Was ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik Logische Konnektoren

Was ist Logik?
Was ist Logik?
• Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-)
Philosophie
• Logik stellt Sprachen zur Darstellung von Wissen,
Problemen, Lösungen zur Verfügung
• Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet
• Logik erlaubt, nach festen Regeln aus
Aussagen andere wahre Aussagen abzuleiten
• Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere
wahre Aussagen folgen
• Beschränkung auf "Aussage folgt notwendigerweise"
wahren
• Logik als Grundlage für andere Gebiete: Mathematik,
Informatik, künstliche Intelligenz
• Beispiele
Wenn es regnet, dann wird die Strasse nass.
Es regnet.
----------------------------Die Strasse wird nass.
• Logik zur Darstellung der Semantik natürlicher und
künstlicher Sprachen
• Logik als Modell für menschliches Denken?
Vögel können fliegen.
Tweetie ist ein Vogel.
----------------------------Tweetie kann fliegen.
• verallgemeinert zur universellen Schlussregel "modus
ponens"
Wenn A gilt, dann gilt B.
A ist wahr.
---------------------------B ist wahr.
• es gibt andere Logiken
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 1
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 2
Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Aussagenlogik
Logische Konnektoren
• atomare Aussagen sind einfache deklarative Sätze
• mit Hilfe von Konnektoren können aus Aussagen
zusammengesetzte Aussagen konstruiert werden
Die Sonne scheint.
• Wahrheitwert zusammengesetzter Aussagen wird
eindeutig durch die Wahrheitwerte der beteiligten
Teilaussagen bestimmt
Es regnet.
die wahr oder falsch sind
• in natürlichen Sprachen gibt es auch Satzarten, denen
kein Wahrheitwert zugeschrieben werden kann, z.B.
• in der Aussagenlogik gibt es unter anderen die
folgenden Konnektoren
Scheint die Sonne ?
Negation ("nicht")
¬
Öffnen Sie bitte das Fenster.
Konjunktion ("und")
∧
Disjunktion ("oder")
∨
Implikation ("wenn ... dann ...")
→
• zusammengesetzte Aussagen
Die Sonne scheint oder es regnet.
• formal mit logischen Konnektoren
Die Sonne scheint. ∨ Es regnet.
• Wahrheitwert zusammengesetzter Aussagen wird aus
den Wahrheitwerten der beteiligten Teilaussagen
bestimmt, z.B. ist
Die Sonne scheint. ∨ Es regnet.
wahr, wenn mindestens eine der beiden Teilaussagen
wahr ist.
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 3
• die logische Bedeutung dieser Konnektoren wird durch
Wahrheitstabellen definiert
• die logische Bedeutung entspricht nicht in jedem Fall
der Bedeutung des entsprechenden natürlichsprachlichen Ausdrucks
• Aussagen werden durch Grossbuchstaben dargestellt
• Wahrheitswerte: wahr (W), falsch (F)
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 4
Wahrheitstabellen: Negation
Wahrheitstabellen: Konjunktion
• Negation
• Konjunktion
P
(¬P)
P
Q
(P ∧ Q)
W
F
W
W
W
F
W
W
F
F
F
W
F
F
F
F
Der Konnektor Negation wirkt auf eine einzelne
Aussage und kehrt deren Wahrheitswert um.
Die logische Konjunktion ist wahr, wenn beide
Teilaussagen wahr sind.
Während für die
kommutative Gesetz
logische
Konjunktion
das
(P ∧ Q) ≡ (Q ∧ P)
gilt, hat das natürlichsprachliche "und" oft eine
zusätzliche zeitliche Bedeutung.
Die Sätze
Ich werde schläfrig und gehe ins Bett.
und
Ich gehe ins Bett und werde schläfrig.
drücken zwei verschiedene Sachverhalte aus.
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 5
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 6
Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Wahrheitstabellen: Disjunktion
Wahrheitstabellen: Implikation
• Disjunktion
• Implikation
P
Q
(P ∨ Q)
P
Q
(P → Q)
W
W
W
W
W
W
W
F
W
W
F
F
F
W
W
F
W
W
F
F
F
F
F
W
Die logische Disjunktion ist inklusiv, d.h. sie ist wahr,
wenn eine der beiden Aussagen oder beide Aussagen
gelten.
