Blatt 11 Wahrscheinlichkeit und Statistik WS 2006/07

Blatt 11
Wahrscheinlichkeit und Statistik
WS 2006/07
Aufgabe 61 (Präsenzaufgabe). Xn (n ∈ N) und X seien reelle Zufallsvariablen mit Dichten
D
fn bzw. f . Zeigen Sie: Konvergiert fn punktweise (oder auch nur f.ü.) gegen f , so gilt Xn → X.
Aufgabe 62. Man ermittle eine Dichte der in Bemerkung 9.7 definierten Student-Verteilung tn .
Aufgabe 63. Man zeige, dass in Definition 9.9 die Zufallsvariable Nt π(λt)-verteilt ist (t > 0).
Hinweis: Man beachte für k ∈ N
P [Nt = k] = P [X1 + . . . + Xk ≤ t] − P [X1 + . . . + Xk+1 ≤ t],
wobei X1 + . . . + Xk Γλ,k -verteilt ist, und beweise durch Differentation nach t, dass die rechte
Seite mit π(λt; k) übereinstimmt.
Aufgabe 64.
a) Es sei (Ω, A, P ) ein W-Raum und S der durch den Äquivalenzbegriff “ = P -fast sicher”
(d.h. “= P -fast überall”) definierte Raum von Äquivalenzklassen reeller Zufallsvariablen
auf (Ω, A, P ). Zeigen Sie, dass durch
Z
|Y − Z|
|Y − Z|
ρ(Y, Z) := E
:=
dP ,
Y, Z ∈ S,
1 + |Y − Z|
1 + |Y − Z|
Ω
in S eine Metrik eingeführt wird.
b) Es seien X, X1 , X2 , . . . reelle Zufallsvariablen auf einem W-Raum (Ω, A, P ). Zeigen Sie:
Xn → X nach Wahrscheinlichkeit (d.h. dem Maße P nach) ⇐⇒ E
|Xn − X|
→ 0.
1 + |Xn − X|
Aufgabe 65.
a) Xn (n ∈ N) und X seien reelle Zufallsvariablen mit Werten in der höchstens abzählbaren
Menge M ⊂ R. Zeigen Sie:
D
Xn → X ⇐⇒
∀
x∈M
lim P [Xn = x] = P [X = x]
n
b) Seien Xn (n ∈ N) und X reelle Zufallsvariablen mit Zähldichten (pn,k )k∈N bzw. (pk )k∈N .
Man zeige, dass (Xn ) gegen X nach Verteilung genau dann konvergiert, wenn
∀
k∈N0
pn,k → pk
(n → ∞).
Wie lässt sich somit Satz 3.3 in der Terminologie der Verteilungskonvergenz formulieren?
Vorlesung und Übungen: H. Walk, Institut für Stochastik und Anwendungen, Universität Stuttgart, 0711-685-65387, e-mail [email protected]
Übungen: J. Dippon, Institut für Stochastik und Anwendungen, Universität Stuttgart, 0711-685-65384, e-mail [email protected]
Aufgabe 66.
a) Für die Rademacher-Funktionen Rn der Aufgabe 45b beweise man
1
n
n
P
Rk (t) → 0 (n → ∞)
für L-f.a. t ∈ (0, 1].
k=1
b) Man zeige mit a): Für L-f.a. x ∈ (0, 1] — mit dyadischer Entwicklung x = 0, x1 x2 x3 . . .
— gilt
Anzahl der Einsen unter den Zahlen x1 , . . . , xn
1
→
n
2
(n → ∞).
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