Vollständige Musterlösung

Lösungsvorschlag zur 9.Aufgabe
Aufgabe 1
a) Erläutern Sie den Begriff rationale Zahl!
Definition:
Unter den rationalen Zahlen in ℚ versteht man die Menge
m
ℚ= { n , m∈ℤ, n∈ℕ}
also die Menge der Quotienten aus ganzen und natürlichen Zahlen.
Rationale Zahlen sind bezüglich der Division und Subtraktion abgeschlossen.
Rationale Zahlen sind abzählbar, d.h. jeder rationalen Zahl kann eine natürliche Zahl
zugeordnet werden.
Beispiele:
2 −3
5 ; 2 ; 7; 1,457
Gegenbeispiele:
√2, e, π
Reelle Zahlen, die nicht zu ℚ gehören, heißen irrational.
Rechenregeln für rationale Zahlen:
Addition
Multiplikation
Gleichnamig machen
Beträge der Zähler und der Nenner jeweils
multiplizieren
Gleiche Vorzeichen?
Ja:
Nein:
Beträge der Zähler
addieren
Beträge der Zähler
subtrahieren
Gleiches Vorzeichen
davor setzen
Vorzeichen der Zahl
mit dem größeren
Betrag davor setzen
Die Rechenregeln aus ℤ bleiben in ℚ erhalten.
Gleiche Vorzeichen?
Ja:
Nein:
+ davor setzen
- davor setzen
b) Schildern Sie verschiedene Vorstellungen für Bruchzahlen!
Es gibt folgende Vorstellungen für Bruchzahlen:

Teil (eines Ganzen)
Ein Bruch kann als Teil eines Ganzen oder als Teil mehrerer Ganzer gesehen
werden.
Diese Bruchvorstellung lässt sich schön an einem Tortenmodell erklären.
Beispiel:
So kann man z.B.
einer ganzen Torte darstellen, indem man die Torte in 4
gleich große Teile teilt und 3 davon wegnimmt.
1 Ganze Torte

einer Torte
Resultat einer Division
In der Algebra dienen Brüche meist zur Angabe von Quotienten natürlicher
Zahlen.
Beispiel:
3 Pizzen sollen an 4 Personen verteilt werden. Jede Pizza wird in 4 gleich
große Stücke geteilt. Dann erhält jede Person 3 Stücke Pizza, d.h. jeder erhält
der Pizza: 3:4=

Relativer Anteil
Bei dieser Bruchvorstellung wird auf eine Größeneinheit ein Operator
angewendet.
(von c)
Beispiel:
Birte erbt von ihrer Tante von 100 000€.

Dabei teilt man 100 000€ zuerst durch 4 und multipliziert dann das Ergebnis
mal 3.
Absoluter Anteil
Diese Bruchvorstellung ist nur anwendbar, wenn nicht gerechnet wird.
bedeutet „drei von vier“.
Beispiel:
Drei von vier Schülern sind gegen die Schweinegrippe geimpft.

Verhältnis
Durch Bruchzahlen können Wahrscheinlichkeiten, Maßstäbe oder
Spielergebnisse ausgedrückt werden.
Beispiel:
Eine Fußballmannschaft hat das letzte Spiel 3 zu 4 verloren.
= 3:4(3 zu 4)

Vergleichsoperator
Diese Art der Bruchvorstellung dient zum Vergleich. Damit können auf Größen
anzuwendende multiplikative Rechenanweisungen angegeben werden.
Beispiel:
Die Schachtel A enthält
A

-mal so viele Bonbons wie die Schachtel B.
B
Quasikardinalzahl
Brüche können als „quasikardinal“ aufgefasst werden, d.h. als Größe mit der
Maßzahl a und der Größeneinheit .
Beispiel:
= 3 Viertel

