Klausur zur Analysis I

Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner
NWF I - Mathematik
Universität Regensburg
WS 08/09
12.02.2009
Klausur zur Analysis I
Bitte jede Aufgabe auf ein eigenes Blatt und
auf jedes abgegebene Blatt den Namen schreiben!
Name:
Vorname:
Matrikel-Nr.:
Gruppen-Nr.:
A1
A2
A3
A4
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
P
Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner
NWF I - Mathematik
Universität Regensburg
WS 08/09
12.02.2009
Klausur zur Analysis I
6 Punkte pro Aufgabe
Aufgabe 1
Entscheiden Sie, ob folgende Reihen konvergieren:
(i)
∞
X
n=1
n
,
(−1)
n+1
n
(ii)
∞
X
2n · n!
n=1
nn
,
(iii)
∞
X
n=1
n1
(−1)
n
1 1
−
3 n
n
.
Aufgabe 2
Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit in R:
1
x · ex , x > 0 ,
(i) f (x) :=
,
(ii)
g(x)
:=
0
, x≤0.
1 + x2
Aufgabe 3
Überprüfen Sie diese Funktionenfolgen auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz auf ganz R:
(i) fn (x) =
p
n
x2 + 1 ,
(ii) gn (x) =
n
X
sin(kx)
k=1
2k
,
(iii) hn (x) =
Aufgabe 4
Sei f : [a, b] → R stetig und F : [a, b] → R definiert durch
Z x
F (x) :=
f (y) dy .
a
Beweisen Sie Existenz des folgenden Limes
F (x) − F (x − h)
h&0
h
lim
und berechnen Sie dessen Wert.
für x ∈ (a, b)
sin(nx)
.
2 − cos((n + 1)x)
Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fragen: jeweils mit Begründung beantworten, bzw. den Text richtig ergänzen
2 Punkte pro Frage
1.) Beweisen Sie für alle natürlichen Zahlen n ≥ 3 die Ungleichung 2n > 2n + 1.
π
2.) Ist die komplexe Folge en(1+i 2 )
n∈N
eine Cauchyfolge in C ?
ex −cos x
x→0 x+sin x
3.) Berechnen Sie den Grenzwert lim
ex
2
0
(n+x)
n→∞
4.) Es gilt lim
R1
.
dx = 0, denn:
R2
5.) Zeigen Sie die Ungleichung 0 ≤ 1
telwertsatzes der Integralrechnung.
6.) Berechnen Sie das Integral
π/2
R
1
x2
√
sin6 ( x) dx ≤
1
2
mit Hilfe des verallgemeinerten Mit-
esin(x) · cos(x) dx .
0
−1 , −π ≤ x < 0 ,
7.) Sei f : R → R die 2π-periodisch fortgesetzte Funktion f (x) =
1 , 0≤x<π.
P
(a
cos(kx)
+ bk sin(kx))
Bestimmen Sie die Koeffizienten der Fourierentwicklung a20 + ∞
k
k=1
von f .