Test Wahrscheinlichkeit und Statistik WS 2006/07

Test
Wahrscheinlichkeit und Statistik
WS 2006/07
Aufgabe 1. Sei Ω = (0, 1). Welches der folgenden Mengensysteme ist eine Algebra?
{∅, (0, 1), (0, 1/2), (1/2, 1)}
{∅, (0, 1), (0, 1/2), [1/2, 1), (0, 2/3], (2/3, 1)}
{∅, (0, 1), (0, 2/3), (2/3, 1]}
Aufgabe 2. Seien P ein Wahrscheinlichkeitsmaß und A und B zwei Ereignisse. Wann gilt die
Gleichheit
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)?
Bei unabhängigen Ereignissen A und B
Bei disjunkten Ereignissen A und B
Nur bei disjunkten Ereignissen A und B
Falls A 4 B = ∅
Aufgabe 3. Sei X : R → R eine Zufallsvariable mit stetiger Verteilungsfunktion F .
F besitzt eine Lebesgue-Dichte
F ist an allen Punkten differenzierbar
X ist stetig
X ist differenzierbar
Aufgabe 4. Welche Verteilungen besitzen die Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit?
Normalverteilung
geometrische Verteilung
Poisson-Verteilung
Exponentialverteilung
Aufgabe 5. Wie lautet die Bayes-Formel?
Aufgabe 6. Sei X eine b(n, p)-verteilte Zufallsvariable. Wie lauten Erwartungswert und Varianz?
Aufgabe 7. Seien Xn (n ∈ N) und X reellwertige Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum. Unter welcher Zusatzvoraussetzung folgt aus Xn ↑ X f.s. die Beziehung
EXn → EX?
Aufgabe 8. Sei An eine Folge von Ereignissen. Nennen Sie eine nichttriviale Bedingung, unter
der
P (limAn ) = 0
folgt.
Aufgabe 9. Sei p ∈ (0, 1). Die Erfolgswahrscheinlichkeit von unabhängigen Versuchen sei
jeweils p. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von n Misserfolgen bis zum ersten Erfolg?
Aufgabe 10. Bei unkorrelierten Zufallsvariablen X und Y gilt:
ϕX+Y (t) = ϕX (t) + ϕY (t) (ϕZ charakteristische Funktion der Zufallsvariablen Z)
ϕX+Y (t) = ϕX (t) · ϕY (t)
P (X + Y ≤ t) = P (X ≤ t) + P (Y ≤ t)
E(XY ) = E(X)E(Y ), falls die zugehörigen Erwartungswerte existieren
Aufgabe 11. Wie ist die Konvergenz einer Folge von Zufallsvariablen Xn gegen eine Zufallsvariable X definiert?
Aufgabe 12. Unter welcher Voraussetzung gilt
b(n, pn ; k) → π(λ; k) (n → ∞) für alle k ∈ N0 ?
Vorlesung und Übungen: H. Walk, Institut für Stochastik und Anwendungen, Universität Stuttgart, 0711-685-65387, e-mail [email protected]
Übungen: J. Dippon, Institut für Stochastik und Anwendungen, Universität Stuttgart, 0711-685-65384, e-mail [email protected]
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