Blatt 8 - Fachrichtung Mathematik

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Fachrichtung 6.1 – Mathematik
Prof. Dr. Martin Fuchs
E R SIT
A
Universität des Saarlandes
IV
A VIE N
Dr. Dominic Breit
Lokale und globale Flächentheorie (WS 2009/10)
Blatt 8
Aufgabe 22 (3+2+3=8 Punkte)
Seien ε > 0, X : Ω → R3 (Ω ⊂ R2 offen) eine reguläre Fläche mit mittlerer Krümmung
b : Ω → R3 ,
H und Gauß–Krümmung K, so dass 1 − 2Hε + Kε2 > 0 ist. Die Fläche X
b v) = X(u, v) + εN (u, v)
X(u,
heißt Parallelfläche zu X. Dabei bezeichnet N die Gauß–Abbildung von X. Zeigen Sie:
a) Auf Ω gilt
bu × X
bv = (1 − 2Hε + Kε2 ) Xu × Xv ,
X
b stimmt mit der von X überein.
und die Gauß–Abbildung von X
(Hinweis: Benutzen Sie die Weingarten–Gleichungen sowie die Definitionen von
H und K.)
b zu einem fixierten
b) Bezeichnen Sω und Sbω die Weingarten–Abbildungen von X bzw. X
Parameterpunkt ω = (u, v) ∈ Ω, so gilt:
(
)
bω ◦ (DX)−1 (U ) = Sω (U )
Sbω DX
ω
für alle Vektoren U aus der Tangentialebene Tω X von X bei ω.
c) Bezeichnen κ1 , κ2 die Hauptkrümmungen von X, so sind die Hauptkrümmungen κ
b1 , κ
b2
b
von X gegeben durch
κ1
κ2
κ
b1 =
und κ
b2 =
.
1 − εκ1
1 − εκ2
(Hinweis: Verwenden Sie Teil b).)
Aufgabe 23.(1+5+3=9 Punkte)
Gegeben sei eine Fläche X : I × (0, 2π) → R3 (I ⊂ R ein offenes Intervall) der Form
(
)
X(u, v) = h(u) cos v, h(u) sin v, k(u) ,
wobei h : I → R \ {0} und k : I → R glatte Funktionen mit h02 + k 02 ≡ 1 seien.
a) Was bedeutet die Bedingung h02 + k 02 ≡ 1 geometrisch? Stellt diese Bedingung eine
Einschränkung dar?
b) Bestimmen Sie die Weingarten–Abbildung zu X. Berechnen Sie die Hauptkrümmungen
und zeigen Sie, dass für die Gauß–Krümmung K von X gilt:
h00
K=− .
h
c) Charakterisieren Sie jeweils eine Fläche in den Fällen K ≡ 0, K ≡ 1 und K ≡ −1.
Aufgabe 24.(4+5=9 Punkte)
Sei X eine Rotationsfläche wie in A. 23.
a) Zeigen Sie: Hat X konstante mittlere Krümmung H, so sind die Funktionen h und k
Lösungen eines Differentialgleichungssystems der Form
( ) (
)( ) ( )
f0
a b
f
1
=
+
,
g0
−b a
g
0
wobei f = hh0 , g = hk 0 und a, b reelle Zahlen sind. (Hinweis: Berechnen Sie 2Hf und
2Hg.)
( )
, a > 0, b ∈ R, gegebene Kurve um die
b) Rotiert die durch die Gleichung y = a cosh z+b
a
z–Achse, so entsteht eine Fläche, die man als Kettenfläche (oder Katenoid ) bezeichnet.
Beweisen Sie, dass eine (nicht ebene) Rotationsfläche genau dann eine Minimalfläche
ist (d.h. H ≡ 0), wenn sie eine Kettenfläche ist.
Abgabe. Mittwoch, 13.01.10, vor der Vorlesung in HS IV, Geb. E2 4.