Quasiordinalzahl
Diese Bruchvorstellung lässt sich nur mit Stammbrüchen verdeutlichen:
z.B:
jeder Vierte
Beispiel:
Jede vierte Perle einer Halskette ist schwarz.
2. Aufgabe
Begründen Sie, warum man im Mathematikunterricht beide Darstellungen für
Bruchzahlen – gewöhnliche Brüche und Dezimalbrüche – gründlich behandeln
sollte.
Bei den Darstellungen für Bruchzahlen – gewöhnliche Brüche und Dezimalbrüche –
handelt es sich um zwei verschiedene Schreibweisen für ein mathematisches Objekt.
Beide Darstellungen sind den Schülerinnen und Schülern aus dem Alltag bekannt. Es
ist bedeutend die Beziehung zwischen gewöhnlichen Brüchen und Dezimalbrüchen
aufzuzeigen und damit ihre Wertgleichheit hervorzuheben.
Für jede der Bruchdarstellungen gibt es eine Reihe an Vorteilen, weshalb sie im
Unterricht behandelt werden sollte. Diese werden im Folgenden erläutert.
Warum gewöhnliche Brüche?
- Gewöhnliche Brüche bieten eine Grundlage für die
Wahrscheinlichkeitsrechnung.
-
Gewöhnliche Brüche sind für das Lösen von Gleichungen erforderlich.
-
Gewöhnliche Brüche stellen immer einen exakten Wert dar (keine Periodizität)
-
Die Vorstellung eines „Teils vom Ganzen“ oder eines „Verhältnisses zu einem
Ganzen“ ist direkt sichtbar.
-
Gewöhnliche Brüche ermöglichen eine Grundlage für das Rechnen mit
Bruchtermen.
-
Das Rechnen mit gewöhnlichen Brüchen ist meist genauer, da sich keine
Rundungsfehler einschleichen.
-
Gewöhnliche Brüche begegnen den Schülerinnen und Schülern im Alltag, z.B.
eine viertel Stunde; ein halber Kuchen.
-
Das Verständnis für Prozentangaben ist ohne gewöhnliche Brüche schwer.
Warum Dezimalbrüche?
- Dezimalbrüche gelten als natürliche Erweiterung der Stellenwertschreibweise,
sie ist den Schülern vertraut.
-
Die Rechenverfahren der Dezimalbrüche stimmen bis auf die Kommasetzung
mit denen der natürlichen Zahlen überein.
-
Die Dezimalbruchschreibweise erleichtert den Schülerinnen und Schülern den
Größenvergleich.
-
Den Schülerinnen und Schülern begegnen Dezimalbrüche im Alltag, z.B.
3,99€; 0,75ml; 7,8 km.
3. Aufgabe
Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der die Multiplikation gewöhnlicher
Brüche behandelt wird.
Bei der beschriebenen Unterrichtseinheit handelt es sich um eine Einführungsstunde
zum Thema Multiplikation von gewöhnlichen Brüchen. Dieses Thema wird in der 6.
Jahrgangsstufe behandelt.
Voraussetzungen
-
Die Schüler können Brüche mit natürlichen Zahlen multiplizieren.
Die Schüler wissen, dass „Bruch mal natürliche Zahl“ „Bruchteil von natürlicher
Zahl“ bedeutet.
Die Schüler können Brüche erweitern und kürzen.
Die Schüler können Bruchteile zeichnerisch darstellen.
Lernziele
Am Ende der Unterrichtseinheit sollen die Schüler
- wissen, dass „Bruch mal Bruch“ „Bruchteil von einem Bruch“ bedeutet
und somit den direkten Bezug zur Rechnung „Bruch mal natürliche Zahl“
erfasst haben
- die Multiplikation gewöhnlicher Brüche graphisch darstellen und Aufgaben
dazu lösen können
- die Größenrelation zwischen Faktoren und Ergebnis kennen
Didaktische Überlegungen zur Wahl des Inhalts der Unterrichtseinheit:
In dieser Unterrichtseinheit wird bewusst auf die Behandlung des Algorithmus zum
Multiplizieren zweier gewöhnlicher Brüche verzichtet. Damit wird die Bedeutung der
Multiplikation von Brüchen in den Mittelpunkt gestellt und nicht der Rechenweg.
Durch die anschauliche Erarbeitung der Bedeutung der Multiplikation von Brüchen
wird die Grundlage für den weiteren Umgang mit diesem Thema gelegt.
Unterrichtseinheit:
Einstieg
Aufgabe:
Du lädst 3 Freunde zu dir zum Abendessen ein und möchtest für sie
eine Schnitzelpfanne kochen. Im Internet findest du dafür folgendes
Rezept:
Schnitzelpfanne (für 6 Personen)
6 Schnitzel
90g gekochter Schinken
150g Crème fraîche
1 große Zwiebel
2 Dosen Champignons
1
Becher Sahne
2
Die Aufgabe wird den Schülern in dieser (offenen) Form vorgelegt. Die Schüler sollen