Die logische Implikation ist nur dann falsch, wenn
die Voraussetzung P wahr und die Konsequenz Q
falsch ist. In allen anderen Fällen, insbesondere wenn
die Voraussetzung P falsch ist, ist die Implikation
wahr.
In der natürlichen Sprache hat "oder" oft auch die
exklusive Bedeutung; so wird
Der Fall F → Q wird als "ex falso quodlibet"
bezeichnet.
Er kommt heute oder morgen.
Diese "materiell" genannte Implikation hat eine
vollkommen logische Bedeutung, die allein durch die
Wahrheitstabelle gegeben ist. Die Implikation hat
keinerlei kausale Bedeutung, d.h. die Aussage
als
Er kommt entweder heute oder morgen.
d.h. als
Er kommt (heute und nicht morgen) oder (morgen und
nicht heute).
verstanden. Die letzte Formulierung zeigt, wie das
exklusive "oder" in Logik ausgedrückt werden kann.
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 7
Wenn der Mond aus grünem Käse ist, dann ist vier eine
Primzahl.
ist logisch wahr, obwohl beide Aussagen falsch sind
und zwischen ihnen kein kausaler Zusammenhang
besteht.
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 8
Implikation
Formale Syntax der Aussagenlogik
• (P → Q) sei wahr
• Sprache der Aussagenlogik besteht aus den – oft
wohlgeformt genannten – Aussagen (Formeln)
wenn P wahr ist, dann muss auch Q wahr sein
wenn P falsch ist, dann kann Q wahr oder falsch sein
• P wird als stärker, Q als schwächer bezeichnet
• atomare Aussagen – dargestellt durch Buchstaben p, q,
... (möglicherweise mit Indizes) – sind wohlgeformt
• ⊥ (Widerspruch) ist eine wohlgeformte atomare
Aussage; ihr Wahrheitswert ist F
• W ist die schwächste Aussage, F die stärkste
(F → W)
• wenn P und Q wohlgeformt sind, dann sind auch
• falls (P → Q), wird P hinreichend für Q genannt, Q
notwendig für P
• falls (P → Q) ∧ (Q → P), wird P hinreichend und
notwendig für Q genannt
(¬ P )
(P ∧ Q)
(P ∨ Q)
(P → Q)
wohlgeformt.
(P und Q sind Platzhaltervariablen, die für Aussagen
stehen)
• es gibt keine weiteren wohlgeformten Aussagen
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 9
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 10
Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Vorrangsregeln
Formale Syntax der Aussagenlogik
• zusammengesetzte
Konnektoren, z.B.
Ausdrücke
mit
mehreren
• Syntaxregeln der Aussagenlogik erzwingen, dass für
einen wohlgeformten Ausdruck, z.B.
((p ∧ (q → r)) → ((p ∧ (¬ q)) → ((¬ q) ∨ (¬ r))))
• A ∧ ¬ B∨ C → D
sind möglicherweise unklar
• Klärung schaffen Vorrangsregeln oder Klammern
• Vorrangsregeln
alle Klammern gepaart sein müssen – für jede linke
Klammer muss es eine entsprechende rechte geben
und
jeder geklammerte Ausdruck vollständig in dem
umgebenden Ausdruck enthalten sein muss
Negation
• wie wir später sehen werden, wird die Grammatik
einer solchen Sprache kontextfrei genannt
vor
Konjunktion
vor
Disjunktion
vor
Implikation
• Vorrang kann durch Klammerung angedeutet werden
A ∧ ¬ B ∨ C → D ≡ (((A ∧ (¬ B)) ∨ C) → D)
• im Zweifelsfall sollte man Klammern setzen; deswegen
tauchen diese Klammern in der Definition der Sprache
auf
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 11
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 12
Formale Syntax der Aussagenlogik
• geschachtelte
Klammerung
führt
Baumstruktur von Ausdrücken, z.B.
zu
Semantik der Aussagenlogik
einer
• atomaren Ausdrücken werden durch eine Funktion v
Wahrheitswerte {W, F} zugewiesen, z.B.
