Blatt 8 Wahrscheinlichkeitstheorie WS 2007/08

Blatt 8
Wahrscheinlichkeitstheorie
WS 2007/08
Aufgabe 42 (Präsenzaufgabe). Zeigen Sie, dass die Cauchy-Verteilung, welche eine Dichte
1
der Form f (x) = π(1+x
2 ) , x ∈ R, besitzt, die charakteristische Funktion
ϕ(u) = e−|u| ,
u ∈ R,
hat. Verwenden Sie hierzu den Residuensatz, wobei die Integration über den Halbkreis mit dem
auf der reellen Achse liegenden Durchmesser [−R, R] erfolgt.
Aufgabe 43 Sei X eine reelle Zufallsvariable. Zeigen Sie, dass die charakteristische Funktion
von PX genau dann reellwertig ist, wenn X eine symmetrische Zufallsvariable ist (d.h. PX =
P(−X) ).
Aufgabe 44. Seien X und Y zwei unabhängige identisch verteilte reelle Zufallsvariablen. Zeigen
Sie, dass Z = X − Y eine symmetrische Verteilung besitzt.
Aufgabe 45 (Schriftliche
R Aufgabe) Für die charakteristische Funktion ϕ einer Verteilungsfunktion F : R → R gelte R |ϕ(u)| du < ∞. Man zeige: F besitzt eine Dichte f , die stetig und
beschränkt ist, und es gilt die Umkehrformel
Z
1
f (x) =
e−iux ϕ(u) du, x ∈ R.
2π
R
(Satz 6.5 der Vorlesung).
Aufgabe 46. Es seien N, X0 , X1 , X2 , . . . unabhängige reelle Zufallsvariablen. N sei geometrisch
verteilt mit Parameter p ∈ (0, 1), und jedes Xj (j ∈ N0 ) sei exponentialverteilt mit Parameter
λ ∈ (0, ∞). Man zeige mit Hilfe charakteristischer Funktionen, dass die reelle Zufallsvariable
(!)
N
X
SN :=
Xj
j=0
(Summe von Zufallsvariablen mit einer vom Zufall abhängigen Anzahl von Summanden) exponentialverteilt ist mit Parameter λp.
Aufgabe 47 (Programmieraufgabe). Sind f : [a, b] → R eine integrierbare Funktion und
X eine auf dem Intervall [a, b] gleichverteilte Zufallsvariable, dann gilt I := (b − a)E(f (X)) =
Rb
f (x) dx. Seien jetzt X1 , X2 , . . . unabhängige wie X verteilte Zufallsvariablen, so kann das
a
Integral I mittels Monte-Carlo-Integration durch
n
In :=
b−aX
f (Xi )
n i=1
approximiert werden. Eine Begründung hierfür liefert z.B. das schwache Gesetzes der großen
Zahlen.
Schreiben Sie eine Funktion integrate.mc(fun,lower,upper,n), die das Integral I einer
Funktion f von lower bis upper durch In approximiert.
Rπ
Berechnen Sie für f (x) = sin(x) das Integral I = 0 f (x) dx analytisch, mittels R-Funktion
integrate und approximieren Sie dieses durch In für n ∈ {10, 20, . . . , 1000}. Plotten Sie die
Werte von In über n.
Vorlesung und Übungen: J. Dippon, Institut für Stochastik und Anwendungen, Universität Stuttgart, 0711-685-65384, e-mail [email protected]
Übungen: N. Röhrl, Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung, Universität Stuttgart, 0711-685-65311, e-mail [email protected]
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