das Problem erkennen, dass das Rezept für 6 Personen ausgelegt ist, sie aber nur
zu viert sind und deshalb jeweils weniger von den Zutaten brauchen. Dann sollen die
Schüler in Partnerarbeit herausfinden, wie viele Schnitzel und wie viel gekochter
Schinken für das Rezept für 4 Personen benötigt werden.
Im Klassengespräch werden die Ergebnisse und verschiedene Rechenwege
verglichen.
Bei den Schnitzeln wird die richtige Menge intuitiv erfasst werden: wenn ich für 6
Leute 6 Schnitzel benötige, dann brauche ich für 4 Leute 4 Schnitzel.
Beim gekochten Schinken wird die Mehrzahl der Schüler wohl folgenden Rechenweg
wählen
90g : 6 ∙ 4 = 60g
Aus dem vorherigen Unterricht wissen die Schüler aber auch schon, dass man diese
Rechnung auch mit Hilfe eines Bruches ausdrücken kann:
4
4
4
90g ∙ 6 = 60g = 6 ∙ 90g also 6 „von“ 90g
Es gilt weiterhin:
4
4
4
90g ∙ 6 = 6 ∙ 90g also 6 „von“ 90g
4
Es wird erkannt, dass von jeder Zutat 6 der Menge benötigt wird.
Die Schüler können also für die folgenden Zutaten berechnen:
4
∙ 150g = 100g (Crème fraîche)
6
4
6
4
6
4
2
∙ 1 = 6 = 3 (Zwiebel)
8
4
1
∙ 2 = 6 = 3 = 1 3 (Dosen Champignons)
Und kommen nach diesem Schema auch auf die Rechnung
4 1
∙ für die Sahne.
6 2
Erarbeitung
An dieser Stelle kommen die Schüler allerdings mit ihrem Wissen über Rechenregeln
nicht mehr weiter. Man wird über folgenden Weg zum Ergebnis der Rechnung
gelangen:
4 1
4
1
∙ bedeutet „von“
6 2
6
2
Die Schüler sollen den Sahnebecher und dessen Inhalt vereinfacht als Rechteck
darstellen und die Menge an Sahne einzeichnen, die sie für 4 Personen benötigen.
Dabei werden sie zuerst die Hälfte des Rechtecks in 6 Teile unterteilen und dann 4
von diesen Teilen markieren. Nun muss noch der so entstandene Teil des Rechtecks
als Bruchteil des ganzen Rechtecks ausgedrückt werden.
4
1
Sie kommen zum Ergebnis 12 bzw. (gekürzt) 3.
Sahnebecher
Didaktische Überlegungen zu Einstieg und Erarbeitung:
Durch die Alltagsrelevanz der Aufgabe werden die Schüler motiviert. Der Einstig
umfasst eine Wiederholung und die Problemstellung. Die ersten 5 Teilaufgaben
dienen der Wiederholung von bereits bekanntem Stoff („natürliche Zahl mal Bruch“
bzw. „Bruch mal natürliche Zahl“). Damit wird das für das neue Thema (Multiplikation
gewöhnlicher Brüche) relevante Vorwissen der Schüler aktiviert. In der
Erarbeitungsphase wird in dieses Vorwissen das „Neue“ eingebettet, so dass die
Schüler den direkten Zusammenhang zwischen „Bruch mal natürliche Zahl“ und
„Bruch mal Bruch“ erkennen. Durch bewährte Mittel (eine veranschaulichende
Zeichnung) können die Schüler auch das neue Problem lösen.
Sicherung
Ein Schülerpaar stellt der Klasse anhand einer Folie sein Ergebnis vor, um sicher zu
stellen, dass jeder Schüler die richtige Lösung vollständig im Heft hat.
Außerdem sollen die Schüler in der Sicherungsphase weitere Aufgaben nach dem
eben erarbeiteten Schema lösen.
3
1
1
1
1
1
a) 4 ∙ 2
b) 5 ∙ 4
c) 3 ∙ 3
Didaktische Überlegungen:
Wie schon vorher müssen die Schüler beim Lösen dieser Aufgaben Zeichnungen
anfertigen, oder auf irgendeine andere Weise anschaulich darstellen (z. B. durch
Falten eines Blatt Papiers). In dieser Phase soll sicher gestellt werden, dass die
Schüler mit der Multiplikation von Brüchen in Zukunft immer ‚die Bildung eines
Bruchteils von einem Bruchteil‘ verbinden.
Vertiefung
Die Schüler sollen folgende Aufgabe bearbeiten:
3 1
3
Oben hast du herausgefunden, 4 ∙ 2 = 8 .
3
1
Kann die folgende Aussage richtig sein? 8 < 2
Die erwartete Aussage lautet: ja, die Aussage ist richtig. Das Ergebnis der
Multiplikation ist kleiner, denn man nimmt von einem Bruch ja noch mal einen
Bruchteil.
Didaktische Überlegungen:
In dieser Aufgabe üben die Schüler das Reflektieren über Ergebnisse. In diesem Fall
soll den Schülern eine Möglichkeit zur Selbstkontrolle an die Hand gegeben werden.
Ausblick
In der folgenden Stunde wird die Rechenregel zur Multiplikation zweier gewöhnlicher
Brüche entdeckt.