(1 (2 p ∧ (3 q → r)4 )5 →
v(p) = W
(6 (7 p ∧ (8¬ q)9 )10 → (11 (12¬ q)13∨ (14¬ r)15 )16 )17 )18
v(q) = F
mit dem Gesamtausdruck als Wurzel des Baumes, den
Teilausdrücken als Knoten und den atomaren
Ausdrücken als Blättern
((p ∧ (q → r)) → ((p ∧ (¬ q)) → ((¬ q) (¬ r))))
1
18
(p ∧ (q → r))
2
((p ∧ (¬ q)) → ((¬ q) ∨ (¬ r)))
5
6
(q → r)
p
3
q
4
7
r p
17
((¬ q) ∨ (¬ r))
10
16
(¬ q) (¬ q) (¬ r)
8 9 12 13 14 15
q
q
• nachdem den atomaren Ausdrücken Wahrheitswerte
zugewiesen wurden, kann man mit Hilfe der
elementaren Wahrheittabellen den Wahrheitswert jedes
Ausdrucks bestimmen
• Beispiel
(p ∧ (q → r))
(p ∧ (¬ q))
11
(Man spricht auch von einer Interpretation oder einer
Belegung mit Wahrheitswerten.)
p
∧
q
→
r
W
W
W
W
W
W
F
W
F
F
W
W
F
W
W
W
W
F
W
F
F
F
W
W
W
F
F
W
F
F
F
F
F
W
W
F
F
F
W
F
r
• Knoten sind auch mit den entsprechenden Klammerpaaren bezeichnet; die jeweiligen Hauptkonnektoren
sind hervorgehoben
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 13
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 14
Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Semantik
Semantik: Tautologie, Kontradiktion
• im Prinzip kann man jedem aussagenlogischen
Ausdruck einen Wahrheitswert zuweisen
• Tautologien sind Aussagen, die immer wahr sind, z. B.
• in der Praxis jedoch nicht, da Wahrheitstabellen
exponentiell wachsen: für Ausdrücke, die n atomare
Ausdrücke enthalten, entstehen Wahrheitstabellen mit
2n Zeilen
(P ∨ ¬ P)
P
∨
¬
P
W
W
F
W
F
W
W
F
(Man spricht auch von gültigen Aussagen. )
• Wenn eine Aussage P eine Tautologie ist, schreibt man
|= P
• Kontradiktionen sind Aussagen, die immer falsch sind,
z.B.
(P ∧ ¬ P)
P
∧
¬
P
W
F
F
F
W
F
W
F
Die atomare Aussage ⊥ ist eine Kontradiktion.
• Eine Aussage ist genau dann eine Kontradiktion, wenn
ihre Negation eine Tautologie ist.
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 15
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 16
Semantik: Erfüllbarkeit, Widerlegbarkeit
Semantik: logische Konsequenz
• Aussagen sind erfüllbar, wenn sie durch eine Belegung
mit Wahrheitwerten wahr gemacht werden können
• eine Aussage P ist die logische Konsequenz einer
Menge von Aussagen M, wenn jede Zuordnung von
Wahrheitswerten, die M wahr macht, auch P wahr
macht
Beispiel
(P ∨ Q)
M |= P
ist erfüllbar, z.B. durch v(P) = W und v(Q) = F
• Aussagen sind widerlegbar, wenn sie durch eine
Belegung mit Wahrheitwerten falsch gemacht werden
können
• Beispiel 1:
M={p → q, q → ¬ r, r → (p ∨ s)}
P=q→s
Gilt M |= P ?
Beispiel
(P ∨ Q)
ist durch v(P) = F und v(Q) = F widerlegbar
direkter Beweis (es gibt eine Zuordnung von
Wahrheitswerten, die M wahr und P falsch macht):
aus v(q → s) = F folgt v(q) = W, v(s) = F
aus v(q → ¬ r) = W und v(q) = W folgt v(r) = F
aus v(q) = W folgt v(p → q) = W
aus v(r) = F folgt v(r → (p ∨ s)) = W
mit v(p) beliebig, v(q) = W, v(r) = v(s) = F erhalten
wir v(M) = W und v(P) = F
P ist keine logische Konsequenz von M
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 17
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 18
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Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Semantik: logische Konsequenz
Logische Äquivalenz: Umformungen
• Beispiel 2:
• zwei Aussagen P und Q sind logisch äquivalent
M={p → q, q → ¬ r, r → (p ∨ s)}
P = ¬ p ∨ (q ∧ ¬ r)
P≡ Q
wenn sie die gleiche Wahrheitstabelle haben
• ≡ ist kein Element der Sprache der Aussagenlogik,
sondern ein metasprachliches Zeichen
Gilt M |= P ?
