈ α · mg (kleine Auslenkung).
Diese bewirkt eine Beschleunigung d2x/dt2 = ℓ·d2α/dt2:
m·ℓ·d2α/dt2 = α·m·g
d2α/dt = (g/ℓ)·α
Lösung: α = α0 ·cos ωt
(Newton II),
F´ = -FFaden
Einsetzen in obige Differenzialgleichung ergibt:
ω=
Bogenstrecke dx = ℓ·α,
d2x
d 2α
= l⋅ 2
dt 2
dt
g
l
l hängt also
g
nicht von der Masse ab, nur von der Fadenlänge.
Die Schwingungsdauer T = 2π/ω =2π
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Gedämpfte Schwingung
Zusätzlich zur Rückstellkraft (-D·x) wirkt eine Reibungskraft (-γ·v=- γ·dx/dt)
z.B. Stokesche Reibung bei Schwingung in Flüssigkeit oder Gas.
Kräftegleichung (Differentialgleichung)
d 2 x  dx 
M 2 + γ  + Dx = 0
dt
 dt 
Ansatz: x(t) = A0e-δt cos(ω t + φ0)
Diese Funktion erfüllt die Gleichung und ergibt δ=γ/(2M) und ω =
D
− δ 2 = ω02 − δ 2
M
Im Vergleich mit der ungedämpften Schwingung (s.o., ω = ω0 = D / M
ist die Schwingung langsamer und nimmt exponentiell ab.
Versuch Sandpendel
mit Styroporplatte
)
„Einhüllende“ e-δt mit „Dämpfungsfaktor“ δ
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Starke Dämpfung
Obige Lösung gilt für schwache Dämpfung (ω0 > δ). Bei stärkerer
Dämpfung schwingt das System nicht mehr, sondern „kriecht“
zum Nullpunkt.
Kriechfall
Anwendungen des
aperiodischen
Grenzfalls:
Stoßdämpfer,
Anzeigegeräte
D
− δ2 < 0
m
D
− δ2 = 0
m
D
− δ 2 > 0 (gedämpfte
m
Schwingung)
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Erzwungene (gedämpfte) Schwingung
Treibende periodische Kraft mit Kreisfrequenz ω
x1(t)
x1(t)
x(t)
x(t)
Bewegungsgleichung:
d 2 x  dx 
M 2 + γ  + Dx = F1 ⋅ cos(ωt )
dt
 dt 
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Lösung x(t) = A2·cos(ωt – φ2) für t >> Einschwingzeit
Nach Einschwingvorgang verblüffend einfach:
• Schwingung mit anregender Frequenz ω
• Amplitude und Phase abhängig von relativer Anregungsfrequenz
(und Dämpfung)
Phasenverschiebung φ2 gegenüber der
Auslenkung der Anregung
2γω
tan ϕ2 = 2
ω0 − ω 2
Maximale Auslenkung
kleine Dämpfung
große Dämpfung
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Das Phänomen Resonanz
Bei erzwungenen Schwingungen reichen kleine Kräfte aus, um mit der Zeit sehr
große Amplituden zu erzeugen.
Voraussetzung: Antriebsfrequenz ganz nahe an Resonanzfrequenz ω0 und
schwache Dämpfung.
→ Auto mit kaputten Stoßdämpfern
(siehe Diagramm auf voriger Seite)
(d.h. Schwingung läuft
der Kraft um 90° = π/2
hinterher)
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Zusammenfassung: Resonanz
Eine äußere, sich periodisch mit der Kreisfrequenz ω ändernde
Kraft wirkt auf das schwingende System ein. Es kommt zu einer
erzwungenen Schwingung. Nach der Einschwingzeit gilt für die
Auslenkung
x(t) = A · cos (ωt-φ)
wobei die Maximalamplitude A und die Phasenverschiebung
(zwischen der äußeren Kraft F(t) = F0 · cos ωt und x(t)) von der
Erregerfrequenz ω abhängen.
Es sei ω0 die Eigenfrequenz des frei schwingenden Systems. Die
Amplitude A der erzwungenen Schwingung ist maximal bei der
Erregerfrequenz
ω = ω02 − 2γ 2 ,
ω ≈ω0 bei schwacher Dämpfung (γ<< ω0 )
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Bei dieser „Resonanzfrequenz“ wird das System genau im richtigen
Takt angestoßen und die Schwingung aufgeschaukelt.
Versuch: Zersingen eines Glases
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Überlagerung von Schwingungen ähnlicher Frequenz
führt zu Amplitudenmodulationen bzw. Schwebungen
5 Perioden
5.5 Perioden
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