„Mathematik I (EI)“ (WS 2008/09) Zentralübung (31.10.08)

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. Boris Vexler
Dr. Dominik Meidner, Dipl.-Math. Sonja Veelken
3. Übung zur Vorlesung „Mathematik I (EI)“ (WS 2008/09)
Zentralübung (31.10.08):
Aufgabe Z 3.1:
Folgern Sie aus den Additionstheoremen
a) sin2 x =
1−cos(2x)
,
2
b) cos2 x =
1+cos(2x)
,
2
c) sin x cos y =
Aufgabe Z 3.2:
1
2
sin(x − y) + 12 sin(x + y).
Welche x ∈ R erfüllen die Gleichung 5 sin x − 2 cos2 x = 1?
Aufgabe Z 3.3:
a) Geben Sie zu folgenden komplexen Zahlen die Polardarstellung an:
z1 = −2i,
z2 = 1 + i.
b) Zu den komplexen Zahlen mit Polarkoordinaten
1
r3 = 2, ϕ3 = π,
2
sind Real- und Imaginärteil gesucht.
3
r4 = 1, ϕ4 = π
4
Aufgabe Z 3.4: Geben Sie für n ∈ N alle Lösungen der Gleichung z n = 1 in C in der Polardarstellung an.
Aufgabe Z 3.5: In den meisten Stromnetzen wird Drehstrom verwendet. Dabei gibt es neben
dem Neutralleiter noch drei weitere Leiter, deren Spannungen mit gleicher Frequenz und gleicher
Amplitude, aber jeweils um die Phase 2π/3 gegeneinander verschoben sind. Demnach liegen an
den unterschiedlichen Leitern die Spannungen
u1 (t) = U0 (cos(ωt) + i sin(ωt))
2
2
u2 (t) = U0 cos(ωt + π) + i sin(ωt + π)
3
3
4
4
u3 (t) = U0 cos(ωt + π) + i sin(ωt + π)
3
3
an. Zeigen Sie, dass sich zu allen Zeitpunkten die Summe der Spannungen neutralisiert, d. h.
u1 (t) + u2 (t) + u3 (t) = 0
für alle t ∈ R gilt.
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Tutorübungen (03.11.08 – 05.11.08):
Aufgabe T 3.1:
Verifizieren Sie mit Hilfe von Aufgabe Z 3.1 für x ∈ (−π, π) die Identitäten
a) cos x =
1−tan2 ( x2 )
,
1+tan2 ( x2 )
b) sin x =
2 tan( x2 )
,
1+tan2 ( x2 )
c) cos4 x − sin4 x = cos(2x).
Aufgabe T 3.2:
Zeigen Sie die Identitäten
√
a) cos(arcsin x) = 1 − x2 für x ∈ [−1, 1],
b) sin(arctan x) =
Aufgabe T 3.3:
√ x
1+x2
für x ∈ R.
Lösen Sie die Ungleichung sin(2x) ≤
√
3 sin x in R.
Aufgabe T 3.4: Berechnen Sie zu den komplexen Zahlen z1 = 1 − i, z2 = 1 + 3i und z3 = 2 − 4i
die Real- und Imaginärteile der Ausdrücke
−z1 , z1 , z1 z2 ,
Aufgabe T 3.5:
z1
z2
z3
,
.
,
2
z3 z2 − z1 2z1 − z2
√
Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von ( 3 + i)100 .
Aufgabe T 3.6:
a) Geben Sie zu folgenden komplexen Zahlen die Polardarstellung an:
√
1
z1 = (−1 + 3 i),
2
z2 =
2
.
1−i
b) Zu den komplexen Zahlen mit Polarkoordinaten
5
r3 = 3, ϕ3 = π,
4
2
r4 = 4, ϕ4 = π
3
sind Real- und Imaginärteil gesucht.
Aufgabe T 3.7:
Berechnen Sie alle komplexen Zahlen z ∈ C, die die Gleichung
z−3 z−4+i
−3 + 2i
+
=2 2
z−i
z−1
z − (1 + i)z + i
erfüllen.
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