Beweis durch Widerspruch (wenn wir eine
Zuordnung finden, die M wahr und P falsch macht,
dann kann P nicht die logische Konsequenz von M
sein):
Annahme: v(p → q) = v(q → ¬ r) = v(r → (p ∨ s)) = W
und v(¬ p ∨(q ∧ ¬ r)) = F
daraus folgt v(p) = W, v(q) = W, v(q ∧ ¬ r) = F,
weiterhin v(r) = F
daraus folgt v(q ∧ ¬ r) = W und somit ein Widerspruch, d.h. es gibt die obige Zuordnung nicht
P ist logische Konsequenz von M
• zwei Aussagen sind logisch äquivalent, wenn jede die
logische Konsequenz der anderen ist
• Idempotenz
(P ∨ P) ≡ P
(P ∧ P) ≡ P
• Kommutativität
(P ∧ Q) ≡ (Q ∧ P)
(P ∨ Q) ≡ (Q ∨ P)
• Assoziativität
(P ∨ (Q ∨ R)) ≡ ((P ∨ Q) ∨ R) ≡ (P ∨ Q ∨ R)
(P ∧ (Q ∧ R)) ≡ ((P ∧ Q) ∧ R) ≡ (P ∧ Q ∧ R)
• Distributivität
(P ∨ (Q ∧ R)) ≡ ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ R))
(P ∧ (Q ∨ R)) ≡ ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ R))
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 19
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 20
Logische Äquivalenz: Umformungen
Adäquate Mengen von Konnektoren
• doppelte Negation
• Wieviele verschiedene Konnektoren gibt es überhaupt?
(¬ (¬ (P)) ≡ P
Konnektoren
definiert
• de Morgan Regeln
werden
durch
Wahrheitstabellen
Wahrheitstabelle für n Aussagen hat 2n Einträge
(¬ (P ∨ Q)) ≡ (¬ P) ∧ (¬ Q)
jeder Eintrag kann wahr oder falsch sein
(¬ (P ∧ Q)) ≡ (¬ P) ∨ (¬ Q)
n
• Implikation kann durch Negation und Disjunktion
ausgedrückt werden
(P → Q) ≡ (¬ P) ∨ Q
also gibt es für n Aussagen 22 verschiedene
n
Wahrheitstabellen, d.h. 22 verschiedene Konnektoren
2
für zwei Aussagen gibt es also 22 =16 verschiedene
Konnektoren
• Konnektoren ¬, ∧, ∨, → sind offensichtlich nicht
unabhängig
• Sind diese 16 Konnektoren unabhängig? Wieviele
braucht man mindestens?
• man kann sich leicht überzeugen, dass man mindestens
die Negation braucht und einen Konnektor, der zwei
Aussagen miteinander verknüpft
• adäquate Mengen von Konnektoren sind z.B.
{ ¬, ∨}
{ ¬, ∧}
• andere Konnektoren erhält
eingeführten Identitäten, z.B.
man
mit
Hilfe
der
∧ aus { ¬, ∨}
(P ∧ Q) ≡ (¬ ((¬ P) ∨ (¬ Q)))
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 21
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 22
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Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Adäquate Mengen von Konnektoren
Adäquate Mengen von Konnektoren
• adäquate Mengen von Konnektoren können aus einem
einzigen der 16 Konnektoren bestehen z.B.
• andere Konnektoren
Identitäten, z.B.
