Adµ - Universität Stuttgart

R
Adµ
Universität Stuttgart
Institut für Analysis, Dynamik
und Modellierung
Prof. Guido Schneider
Pfaffenwaldring 57
D–70569 Stuttgart
Analysis 1
Vorlesung im Wintersemester 2016/2017
Übungsblatt 9
Aufgabe 9.1 (schriftlich, 6 Punkte)
a) Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f : R → R,
√
x
sin(2x) + ln( 1 + x4 ).
f (x) = 1+x
2 + (cos x)e
b) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 4-ten Grades zum Entwicklungspunkt x0 = 0
der Funktion g : x 7→ sin(2x2 + 4x4 ).
c) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
5+e−x
x4
x→∞
2
sin(x5 )
tan(3x)
x→0
(ii)
(i) lim
lim
(iii)
lim
x→0
ex +e−x −2
1−cos x
.
d) Beweisen Sie oder widerlegen Sie:
(i) Sei f : R → R eine Funktion, welche die Abschätzung |f (x) − f (y)| ≤ |x − y|2
für alle x, y ∈ R erfüllt. Dann ist f differenzierbar, f ′ (x) = 0 für alle x ∈ R und f
ist konstant.
(ii) Sei g : R → R eine C n -Funktion und h : R → R eine C n−1 -Funktion. Dann ist
g ◦ h : R → R eine C n -Funktion.
Aufgabe 9.2 ...
a) Bestimmen Sie lim |x|−n e−x
x→0
−2
für beliebiges n ∈ N.
b) Für welche reellen Zahlen α, β ist die folgende Funktion f : R → R stetig?
(
−2
x−4 e αx
für x 6= 0
f (x) =
β
für x = 0
Aufgabe 9.3 Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
2
1− x2 −cos x
,
x→0 x arctan x
(i) lim
(iv)
lim (sin
x→+∞
√
2
(ii)
x + 1 − sin
√
e−x
1 ,
)
ln(1+
x→+∞
x
lim
x − 1).
(iii)
lim
x→0
2
x
−
1
sin( 21 x)
,
R
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und Modellierung
Prof. Guido Schneider
Pfaffenwaldring 57
D–70569 Stuttgart
Aufgabe 9.4 ...
a) Bestimmen Sie jeweils die Ableitung der folgenden Funktionen:
q
2
2
2
i) f1 : R → R , f1 (x) = 5 1+x
2 + 3 cos x + ln(1 + x )
2 ii) f2 : R\ {0} → R , f2 (x) = sin cos x 6x−7
iii) f3 : (−2, +∞) → R , f3 (x) =
(2−x) ex
2+x
+
(2−cos x) ecos x
2+cos x
√
iv) f4 : (1, +∞) → R , f4 (x) = ln (ln x + ln(2 8 x))
v) f5 : I → R , f5 (x) = ln (tan( x2 )). Hierbei sei I das größtmögliche Intervall
mit 1 ∈ I, auf dem f5 differenzierbar ist. Geben Sie I an.
b) Gegeben seien für k ∈ {1, 2, 3, 4} die Funktionen gk : R → R mit
g1 (x) =
(
sin( x1 )
0
: x 6= 0
: x=0
und
gk (x) = xk−1 g1 (x).
Für welche k ist gk bei x = 0 differenzierbar und für welche stetig differenzierbar?
Aufgabe 9.5 ... Sei f : [0, ∞) → R stetig, f (0) = 0, f differenzierbar auf (0, ∞) und f ′
monoton wachsend. Zeigen Sie, dass dann die Funktion
g : (0, ∞) → R,
g(x) =
f (x)
x
ebenfalls monoton wachsend ist.
Besprechung der Votieraufgaben in den Übungen am
Donnerstag, den 12.01.2017, bzw. Freitag, den 13.01.2017.
Die schriftliche Aufgabe wird in den Übungen der darauffolgenden Woche besprochen.