Mathematische Methoden für Informatiker INF-120

Fachrichtung Mathematik • Institut für Algebra • Prof. Dr. Ulrike Baumann
Mathematische Methoden für Informatiker INF-120
Sommersemester 2017
1. Lösungen für die Woche 10.04. - 16.04.2017
Zahlenfolgen
Ü3 (b) bn+1 = 31 (b2n + 2)
und Startwert b0 = 75 .
- Beschränktheit:
Mit vollständiger Induktion:
IA: für n = 0 ist 1 < b0 = 57 < 2 gegeben.
IV: Es gelte für ein n ∈ N: 1 < bn < 2.
IS: Zu zeigen, dass 1 < bn+1 < 2 gilt.
Beweis: Nach IV ist einerseits bn+1 = 13 (b2n + 2) <
bn+1 = 31 (b2n + 2) > 13 (12 + 2) = 1.
- Monotonie:
1 2
3 (2
+ 2) = 2 und andererseits
Es gilt für ein beliebiges n ∈ N:
bn+1 < bn ⇔
1 2
(b + 2) < bn ⇔ b2n − 3bn + 2 < 0.
3 n
Da f (x) = x2 − 3x + 2 eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen 1 und 2 ist
und bereits gezeigt wurde, dass 1 < bn < 2 gilt, ist bewiesen, dass letztere Ungleichung
für alle n ∈ N gilt. Folglich ist (bn ) streng monoton fallend.
H5 (a) - streng monoton fallend. - beschränkt: 0 < xn ≤ x0 .
(⇒ konvergent.)
(b) √
- streng monoton fallend (Betrachtung ’von innen nach außen’). - beschränkt: 0 < xn ≤ x2 =
1 + ln 2.
q
(c*) yn = n 2 − 4 − n1 , n > 0.
q
Problem: Der erste Faktor (n) strebt gegen Unendlich, der zweite 2 − 4 − n1 gegen Null
und der Ausdruck ”∞ · 0” ist vorerst unbestimmt. Geschicktes Umformen löst das Problem
(einer der üblichen kleinen Tricks!):
q
2+ 4− 1
q
1
n
q
q
yn = n 2 − 4 − n1
=
.
2 + 4 − n1
2 + 4 − n1
In dieser Form ist ablesbar, dass die Folge streng monoton fällt, denn:
q
mit wachsendem n, also wächst 2 + 4 − n1 und √1 1 fällt.
2+
1
n
fällt streng monoton
4− n
Die Folge ist durch 0 < yn ≤ y1 beschränkt. Folglich ist (yn ) nach Monotoniekriterium
konvergent.
(Den Grenzwert bekommt man über die Rechenregeln für konvergente Folgen (da die Wurzelfunktion stetig
ist - dies greift ein wenig im Stoff vor):
lim yn =
n→∞
2+
1
q
4 − lim
1
n→∞ n
=
1
.)
4
√
H6 an = n c für c > 0.
- streng monoton fallend für c > 1, streng monoton wachsend für c < 1, konst. für c = 1.
- beschränkt: 0 < an ≤ c für c > 1 wegen Monotonie, 0 < an ≤ 1 für c ≤ 1.
⇒ konvergent.
√
lim = n c = 1, denn:
n→∞
√
√
Fall c > 1: | n c − 1| < ⇔ n c < + 1 ⇔ n1 ln c < ln( + 1) (Monotonie
m ).
l von ln(x)
⇔ n>
ln c
ln(+1)
n
(denn ln( + 1) > 0)
⇒ N () :=
ln c
ln(+1)
+1
alternativ: ⇔ c < ( + 1) , mit Bernoullischer Ungleichung
l
m ist hinreichend:
c < 1 + n, also Wahl N () := c−1
+ 1.
(ähnlich für c ≤ 1 - dort u.a. Relationsumkehr bei Division durch negative Zahlen.)