(P nand Q) ≡(¬ (P ∧ Q))
{nand}
erhält
man
mit
Hilfe
von
(¬ P) ≡ (P nand P) ≡ (P nor P)
(P ∧ Q) ≡ (P nand Q) nand (P nand Q)
mit der Wahrheitstabelle
(P ∨ Q) ≡ (P nand P) nand (Q nand Q)
P
Q
(P nand Q)
W
W
F
W
F
W
F
W
W
F
F
W
• adäquate Mengen von Konnektoren sind für die
Entwicklung logischer Schaltkreise von grosser
Bedeutung: wie viele verschiedene Komponenten
braucht man mindestens, um alle logischen
Konnektoren darzustellen?
• und
(P nor Q) ≡ (¬ (P ∨ Q))
{nor}
mit der Wahrheitstabelle
P
Q
(P nor Q)
W
W
F
W
F
F
F
W
F
F
F
W
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 23
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 24
Normalformen
Umwandlung in Normalform
• unterschiedliche Formen der gleichen Aussage, z.B.
• systematische Umwandlung in konjunktive Normalform in drei Schritten
P ≡(¬ (¬ P))
Beispiel
¬ ((P ∨ Q)) ≡ (¬ P ) ∧ (¬ Q)
erschweren die Lesbarkeit und führen zum Wunsch
nach Standardformen
• Konjunktion (Disjunktion) von Aussagen P1, P2, ... , Pn
ist die Aussage P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn (bzw. P1 ∨ P2 ∨ ... ∨ Pn).
(Wegen der Kommutativität sind Klammern unnötig.)
• Literale sind atomare Aussagen oder negierte atomare
Aussagen
• konjunktive Normalform: Konjunktion von Disjunktionen von Literalen
(A → ¬(B → C))
(1)
1. Schritt: Elimination von →
(A → ¬ (B → C)) ≡
[Regel: P → Q ≡ ¬ P ∨ Q]
(¬ A ∨ ¬ (¬ B ∨ C))
(2)
2. Schritt: Verteilung von ¬ auf atomare Ausdrücke
(¬ A ∨ ¬ (¬ B ∨ C)) ≡
[Regel: ¬ (P ∨ Q) ≡ ¬ P ∧ ¬ Q)]
(¬ A ∨ (¬ ¬ B∧ ¬ C)) ≡
[Regel: ¬ ¬ P ≡ P]
(¬ A ∨ (B ∧ ¬ C))
(3)
3. Schritt: Umwandlung in eine Konjunktion von
Disjunktionen durch distributive Regel
D1 ∧ D2 ∧ ... ∧ Dn
Di = Li1 ∨ Li2 ∨ ... ∨ Lim
(¬ A ∨ (B ∧ ¬ C)) ≡
Lij (negierte) atomare Aussage
((¬ A ∨ B) ∧ (¬ A ∨ ¬ C)) (4)
• disjunktive Normalform: Disjunktion von Konjunktionen von Literalen
K1 ∨ K2 ∨ ... ∨ Kn
Ki = Li1 ∧ Li2 ∧ ... ∧ Lim
[Regel: P∨ (Q ∧ R)≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)]
• alternativ: Umwandlung in disjunktive Normalform Disjunktion von Konjunktionen - durch distributive
Regel
(¬ A ∨ (B ∧ ¬ C))
Lij (negierte) atomare Aussage
[3 ist schon disjunktive Normalform]
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 25
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 26
Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Normalformen
Karnaugh Diagramme
• Theorem: zu jeder aussagenlogischen Formel gibt es
(mindestens) eine logisch äquivalente disjunktive
Normalform und (mindestens) eine logisch äquivalente
konjunktive Normalform.
• Karnaugh
Diagrammen
erzeugen
systematisch
minimale disjunktive Normalformen für Formeln mit
bis zu 4 atomaren Ausdrücken
• nicht jede
Normalform
Umwandlung
ergibt
die
kürzeste
Beispiel
Umwandlung der konjunktiven Normalform (4) in
disjunktive Normalform durch Distribution ergibt
((¬ A ∨ B) ∧ (¬ A∨ ¬ C)) ≡
[Regel: P∧ (Q ∨ R)≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)]
(¬ A ∨ (¬ A ∧ ¬ C) ∨ (B ∧ ¬ A) ∨ (B∧ ¬ C))
während die logisch äquivalente disjunktive Normalform (3)
(¬ A ∨(B ∧ ¬ C))
erheblich kürzer ist
• Beispiel 1
Wahrheitstabelle für einen Ausdruck A mit 3
Ausdrücken P, Q, R
P
Q
R
A
W
W
W
W
W
W
F
W
W
F
W
F
W
F
F
F
F
W
W
W
F
W
F
W
F
F
W
F
F
F
F
W
• (kurze) Normalformen erleichtern nicht nur die
Lesbarkeit, sondern sind auch für die Entwicklung
logischer Schaltkreise wichtig: wieviele Komponenten
braucht man höchstens, um eine logische Funktion zu
erzeugen?
• konjunktive Normalformen spielen
logischen Programmierung eine Rolle
auch
in
der
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 27
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 28
Karnaugh Diagramme
Karnaugh Diagramme
• dazugehöriges Karnaugh Diagram
• Beispiel 2
Q
W
W
F
F
R
W
F
F
W
W
W
W
F
F
F
W
W
W
F
• Wahrheitstabelle für
Ausdrücken P, Q, R
P
• Wahrheitwerte für Q und R sind so angeordnet, dass
sich immer nur ein Wahrheitswert ändert
• gesucht wird die minimale Anzahl von Rechtecken mit
der Kantenlänge 1, 2 oder 4, die nur den Wert W
enthalten
Q
W
W
F
F
R
W
F
F
W
W
W
W
F
F
F
W
W
W
F
einen
Ausdruck
P
Q
R
A
W
W
W
W
W
W
F
F
W
F
W
W
W
F
F
F
F
W
W
W
F
W
F
W
F
F
W
W
F
F
F
F
A
mit
3
• dazugehöriges Karnaugh Diagram
P
• minimale disjunktive Normalform für A
Q
W
W
F
F
R
W
F
F
W
W
W
F
F
W
F
W
W
F
W
P
A ≡ (P ∧ Q ∧ R) ∨ (¬P ∧ Q ∧ R) ∨ (P ∧ Q ∧ ¬ R) ∨
(¬ P ∧ Q ∧ ¬ R) ∨ (¬ P ∧ Q ∧ ¬ R) ∨ (¬ P ∧ ¬ Q ∧ ¬ R)
≡ (Q ∧ R) ∨ ( Q ∧ ¬ R) ∨ (¬ P ∧ ¬ R)
≡ Q ∨ (¬ P ∧ ¬ R)
[Regel: (P∧ Q) ∨ (P ∧ ¬ Q) ≡ P ∧ (Q ∨ ¬ Q)] ≡ P]
(Die leichtgrauen Felder gehören zusammen.)
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 29
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 30
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Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Karnaugh Diagramme
Anwendung: Schaltkreise
• minimale disjunktive Normalform für A
• Schaltkreise haben n Eingänge und m Ausgänge
A ≡ (P ∧ Q ∧ R) ∨ (¬ P ∧ Q ∧ R) ∨ (P ∧ ¬ Q ∧ R) ∨ (¬ P
∧ ¬ Q ∧ R) ∨ (¬ P ∧ Q ∧ R) ∨ (¬ P ∧ Q ∧ ¬ R)
jeder Eingang (Ausgang) ist entweder wahr oder
falsch
≡ (Q ∧ R) ∨ ( ¬ Q ∧ R) ∨ (¬ P ∧ Q)
Ausgänge hängen logisch von den Eingängen ab
≡ R ∨ (¬ P ∧ Q)
[Regel: (P∧ Q) ∨ (P ∧ ¬ Q) ≡ P ∧ (Q ∨ ¬ Q)] ≡ P]
• Schaltkreise werden aus
zusammengesetzt, z.B.
logischen
Komponenten
• Beispiel
Eingänge A und B, Ausgänge C und D
Schaltkreis verwendet ¬, ∧, ∨, und nor
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 31
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 32
Anwendung: Schaltkreise
Anwendung: Schaltkreise
• Beispiel (Forts.)
• welche Optimierung – Reduzierung der Zahl der
Komponenten oder Reduzierung der Zahl der
verschiedenen Komponenten – gewählt wird, hängt
von der Situation ab
aus dem Schema folgt
C ≡ (A ∨ B) ∧ (A nor (A nor B))
D ≡ ¬ (A ∨ B)
• Reduzierung der Zahl der Komponenten von 5 auf 4
durch Umwandlung in konjunktive Normalform
• Reduktion der Zahl der verschiedenen Komponenten
erhöht allerdings die Zahl Komponenten und die Zahl
der Verbindungen
C≡¬A∧B
D≡ ¬ A∧¬B
• Reduzierung der Zahl der Komponenten auf 3 durch
Verwendung von nor
C≡¬A∧B
D ≡ A nor B
• Reduzierung der Zahl der verschiedenen Komponenten auf 1 durch alleinige Verwendung von nand
C ≡ ((A nand A) nand B) nand ((A nand A) nand B)
D ≡ ((A nand A) nand (B nand B)) nand ((A nand A)
nand (B nand B))
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 33
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 34
Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Anwendung: Analyse natürlichsprachlicher Sätze
Anwendung: Analyse
natürlichsprachlicher Sätze
• (Aussagen-) Logik kann helfen, Fragen zu beantworten,
die in natürlicher Sprache formuliert sind
• Probleme bei der logischen Analyse von Sätzen
Identifizierung der Konnektoren, die die logische
Struktur des Satzes bestimmen
Identifizierung der Satzteile, die
Aussagen dargestellt werden sollen
als
atomare
korrekte Schachtelung der Teilaussagen
Ambiguitäten
• Beispiel
Die Versammlung findet statt, wenn alle Teilnehmer
rechtzeitig informiert wurden und die Versammlung
beschlussfähig ist. Die Versammlung ist beschlussfähig,
wenn mindestens 15 Teilnehmer anwesend sind. Die
Teilnehmer sind rechtzeitig informiert worden, wenn es
keinen Streik der Postbeamten gab.
Wenn die Versammlung nicht stattfand, dann waren
weniger als 15 Teilnehmer anwesend oder es gab einen
Streik der Postbeamten.
Wir führen die atomaren Aussagen
s
die Versammlung findet statt
t
alle Teilnehmer wurden rechtzeitig informiert
f
mindestens 15 Teilnehmer sind anwesend
b
die Versammlung ist beschlussfähig
p
es gab einen Streik der Postbeamten
ein und übersetzen Satz für Satz.
1. Die Versammlung findet statt, wenn alle Teilnehmer
rechtzeitig informiert wurden und die Versammlung
beschlussfähig ist.
P1 ≡ (t ∧ b) → s
2. Die Versammlung ist beschlussfähig, wenn mindestens
15 Teilnehmer anwesend sind.
P2 ≡ f → b
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 35
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 36
Anwendung: Analyse natürlichsprachlicher Sätze
Anwendung: Analyse natürlichsprachlicher Sätze
3. Die Teilnehmer sind rechtzeitig informiert worden,
wenn es keinen Streik der Postbeamten gab.
• Beispiel mag wie ein Spiel wirken
P3 ≡ ¬ p → t
• Realität: wichtiges Problem "natürlichsprachliche
Schnittstellen" zu formalen Systemen
4. Wenn die Versammlung nicht stattfand, dann waren
weniger als 15 Teilnehmer anwesend oder es gab einen
Streik der Postbeamten.
Datenbanken
P4 ≡ ¬ s → (¬ f ∨ p)
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Informationssysteme
Automaten
Gilt { P1, P2, P3} |= P4_?
Spezifikationen
Beweis durch Widerspruch: Annahme P1, P2, P3 wahr
und P4 falsch
...
aus v(P4) = v(¬ s → (¬ f ∨ p)) = F folgt v(s) = F, v(f) =
W, v(p) = F
• Computerlinguistik automatisiert die Übersetzung von
natürlicher
Sprache
in
Logik,
meistens
in
Prädikatenlogik
aus v(P2) = v(f → b) = W und v(f) = W folgt v(b) = W
aus v(P3) = v(¬ p → t) = W und v(p) = F folgt v(t) = W
damit ist v(P1) = v((t ∧ b) → s) = F
Widerspruch zur Annahme v(P1) = W
also gibt es keine derartige Zuordnung und der
Schluss { P1, P2, P3} |= P4 ist gültig
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 37
Einführung in die Logik: Aussagenlogik 38